1、第第 3 3 讲讲 角的度量角的度量 一、一、 思维导图思维导图 二、二、 知识梳理知识梳理 知识点一：线段、直线、射线和角知识点一：线段、直线、射线和角 1.线段有两个端点，可以测量出长度； 2.射线有一个端点，不能测量出长度； 3.直线没有端点，不能测量出长度； 4.线段和射线都是直线的一部分。 知识点二：角的认识和度量知识点二：角的认识和度量 1.1. 角的认识角的认识 从一点引出两条射线所组成的图形叫做角，用符号“”表示。 2.2.角的度量角的度量 用量角器量角的步骤：“两重合、一对应” 两重合：把量角器的中心与角的顶点重合，0刻度线与角的一条边重合。 一对应：角的另一条边所对的量角器
2、上的刻度 ，就是这个角的度数。 知识点三：角的分类与画角知识点三：角的分类与画角 1.1.角的分类角的分类 角之间的关系：1 直角90 ，1 平角180， 1 周角360 锐角直角钝角平角周角 1 周角2 平角4 直角 2.2.画角画角 用量角器画角的步骤： （1）画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合 0刻度线和射线重合。 （2）在量角器角度刻度线的地方点一个点。 （3）以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线。 （4）标出所画角的度数。 三、三、 精讲精练精讲精练 考点一：线段、直线、射线和角 典例分析典例分析 【例 1】在中，一共有（ ）条线段 A5 B8 C10 【思路
3、分析】每两个点都可以组成一条线段，所以从左向右分别能组成 4、3、2、1 条线段，然后相加即 可 【规范解答】解：4+3+2+110（条） 答：一共有 10 条线段 故选：C 【名师点评】 此题主要考查通过数线段找规律， 线段上的端点为 n， 线段中共有线段的条数为： 1+2+3+ +（n1） 举一反三举一反三 1“有始有终”常用来形容一个人做事有头有尾、不半途而废在数学上可以用这个词表示我们本单元所 学的（ ）的特征 A射线 B直线 C线段 D以上三个都可以 【思路分析】有头有尾，说明长度是有限的，只有线段的长度是有限的，射线和直线都是无线的，据此 选择 【规范解答】解：“有始有终”这个词表
4、示的是线段的特征 故选：C 【名师点评】熟练掌握线段的特征是解题关键 2（2019 秋沈阳期末）“中国天眼”是世界上最大单口径的射电望远镜，它可以搜索、接收字宙中的信 号宇宙中的天体发射出的信号可以近似看成（ ） A线段 B射线 C直线 D垂线 【思路分析】直线上一点和它一旁的部分叫做射线依此即可求解 【规范解答】解：宇宙中的天体发射出的信号可以近似看成射线 故选：B 【名师点评】此题考查了直线、射线和线段的含义和特点 3（2020 春怀宁县期末）一个正方形剪去一个角，还剩下（ ）个角 A3 B4 C5 D都有可能 【思路分析】根据角的意义，从一点引出两条射线组成的图形叫做角由此可知，一个正方
5、形剪去一个 角，有 3 种不同的剪法，沿对角线剪剩 3 个，沿一个角剪剩 4 个，沿一个角上方一点剪剩 5 个据此解 答 【规范解答】解：一个正方形剪去一个角，沿对角线剪剩 3 个，沿一个角剪剩 4 个，沿一个角上方一点 剪剩 5 个 如图： 故选：D 【名师点评】此题考查的目的是理解掌握角的意义及应用 考点二：角的认识和度量 典例分析典例分析 【例 2】（2020 春周村区期末）直角是 90，平角是 180 ，周角是 360 【思路分析】依据角的概念及分类就可以作答小于 90的角是锐角，等于 90的角是直角，大于 90 且小于 180的角是钝角，等于 180的角是平角，等于 360的角是周角
6、；据此解答即可 【规范解答】解：平角是 180， 周角是 360 故答案为：180，360 【名师点评】熟练掌握平角及周角的含义是解题的关键 举一反三举一反三 1（2019 秋武川县期末）如图中有 3 个锐角， 1 个直角，还有 钝 角，有 2 个 【思路分析】大于 0、小于 90的角叫做锐角；等于 90的角叫做直角；大于 90，小于 180的角 叫做钝角，据此即可解答 【规范解答】解：观察图形可知： 锐角有：3 个 直角有：1 个 钝角有：2 个 所以如图中有 3 个锐角，1 个直角，还有钝角，有 2 个 故答案为：3，1，钝，2 【名师点评】熟练掌握锐角、直角、钝角的概念，是解答本题的关键
