1、第第 3 讲讲 不等式不等式 考情研析 1.利用不等式性质比较大小、利用基本不等式求最值是高考的热点 2. 一元二次不等式常与函数、数列结合考查一元二次不等式的解法和参数的取值范围 核心知识回顾 1.一元二次不等式的解法 解一元二次不等式的步骤：一化(将二次项系数化为 01正数)；二判(判断02 的符号)；三 解(解 03对应的一元二次方程)；四写(04大于取两边，小于取中间). 2一元二次不等式的恒成立问题 (1)ax2bxc0(a0)恒成立的条件是 01a0， 020 (2)ax2bxc0(a0)恒成立的条件是 03a0， 040 3分式不等式 f（x） g（x）0(0) 01f(x)g(
2、x)0(0)； f（x） g（x）0(0) 02f（x）g（x）0（0）， 03g（x）0 4基本不等式 (1)ab 2 01 ab(a，b(0，)，当且仅当 02ab 时取等号 (2)在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，满足基本不等式中 “正”“定”“等”的条件 热点考向探究 考向 1 不等式的性质及解法 例 1 (1)(多选)十六世纪中叶，英国数学家雷科德在砺智石一书中首先把“”作为 等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号 的引入对不等式的发展影响深远若 a，b，cR，则下列命题正确的是( ) A若 ab0 且 a 1 b B若
3、0a1，则 a3b0，则b1 a1 b a D若 cba 且 ac0，则 cb2 1 b不成立B 项，若 0a1，则 a 3aa(a21)0， a3b0， 则a(b1)b(a1)ab0， a(b1)b(a1)， b1 a1 b a， 正确；D 项，若 cba 且 ac0，c0，而 b 可能为 0，因此 cb21 恒成立，则实数 t 的取值范围是( ) A(， 3)( 3，) B ， 3 3 3 3 ， C( 3，) D 3 3 ， 答案 B 解析 |a|1，|b|2，|ab| 7，(ab)2a2b22a b7，a b1，又|ka tb|1，(katb)21，即 k2a2t2b22kta bk2
4、4t22kt1 对于任意实数 k 恒成立，k22kt 4t210 对于任意实数 k 恒成立，(2t)24(4t21)0，t 3 3 ，故选 B. (3)(2020 四川省成都模拟)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f(x)x22x，则 不等式 f(x)x 的解集用区间表示为_ 答案 (3，0)(3，) 解析 设 x0，由题意可得 f(x)f(x)(x)22(x)x22x，f(x) x22x， 故当 xx， 可得 x0， x22xx或 xx，求得 x3 或3xx 的解集为(3，0)(3，). (1)利用不等式的性质解决问题常用两种方法：一是直接使用不等式的性质逐个验证；二 是
5、利用特殊值法排除错误答案 利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件 (2)一元二次不等式的常见解法是利用“三个二次”之间的关系，借助二次函数图象得到 其解集 1 (多选)(2020 海南省高三三模)设 a， b， c 为实数且 ab， 则下列不等式一定成立的是( ) A1 a 1 b B2020ab1 Cln aln b Da(c21)b(c21) 答案 BD 解析 对于 A，若 ab0，则1 a0，所以 2020 ab1， 故 B 正确；对于 C，函数 yln x 的定义域为(0，)，而 a，b 不一定是正数，所以 C 错误； 对于 D，因为 c210，所以 a(c21)b(c
6、21)，所以 D 正确故选 BD. 2(多选)(2020 山东省淄博模拟)设x表示不小于实数 x 的最小整数，则满足关于 x 的不 等式x2x120 的解可以为( ) A 10 B3 C4.5 D5 答案 BC 解析 不等式x2x120 可化为(x4)(x3)0，解得4x3，又x表示不 小于实数 x 的最小整数，且 104，33，4.54，55，所以满足不等式x2 x120 的解可以为 B，C.故选 BC. 3 定义： 区间a， b， (a， b， (a， b)， a， b)的长度均为 ba， 若不等式 1 x1 2 x2m(m0) 的解集是互不相交区间的并集，设该不等式的解集中所有区间的长度
