1、2021 年江苏省常州二年江苏省常州二校联考校联考中考数学模拟试卷中考数学模拟试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 7 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 16 分。在每小题所给的四个选项中，只有一根选项是正确分。在每小题所给的四个选项中，只有一根选项是正确 的）的） 1 （下列选项错误的是（ ） Acos60 Ba2a3a5 C D2（x2y）2x2y 2 （随州 7 月份连续 5 天的最高气温分别为：29，30，32，30，34（单位：） ，则这组数据的众数和中位 数分别为（ ） A30，32 B31，30 C30，31 D30，30 3 （设方程 x23x+20 的两根
2、分别是 x1，x2，则 x1+x2的值为（ ） A3 B C D2 4 （点 P（a，b）在函数 y3x+2 的图象上，则代数式 6a2b+1 的值等于（ ） A5 B3 C3 D1 5 （如图，在矩形 ABCD 中，AB2，BC2，E 是 BC 的中点，将ABE 沿直线 AE 翻折，点 B 落在点 F 处，连接 CF，则 cosECF 的值为（ ） A B C D 6 （如图，二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象的对称轴是直线 x1，则以下四个结论中：abc0， 2a+b0，4a+b24ac，3a+c0正确的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 7 （如图，在 RtAOB 中，AOB9
3、0，OA3，OB4，以点 O 为圆心，2 为半径的圆与 OB 交于点 C， 过点 C 作 CDOB 交 AB 于点 D，点 P 是边 OA 上的动点当 PC+PD 最小时，OP 的长为（ ） A B C1 D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 11 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 20 分。不需写出解析过程，请把答案直接写在答题卡相分。不需写出解析过程，请把答案直接写在答题卡相 应位置上）应位置上） 8 （如图图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第个图形中一共有 3 个菱形，第个 图形中一共有 7 个菱形，第个图形中一共有 13 个菱形，按此规律排列下去，第个
4、图形中菱形 的个数为 9 （8 的立方根是 10 （计算： （1）2+ 11 （分解因式：x3x 12 （在平面直角坐标系中，点 A（a，2）与点 B（6，b）关于原点对称，则 ab 13 （如图，已知 AB 是O 的直径，AC 是O 的切线，连接 OC 交O 于点 D，连接 BD若C40， 则B 的度数是 14 （如图，在 RtABC 中，ACB90，AB4，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，且 DB2AD，AE 3EC，连接 BE，CD，相交于点 O，则ABO 面积最大值为 15（如图， 点 C 在线段 AB 上， 且 AC2BC， 分别以 AC、 BC 为边在线段 AB 的同侧作正方
5、形 ACDE、 BCFG， 连接 EC、EG，则 tanCEG 16 （如图，在平面直角坐标系中，函数 y（x0）与 yx1 的图象交于点 P（a，b） ，则代数式 的值为 17 （已知 x1，x2是一元二次方程 x24x70 的两个实数根，则 x12+4x1x2+x22的值是 18 （如果一次函数 ykx+3 （k 是常数， k0） 的图象经过点 （1， 0） ， 那么 y 的值随 x 的增大而 （填 “增大”或“减小” ） 三、解析题（本大题共三、解析题（本大题共 10 小题，共小题，共 84 分。请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解析应写出文字分。请在答题卡指定区域内作答，如无特殊