7、 2一般用 量角器 来测量角的大小把圆分成 360 等份，每一份所对的角的大小是 1 【思路分析】测量角的大小，一般用量角器量角器是把一个圆周角平均分成 360，每一份所对应的 角的大小就是 1 【规范解答】解：一般用量角器来测量角的大小把圆分成 360 等份，每一份所对的角的大小是 1 故答案为民：量角器，1 【名师点评】此题主要是考查量角器的认识 31 的度数如图所示，2 和1 组成了一个直角，那么2 25 【思路分析】观察可知，1 的度数是 65 度，因为1 与2 组成一个直角，而直角等于 90，于是用 9065即可求出2 的度数 【规范解答】解：906525 所以已知，2 和1 组成了
8、一个直角，那么225 故答案为：25 【名师点评】此题主要依据直角的定义解决实际问题 考点三：角的分类与画角 典例分析典例分析 【例 3】周角的度数是平角的 2 倍，直角的一半是 45 度 【思路分析】根据直角、平角和周角的含义解答：等于 90的角是直角；等于 180的角是平角；等于 360的角是周角，用周角的度数除以平角的度数，用直角的度数除以 2，解答即可 【规范解答】解：3601802 90245 故答案为：2、45 【名师点评】此题应根据直角、平角和周角的含义进行解答 举一反三举一反三 1 （2019 秋丹江口市期末）在如图中一共有 4 个角，其中钝角有 1 个，锐角有 1 个，直角有
9、 2 个 【思路分析】依据角的概念，及有公共端点的两条射线所围成的图形叫做角，即可数清图中角的数量； 再分别依据直角、钝角、锐角的概念，即可将图中的角进行分类 【规范解答】解：在如图中一共有 4 个角，其中钝角有 1 个，锐角有 1 个，直角有 2 个； 故答案为：4，1，1，2 【名师点评】此题考查了角的认识，理解和掌握锐角、直角、钝角的含义，是解答此题的关键 2连线 【思路分析】依据角的概念及分类就可以作答小于 90的角是锐角，等于 90的角是直角，大于 90 且小于 180的角是钝角，等于 180的角是平角，等于 360的角是周角 【规范解答】解： 【名师点评】此题主要考查角的概念及分类
10、 3画出一个比周角小 200的角 【思路分析】周角360，画一个比周角小 225的角是：360200160，然后根据角的画法： 画一条射线，中心点对准射线的端点，0 刻度线对准射线（两重合）； 对准量角器 160的刻度线点一个点（找点）； 把点和射线端点连接，然后标出角的度数； 【规范解答】解：周角360，画一个比周角小 200的角是：360200160， 【名师点评】此题考查了画指定度数的角，知道周角是等于 360是解答此题的关键 四、四、 巩固提升巩固提升 一选择题（共一选择题（共 6 小题）小题） 1（2019娄底模拟）下面的角中，能用一副三角尺画出来的是（ ） A10 度 B15 度
11、C20 度 D25 度 【思路分析】因一副三角板中的各个角的度数分别是 30、60、45、90把它们进行组合，可得到 的角有 604515，60+45105，60+90150，90+45135，90+30 120，30+4575，据此解答 【规范解答】解：因一副三角板中的各个角的度数分别是 30、60、45、90把它们进行组合，可 得到的角有 604515， 60+45105， 60+90150， 90+45135， 90+30 120，30+4575； 所以给出的角度中只能拼出 15 度的角 故选：B 【名师点评】本题考查了学生用一副三角尺拼成角度情况的掌握，关键是明确三角板上的角的度数 2
12、（2019 秋无棣县期末）下面说法错误的是（ ） A一条直线长 100 米 B手电筒照出来的光线是射线 C钟面上 5 时整，分针和时针成钝角 D角的两边又开的越大角越大 【思路分析】根据题意，对各题进行依次分析、进而得出结论 【规范解答】解：A、一条直线长 100 米，说法错误，因为直线无限长，不可以度量； B、手电筒照出来的光线是射线，说法正确； C、钟面上 5 时整，分针和时针成 150 度，是钝角，说法正确； D、角的大小和两边叉开的大小有关，角的两边张开越大，角越大，说法正确； 故选：A 【名师点评】此题涉及的知识点较多，但比较简单，只要认真，容易解决，注意平时基础知识的积累 3（20
