1、仿真模拟(一) 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的 1设集合 Ax|xa|1，B1，0，b(b0)，若 A B，则对应的实数对(a，b)有( ) A1 对 B2 对 C3 对 D4 对 答案 B 解析 因为 Ax|xa|1a1，a1，若 A B，而 B1，0，b(b0)，(a1) (a1)2，所以只能 a10， a1b 或 a11， a1b，解得 a1， b2 或 a2， b3. 故选 B. 2复数 z i 5i的虚部为( ) A 5 26 B 5 26i C 5 26 D 5 26i 答案 A 解析 z i 5i i
2、（5i） （5i）（5i） 1 26 5 26i，复数 z i 5i的虚部为 5 26.故选 A. 3设向量 a(1，1)，b(1，3)，c(2，1)，且(ab)c，则 ( ) A3 B2 C2 D3 答案 A 解析 由题意，得 ab(1，13)，由(ab)c，得 2(1)1(13)0， 解得 3.故选 A. 4如图， 宋人扑枣图轴是作于宋朝的中国古画，现收藏于中国台北故宫博物院该作 品简介：院角的枣树结实累累，小孩群来攀扯，枝桠不停晃动，粒粒枣子摇落满地，有的牵起 衣角，有的捧着盘子拾取，又玩又吃，一片兴高采烈之情，跃然于绢素之上甲、乙、丙、丁 四人想根据该图编排一个舞蹈， 舞蹈中他们要模仿
3、该图中小孩扑枣的爬、 扶、 捡、 顶四个动作， 四人每人模仿一个动作若他们采用抽签的方式来决定谁模仿哪个动作， 则甲不模仿“爬”且 乙不模仿“扶”的结果有( ) A12 种 B14 种 C16 种 D20 种 答案 B 解析 设事件 A 表示甲不模仿“爬”且乙不模仿“扶”， 若甲模仿“扶”，则 A 包含 1A3 36 个基本事件； 若甲模仿“捡”或“顶”，则 A 包含 22A2 28 个基本事件 综上，A 包含 6814 个基本事件 5函数 ysin 2x2sin 2x 2x1 的图象大致是( ) 答案 C 解析 当x 0， 2 时， sin 2x0， 2x1， 所以ysin 2x2sin 2
4、x 2x1 0， 排除A， B； 当x 2，0 时，sin 2x0，02x0，排除 D.故选 C. 6将函数 y2sin x 3 cos x 3 的图象向左平移 (0)个单位长度，所得图象对应的 函数恰为奇函数，则 的最小值为( ) A 12 B 6 C 4 D 3 答案 B 解析 根据题意可得 ysin 2x2 3 ，将其图象向左平移 个单位长度，可得 ysin 2x2 3 2 的图象，因为该图象所对应的函数恰为奇函数，所以2 3 2k(kZ)，k 2 3(kZ)，又 0，所以当 k1 时， 取得最小值，且 min 6，故选 B. 7平面四边形 ABCD 为凸四边形，且A60，ADDC，AB
5、 3，BD2，则 BC 的 取值范围为( ) A 7 2 ，2 B 7 2 ，2 C.(2， 7) D 7 2 ， 7 答案 D 解析 作出图形， 如图所示， C 点在 DC 边上移动， BMDC， AB 与 DC 延长后交于点 N， 易知 BC1，则 k 为( ) A 2 B3 2 C 3 D2 答案 B 解析 设 A(y2 1，y1)，B(y 2 2，y2)，M(x0，y0)，则 N(y 2 0，y0)，NA (y2 1y 2 0，y1y0)，NB (y2 2 y2 0，y2y0)， 由NA NB 0，得(y2 1y 2 0)(y 2 2y 2 0)(y1y0)(y2y0)0， (y1y0
6、)(y2y0)10，y1y2y0(y1y2)y2 010， 即 y1y23y2 010， 由 y 2x， ykx2得 ky 2y20， 由 k1 得 18k0，y1y21 k，y1y2 2 k， 代入得，2 k 3 4k210， 即 4k28k30，解得 k3 2或 k 1 2(舍去).故选 B. 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分 95G 的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对 GDP 增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应和波及