6、说明，解析应写出文字 说明、演算步骤或推理过程）说明、演算步骤或推理过程） 19 （6 分）先化简，再求值：（1+） ，其中 m2 20 （6 分）如图，已知 G、H 分别是ABCD 对边 AD、BC 上的点，直线 GH 分别交 BA 和 DC 的延长线于 点 E、F （1）当时，求的值； （2）联结 BD 交 EF 于点 M，求证：MGMEMFMH 21 （8 分）扬州教育推出的“智慧学堂”已成为同学们课外学习的得力助手为了解同学们“智慧学堂” 平台使用的熟练程度，某校随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制成如图两幅尚不完整的统 计图 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次调查的样本
7、容量是 ，扇形统计图中表示 A 等级的扇形圆心角为 ； （2）补全条形统计图； （3）学校拟对“不太熟练或不熟练”的同学进行平台使用的培训，若该校有 2000 名学生，试估计该校 需要培训的学生人数 22 （8 分）如图 1，I 与直线 a 相离，过圆心 I 作直线 a 的垂线，垂足为 H，且交I 于 P、Q 两点（Q 在 P、H 之间） 我们把点 P 称为I 关于直线 a 的“远点“，把 PQPH 的值称为I 关于直线 a 的“特征 数” （1）如图 2，在平面直角坐标系 xOy 中，点 E 的坐标为（0，4） 半径为 1 的O 与两坐标轴交于点 A、 B、C、D 过点 E 画垂直于 y 轴
8、的直线 m，则O 关于直线 m 的“远点”是点 （填“A” 、 “B” 、 “C”或 “D” ） ，O 关于直线 m 的“特征数”为 ； 若直线 n 的函数表达式为 yx+4求O 关于直线 n 的“特征数” ； （2）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 经过点 M（1，4） ，点 F 是坐标平面内一点，以 F 为圆心，为 半径作F若F 与直线 l 相离，点 N（1，0）是F 关于直线 l 的“远点” 且F 关于直线 l 的“特 征数”是 4，求直线 l 的函数表达式 23 （8 分） 近日， 长沙市教育局出台 长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见 ， 鼓励教师参与志愿辅导， 某区率先示范，
9、推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批公益课受益学生 2 万人次，第三批公益课受益学生 2.42 万人次 （1）如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率； （2）按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？ 24 （8 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，反比例函数 y（x0）的图象经过点 A（4，） ，点 B 在 y 轴的负半轴上，AB 交 x 轴于点 C，C 为线段 AB 的中点 （1）m ，点 C 的坐标为 ； （2）若点 D 为线段 AB 上的一个动点，过点 D 作 DEy 轴，交反比例函数图象于点 E，求ODE 面积 的
10、最大值 25 （8 分）将图中的 A 型、B 型、C 型矩形纸片分别放在 3 个盒子中，盒子的形状、大小、质地都相同， 再将这 3 个盒子装入一只不透明的袋子中 （1）搅匀后从中摸出 1 个盒子，求摸出的盒子中是 A 型矩形纸片的概率； （2）搅匀后先从中摸出 1 个盒子（不放回） ，再从余下的两个盒子中摸出一个盒子，求 2 次摸出的盒子 的纸片能拼成一个新矩形的概率（不重叠无缝隙拼接） 26 （10 分）如图，在 RtABC 中，C90，点 O 在 AC 上，以 OA 为半径的半圆 O 交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，过点 D 作半圆 O 的切线 DF，交 BC 于点 F （1）求证
