1、第 1 讲 直线与圆 考情研析 1.考查直线间的平行和垂直的条件，与距离有关的问题 2.考查直线与 圆相切和相交的问题，与直线被圆所截得的弦长的有关的问题 核心知识回顾 1.直线的斜率 直线过点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，其倾斜角为 2 ，则斜率 k 01 y2y1 x2x1 02tan_ 2直线的两种位置关系 直线 l1 yk1xb1 A1xB1yC10 直线 l2 yk2xb2 A2xB2yC20 直线平行或重合的充要 条件 01k1k2 02A1B2A2B10 直线垂直的充要条件 03k1k21 04A1A2B1B20 3三种距离公式 (1)两点间的距离：若 A(x1，y1)，
2、B(x2，y2)，则|AB| 01_ （x2x1）2（y2y1）2 (2)点到直线的距离：点 P(x0，y0)到直线 AxByC0 的距离 d 02 |Ax0By0C| A2B2 (3)两平行线的距离： 若直线 l1， l2的方程分别为 l1： AxByC10， l2： AxByC20(C1 C2)，则两平行线的距离 d 03 |C2C1| A2B2 4圆的方程 (1)标准方程： 01(xa)2(yb)2r2 (2)一般方程：方程 x2y2DxEyF0 表示圆的充要条件是 02D2E24F0，其中圆 心坐标是 03 D 2， E 2 ，半径 r 04_ D2E24F 2 5直线与圆的位置关系
3、设圆心到直线的距离为 d，圆的半径为 r. d 与 r 的关系 直线与圆的关系 dr 01相离 dr 02相切 dr 03相交 6两圆的位置关系 设圆 O1的半径为 r1，圆 O2的半径为 r2. 圆心距与两圆半径的关系 两圆的位置关系 |O1O2|r1r2| 01内含 |O1O2|r1r2| 02内切 |r1r2|O1O2|r1r2 05外离 热点考向探究 考向 1 直线的方程及其应用 例 1 (1)(2020 广东省深圳市一模)已知直线 l 经过 A(1，3)和 B(1，1)两点，若将直线 l 绕点 A 按逆时针方向旋转 4后到达直线 l的位置，则 l的方程为( ) Axy20 B3xy6
4、0 C2xy50 D3xy40 答案 B 解析 直线 l 经过 A(1，3)和 B(1，1)两点，直线 l 的斜率为 kAB13 112，将 直线 l 绕点 A 按逆时针方向旋转 4后到达直线 l的位置，设 l的斜率为 k，则 tan 4 k2 12k，解得 k3，l的方程为 y33(x1)，即 3xy60.故选 B. (2)(2020 山东省青岛市模拟)若直线 l1：a2x3y20，l2：2ax5ya0.p：a0，q： l1与 l2平行，则下列选项中正确的是( ) Ap 是 q 的必要非充分条件 Bq 是 p 的充分非必要条件 Cp 是 q 的充分非必要条件 Dq 是 p 的非充分也非必要条
5、件 答案 C 解析 p：a0q：l1与 l2平行，q：l1与 l2平行 2a a2 5 3 a 2 或 a0，即 a6 5或 a0.p 是 q 的充分非必要条件，故选 C. (1)在使用不同形式的直线方程时要注意其适用条件. (2)讨论两直线的位置关系时，要注意直线的斜率是否存在 1(2020 山东省潍坊市模拟)已知直线 l1：x sin y10，直线 l2：x3y cos 10， 若 l1l2，则 sin 2( ) A2 3 B 3 5 C3 5 D3 5 答案 D 解析 因为 l1l2，所以 sin 3cos 0，所以 tan 3，所以 sin 22sin cos 2sin cos sin
6、2cos2 2tan 1tan2 3 5.故选 D. 2已知直线 l：axy2a0 在 x 轴和 y 轴上的截距相等，则 a 的值是( ) A1 B1 C2 或1 D2 或 1 答案 D 解析 当 a0 时，y2 不符合题意当 a0 时，令 x0，得 y2a，令 y0， 得 xa2 a ，则a2 a a2，解得 a1 或 a2.故选 D. 考向 2 圆的方程及其应用 例 2 (1)(2020 广东省惠州市三模)已知圆 C：x2y24xa0 上存在两点关于直线 l：y kx2 对称，则 k( ) A1 B1 C0 D1 2 答案 A 解析 若圆上存在两点关于直线对称，则直线经过圆心，直线 l 经