7、效应，间接带动国民经济各行业的 发展，创造岀更多的经济增加值如图是某单位结合近年数据，对今后几年的 5G 经济产出所 做的预测结合图，下列说法正确的是( ) A5G 的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加 B设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓 C设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位 D信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势 答案 ABD 解析 由图可知， 在前期设备制造商在各年的总经济产出中处于领先地位， 而后期是信息 服务商处于领先地位，故 C 说法错误故选 ABD. 10.九章算术中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵” ；底面为 矩形， 一条
8、侧棱垂直于底面的四棱锥称之为 “阳马” ； 四个面均为直角三角形的四面体称为 “鳖 膈” 如图在堑堵 ABCA1B1C1中，ACBC，且 AA1AB2.下列说法正确的是( ) A四棱锥 BA1ACC1为“阳马” B四面体 A1C1CB 为“鳖膈” C四棱锥 BA1ACC1体积最大为2 3 D过 A 点分别作 AEA1B 于点 E，AFA1C 于点 F，则 EFA1B 答案 ABD 解析 四边形 A1ACC1为矩形，BC平面 A1ACC1，四棱锥 BA1ACC1为“阳马”， 故 A 正确；四面体 A1C1CB 中，A1C1C，A1BC，A1BC1，BCC1都是直角三角形，四 面体 A1C1CB
9、为“鳖膈”， 故 B 正确； 当 ACBC 2时， 四棱锥 BA1ACC1体积为 VBA1ACC1 1 32 2 2 4 3 2 3，故 C 错误；过 A 点分别作 AEA1B 于点 E，AFA1C 于点 F，BC AC，BCAA1，ACAA1A，BC平面 AA1C1C，又 AF 平面 AA1C1C，BCAF， A1CBCC，AF平面 A1BC，AFA1B，AEAFA，A1B平面 AEF，EF 平 面 AEF，EFA1B，故 D 正确故选 ABD. 11记数列an的前 n 项和为 Sn，若存在实数 H，使得对任意的 nN*，都有|Sn|H，则 称数列an为“和有界数列”下列说法正确的是( )
10、A若an是等差数列，且公差 d0，则an是“和有界数列” B若an是等差数列，且an是“和有界数列”，则公差 d0 C若an是等比数列，且公比|q|1，则an是“和有界数列” D若an是等比数列，且an是“和有界数列”，则an的公比|q|1 答案 BC 解析 若an是等差数列，且公差 d0，当 a10 时，可得 Sn0，数列an为“和有界 数列”；当 a10 时，可得 Snna1，数列an不为“和有界数列” ，故 A 错误；若an是等差 数列，且数列an为“和有界数列”，可得存在实数 H，使得对任意的 nN*，都有|Sn|H， 即 a1nn（n1） 2 d H 恒成立，可得 a1d0，故 B
11、正确；若an是等比数列，且公比|q| 1， |Sn| a1（1qn） 1q 2 a1 1q ， 则an是“和有界数列”， 故 C 正确； 若an是等比数列， 且an是“和有界数列”，若 q1，即当 n 为奇数时，Sna1，当 n 为偶数时，Sn0，可得 存在实数 H，使得对任意的 nN*，都有|Sn|H，故 D 错误故选 BC. 12给出下列不等关系，其中正确的是( ) Alog20202021log20212022 Blog20202021log20212022 Clog202020212022 2021 Dlog202020212022 2021 答案 BC 解析 令 f(x)ln （x1
12、） ln x (xe)，则 f(x)x ln x（x1）ln （x1） x（x1）ln2x 0，因此函数 f(x)在(e，)上单调递减因此函数 ylogx(x1)在(1，)上单调递减log20202021 log20212022.令 g(x) ln x x1(xe 2)， g(x)（x1）x ln x x（x1）2 ， 令 u(x)(x1)x ln x(xe2)， u (x)1ln x1ln x0，函数 u(x)在(e2，)上单调递减，u(x)0)的展开式中的常数项为_ 答案 63 2 2 解析 x 2 1 x 2 5 (x0)可化为 x 2 1 x 10 ， 因而 Tr1Cr 10 1 2
