2021年高考必备公式、结论、方法、细节六：圆锥曲线的性质及应用

1、高考必备公式、结论、方法、细节六：圆锥曲线的性质及应用 一、必备公式 1椭圆有关知识： (1)椭圆定义：动点 P 满足：| PF1| PF2| ，|F1F2|2c 且 (其中 a0，c0，且 a，c 为常数) (2)椭圆标准方程和几何性质 标准方程 x2 a2 y2 b21(ab0) y2 a2 x2 b21(ab0) 图形 性 质 范围 a a，b b b b，a a 对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点 A1(a,0)，A2(a,0)，B1(0，b)，B2(0，b) A1(0，a)，A2(0，a)，B1(b,0)，B2(b,0) 轴 长轴 A1A2的长为 ；短轴 B1B2的长为 焦

2、距 |F1F2|2c 离心率 ec a a，b，c 的关系 2双曲线有关知识 (1)双曲线定义：动点 P 满足：|PF1|PF2| ，|F1F2|2c 且 (其中 a，c 为常数且 a0，c0). (2)双曲线标准方程和几何性质 标准方程 x2 a2 y2 b21 (a0，b0) y2 a2 x2 b21 (a0，b0) 图形 性质 范围 xa 或 xa，yR xR，ya 或 ya 对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点 A1(a,0)，A2(a,0) A1(0，a)，A2(0，a) 渐近线 y y 离心率 ec a，e ，其中 c a2b2 实虚轴 实轴|A1A2|2a；虚轴|B1B2

3、|2b； a、b、c 的关系 (ca0，cb0) 3抛物线有关知识： (1)抛物线定义：|PF|PM|，点 F 不在直线 l 上，PMl 于 M. (2)抛物线的标准方程与几何性质 标准方程 y22px (p0) y22px(p0) x22py(p0) x22py(p0) p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离 图形 顶点 O(0,0) 对称轴 y0 x0 焦点 F F( ) p 2，0 F F( ) 0，p 2 离心率 e1 准线方程 xp 2 yp 2 范围 x0，yR x0，yR y0，xR y0，xR 开口方向 向右 向左 向上 向下 4重要公式 (1)弦长公式：|AB| 1 1

4、 k2|y1y2|； (2)韦达定理：x1x2 ，x1x2 . 二、必备结论 1轨迹类型：方程x 2 m y2 n1，当 mn0 时表示 ；当 mn0 或 nm0 时表示 ；当 时表示双曲线 2椭圆结论： (1)如图 1：焦点 F1AF2周长 C F1AF2 、面积 S F1AF2 ； ABF2的周长为：CABF2 ； 通径：|AC| (椭圆、双曲线通用)； 图 1 (2)如图 2：点 P 是椭圆上一动点，则有：动点角范围：0A1PA2A1BA2； 焦半径范围： |PF1| (长轴顶点到焦点最近和最远，即远、近地点)； |PO|范围：b|PO|a(长、短轴顶点到原点最远、最近； 斜率：kPA1

5、kPA2 . (3) 点 P(x0，y0)和椭圆的关系： 图 2 点 P 在椭圆内 x20 a2 y20 b2 1. 点 P 在椭圆上 x20 a2 y20 b21. 点 P 在椭圆外 x20 a2 y20 b21. (4)椭圆扁平程度：因为 ec a c2 a2 a2b2 a2 1 b a 2，所以 e 越大，椭圆越 ；e 越小，椭圆越 3双曲线结论： (1)如图 3：动点 P 到同侧焦点 F2的距离最小值为：|PF2|最小|A2F2| ； 焦点到渐近线的距离为：|F2M| ； (2)渐近线求法结论：可直接令方程x 2 a2 y2 b2(0)等号右边的常数为 ，化简解得； 图 3 4抛物线结