11、：BFDF； （2）若 AC4，BC3，CF1，求半圆 O 的半径长 27 （10 分）某驻村扶贫小组为解决当地贫困问题，带领大家致富经过调查研究，他们决定利用当地盛产 的甲、乙两种原料开发 A、B 两种商品为科学决策，他们试生产 A、B 两种商品共 100 千克进行深入研 究，已知现有甲种原料 293 千克，乙种原料 314 千克，生产 1 千克 A 商品，1 千克 B 商品所需要的甲、 乙两种原料及生产成本如表所示 甲种原料（单位：千克） 乙种原料 （单位： 千克） 生产成本（单位：元） A 商品 3 2 120 B 商品 2.5 3.5 200 设生产 A 种商品 x 千克，生产 A、B
12、 两种商品共 100 千克的总成本为 y 元，根据上述信息，解答下列问 题： （1）求 y 与 x 的函数解析式（也称关系式） ，并直接写出 x 的取值范围； （2）x 取何值时，总成本 y 最小？ 28 （1 如图，直线 l 经过点（4，0）且平行于 y 轴，二次函数 yax22ax+c（a、c 是常数，a0）的图 象经过点 M（1，1） ，交直线 l 于点 N，图象的顶点为 D，它的对称轴与 x 轴交于点 C，直线 DM、DN 分别与 x 轴相交于 A、B 两点 （1）当 a1 时，求点 N 的坐标及的值； （2）随着 a 的变化，的值是否发生变化？请说明理由； （3）如图，E 是 x 轴
13、上位于点 B 右侧的点，BC2BE，DE 交抛物线于点 F若 FBFE，求此时的 二次函数表达式 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 7 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 16 分。在每小题所给的四个选项中，只有一根选项是正确分。在每小题所给的四个选项中，只有一根选项是正确 的）的） 1 （下列选项错误的是（ ） Acos60 Ba2a3a5 C D2（x2y）2x2y 【分析】分别根据特殊角的三角函数值，同底数幂的乘法法则，二次根式的除法法则以及去括号法则逐 一判断即可 【解答】解：Acos60，故本选项不合题意； Ba2a3a5，故本选
14、项不合题意； C.，故本选项不合题意； D.2（x2y）2x4y，故本选项符合题意 故选：D 2 （随州 7 月份连续 5 天的最高气温分别为：29，30，32，30，34（单位：） ，则这组数据的众数和中位 数分别为（ ） A30，32 B31，30 C30，31 D30，30 【分析】根据中位数、众数的意义和计算方法分别求出结果即可 【解答】解：这 5 天最高气温出现次数最多的是 30，因此众数是 30； 将这 5 天的最高气温从小到大排列，处在中间位置的一个数是 30，因此中位数是 30， 故选：D 3 （设方程 x23x+20 的两根分别是 x1，x2，则 x1+x2的值为（ ） A3
15、 B C D2 【分析】本题可利用根与系数的关系，求出该一元二次方程的二次项系数以及一次项系数的值，代入公 式求值即可 【解答】解：由 x23x+20 可知，其二次项系数 a1，一次项系数 b3， 由根与系数的关系：x1+x23 故选：A 4 （点 P（a，b）在函数 y3x+2 的图象上，则代数式 6a2b+1 的值等于（ ） A5 B3 C3 D1 【分析】把点 P 的坐标代入一次函数解析式，得出 3ab2，代入 2（3ab）+1 即可 【解答】解：点 P（a，b）在函数 y3x+2 的图象上， b3a+2， 则 3ab2 6a2b+12（3ab）+14+13 故选：C 5 （如图，在矩形
16、 ABCD 中，AB2，BC2，E 是 BC 的中点，将ABE 沿直线 AE 翻折，点 B 落在点 F 处，连接 CF，则 cosECF 的值为（ ） A B C D 【分析】由矩形的性质得出B90，由勾股定理求出 AE，由翻折变换的性质得出AFEABE， 得出AEFAEB，EFBE，因此 EFCE，由等腰三角形的性质得出EFCECF，由三角 形的外角性质得出AEBECF，cosECFcosAEB，即可得出结果 【解答】解：如图，四边形 ABCD 是矩形， B90， E 是 BC 的中点，BC2， BECEBC， AE3， 由翻折变换的性质得：AFEABE， AEFAEB，EFBE， EFCE