7、过点(2，0)， 2k20，解得 k1.故选 A. (2)已知过定点P(2， 0)的直线 l 与曲线y2x2相交于A， B两点， O为坐标原点， 当AOB 的面积取到最大值时，直线 l 的倾斜角为( ) A150 B135 C120 D不存在 答案 A 解析 由 y2x2，得 x2y22(y0)，它表示以原点 O 为圆心，以 2为半径的圆的 一部分，其图形如图所示设过点 P(2，0)的直线 l 为 yk(x2)，则圆心到此直线的距离 d |2k| 1k2，因为 S AOB1 2|OA| |OB| sinAOBsin AOB，所以当AOB 2时，SAOB 取最大 值，此时圆心 O 到直线 l 的
8、距离为 1，由 |2k| 1k21，得 k 3 3 k 3 3 舍去 ，故直线 l 的倾 斜角为 150. (1)求圆的方程就是求出圆心坐标和圆的半径，一般是根据已知条件写出方程即可 (2)方程 Ax2By2DxEyF0(AB0)表示圆的充要条件是 AB0 且 D2E2 4AF0. 1圆(x2)2y24 关于直线 y 3 3 x 对称的圆的方程是( ) A(x 3)2(y1)24 B(x 2)2(y 2)24 Cx2(y2)24 D(x1)2(y 3)24 答案 D 解析 (x2)2y24 的圆心为(2，0)，设其关于 y 3 3 x 对称的点为(x，y)，则 y 2 3 3 2x 2 ， y
9、 x2 3 3 1， 解得 x1，y 3，所以所求圆的方程为(x1)2(y 3)24，故选 D. 2(2020 北京市一模)已知圆 C 与 x 轴的正半轴相切于点 A，圆心在直线 y2x 上，若点 A 在直线 xy40 的左上方且到该直线的距离等于 2，则圆 C 的标准方程为( ) A(x2)2(y4)24 B(x2)2(y4)216 C(x2)2(y4)24 D(x2)2(y4)216 答案 D 解析 圆 C 的圆心在直线 y2x 上， 可设 C(a， 2a)， 圆 C 与 x 轴正半轴相切于点 A， a0 且圆 C 的半径 r2a，A(a，0).A 到直线 xy40 的距离 d 2，d|a
10、04| 11 2，解得 a6 或 a2，A(2，0)或 A(6，0)，A 在直线 xy40 的左上方，A(2，0)， C(2，4)，r4，圆 C 的标准方程为(x2)2(y4)216.故选 D. 考向 3 直线与圆、圆与圆的位置关系 例 3 (1)(多选)(2020 山东省德州市二模)直线 ykx1 与圆 C： (x3)2(y3)236 相交 于 A，B 两点，则 AB 的长度可能为( ) A6 B8 C12 D16 答案 BC 解析 因为直线 ykx1 过定点(0，1)，故圆 C 的圆心(3，3)到直线 ykx1 的距 离的最大值为（30）2（13）25.又圆 C 的半径为 6，故弦长 AB
11、 的最小值为 262522 11.又当直线 ykx1 过圆心时弦长 AB 取最大值为直径 12， 故 AB2 11， 12. 故选 BC. (2)(2020 广东省汕头市二模)圆 x2y2m2(m0)内切于圆 x2y26x8y110，则 m _ 答案 1 解析 圆 x2y26x8y110，即(x3)2(y4)236，表示以(3，4)为圆心，半径 等于 6 的圆再由圆 x2y2m2(m0)内切于圆 x2y26x8y110，得两圆的圆心距等于 半径之差，即（30）2（40）26m，解得 m1. (1)处理直线与圆的位置关系问题时，主要利用几何法，即利用圆心到直线的距离与半径 的大小关系判断，并依据
