1、第 3 讲 分类与整合思想 思想方法解读 分类与整合思想就是将一个复杂的数学问题分解成若干个简单的基础 问题，通过对基础问题的解答，解决原问题的思维策略实质上就是“化整为零，各个击破， 再积零为整”的策略，使用分类与整合思想应明白这样几点：一是引起分类整合的原因；二是 分类中整合的原则，不重不漏，分类标准统一；三是明确分类整合的步骤；四是将各类情况总 结归纳 常见的分类整合问题有以下几种：由概念引起的分类整合；由性质、定理、公式的限 制条件引起的分类整合； 由数学运算引起的分类整合； 由图形的不确定性引起的分类整合； 由参数的变化引起的分类整合 热点题型探究 热点 1 公式、定理的分类整合法
2、例 1 (1)(2020 全国卷) xy 2 x (xy)5的展开式中 x3y3的系数为( ) A5 B10 C15 D20 答案 C 解析 (xy)5展开式的通项公式为 Tr1Cr 5x 5ryr(rN 且 r5)，所以 xy 2 x 与(xy)5 展开式的乘积可表示为 xTr1xCr 5x 5ryrCr 5x 6ryr 或y 2 x Tr1y 2 x Cr 5x 5ryrCr 5x 4ryr2.在 xTr 1 Cr 5x 6ryr 中，令 r3，可得 xT4C3 5x 3y310 x3y3，该项中 x3y3 的系数为 10，在y 2 x Tr1Cr 5x 4ryr 2 中，令 r1，可得y
3、 2 x T2C1 5x 3y35x3y3，该项中 x3y3 的系数为 5，所以 x3y3的系数为 105 15.故选 C. (2)(2020 山西省大同市高三模拟)若等差数列an的前 n 项和为 Sn，已知 a19，a2Z， 且 SnS5(nN*)，则|a1|a2|an|_ 答案 10nn2，n5， n210n50，n5 解析 等差数列an的前 n 项和为 Sn， a19，a2Z，且 SnS5， a594d0，a695d5 时， |a1|a2|an|2(a1a2a3a4a5)(10nn2)2(10552)n210n n210n50， |a1|a2|an| 10nn2，n5， n210n50，
4、n5. 解决由概念、法则、公式引起的分类整合问题的步骤 第一步：确定需分类的目标与对象，即确定需要分类的目标，一般把需要用到公式、定理 解决问题的对象作为分类目标 第二步：根据公式、定理确定分类标准运用公式、定理对分类对象进行区分 第三步：分类解决“分目标”问题对分类出来的“分目标”分别进行处理 第四步：汇总“分目标”将“分目标”问题进行汇总，并作进一步处理 1已知数列an的前 n 项和 Sn满足 Sn2an1(nN*)，且 a11.则数列an的通项公式是 _ 答案 an 1，n1， 1 2 3 2 n2 ，n2 解析 当 n1 时，由已知可得 a12a2，即 a21 2a1 1 2. 当 n
5、2 时，由已知 Sn2an1(nN*)，可得 Sn12an(n2，nN*)，两式相减得 an 2an12an2an13an，即a n1 an 3 2，所以数列an从第二项开始成一个首项为 a2 1 2，公比为 3 2的等比数列，故当 n2，nN *时有 an1 2 3 2 n2 . 所以 an 1，n1， 1 2 3 2 n2 ，n2. 2已知锐角ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，若 b 是1 2，2 的等比中 项，c 是 1，5 的等差中项，则 a 的取值范围是_ 答案 (2 2， 10) 解析 因为 b 是1 2，2 的等比中项，所以 b 1 221. 因为 c
6、是 1，5 的等差中项，所以 c15 2 3. 因为ABC 为锐角三角形， 当 a 为最大边时，有 1 232a20， a3， 13a， 解得 3a 10； 当 c 为最大边时，有 1 2a2320， a13， a3， 解得 2 2a3. 由得 2 2a 10，所以实数 a 的取值范围是(2 2， 10). 热点 2 位置关系的分类整合法 例 2 (1)设 A，B 是椭圆 C：x 2 3 y2 m1 长轴的两个端点，若 C 上存在点 M 满足AMB 120，则 m 的取值范围是( ) A(0，19，) B(0， 39，) C(0，14，) D(0， 34，) 答案 A 解析 如图，设 DE 是
7、椭圆的短轴，利用动态分析，或过 A，D，B 作圆 F，根据圆周角 定理， 易知AMBADB.若 C 上存在点 M 满足AMB120， 则ADB120， 所以|OB| |OD| tan ODBtan 60 3.当焦点在 x 轴上时，|OB| 3，|OD| m， 3 m 3，解得 00 得 t212，又 t0，xB3t 2 2 (3，3).综上，点 B 的横坐标的取值范围为(3，3. 2若函数 f(x)x(xa)在 x1，1上的最大值为 4，则 a 的值为_ 答案 5 或5 解析 函数 f(x) xa 2 2 a 2 4 的图象的对称轴为 xa 2，应分 a 21， 即 a2 三种情形讨论 当 a
8、2 时，由图 3 可知 f(x)在1，1上的最大值为 f(1)a1，由 a14，得 a5， 满足题意 综上可知，a5 或5. 热点 3 含参数问题的分类整合法 例 3 (2020 海南省高三三模)已知函数 f(x)ln (x1)x1 2x 2ax3，aR. (1)若 a0，证明：当1x0 时，f(x)0 时，f(x)0； (2)若 x0 是 f(x)的极大值点，求 a 的值 解 (1)证明：当 a0 时，f(x)ln (x1)x1 2x 2，定义域为(1，). f(x) 1 x11x x2 x1. 当 x1 时，f(x)0， 所以 f(x)在(1，)上单调递增 又因为 f(0)0， 所以当1x
9、0 时，f(x)0 时，f(x)0. (2)若 a0，由(1)知，当 x0 时，f(x)ln (x1)x1 2x 20f(0). 这与 x0 是 f(x)的极大值点矛盾 若 a1. 令 f(x)0，可得 x0 或 x3a1 3a . 若 a1 3，则 3a1 3a 0. 当1x0， 当 x3a1 3a 时，f(x)0. 所以 f(x)在 3a1 3a ， 上单调递减，与 x0 是 f(x)的极大值点矛盾 若1 3a0. 当1x3a1 3a 时，f(x)0. 所以 f(x)在 1，3a1 3a 上单调递增，与 x0 是 f(x)的极大值点矛盾 若 a1 3，则 3a1 3a 0. 当1x0，当
10、x0 时，f(x)0). (1)设 F(x)g（x） f（x），讨论函数 F(x)的单调性； (2)若 0g(x)在(0，)上恒成立. 解 (1)F(x)g（x） f（x） ax2x1 ex ， F(x)ax 2（2a1）x ex ax x2a1 a ex . 若 a1 2，F(x) x2 2ex 0，F(x)在 R 上单调递减. 若 a1 2，则 2a1 a 0，当 x2a1 a 时，F(x)0，当 0x0， F(x)在(，0)， 2a1 a ， 上单调递减，在 0，2a1 a 上单调递增 若 0a1 2， 则 2a1 a 0， 当 x0 时， F(x)0， 当2a1 a x0.F(x) 在 ，2a1 a ，(0，)上单调递减，在 2a1 a ，0 上单调递增 (2)证明：00 恒成立 h(x)在(0，)上单调递增 又 h(0)0，x(0，)时，h(x)0， h(x)在(0，)上单调递增，h(x)h(0)0， ex1 2x 2x10，ex1 2x 2x1， ex1 2x 2x1ax2x1， f(x)g(x)在(0，)上恒成立.
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