17、， EFCECF， BEFEFC+ECF， AEBECF， cosECFcosAEB 故选：C 6 （如图，二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象的对称轴是直线 x1，则以下四个结论中：abc0， 2a+b0，4a+b24ac，3a+c0正确的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】根据抛物线开口向下可得 a0，对称轴在 y 轴右侧，得 b0，抛物线与 y 轴正半轴相交，得 c0，进而即可判断； 根据抛物线对称轴是直线 x1，即1，可得 b2a，进而可以判断； 根据 b2a，可得 c2，进而可以判断； 当 x1 时，y0，即 ab+c0，根据 b2a，可得 3a+c0，即可判断 【解
18、答】解：根据抛物线开口向下可知： a0， 因为对称轴在 y 轴右侧， 所以 b0， 因为抛物线与 y 轴正半轴相交， 所以 c0， 所以 abc0， 所以错误； 因为抛物线对称轴是直线 x1， 即1， 所以 b2a， 所以 b+2a0， 所以正确； 因为 b2a， 由 4a+b24ac，得 4a+4a24ac， a0， c1+a， 根据抛物线与 y 轴的交点，c1， 所以错误； 当 x1 时，y0， 即 ab+c0， 因为 b2a， 所以 3a+c0， 所以正确 所以正确的是2 个 故选：B 7 （如图，在 RtAOB 中，AOB90，OA3，OB4，以点 O 为圆心，2 为半径的圆与 OB
19、交于点 C， 过点 C 作 CDOB 交 AB 于点 D，点 P 是边 OA 上的动点当 PC+PD 最小时，OP 的长为（ ） A B C1 D 【分析】延长 CO 交O 于点 E，连接 EP，交 AO 于点 P，则 PC+PD 的值最小，利用平行线分线段成比 例分别求出 CD，PO 的长即可 【解答】解：如图，延长 CO 交O 于点 E，连接 ED，交 AO 于点 P，此时 PC+PD 的值最小 CDOB， DCB90， 又AOB90， DCBAOB， CDAO OC2，OB4， BC2， ，解得，CD； CDAO， ，即，解得，PO 故选：B 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 1
20、1 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 20 分。不需写出解析过程，请把答案直接写在答题卡相分。不需写出解析过程，请把答案直接写在答题卡相 应位置上）应位置上） 8 （如图图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第个图形中一共有 3 个菱形，第个 图形中一共有 7 个菱形，第个图形中一共有 13 个菱形，按此规律排列下去，第个图形中菱形 的个数为 57 【分析】根据图形的变化规律即可得第个图形中菱形的个数 【解答】解：第个图形中一共有 3 个菱形，即 2+113； 第个图形中一共有 7 个菱形，即 3+227； 第个图形中一共有 13 个菱形，即 4+3313； ， 按此规律
21、排列下去， 所以第个图形中菱形的个数为：8+7757 故答案为：57 9 （8 的立方根是 2 【分析】利用立方根的定义计算即可得到结果 【解答】解：8 的立方根为 2， 故答案为：2 10 （计算： （1）2+ 4 【分析】根据有理数乘方的定义以及算术平方根的定义计算即可 【解答】解： （1）2+1+34 故答案为：4 11 （分解因式：x3x x（x+1） （x1） 【分析】本题可先提公因式 x，分解成 x（x21） ，而 x21 可利用平方差公式分解 【解答】解：x3x， x（x21） ， x（x+1） （x1） 故答案为：x（x+1） （x1） 12 （在平面直角坐标系中，点 A（a，