13、10r ( x)102r，令 102r0，则 r5，故展开式中的常数项为 C5 10 1 2 5 63 2 2 . 14设 x 是函数 f(x)3sin xcos x 的一个极值点，则 sin 22cos2_ 答案 2 5 解析 f(x)3cosxsin x，f()3cos sin 0，tan 3.sin 22cos2 2sincos 2cos2 cos2sin2 2tan2 1tan2 2 5. 15已知关于 x 的不等式(axa24)(x4)0 的解集为 A，且 A 中共含有 n 个整数，则当 n 最小时实数 a 的值为_ 答案 2 解析 已知关于 x 的不等式(axa24)(x4)0，
14、a0 时， x a4 a (x4)0，其中 a4 a0，解集为(，4)，整数解有无穷多，故 a0 不符合条件； a0 时， x a4 a (x4)0，其中 a4 a4， 故解集为(，4) a4 a， ，整数解有无穷多，故 a0 不符合条件 综上所述，a2. 16已知长方体 ABCDA1B1C1D1，AB3 2，AD2，AA12 3，已知 P 是矩形 ABCD 内 一动点，PA1与平面 ABCD 所成角为 3，设 P 点形成的轨迹长度为 ，则 tan _；当 C1P 的长度最短时，三棱锥 D1DPC 的外接球的表面积为_ 答案 3 7 29 2 解析 因为长方体 ABCDA1B1C1D1中 AA
15、1平面 ABCD，所以 PA1与平面 ABCD 所成角 为APA1， 因为 PA1与平面 ABCD 所成角为 3， 所以APA1 3， 因为 AA12 3， 所以 AP2， 从而 P 点形成的轨迹为以 A 为圆心，2 为半径的圆在矩形 ABCD 内的一段圆弧DM ，设其圆心 角为 ，则 sin 3 2 2 3 4， 所以 tan 3 7，因此 tan tan 2 2tan 1tan2 2 3 7 19 7 3 7.因为 C1PCC2 1CP 2， 所以 CP 最小时，C1P 长度最短，此时 P 为 AC 与上面圆弧DM 的交点设DPC 外接圆的圆 心为 O1，半径为 r，cosCADAD AC
16、 AD AD2DC2 2 22 3 2 2 4 5.则 2r CD sin CPD 3 2 sin 2 CAD 2 3 2 cos CAD 2 ，r2 9 4 4cos2CAD 2 9 4 2（1cos CAD） 9 4 2 14 5 5 8.设三 棱锥 D1DPC 的外接球的球心为 O，半径为 R，从而 R2OO2 1O1C 2( 3)25 8 29 8 ，因此 球的表面积为 4R229 2 . 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17(本小题满分 10 分)已知ABC 中，三个内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c. (1)证明：a co
17、s Bb cos Ac； (2)在2cb cos B a cos A， c cos A2b cos Aa cos C， 2a b cos C cos A c cos B cos A 这三个条件中 任选一个补充在下面问题中，并解答 若 a7，b5，_，求ABC 的周长 解 (1)证明：根据余弦定理， a cos Bb cos Aa a2c2b2 2ac b b2c2a2 2bc a 2c2b2b2c2a2 2c c， 所以 a cos Bb cos Ac. (2)选：因为2cb cos B a cos A， 所以 2c cos Ab cos Aa cos B， 所以由(1)中所证结论可知，2c
18、cos Ac，即 cos A1 2， 因为 A(0，)，所以 A 3. 选：因为 c cos A2b cos Aa cos C， 所以 2b cos Aa cos Cc cos A， 由(1)中的证明过程同理可得，a cos Cc cos Ab， 所以 2b cos Ab，即 cos A1 2， 因为 A(0，)，所以 A 3. 选：因为 2ab cos C cos Ac cos B cos A， 所以 2a cos Ab cos Cc cos B， 由(1)中的证明过程同理可得，b cos Cc cos Ba， 所以 2a cos Aa，即 cos A1 2， 因为 A(0，)，所以 A 3