7、之和为 l，则( ) A当 m0 时，l m22m9 m B当 m0 时，l 3 m C当 m0 时，l m22m9 m D当 m0 时，l 3 m 答案 B 解析 当 m0 时， 1 x1 2 x2m mx 2（33m）x2m4 （x1）（x2） 0， 令 f(x)mx2(33m)x2m40 的两根为 x1， x2， 且 x1x2， 则m（xx 1）（xx2） （x1）（x2） 0， 且 x1x233m m 3 3 m. f(1)m33m2m410， f(2)4m66m2m420， 1x12x2， 不等式的解集为(1，x1(2，x2， lx11x22x1x233 3 m3 3 m. 当 m0
8、，f(2)0， 可得 x11x20，0)，则 的最小值为( ) A5 4 B2 C3 D7 2 答案 B 解析 如图，连接 AP，P 为 BC 的中点，AM AB ，AN AC ，且 0，0，AP 1 2AB 1 2AC 1 2AM 1 2AN ，且 M，P，N 三点共线， 1 2 1 21，() 1 2 1 2 1 2 2 2 1 212 2 22，当且仅当 2 2，即 1 时取等号， 的最小值为 2.故选 B. (2)若曲线yx32x22在点A处的切线方程为y4x6， 且点A在直线mxny10(其 中 m0，n0)上，则 1 m 2 n的最小值为( ) A4 2 B32 2 C64 2 D
9、8 2 答案 C 解析 设 A(x0，y0)，则 y3x24x3x2 04x04，x02 或 x02 3，分别将 x0 的值代 入方程 yx32x22， 得 x 02， y02 或 x02 3， y022 27 因为 A(x0， y0)在 y4x6 上， 所以 x 02， y02，即 2m2n10，mn1 2，从而 1 m 2 n2 1 m 2 n (mn)2 3 n m 2m n 2 32 n m 2m n 6 4 2，当且仅当 n 2m，即 m 21 2 ，n2 2 2 时取等号，即 1 m 2 n的最小值为 64 2，故 选 C. (3)(2020 江苏省七市高三第三次调研)已知 x1，
10、y1，xy10，则 1 lg x 4 lg y的最小值是 _ 答案 9 解析 因为 x1，y1，xy10，所以 lg xlg y1，则 1 lg x 4 lg y 1 lg x 4 lg y (lg xlg y) 5lg y lg x 4lg x lg y 52 lg y lg x 4lg x lg y 9，当且仅当lg y lg x 4lg x lg y ，即 lg y2lg x 且 xy10，即 x 310，y3100时取等号 利用基本不等式求最值的方法 (1)利用基本不等式求最值的关键是构造和为定值或积为定值 (2)有些题目并不满足直接用基本不等式求最值的条件，但可以通过添项、分离常数、
11、平 方等手段使之能运用基本不等式，常用方法还有：拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整 体代换法等 1设 x0，y0，且 2xy6，则 9x3y有( ) A最大值 27 B最小值 27 C最大值 54 D最小值 54 答案 D 解析 因为 x0，y0，且 2xy6，所以 9x3y29x3y232xy2 3654，当 且仅当 x3 2，y3 时，9 x3y 有最小值 54. 2 (2020 湖南省郴州市高三一模)已知函数 f(x)xsin x， 若正实数 a， b 满足 f 1 a f 2 b1 0，则 3a a1 4b b2的最小值为( ) A7 B74 3 C54 3 D72 3 答案 B
12、解析 f(x)xsin x，f(x)xsin xf(x)，即 f(x)f(x)0，正实数 a，b 满足 f 1 a f 2 b1 0， 1 a 2 b1，b 2a a10，a1，则 3a a1 4b b27 3 a1 8 b27 3 a1 8 2a a12 7 3 a14(a1)74 3，当且仅当 4(a1) 3 a1，即 a1 3 2 时取 等号，所以 3a a1 4b b2的最小值为 74 3.故选 B. 3 (2020 山东威海模拟)若 x(0， )， 4x21 x m， 则实数m的取值范围为_ 答案 (，4 解析 因为 x0，则4x 21 x 4x1 x2 4x 1 x4，当且仅当 4