22、2）与点 B（6，b）关于原点对称，则 ab 12 【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的横坐标与纵坐标均互为相反数，即可得到 a，b 的值，进而 得出 ab 的值 【解答】解：点 A（a，2）与点 B（6，b）关于原点对称， a6，b2， ab12， 故答案为：12 13 （如图，已知 AB 是O 的直径，AC 是O 的切线，连接 OC 交O 于点 D，连接 BD若C40， 则B 的度数是 25 【分析】 先根据切线的性质得OAC90， 再利用互余计算出AOC90C50， 由于OBD ODB，利用三角形的外角性质得OBDAOC25 【解答】解：AC 是O 的切线， OAAC， OAC90，
23、 AOC90C904050， OBOD， OBDODB， 而AOCOBD+ODB， OBDAOC25， 即ABD 的度数为 25， 故答案为：25 14 （如图，在 RtABC 中，ACB90，AB4，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，且 DB2AD，AE 3EC，连接 BE，CD，相交于点 O，则ABO 面积最大值为 【分析】过点 D 作 DFAE，根据平行线分线段成比例定理可得则，根据已知，可 得 DO2OC，C 在以 AB 为直径的圆上，设圆心为 G，当 CGAB 时，ABC 的面积最大为：4 24，即可求出此时ABO 的最大面积 【解答】解：如图，过点 D 作 DFAE， 则， ，
24、 DF2EC， DO2OC， DODC， SADOSADC，SBDOSBDC， SABOSABC， ACB90， C 在以 AB 为直径的圆上，设圆心为 G， 当 CGAB 时，ABC 的面积最大为：424， 此时ABO 的面积最大为：4 故答案为： 15（如图， 点 C 在线段 AB 上， 且 AC2BC， 分别以 AC、 BC 为边在线段 AB 的同侧作正方形 ACDE、 BCFG， 连接 EC、EG，则 tanCEG 【分析】根据正方形的性质以及锐角三角函数的定义即可求出答案 【解答】解：连接 CG， 在正方形 ACDE、BCFG 中， ECAGCB45， ECG90， AC2BC， 设
25、 AC2a，BCa， CE2a，CGa， tanCEG， 故答案为： 16 （如图，在平面直角坐标系中，函数 y（x0）与 yx1 的图象交于点 P（a，b） ，则代数式 的值为 【分析】由题意得，函数 y（x0）与 yx1 的图象交于点 P（a，b） ，则 ab4，ba1，进而 求解 【解答】解：函数 y（x0）与 yx1 的图象交于点 P（a，b） ， ab4，ba1， ba1， 故答案为 17 （已知 x1，x2是一元二次方程 x24x70 的两个实数根，则 x12+4x1x2+x22的值是 2 【分析】根据根与系数的关系求解 【解答】解：根据题意得 x1+x24，x1x27 所以，x1
26、2+4x1x2+x22（x1+x2）2+2x1x216142 故答案为 2 18 （如果一次函数 ykx+3 （k 是常数， k0） 的图象经过点 （1， 0） ， 那么 y 的值随 x 的增大而 减小 （填 “增大”或“减小” ） 【分析】根据点的坐标利用一次函数图象上点的坐标特征可求出 k 值，再利用一次函数的性质即可得出 结论 【解答】解：一次函数 ykx+3（k 是常数，k0）的图象经过点（1，0） ， 0k+3， k3， y 的值随 x 的增大而减小 故答案为：减小 三、解析题（本大题共三、解析题（本大题共 10 小题，共小题，共 84 分。请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解
27、析应写出文字分。请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解析应写出文字 说明、演算步骤或推理过程）说明、演算步骤或推理过程） 19 （6 分）先化简，再求值：（1+） ，其中 m2 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将 m 的值代入计算可得 【解答】解：原式（+） ， 当 m2 时， 原式1 20 （6 分）如图，已知 G、H 分别是ABCD 对边 AD、BC 上的点，直线 GH 分别交 BA 和 DC 的延长线于 点 E、F （1）当时，求的值； （2）联结 BD 交 EF 于点 M，求证：MGMEMFMH 【分析】 （1）根据相似三角形的判定和性质解答即可； （2）根据