13、19 秋西城区期末）把一张圆形纸对折三次，展开后得到的最小角的度数是（ ） A30 B45 C60 D90 【思路分析】把这张圆形纸片对折 1 次，折成的角是以这张圆形纸片的圆心为顶点，两条半径为边的平 角，平角180，再对折 1 次，就是把平角平均分成 2 分，每份是 90，再对折 1 次，就是把 90的 角再平均分成 2 份，每份是 45 【规范解答】解：根据分析可得： 把一张圆形纸对折三次后展开，得到的最小角是 45 度 故选：B 【名师点评】本题是考查简单图形的折叠问题 4（2018 秋平泉市期末）一副三角板可以拼成不同的角，下面的角不可能拼成（ ） A75 B105 C周角 D平角
14、【思路分析】因一副三角板中的各个角的度数分别是 30、60、45、90，把它们进行组合解答 【规范解答】解：一副三角板中各个角的度数分别是 30、60、45、90， A、75的角可由 45和 30的角拼得； B、105的角可由 60和 45拼得； C、周角不能拼得； D、平角可由 90和 90的角拼得 故选：C 【名师点评】本题考查了学生用三角板中的角进行拼组能成多少度角的知识 5（2019 秋新疆期末）下列线中，线段是（ ） A B C D 【思路分析】根据直线、线段和射线的含义：线段：有两个端点、它的长度是有限的；直线：没有端点、 它是无限长的；射线：有一个端点，它的长度是无限的；据此判断
15、即可 【规范解答】解：选项 A、B、C 都不是线段，C 是线段； 故选：C 【名师点评】解答此题应根据直线、射线和线段的特点进行解答即可 6从平角的顶点引出一条射线，把平角平均分成两个角，这时所分成的角是（ ） A一个锐角和一个钝角 B两个锐角 C两个钝角 D两个直角 【思路分析】从平角的顶点引出一条射线，把平角平均分成两个角，180290，据直角、平角的 含义解答：等于 90的角是直角；等于 180的角是平角 【规范解答】解：180290； 90的角是直角； 故选：D 【名师点评】此题应根据直角、平角的含义进行解答 二填空题（共二填空题（共 6 小题）小题） 7（2019 秋孝昌县期末）3
16、时整，时针与分针夹角是 90 度，7 时整，时针与分针较小的夹角是 150 度 【思路分析】画出图形，利用钟表表盘的特征解答 【规范解答】解：3 点整，时针指向 3，分针指向 12， 钟表 12 个数字，每相邻两个数字之间的夹角为 30， 因此 3 点整分针与时针的夹角正好是 33090； 7 点整，时针指向 7，分针指向 12， 因此 7 点整分针与时针的夹角正好是 530150 故答案为：90；150 度 【名师点评】本题考查钟表时针与分针的夹角在钟表问题中，利用时针和分针的位置关系建立角的图 形 8（1）一般情况下，画一个角主要可以分为 三个 步骤 （2）画角时，先画一条射线，使量角器的
17、中心和 射线的端点 重合，0 刻度线和射线重合 （3）按照要求的度数，在 量角器所画角刻度线的地方 点上一个点 （4）以画出的射线的 端点 为端点，通过刚画的点，再画一条射线 【思路分析】根据角的画法分为三个步骤： （1）先画一条射线使量角器的中心和射线的端点重合，零刻度线和射线重合， （2）在量角器所画角刻度线的地方点一个点 （3）以射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线 据此解答即可 【规范解答】解：（1）一般情况下，画一个角主要可以分为三个步骤 （2）画角时，先画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，0 刻度线和射线重合 （3）按照要求的度数，在量角器所画角刻度线的地方点上一个
18、点 （4）以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线 故答案为：三个；射线的端点；量角器所画角刻度线的地方；端点 【名师点评】解决本题关键是熟练掌握角的画法步骤 9（2019 秋五峰县期末）图中有 4 个锐角， 4 直角， 4 个钝角 【思路分析】直角：90的角； 锐角：大于 0小于 90的角，即小于直角的角叫做锐角； 钝角：大于 90小于 180的角，即大于直角且小于平角的角叫做钝角 由此数出各种角的个数 【规范解答】解： 图中有 4 个锐角，4 直角，4 个钝角 故答案为：4，4，4 【名师点评】解决本题关键是掌握锐角、钝角和直角的含义，数角时注意数清组合角 10三角板上的角有