12、圆的几何性质求解 (2)直线与圆相交涉及弦长问题时，主要依据弦长的一半、弦心距、半径的关系求解 (3)经过圆内一点，垂直于过这点的半径的弦最短. 1圆 x24xy20 与圆 x2y24x30 的公切线共有( ) A1 条 B2 条 C3 条 D4 条 答案 D 解析 x24xy20(x2)2y222，圆心坐标为(2，0)，半径为 2.x2y24x30 (x2)2y212，圆心坐标为(2，0)，半径为 1.两圆的圆心距为 4，两圆的半径和为 3，因为 43，所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共有 4 条故选 D. 2(2020 山东省烟台市模拟)已知 O 为坐标原点，点 P 在单位圆上，过
13、点 P 作圆 C：(x 4)2(y3)24 的切线，切点为 Q，则|PQ|的最小值为( ) A 3 B2 3 C2 D4 答案 B 解析 根据题意， 圆 C： (x4)2(y3)24， 其圆心 C(4， 3)， 半径 r2， 过点 P 作圆 C： (x4)2(y3)24 的切线，切点为 Q，则|PQ|PC|24，当|PC|最小时，|PQ|最小，又由 点 P 在单位圆上， 则|PC|的最小值为|OC|191614， 则|PQ|的最小值为164 12 2 3.故选 B. 真题押题 真题检验 1(2020 全国卷)点(0，1)到直线 yk(x1)距离的最大值为( ) A1 B 2 C 3 D2 答案
14、 B 解析 由 yk(x1)可知直线过定点 P(1，0)，设 A(0，1)，当直线 yk(x1)与 AP 垂直时，点 A 到直线 yk(x1)的距离最大，即为|AP| 2.故选 B. 2(2020 全国卷)若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线 2xy30 的距 离为( ) A 5 5 B2 5 5 C3 5 5 D4 5 5 答案 B 解析 由于圆上的点(2，1)在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆至少与一条坐标轴相 交，不符合题意，所以圆心必在第一象限设圆心的坐标为(a，a)，a0，则圆的半径为 a， 圆的标准方程为(xa)2(ya)2a2.由题意可得(2a)2(1a)2a2，
15、可得 a26a50，解 得 a1 或 a5.所以圆心的坐标为(1，1)或(5，5).点(1，1)，(5，5)到直线 2xy30 的距离 均为 d 2 5 2 5 5 ，所以圆心到直线 2xy30 的距离为2 5 5 .故选 B. 3(2020 全国卷)已知M：x2y22x2y20，直线 l：2xy20，P 为 l 上的 动点， 过点 P 作M 的切线 PA， PB， 切点为 A， B， 当|PM| |AB|最小时， 直线 AB 的方程为( ) A2xy10 B2xy10 C2xy10 D2xy10 答案 D 解析 圆 M 的方程可化为(x1)2(y1)24，则 M(1，1)，点 M 到直线 l
16、 的距离为 d |2112| 2212 52，所以直线 l 与圆相离依据圆的知识可知，点 A，P，B，M 四点共圆， 且 ABPM， 所以|PM| |AB|4SPAM41 2|PA| |AM|4|PA|， 而|PA| |PM|2|AM|2|PM|24， 当直线 PMl 时，|PM|最小，|PM|min 5，|PA|min1，此时|PM| |AB|最小，直线 PM 的方程为 y11 2(x1)，即 y 1 2x 1 2，由 y1 2x 1 2， 2xy20， 解得 x1， y0， 所以 P(1，0).所以以 PM 为 直径的圆的方程为(x1)(x1)y(y1)0，即 x2y2y10.两圆的方程相
17、减可得 2xy 10，即为直线 AB 的方程故选 D. 4(2020 浙江高考)设直线 l：ykxb(k0)，圆 C1：x2y21，C2：(x4)2y21，若 直线 l 与 C1，C2都相切，则 k_，b_ 答案 3 3 2 3 3 解析 由题意， 两圆圆心 C1(0， 0)， C2(4， 0)到直线 l 的距离等于半径， 即 |b| k211， |4kb| k21 1，所以|b|4kb|，所以 k0(舍去)或 b2k，解得 k 3 3 ，b2 3 3 . 金版押题 5已知圆 C：(x2)2y22，直线 l：ykx2，若直线 l 上存在点 P，过点 P 引圆的两 条切线 l1，l2，使得 l1