28、平行四边形的性质和相似三角形的相似比解答即可 【解答】 （1）解：， ABCD 中，ADBC， CFHDFG （2）ABCD 中，ADBC， ABCD 中，ABCD， MGMEMFMH 21 （8 分）扬州教育推出的“智慧学堂”已成为同学们课外学习的得力助手为了解同学们“智慧学堂” 平台使用的熟练程度，某校随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制成如图两幅尚不完整的统 计图 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次调查的样本容量是 500 ，扇形统计图中表示 A 等级的扇形圆心角为 108 ； （2）补全条形统计图； （3）学校拟对“不太熟练或不熟练”的同学进行平台使用的培训，若该校有 2
29、000 名学生，试估计该校 需要培训的学生人数 【分析】 （1）根据 A 等级的人数和所占的百分比，可以求得样本容量，然后即可计算出扇形统计图中表 示 A 等级的扇形圆心角的度数； （2）根据（1）中的结果，可以计算出 B 等级的人数，从而可以将条形统计图补充完整； （3）根据条形统计图中的数据，可以计算出该校需要培训的学生人数 【解答】解： （1）本次调查的样本容量是 15030%500， 扇形统计图中表示 A 等级的扇形圆心角为：36030%108， 故答案为：500，108； （2）B 等级的人数为：50040%200， 补全的条形统计图如右图所示； （3）2000200（人） ， 答：
30、该校需要培训的学生有 200 人 22 （8 分）如图 1，I 与直线 a 相离，过圆心 I 作直线 a 的垂线，垂足为 H，且交I 于 P、Q 两点（Q 在 P、H 之间） 我们把点 P 称为I 关于直线 a 的“远点“，把 PQPH 的值称为I 关于直线 a 的“特征 数” （1）如图 2，在平面直角坐标系 xOy 中，点 E 的坐标为（0，4） 半径为 1 的O 与两坐标轴交于点 A、 B、C、D 过点 E 画垂直于 y 轴的直线 m， 则O 关于直线 m 的 “远点” 是点 D （填 “A” 、 “B” 、 “C” 或 “D” ） ， O 关于直线 m 的“特征数”为 10 ； 若直线
31、 n 的函数表达式为 yx+4求O 关于直线 n 的“特征数” ； （2）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 经过点 M（1，4） ，点 F 是坐标平面内一点，以 F 为圆心，为 半径作F若F 与直线 l 相离，点 N（1，0）是F 关于直线 l 的“远点” 且F 关于直线 l 的“特 征数”是 4，求直线 l 的函数表达式 【分析】 （1）根据远点，特征数的定义判断即可 如图 1 中，过点 O 作 OH直线 n 于 H，交O 于 Q，P解直角三角形求出 PH，PQ 的长即可解决 问题 （2）如图 2 中，设直线 l 的解析式为 ykx+b分两种情形 k0 或 k0，分别求解即可解决问题
32、【解答】解： （1）由题意，点 D 是O 关于直线 m 的“远点” ，O 关于直线 m 的特征数DBDE 2510， 故答案为：D，10 如图 1 中，过点 O 作 OH直线 n 于 H，交O 于 Q，P 设直线 yx+4 交 x 轴于 F（，0） ，交 y 轴于 E（0，4） ， OE4，OF， tanFEO， FEO30， OHOE2， PHOH+OP3， O 关于直线 n 的“特征数”PQPH236 （2）如图 2 中，设直线 l 的解析式为 ykx+b 当 k0 时，过点 F 作 FH直线 l 于 H，交F 于 E，N 由题意，EN2，ENNH4， NH， N（1，0） ，M（1，4）