19、90 、 60 、 45 、 30 【思路分析】三角板上的角有 90 度，60 度，45 度，30 度，据此解答 【规范解答】解：三角板上的角有 90、60、45、30 故答案为：90，60，45，30 【名师点评】此题主要考查三角板上的角的度数，要熟记 11认真分一分（填序号） 是直线， 是射线， 是线段， 是直角， 是锐角， 是平角， 是 周角， 是钝角 【思路分析】根据线段、射线和线段的含义：线段有限长，有两个端点；射线有一个端点，无限长；直 线无端点，无限长；根据平角、直角、锐角、钝角、周角的含义：平角：180的角，当角的两边在一条 直线上时， 组成的角叫做平角； 直角：90的角， 即
20、线 OA 绕点 O 旋转， 当终边与始边垂直时所成的角， 平角的一半叫做直角； 锐角： 大于 0小于 90的角， 小于直角的角叫做锐角； 钝角： 大于 90小于 180 的角，大于直角且小于平角的角叫做钝角周角：360的角，即射线 OA 绕点 O 旋转，当终边与始边重 合时所成的角进而进行判断即可 【规范解答】解： 是直线，是射线，是线段，是直角，是锐角，是平角，是周角，是钝角 故答案为：， 【名师点评】此题考查了直线、射线和线段的含义和特点 12（2019 秋铜官区期末）钟面上，分钟转动 360 度，相应地时针转动 30 度从 7：00 走到 7：15， 分针转动了 90 度 【思路分析】
21、（1）钟表上分针每转动一周，时针转动 1 小时，也就是 1 大格，钟面上一共有 12 个大格， 用 360 度除以 12，即可求出 1 大格的度数，也就是时针转动的数； （2）分针 60 分钟转一圈，每分钟转动的角度为：360606，钟面上从 7：00 到 7：15，共经过 15 分钟，用每分钟转动的度数乘 15 分钟即可求解； 【规范解答】解：（1）3601230（度） （2）3606015 615 90（度） 答：分钟转动 360 度，相应地时针转动 30 度从 7：00 走到 7：15，分针转动了 90 度 故答案为：30，90 【名师点评】本题考查了钟面上的路程问题 分针：60 分钟转
22、一圈，每分钟转动的角度为：360606； 时针：12 小时转一圈，每小时转动的角度为：3601230，每分钟转动的角度为：3601260 0.5 三判断题（共三判断题（共 5 小题）小题） 13把一条 10 厘米长的线段向两端各延长 1 米，得到的是一条直线 （判断对错） 【思路分析】根据线段的含义：线段有两个端点，有限长；据此解答即可 【规范解答】解：把一条 10 厘米长的线段向两端各延长 1 米，得到的是一条线段原题干说法错误 故答案为： 【名师点评】熟练掌握直线和线段的含义是解题的关键 14（2019 秋天峨县期末）角两边的两条射线越长，角的度数就越大 （判断对错） 【思路分析】由两条具
23、有公共端点的射线组成的图形叫做角，角的大小与边的长短无关；据此判断 【规范解答】解：角的大小与边的长短无关，所以角两边的两条射线越长，角的度数就越大说法错误； 故答案为： 【名师点评】本题考查角的定义由两条具有公共端点的射线组成的图形叫做角角的大小与边的长短 无关 15把一个 30的角放在一个 5 倍的放大镜下，看到的角还是 30 （判断对错） 【思路分析】因为角的大小和边长无关，更和放大无关，只和两条边张开的度数有关 【规范解答】解：把一个 30的角放在一个 5 倍的放大镜下，看到的角还是 30，所以原题说法正确； 故答案为： 【名师点评】解答本题的难点是：正确掌握放大镜的特性，只改变边的长
24、度，而不能改变角的大小 16两条线可以组成一个角 （判断对错） 【思路分析】根据角的意义：从一点引出两条射线所组成的图形叫做角形成角的两条线须有一个公共 点，如果两线有公共点，可以形成角，否则不能形成角 【规范解答】解：在同一平面内不平行的两条线可以组成角 原题说法错误 故答案为： 【名师点评】两条线要想组成角，必须满足两个条件：一是在同一平面内；二是相交 17要准确测量一个角的大小，应该用 1的角作单位来量 （判断对错） 【思路分析】要准确知道一个角的大小，可以用量角器测量，度是常用的计算量单位，用符号“”表 示 【规范解答】解：量角的大小，要用到量角器，它是把一个半圆平均分成 180 等份