18、l2，则实数 k 的取值范围是( ) A0，2 3)(2 3，) B2 3，2 3 C(，0) D0，) 答案 D 解析 圆心 C(2，0)，半径 r 2，设 P(x，y)，因为两切线 l1l2，如图，即 PAPB，由 切线的性质定理，知 PAAC，PBBC，|PA|PB|，所以四边形 PACB 为正方形，所以|PC| 2，则有(x2)2y24，即点 P 的轨迹是以(2，0)为圆心，2 为半径的圆直线 l：ykx2 过定点(0，2)，直线 l 的方程即 kxy20，只要直线 l 与 P 点的轨迹(圆)有交点即可，即 大圆的圆心到直线 l 的距离小于等于半径，即 d |2k2| k212，解得
19、k0，即实数 k 的取值范 围是0，).故选 D. 专题作业 一、选择题 1与直线 3x2y70 关于 y 轴对称的直线方程为( ) A3x2y70 B3x2y70 C2x3y70 D3x2y70 答案 B 解析 由题知，与直线 3x2y70 关于 y 轴对称的直线方程是 3(x)2y70，即 3x2y70，故选 B. 2(2020 广东省深圳市模拟)若直线 l1：xay60 与 l2：(a2)x3y2a0 平行，则 l1与 l2间的距离为( ) A 2 B8 2 3 C 3 D8 3 3 答案 B 解析 由l1l2得 1 a2 a 3 6 2a， 解得a1， l1与l2间的距离d 62 3
20、12（1）2 8 2 3 ， 故选 B. 3已知直线 l：axby10 是圆 x2y26y50 的对称轴，且直线 l 与直线 xy2 0 垂直，则直线 l 的方程为( ) Axy20 Bxy20 Cxy30 Dxy30 答案 D 解析 x2y26y50 化为标准方程 x2(y3)24，其圆心为(0，3)，因为直线 l：ax by10 是圆 x2y26y50 的对称轴，故 3b10，得 b1 3，又直线 l 与直线 xy 20 垂直，故a b1，所以 a 1 3，故直线 l 的方程为 1 3x 1 3y10，即 xy30，选 D. 4圆 x2(y3)21 上的动点 P 到点 Q(2，3)的距离的
21、最小值为( ) A2 B1 C3 D4 答案 B 解析 圆 x2(y3)21 上的动点 P 到点 Q(2， 3)的距离的最小值为圆心到点 Q(2， 3)的距 离减去半径圆 x2(y3)21 的圆心坐标为 C(0，3)，半径为 r1，|CQ|r211， 圆 x2(y3)21 上的动点 P 到点 Q(2，3)的距离的最小值为 1.故选 B. 5(2020 湖北省宜昌市模拟)已知圆 C：(x1)2y24，过点(2，0)的直线 l 与圆 C 相 交，则直线 l 的斜率的取值范围为( ) A(2，2) B 2 5 5 ， C 2 5 5 ，2 5 5 D 2 3 5 ，2 3 5 答案 C 解析 如图，
22、要使直线 l 与圆 C 相交，则直线 l 的斜率大于 PA 所在直线斜率，小于 PB 所 在直线斜率PC3，AC2，kPAtan APC2 5 5 .同理求得 kPB2 5 5 .则直线 l 的 斜率的取值范围为 2 5 5 ，2 5 5 .故选 C. 6已知点 P(1，2)和圆 C：x2y2kx2yk20，过点 P 作圆 C 的切线有两条，则 k 的 取值范围是( ) AkR Bk2 3 3 C2 3 3 k0 D2 3 3 k0， 即2 3 3 k0.k2k9 k1 2 2 35 4 0 恒成立，k 的取值范围是 2 3 3 ，2 3 3 . 7(2020 天津市河北区一模)已知直线 l：