33、 ， MN2， HM， MNH 是等腰直角三角形， MN 的中点 K（0，2） ， KNHKKM， H（2，3） ， 把 H（2，3） ，M（1，4）代入 ykx+b，则有， 解得， 直线 l 的解析式为 yx+， 当 k0 时，同法可知直线 l经过 H（2，1） ，可得直线 l的解析式为 y3x+7 综上所述，满足条件的直线 l 的解析式为 yx+或 y3x+7 23 （8 分） 近日， 长沙市教育局出台 长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见 ， 鼓励教师参与志愿辅导， 某区率先示范，推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批公益课受益学生 2 万人次，第三批公益课受益学
34、生 2.42 万人次 （1）如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率； （2）按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？ 【分析】 （1）设增长率为 x，根据“第一批公益课受益学生 2 万人次，第三批公益课受益学生 2.42 万人 次”可列方程求解； （2）用 2.42（1+增长率） ，计算即可求解 【解答】解： （1）设增长率为 x，根据题意，得 2（1+x）22.42， 解得 x12.1（舍去） ，x20.110% 答：增长率为 10% （2）2.42（1+0.1）2.662（万人） 答：第四批公益课受益学生将达到 2.662 万人次 24 （8 分）
35、如图，在平面直角坐标系 xOy 中，反比例函数 y（x0）的图象经过点 A（4，） ，点 B 在 y 轴的负半轴上，AB 交 x 轴于点 C，C 为线段 AB 的中点 （1）m 6 ，点 C 的坐标为 （2，0） ； （2）若点 D 为线段 AB 上的一个动点，过点 D 作 DEy 轴，交反比例函数图象于点 E，求ODE 面积 的最大值 【分析】 （1）根据待定系数法即可求得 m 的值，根据 A 点的坐标即可求得 C 的坐标； （2）根据待定系数法求得直线 AB 的解析式，设出 D、E 的坐标，然后根据三角形面积公式得到 SODE （x1）2+，由二次函数的性质即可求得结论 【解答】解： （1
36、）反比例函数 y（x0）的图象经过点 A（4，） ， m6， AB 交 x 轴于点 C，C 为线段 AB 的中点 C（2，0） ； 故答案为 6， （2，0） ； （2）设直线 AB 的解析式为 ykx+b， 把 A（4，） ，C（2，0）代入得，解得， 直线 AB 的解析式为 yx； 点 D 为线段 AB 上的一个动点， 设 D（x，x） （0 x4） ， DEy 轴， E（x，） ， SODEx （x+）x2+x+3（x1）2+， 当 x1 时，ODE 的面积的最大值为 25 （8 分）将图中的 A 型、B 型、C 型矩形纸片分别放在 3 个盒子中，盒子的形状、大小、质地都相同， 再将这
37、3 个盒子装入一只不透明的袋子中 （1）搅匀后从中摸出 1 个盒子，求摸出的盒子中是 A 型矩形纸片的概率； （2）搅匀后先从中摸出 1 个盒子（不放回） ，再从余下的两个盒子中摸出一个盒子，求 2 次摸出的盒子 的纸片能拼成一个新矩形的概率（不重叠无缝隙拼接） 【分析】 （1）直接利用概率公式计算可得； （2）画树状图得出所有等可能结果，从中找打 2 次摸出的盒子的纸片能拼成一个新矩形的结果数，利用 概率公式计算可得 【解答】解： （1）搅匀后从中摸出 1 个盒子有 3 种等可能结果， 所以摸出的盒子中是 A 型矩形纸片的概率为； （2）画树状图如下： 由树状图知共有 6 种等可能结果，其中
38、 2 次摸出的盒子的纸片能拼成一个新矩形的有 4 种结果， 所以 2 次摸出的盒子的纸片能拼成一个新矩形的概率为 26 （10 分）如图，在 RtABC 中，C90，点 O 在 AC 上，以 OA 为半径的半圆 O 交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，过点 D 作半圆 O 的切线 DF，交 BC 于点 F （1）求证：BFDF； （2）若 AC4，BC3，CF1，求半圆 O 的半径长 【分析】 （1）连接 OD，由切线性质得ODF90，进而证明BDF+AA+B90，得B BDF，便可得 BFDF； （2）设半径为 r，连接 OD，OF，则 OC4r，求得 DF，再由勾股定理，利用 OF 为