13、x 1 x，即 x 1 2时取等号，因 为4x 21 x m，所以 4m，即实数 m 的取值范围为(，4. 真题押题 真题检验 1(多选)(2020 新高考卷)已知 a0，b0，且 ab1，则( ) Aa2b21 2 B2ab1 2 Clog2alog2b2 D a b 2 答案 ABD 解析 对于A， a2b2a2(1a)22a22a12 a1 2 2 1 2 1 2， 当且仅当ab 1 2时， 等号成立， 故 A 正确； 对于 B， ab2a11， 所以 2ab211 2， 故 B 正确； 对于 C， log2a log2blog2ablog2 ab 2 2 log21 42，当且仅当 a
14、b 1 2时，等号成立，故 C 不正确； 对于 D，因为( a b)212 ab1ab2，所以 a b 2，当且仅当 ab1 2时， 等号成立，故 D 正确故选 ABD. 2(2020 全国卷)已知 5584，13485.设 alog53，blog85，clog138，则( ) Aabc Bbac Cbca Dcab 答案 A 解析 a，b，c(0，1)， a b log53 log85 lg 3 lg 5 lg 8 lg 5 1 （lg 5）2 lg 3lg 8 2 2 lg 3lg 8 2lg 5 2 lg 24 lg 25 2 1，ab.由 blog85，得 8b5，由 5584，得 8
15、5b84，5b4，可得 b4 5.由 c log138，得 13c8，由 13485，得 134135c，5c4，可得 c4 5.综上所述，abc.故选 A. 3(2020 浙江高考)已知 a，bR 且 ab0，若(xa)(xb)(x2ab)0 在 x0 上恒成 立，则( ) Aa0 Cb0 答案 C 解析 因为 ab0，所以 a0 且 b0，设 f(x)(xa) (xb)(x2ab)，则 f(x)的零点为 x1a，x2b，x32ab.当 a0 时，x2x3，x10，要使 f(x)0，必有 2aba，且 b0， 即 ba，且 b0，所以 b0；当 a0 时，x2x3，x10，要使 f(x)0，
16、必有 b0.综上可 得 b0.故选 C. 4(2020 江苏高考)已知 5x2y2y41(x，yR)，则 x2y2的最小值是_ 答案 4 5 解析 5x2y2y41，y0 且 x21y 4 5y2 .x2y21y 4 5y2 y2 1 5y2 4y2 5 2 1 5y2 4y2 5 4 5，当且仅当 1 5y2 4y2 5 ，即 x2 3 10，y 21 2时取等号x 2y2 的最小值为4 5. 5(2020 天津高考)已知 a0，b0，且 ab1，则 1 2a 1 2b 8 ab的最小值为_ 答案 4 解析 a0， b0， ab0， 又 ab1， 1 2a 1 2b 8 ab ab 2a a
17、b 2b 8 ab ab 2 8 ab 2 ab 2 8 ab4， 当且仅当 ab4， 即 a2 3， b2 3， 或 a2 3， b2 3 时，等号成立故 1 2a 1 2b 8 ab的最小值为 4. 6(2019 天津高考)设 x0，y0，x2y5，则（x1）（2y1） xy 的最小值为_ 答案 4 3 解析 x0，y0， xy0. x2y5，（x1）（2y1） xy 2xyx2y1 xy 2xy6 xy 2 xy 6 xy2 124 3. 当且仅当 2 xy 6 xy时取等号 （x1）（2y1） xy 的最小值为 4 3. 金版押题 7已知函数 f(x)|lg (x1)|，若 1ab 且
18、 f(a)f(b)，则实数 2ab 的取值范围是( ) A32 2，) B(32 2，) C6，) D(6，) 答案 A 解析 作出函数 f(x)|lg (x1)|的图象如图所示 1ab 且 f(a)f(b)，则 b2，1a2，lg (a1)lg (b1)，即 1 a1b1，可 得 abab0，则 a b b1.2ab 2b b1b （2b2）2 b1 b11(b1) 2 b1 32 23，当且仅当 b 21 时取等号满足 b2，故选 A. 8定义域为a，b的函数 yf(x)图象的两个端点为 A，B，向量ON OA (1)OB ， M(x，y)是 f(x)图象上任意一点，其中 xa(1)b，若
19、不等式|MN|k 恒成立，则称函数 f(x) 在a，b上满足“k 范围线性近似”，其中最小正实数 k 称为该函数的线性近似阈值若函数 y 2 x定义在1，2上，则该函数的线性近似阈值是( ) A2 2 B32 2 C32 2 D2 2 答案 B 解析 作出函数 y2 x的图象，它的图象在1，2上的两个端点分别为 A(1，2)，B(2，1). 所以直线 AB 的方程为 xy30， 设 M(x，y)是曲线 y2 x上的一点，x1，2， 其中 x1(1)22， 故 M 点的坐标为 2， 2 2 . 由ON OA (1)OB ，可知 A，B，N 三点共线， 所以 N 点的坐标满足直线 AB 的方程 x