6、论： 如图 4：抛物线 y22px(p0)焦点弦 AB，设 A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB 的中点 E，准线为 l. (1)焦半径问题：焦半径：|AF|AD| ，|BF|BC| (随焦点位置变动而改变)； 焦点弦：|AB| (其中， 为直线 AB 的倾斜角)； 1 |AF| 1 |BF| 2 p； (2)A、B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即 x1 x2 ，y1 y2 (随焦点动而变)； 图 4 (3)其他结论：SOAB (其中， 为直线 AB 的倾斜角)； 以 AB 为直径的圆必与 相切于点 H 三、必备方法 1直线与圆锥曲线相关问题： (1)位置关系：判别式法，即将直线方

7、程与圆锥曲线方程联立消去一个变量(如 y)得出方程 Ax2BxC0： 有两个交点(相交)； 0有一个交点(相切)； 0没有交点(相离) (2)弦长问题：弦长公式韦达定理，即|AB| 1 1 k2 | y1y2|. (3)中点问题： 法，即设点代入，然后作差，可以解决中点坐标与直线 之间的关系. 2 与角有关的关联性问题： 直角(垂直)数量积 a b 或斜率 k1 k2 或余弦定理 cos 0 或点共 ； 锐角a b0 或余弦定理 cos ； 钝角a b0 或余弦定理 cos ； 3 巧设直线： 反设直线法， 即过 x 轴上一点(a,0)的直线可设为 x ， 这样可避免对直线斜率存在性的讨论 4

8、巧设共渐近线双曲线：与双曲线x 2 a2 y2 b21 有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为 (0) 四、必备细节 1易混淆：椭圆 a2b2c2，而双曲线 c2a2b2； 双曲线离心率 e(1,)，而椭圆离心率 e(0,1) 2易忽视：椭圆、双曲线的焦点位置； 抛物线为化成标准方程； 设直线未讨论斜率存在性； 解决直线线与曲线的方程求参数值或探究问题时，忘记判别式 这一隐含条件 高考必备公式、结论、方法、细节六：圆锥曲线的性质及应用 一、必备公式 1椭圆有关知识： (1)椭圆定义：动点 P 满足：| PF1| PF2|2a，|F1F2|2c 且 a c (其中 a0，c0，且 a，c 为常数)

9、 (2)椭圆标准方程和几何性质 标准方程 x2 a2 y2 b21(ab0) y2 a2 x2 b21(ab0) 图形 性 质 范围 axa，byb bxb，aya 对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点 A1(a,0)，A2(a,0)，B1(0，b)，B2(0，b) A1(0，a)，A2(0，a)，B1(b,0)，B2(b,0) 轴 长轴 A1A2的长为 2a；短轴 B1B2的长为 2b 焦距 |F1F2|2c 离心率 ec a(0,1) a，b，c 的关系 a2b2c2 2双曲线有关知识 (1)双曲线定义：动点 P 满足：|PF1|PF2|2a，|F1F2|2c 且 ac (其中 a

10、，c 为常数且 a0，c0). (2)双曲线标准方程和几何性质 标准方程 x2 a2 y2 b21 (a0，b0) y2 a2 x2 b21 (a0，b0) 图形 性质 范围 xa 或 xa，yR xR，ya 或 ya 对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点 A1(a,0)，A2(a,0) A1(0，a)，A2(0，a) 渐近线 y b ax y a bx 离心率 ec a，e(1，)，其中 c a2b2 实虚轴 实轴|A1A2|2a；虚轴|B1B2|2b； a、b、c 的关系 c2a2b2 (ca0，cb0) 3抛物线有关知识： (1)抛物线定义：|PF|PM|，点 F 不在直线 l

11、上，PMl 于 M. (2)抛物线的标准方程与几何性质 标准方程 y22px (p0) y22px(p0) x22py(p0) x22py(p0) p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离 图形 顶点 O(0,0) 对称轴 y0 x0 焦点 F( ) p 2，0 F( ) p 2，0 F( ) 0，p 2 F( ) 0，p 2 离心率 e1 准线方程 xp 2 xp 2 yp 2 yp 2 范围 x0，yR x0，yR y0，xR y0，xR 开口方向 向右 向左 向上 向下 4重要公式 (1)弦长公式：|AB| 1k2|x1x2|1 1 k2|y1y2|； (2)韦达定理：x1x2 b