39、中间变量列出 r 的方程便可求得结果 【解答】解： （1）连接 OD，如图 1， 过点 D 作半圆 O 的切线 DF，交 BC 于点 F， ODF90， ADO+BDF90， OAOD， OADODA， OAD+BDF90， C90， OAD+B90， BBDF， BFDF； （2）连接 OF，OD，如图 2， 设圆的半径为 r，则 ODOEr， AC4，BC3，CF1， OC4r，DFBF312， OD2+DF2OF2OC2+CF2， r2+22（4r）2+12， 故圆的半径为 27 （10 分）某驻村扶贫小组为解决当地贫困问题，带领大家致富经过调查研究，他们决定利用当地盛产 的甲、乙两种原
40、料开发 A、B 两种商品为科学决策，他们试生产 A、B 两种商品共 100 千克进行深入研 究，已知现有甲种原料 293 千克，乙种原料 314 千克，生产 1 千克 A 商品，1 千克 B 商品所需要的甲、 乙两种原料及生产成本如表所示 甲种原料（单位：千克） 乙种原料 （单位： 千克） 生产成本（单位：元） A 商品 3 2 120 B 商品 2.5 3.5 200 设生产 A 种商品 x 千克，生产 A、B 两种商品共 100 千克的总成本为 y 元，根据上述信息，解答下列问 题： （1）求 y 与 x 的函数解析式（也称关系式） ，并直接写出 x 的取值范围； （2）x 取何值时，总成
41、本 y 最小？ 【分析】 （1）根据题意表示出两种商品需要的成本，再利用表格中数据得出不等式组进而得出答案； （2）利用一次函数增减性进而得出答案 【解答】解： （1）由题意可得：y120 x+200（100 x）80 x+20000， ， 解得：24x86； （2）y80 x+20000， y 随 x 的增大而减小， x86 时，y 最小 28 （1 如图，直线 l 经过点（4，0）且平行于 y 轴，二次函数 yax22ax+c（a、c 是常数，a0）的图 象经过点 M（1，1） ，交直线 l 于点 N，图象的顶点为 D，它的对称轴与 x 轴交于点 C，直线 DM、DN 分别与 x 轴相交于
42、 A、B 两点 （1）当 a1 时，求点 N 的坐标及的值； （2）随着 a 的变化，的值是否发生变化？请说明理由； （3）如图，E 是 x 轴上位于点 B 右侧的点，BC2BE，DE 交抛物线于点 F若 FBFE，求此时的 二次函数表达式 【分析】 （1）证明DMGDAC，DCBDTN，求出 AC，BC，即可求解； （2） 点 D （1， 14a） ， N （4， 1+5a） ， 则 ME2， DE4a， 由 （1） 的结论得： AC， BC， 即可求解； （3）利用FHEDCE，求出 F（，a） ，即可求解 【解答】解： （1）分别过点 M、N 作 MGCD 于点 E，NTDC 于点 T，
43、 MGTNx 轴， DMGDAC，DCBDTN， ， a1，则 yx2+2x+c， 将 M（1，1）代入上式并解得：c4， 抛物线的表达式为：yx2+2x+4， 则点 D（1，5） ，N（4，4） ， 则 MG2，DG4，DC5，TN3，DT9， ，解得：AC，BC， ； （2）不变， 理由：yax22ax+c 过点 M（1，1） ，则 a+2a+c1， 解得：c13a， yax22ax+（13a） ， 点 D（1，14a） ，N（4，1+5a） ， MG2，DG4a，DC14a，FN3，DF9a， 由（1）的结论得：AC，BC， ； （3）过点 F 作 FHx 轴于点 H，则 FHl，则FHEDCE， FBFE，FHBE， BHHE， BC2BE， 则 CE6HE， CD14a， FH， BC， CH， F（+1，a） ， 将点 F 的坐标代入 yax22ax+（13a）a（x+1） （x3）+1 得： aa（+1+1） （+13）+1， 解得：a或（舍弃） ， 经检验 a， 故 yx2+x+ 解法二：AC：BC3：2，BC2BE， ACCE， AD 与 DE 关于直线 CD 对称， AD，DE 交抛物线于 M，F， M，F 关于直线 CD 对称， F（3，1） ， a1， a 故 yx2+x+
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