20、y30， 又OA (1，2)，OB (2，1)， 则ON (2(1)，2(1)， 故 N 点的坐标为(2，1). M，N 两点的横坐标相等， 故|MN| 2 2（1） ，结合图象，知|MN|1 2 2. 因为 122，所以 01. 故|MN|1 2 2(2) 2 23 （2） 2 2 32 23. 故当且仅当 2 2 2，即 2 2时等号成立 故|MN|32 2恒成立 所以该函数的线性近似阈值是 32 2.故选 B. 专题作业 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知不等式 x22x30 的解集为 A，不等式 x2x60 的解集为 B，不等式 x2ax b0 的解
21、集为 AB，则 ab 等于( ) A3 B1 C1 D3 答案 A 解析 由题意，得 Ax|1x3，Bx|3x2，所以 ABx|1x0”是“ ab 2 2 ab” 的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 答案 A 解析 若 ab0，则 ab 2 2 aba 2b22ab 4 （ab） 2 4 0，即 ab 2 2 ab；若 ab 2 2 ab，即 ab 2 2 aba 2b22ab 4 （ab） 2 4 0，则 ab0 或 ab0”是“ ab 2 2 ab”的充分不必要条件故选 A. 3若正实数 x，y 满足 x2y2xy80，则 x2y 的最小值
22、为( ) A4 B9 2 C5 D11 2 答案 A 解析 正实数 x，y 满足 x2y2xy80，x2y x2y 2 2 80，当且仅当 x 2y 时取等号.设 x2yt0，t1 4t 280，t24t320，即(t8) (t4)0，t4， 故 x2y 的最小值为 4.故选 A. 4(2020 陕西省汉中二模)已知直线 2axby20(a0，b0)平分圆 C：x2y22x4y 10 的圆周长，则1 a 2 b的最小值为( ) A4 2 B32 2 C4 D6 答案 B 解析 由题意，得圆的圆心(1，2)在直线 2axby20(a0，b0)上，2a2b2 0(a0，b0)，ab1，1 a 2
23、b(ab) 1 a 2 b 3b a 2a b 32 b a 2a b 32 2，当且 仅当b a 2a b ，即 a 21，b2 2时，1 a 2 b的最小值为 32 2.故选 B. 5已知二次函数 f(x)ax2(a2)x1(aZ)，且函数 f(x)在(2，1)上恰有一个零点， 则不等式 f(x)1 的解集为( ) A.(，1)(0，) B(，0)(1，) C.(1，0) D(0，1) 答案 C 解析 f(x)ax2(a2)x1，(a2)24aa240，函数 f(x)ax2(a2)x 1 必有两个不同的零点，又 f(x)在(2，1)上有一个零点，则 f(2)f(1)0，(6a5)(2a 3
24、)0，解得3 2a 5 6.又 aZ，a1.不等式 f(x)1，即x 2x0，解得1x 0. 6若正数 x，y 满足 x26xy10，则 x2y 的最小值是( ) A2 2 3 B 2 3 C 3 3 D2 3 3 答案 A 解析 因为正数x， y满足x26xy10， 所以y1x 2 6x .由 x0， y0，即 x0， 1x2 6x 0， 解得0x0 对任意的 a1，3恒成立的 x 的取值集合 为 A，不等式 mx2(m1)xm0 对任意的 x1，3恒成立的 m 的取值集合为 B，则有( ) AA RB BA B CB RA DB A 答案 D 解析 令 f(a)(2x2x)a3，则关于 a
25、 的一次函数必单调，则 f（3）0， f（1）0，解得 x1，即 A ，3 2 (1，).m(x2x1)x 对任意的 x1，3恒成立m x x2x1对 任意的 x1，3恒成立，又 y x x2x1 1 x1 x1 (1x3)单调递减，故 ymax1，故 m1， 即 B(1，).综上 B A，故选 D. 二、选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9若1 a 1 b0，则下列不等式正确的是( ) A 1 ab0 Ca1 ab 1 b Dln a2ln b2 答案 AC 解析 由1 a 1 b0， 可知 ba0.A 中，因为 ab0，所以 1 ab 1 ab，故 A 正确；B 中， 因