19、. 在ABC 中，由余弦定理知， a2b2c22bc cos A25c210c 1 249， 即 c25c240，解得 c8 或 c3(舍去)， 所以 abc75820， 即ABC 的周长为 20. 18(本小题满分 12 分)已知数列an为“二阶等差数列”，即当 an1anbn(nN*)时， 数列bn为等差数列，a125，a367，a5101. (1)求数列bn的通项公式； (2)求数列an的最大值 解 (1)由定义知，b1a2a1，b2a3a2，b3a4a3，b4a5a4， 得 b1b2a3a142，b3b4a5a334. 设数列bn的公差为 d， 则(b3b4)(b1b2)4d8， 即得
20、 d2，b122， 数列bn的通项公式为 bn2n24. (2)由于 b1a2a1，b2a3a2，b3a4a3，b4a5a4，bn1anan1， 累加可得，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1bn1bn2b1a1 （n1）222（n1）24 2 25n225n2425n225n1， 由于二次函数 yx225x1 在 x25 2 时取得最大值，所以数列an的最大值为 a12a13 157. 19(本小题满分 12 分)搪瓷是在金属坯体表面涂搪瓷釉而得到的制品曾经是人们不可 或缺的生活必备品， 厨房用具中的锅碗瓢盆； 喝茶用到的杯子， 洗脸用到的脸盆； 婚嫁礼品等， 它浓缩了上世纪整
21、整一个时代的记忆某搪瓷设计公司新开发了一种新型复古搪瓷水杯， 将其 细分成 6 个等级，等级系数 X 依次为 3，4，5，6，7，8，该公司交给生产水平不同的 A 和 B 两个厂生产， 已知 A 厂生产的该种搪瓷水杯的等级系数 X 服从正态分布 N(， 0.25)， 且 P(X6) 1 2.在电商平台上 A 厂生产的搪瓷水杯的零售价为 36 元/件，B 厂生产的搪瓷水杯的零售价为 30 元/件 (1)求 A 厂生产的搪瓷水杯的等级系数的平均值； 若 A 厂生产了 10000 件这种搪瓷水杯，记 Y 表示这 10000 件搪瓷水杯等级系数 X 位于 区间(5.5，6.5)的产品件数，求 E(Y)
22、； (2)从 B 厂生产的搪瓷水杯中随机抽取 30 件，相应的等级系数组成一个样本，数据如图： 设 L产品等级系数的平均值 产品零售价 ，若以 L 的值越大，产品越具可购买性为判断标准根据以 上数据，哪个工厂生产的搪瓷水杯更具可购买性？说明理由 注：若 XN(，2)，则 P(X)0.6826，P(2X2)0.9544，P( 3X3)0.9974. 解 (1)根据题意，P(X0.16，故 A 厂生产的搪瓷水杯更具可购买性 20(本小题满分 12 分)如图，在以 A，B，C，D，E，F 为顶点的五面体中，底面 ABEF 为正方形，AF2 3FD，AFD90，且二面角 DAFE 与二面角 CBEF
23、都是 30. (1)证明：AF平面 EFDC； (2)求直线 BF 与平面 BCE 所成角的正弦值 解 (1)证明：底面 ABEF 为正方形， AFFE， 又AFD90， AFDF，而 DFFEF，DF 平面 EFDC，EF 平面 EFDC. AF平面 EFDC. (2)AF 底面 ABEF，则由(1)知平面 EFDC平面 ABEF，如图，过 D 作 DGEF，垂足 为 G， DG平面 ABEF. 以 G 为坐标原点，GF 的方向为 x 轴正方向，|GD |为单位长度，建立如图所示的空间直角 坐标系 Gxyz. 由(1)知DFE 为二面角 DAFE 的平面角， 故DFE30，则 DF2，GF
24、3， 又 AF2 3FD，AF4 3， B(3 3，4 3，0)，E(3 3，0，0)，F( 3，0，0). 由已知，ABEF，AB平面 EFDC. 又平面 ABCD平面 EFDCDC， ABCD，CDEF. 由 BEAF，可得 BE平面 EFDC， CEF 为二面角 CBEF 的平面角， 则CEF30. C(2 3，0，1). EC ( 3，0，1)，EB (0，4 3，0)，BF (4 3，4 3，0). 设 n(x，y，z)是平面 BCE 的一个法向量， 则 n EC 0， n EB 0， 即 3xz0， 4 3y0. 可取 n(1，0， 3). 设直线 BF 与平面 BCE 所成的角为