12、a，x1x2 c a. 二、必备结论 1轨迹类型：方程x 2 m y2 n1，当 mn0 时表示圆；当 mn0 或 nm0 时表示椭圆；当 mn0 时表示双曲线 2椭圆结论： (1)如图 1：焦点 F1AF2周长 C F1AF22a2c、面积 S F1AF2b2 tan 2； ABF2的周长为：CABF24a； 通径：|AC|2b 2 a (椭圆、双曲线通用)； 图 1 (2)如图 2：点 P 是椭圆上一动点，则有：动点角范围：0A1PA2A1BA2； 焦半径范围：ac|PF1|ac (长轴顶点到焦点最近和最远，即远、近地点)； |PO|范围：b|PO|a(长、短轴顶点到原点最远、最近； 斜率

13、：kPA1kPA2b 2 a2. (3) 点 P(x0，y0)和椭圆的关系： 图 2 点 P 在椭圆内 x20 a2 y20 b21. (4)椭圆扁平程度：因为 ec a c2 a2 a2b2 a2 1 b a 2，所以 e 越大，椭圆越扁；e 越小，椭圆越圆 3双曲线结论： (1)如图 3：动点 P 到同侧焦点 F2的距离最小值为：|PF2|最小|A2F2|ca； 焦点到渐近线的距离为：|F2M|b； (2)渐近线求法结论：可直接令方程x 2 a2 y2 b2(0)等号右边的常数为 0，化简解得； 图 3 4抛物线结论： 如图 4：抛物线 y22px(p0)焦点弦 AB，设 A(x1，y1)

14、、B(x2，y2)，AB 的中点 E，准线为 l. (1)焦半径问题：焦半径：|AF|AD|x1p 2，|BF|BC|x2 p 2 (随焦点位置变动而改变)； 焦点弦：|AB|x1x2p 2p sin2 (其中， 为直线 AB 的倾斜角)； 1 |AF| 1 |BF| 2 p； (2)A、B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即 x1 x2p 2 4 ，y1 y2p2 (随焦点动而变)； 图 4 (3)其他结论：SOAB p2 2sin(其中， 为直线 AB 的倾斜角)； 以 AB 为直径的圆必与准线相切于点 H 三、必备方法 1直线与圆锥曲线相关问题： (1)位置关系：判别式法，即将直线方

15、程与圆锥曲线方程联立消去一个变量(如 y)得出方程 Ax2BxC0： 0有两个交点(相交)； 0有一个交点(相切)； 0没有交点(相离) (2)弦长问题：弦长公式韦达定理，即|AB| 1k2 | x1x2|1 1 k2 | y1y2|. (3)中点问题：点差法，即设点代入，然后作差，可以解决中点坐标与直线斜率之间的关系. 2与角有关的关联性问题：直角(垂直)数量积 a b0 或斜率 k1 k21 或余弦定理 cos 0 或点共圆； 锐角a b0 或余弦定理 cos 0； 钝角a b0 或余弦定理 cos 0； 3巧设直线：反设直线法，即过 x 轴上一点(a,0)的直线可设为 xtya，这样可避免对直线斜率存在性的讨论 4巧设共渐近线双曲线：与双曲线x 2 a2 y2 b21 有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为 x2 a2 y2 b2 (0) 四、必备细节 1易混淆：椭圆 a2b2c2，而双曲线 c2a2b2； 双曲线离心率 e(1,)，而椭圆离心率 e(0,1) 2易忽视：椭圆、双曲线的焦点位置； 抛物线为化成标准方程； 设直线未讨论斜率存在性； 解决直线线与曲线的方程求参数值或探究问题时，忘记判别式 0 这一隐含条件