26、为 baa0， 故b|a|， 即|a|b0， 故 B 错误； C 中， 因为 ba0， 又1 a 1 b 1 b0，所以 a 1 ab 1 b，故 C 正确；D 中，因为 baa20， 而 yln x 在定义域(0， )上为增函数， 所以 ln b2ln a2， 故 D 错误 故 选 AC. 10 九章算术中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？” 魏晋时期数学家刘徽在其九章算术注中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如 图 1，用对角线将长和宽分别为 b 和 a 的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一 个内接正方形(黄)和两个小直角三角形(朱、青).将三种
27、颜色的图形进行重组，得到如图 2 所示 的矩形，该矩形长为 ab，宽为内接正方形的边长 d.由刘徽构造的图形可以得到许多重要的 结论，如图 3.设 D 为斜边 BC 的中点，作直角三角形 ABC 的内接正方形对角线 AE，过点 A 作 AFBC 于点 F，则下列推理正确的是( ) A由图 1 和图 2 面积相等可得 dab ab B由 AEAF 可得 a2b2 2 ab 2 C由 ADAE 可得 a2b2 2 2 1 a 1 b D由 ADAF 可得 a2b22ab 答案 BCD 解析 由题图 1 和题图 2 面积相等，得 ab(ab)d，则 d ab ab，A 错误；由题意知题 图 3 面积
28、为1 2ab 1 2 a2b2AF，AF ab a2b2，AD 1 2BC 1 2 a2b2，设题图 3 中正方形 的边长为 x，由三角形相似，得ax x x bx，解得 x ab ab，则 AE 2ab ab，可以化简判断 B， C，D 正确故选 BCD. 11(2020 武汉部分学校联考)若 0ab4 Blg alg b2 Da2c2 答案 BC 解析 解法一：因为 0abc，abc1，所以 0a1，ab0，0ab212，所以 A 错误；对于 B，lg alg blg ab2 abc2，所以 C 正确；对于 D，因为 0abc， abc1，所以 0a b1，c 1 ab， 所以 a2c2
29、a2c2 a b，因为 2 a b2，所以 D 错误故选 BC. 解法二：(特殊值法)因为 0abc，abc1，令 a1 2，b1，c2，则 2 1 22 12 24， A 错误；令 a2 3，b1，c 3 2，则 2 3 2 3 2 35 182，D 错误故选 BC. 12(2020 山东部分重点中学联考)若 ab0，则下列不等式一定成立的是( ) Aa1 ab 1 b Ba1 b0 D a b c b a c 答案 BD 解析 解法一：对于 A，设函数 g(x)x1 x，x(，1)，则 g(x)1 1 x20，所以函 数 g(x)在(，1)上为增函数，所以当 ab1 时，a1 a0，所以函
30、数 f(x)在(，1)上为增函数，所以当 ab1 时，a1 ab 1 b，即 a 1 bb 1 a，故 B 正确； 对于 C，因为 a0，但不能确定 ba 与 1 的大小关系，故 ln (ba)与 0 的大小 关系不能确定， 故 C 错误； 对于 D， 由 ab1， 0 b a0， 所以 a b c 1 b a c 0， 故 D 正确故选 BD. 解法二：(利用取特殊值法)令 a3，b2，代入各选项，验证可得正确的选项为 B， D. 三、填空题 13若 13，42，则 |的取值范围是_ 答案 (3，3) 解析 42，0|4，4|0，3|1)的最小值是_ 答案 2 32 解析 x1，x10，yx
31、 213 x1 （x1）（x1）3 x1 x1 3 x1x1 3 x122 32(当且仅当 x1 3时取“”)，即函数 y x22 x1 (x1)的最小值是 2 32. 15已知存在实数 a 满足 ab2aab，则实数 b 的取值范围是_ 答案 (，1) 解析 ab2aab， a0， 当 a0 时， b21b， 即 b 21， b1， 解得 b1； 当 a0 时， b21b， 即 b 21， 无解综上可得 b1. 16设 a0，若不等式cos2x(a1)cosxa20 对于任意的 xR 恒成立，则 a 的取值 范围是_ 答案 a2 解析 令 tcos x1，1，则不等式 f(t)t2(a1)ta20 对 t1，1恒成立，因 此 f（1）0， f（1）0 aa20， 2aa20，a0，a2.
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