25、 ， 则 sin |cos BF ，n|BF n| |BF |n| 4 3 4 62 2 4 . 直线 BF 与平面 BCE 所成角的正弦值为 2 4 . 21(本小题满分 12 分)已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2.M 为 椭圆上的一动点， MF1F2面积的最大值为 4.过点 F2的直线 l 被椭圆截得的线段为 PQ， 当 lx 轴时，|PQ|2 2. (1)求椭圆 C 的方程； (2)过点 F1作与 x 轴不重合的直线 l，l 与椭圆交于 A，B 两点，点 A 在直线 x4 上的投 影 N 与点 B 的连线交 x 轴于 D 点，D 点的横坐标
26、 x0是否为定值？若是，求出定值；若不是， 请说明理由 解 (1)由题意知，MF1F2的最大面积 Sbc4， |PQ|2b 2 a 2 2， 又 a2b2c2，联立方程，解得 a2 2，b2，c2， 椭圆 C 的方程为x 2 8 y2 41. (2)D 的横坐标为定值3，理由如下： 已知直线斜率不为零，将直线 AB：xmy2 代入x 2 8 y2 41， 得(my2)22y280， 整理得(m22)y24my40. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，可知 y1，y2均不为零， y1y2 4m m22， y1y2 4 m22， 两式相除得y 1y2 y1y2 m， N(4，y1)， 设 B
27、N 的方程为 yy1y 2y1 x24 (x4)，令 y0， x0y 1x24y1 y2y1 4y 1x24y2 y2y1 y 1（my22）4y2 y2y1 my 1y22y14y2 y2y1 ， 将代入，得 x0y 1y22y14y2 y2y1 3y 13y2 y2y1 3. D 点的横坐标为定值3. 22(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)a 2x 2xln x. (1)若函数 f(x)在定义域内是增函数，求实数 a 的取值范围； (2)当 a1，e)时，讨论方程 f(x)axa 2根的个数 解 (1)函数 f(x)的定义域为(0，). 由题意知，f(x)ax11 x ax2x1
28、x 0 在 x(0，)上恒成立， 即 ax2x10 在 x(0，)时恒成立， x(0，)时，a x1 x2max. 又 yx1 x2 1 x 1 x2 1 x 1 2 2 1 4 1 4， a1 4. (2)设 g(x)f(x)axa 2 a 2x 2axxln xa 2， g(x)axa11 x ax 2（a1）x1 x （ax1）（x1） x ， 当 a1 时，g(x)0，g(x)在(0，)上单调递增， g(1)10，g(4)ln 41 20， 存在唯一的 x0(1，4)，使 g(x0)0，即方程 f(x)axa 2只有一个根； 当 a(1，e)时，则 01 a1，令 g(x)0，有 x
29、1 a或 x1. g(x)在 0，1 a 上是增函数，在 1 a，1 上是减函数，在(1，)上是增函数， g(x)的极大值为 g 1 a 1 2a1 1 aln a a 2 a 2 1 2aln a1. 设 h(a)a 2 1 2aln a1，其中 a(1，e)， 则 h(a)1 2 1 2a2 1 a （a1）2 2a2 0. h(a)在 a(1，e)上是增函数， h(a)h(e)e 2 1 2e20，即 g 1 a 0， g(x)在(0，1)上无零点； 又 g(1)10，g(4)9a 2 4ln 49 24ln 4ln 4 1 20，g(1) g(4)0， 又 yg(x)在(1，)上单调递增， 存在唯一的 x0(1，4)，使 g(x0)0. 即方程 f(x)axa 2只有一个根 综上所述，当 a1，e)时，方程 f(x)axa 2有且只有一个根
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