23、xay2 与圆 C：x2y24 相交于 M，N 两点， 若|MN|2 3，则直线 l 的斜率为( ) A 3 3 B 3 3 C 3 D 3 答案 B 解析 圆心为原点，即 C(0，0)，半径为 r2，圆心到直线的距离为 d 2 1a2， 222 4 1a22 3，解得 a 3，直线 l 的斜率为 k 1 a 3 3 .故选 B. 8(2020 上海市徐汇区一模)若圆 C1：x2y21 和圆 C2：x2y26x8yk0 没有公共 点，则实数 k 的取值范围是( ) A(9，11) B(25，9) C(，9)(11，) D(25，9)(11，) 答案 D 解析 化圆 C2：x2y26x8yk0
24、为(x3)2(y4)225k，则 k25，圆心坐标 为(3，4)，半径为25k，圆 C1：x2y21 的圆心坐标为(0，0)，半径为 1.要使圆 C1：x2 y21和圆C2： x2y26x8yk0没有公共点， 则|C1C2|25k1或|C1C2|25k1， 即525k1或525k1， 解得25k9或k11.实数k的取值范围是(25， 9)(11，).故选 D. 9已知圆 C：(x1)2y2r2(r0)，设 p：00)上至多有两个点到直线 x 3y30 的距离为 1， 又圆心(1，0)到直线的距离 d|1 303| 2 2，则 r213，所以 0r3，又 p：00，4m2(m1)24(m2 2m
25、)(m21)8m0，得 m0.圆(x1)2y21 上的点都在 y 轴右侧及原点，若要交点在 两个象限，则交点纵坐标的符号相反，即一个交点在第一象限，一个交点在第四象限y1y2 m 22m 1m2 0，解得2m0)内一点，过点 P 的直线 AB 交 圆 C 于 A，B 两点，若ABC 面积的最大值为 4，则正实数 m 的取值范围为_ 答案 3m 7 解析 圆的标准方程为(x1)2(ym)28，则圆心坐标为(1，m)，半径 r2 2，SABC 1 2r 2 sin ACB4sin ACB， 当ACB90时， ABC 的面积取得最大值 4， 此时ABC 为等腰直角三角形， AB 2r4， 则点C到直
26、线AB的距离等于2， 故2PC2 2， 即21m2 2 2，41m28，即 3m20， 3m0)， 由圆心在直线 3xy0，可得 3ab0，即 b3a， 又由圆与 x 轴相切，可得 r|b|3a|， 所以圆的方程为(xa)2(y3a)29a2， 则圆心到直线 xy0 的距离为 d|a3a| 2 |2a| 2， 根据圆的弦长公式，可得 |2a| 2 2 2 7 2 2 9a2， 化简得 a21，解得 a 1， 所以所求圆的方程为(x1)2(y3)29 或(x1)2(y3)29. 16(2020 山东省泰安市四模)已知直线 l：3x4ym0，圆 C：x2y24x20，则圆 C 的半径 r_； 若在
27、圆 C 上存在两点 A， B， 在直线 l 上存在一点 P， 使得APB90， 则实数 m 的取值范围是_ 答案 2 16m4 解析 由圆 x2y24x20，得(x2)2y22，所以圆 C 的半径 r 2. 当直线 l：3x4ym0 与圆 C：x2y24x20 有交点时，显然满足题意， 此时 |6m| 916 2，解得65 2m65 2， 当直线 l：3x4ym0 与圆 C：x2y24x20 无交点时，m6 5 2， “在圆 C 上存在两点 A，B，在直线 l 上存在一点 P，使得APB90”等价于“直 线 l 上存在点 P，过 P 作圆的两条切线的夹角大于等于 90” ， 设两个切点为 M，N，则MPN90， 所以MPC45， 所以 sin MPC|MC| |PC|sin45 2 2 ，所以|PC|2， 根据题意可得直线 l 上存在点 P，使得|PC|2， 等价于|PC|min2， 又|PC|的最小值为圆心 C 到直线 l 的距离， 所以|3240m| 3242 2，解得16m4. 又 m65 2， 所以16m65 2或65 2m4， 由可得实数 m 的取值范围是16m4.
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