25、，每一份所对的角的 大小是 1 度，记做 1，应该用 1的角作单位来量，原说法正确 故答案为： 【名师点评】此题是考查角的计量单位的认识，属于基础知识 四应用题（共四应用题（共 4 小题）小题） 18量出如图中各角的度数，并求出它们的和 【思路分析】用量角器的圆点和角的顶点重合，0 刻度线和其中一条边重合，另一条边指向的刻度，就 是这个角的度数 【规范解答】解： 30+30+150180 【名师点评】本题考查了学生运用量角器测量角的度数的能力 19小熊要回家，走哪条路最近？为什么？ 【思路分析】根据两点之间线段最短的性质，走先到北山再到小熊家的路最近 【规范解答】解：走先到北山再到小熊家的路最
26、近，因为两点之间线段最短 【名师点评】此题主要考查两点之间线段最短的性质的灵活应用 20钟表上当时间为 8：00 时，分针与时针的夹角是多少度？ 【思路分析】因为钟面上 12 个数字，以表芯为旋转点，表针转一圈是 360，被 12 个数字平均分成 12 份，每一份也就是两数之间夹角是 30，解答此题根据某个时刻分针与时针的夹角，则看夹了多少个时 刻度数，从而可以求解 【规范解答】解：8 时整，时针指着 8，分针指着 12，之间有 4 个大格是 304120，所以 8 时整 时针和分针成 120 度角； 答：分针与时针的夹角是 120 度 【名师点评】在学习角的时候，渗透了钟表的认识，解答此题的
27、关键是看钟面上 12 个时刻将钟面分成了 12 份，每份是 30 度，再看要求的是什么时刻，用时刻数乘 30 度即可 21（2019 秋临漳县期中）如图，一张纸上画了一个角，不过角的顶点处被撕掉了现在你能想办法量出 这个角的度数吗？ 【思路分析】根据角的意义，具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，或者说，一条射线绕着它的 端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角也就是说，角的两边是以角的顶点为公共端点 的两条射线，反方向延长这两条射线会相交于一点，这点就是角的顶点，然后用量角器即可量出这个角 的度数 【规范解答】解：如图 反方向延长这两条射线会相交于一点，这点就是角的顶点，然后用量角
28、器即可量出这个角的度数 量得这角的度数是 40 【名师点评】此题考查的知识点有：角的意义、用量角器度量角的方法 五操作题（共五操作题（共 3 小题）小题） 22连线 【思路分析】根据线段、射线和线段的含义：线段有限长，有两个端点；射线有一个端点，无限长；直 线无端点，无限长；进而进行判断即可 【规范解答】解：解答如下 【名师点评】此题考查了直线、射线和线段的含义和特点 23（2018 秋金乡县期末）在方格图上画一个比直角大的角 【思路分析】画一个比直角大的角，可以画钝角，画钝角时，先点一点，再从这点出发画两条边，要注 意两边张口要比直角大 【规范解答】解：比直角大的角，可以画钝角画图如下： 【
29、名师点评】考查了画钝角，是基础画图 钝角：大于 90而小于 180的角 24龙一鸣要在如图的量角器上画一个 50的角，现在他已经画好了顶点和一条边，请你画出这个角的另 一条边，并在图上标出度数 【思路分析】量角器的一边指向 60，要画一个 50的角，这边的位置已确定，506010，这 个角的另一边可与 10刻度线重合；60+50110，这个角的另一边可与 110刻度线重合 【规范解答】解： 或 【名师点评】用量角器画已知角的方法是：先画射线，把量角器的中心与射线的顶点重合，0 刻度线与 射线重合，过量角器上表示与已知角度数相等的刻度画与原来射线是公共顶点的射线，两射线所成的角 就是与已知角相等
30、的角如果量角器的 0 刻度线看不清，可用两个刻度之差画（如本题） 六解答题（共六解答题（共 2 小题）小题） 25（2018 秋单县期末）写出下面各角的度数 【思路分析】 用量角器进行测量， 方法是： 先把量角器放在角的上面， 使量角器的中心和角的顶点重合， 零度刻度线和角的一条边重合，角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数 【规范解答】解：如图所示： 【名师点评】此题主要是考查根据角的度量方法正确量出角的度数 26按要求画线，再回答问题 （1）画出线段 AB； （2）画出射线 BC； （3）画出直线 AC 画好的图形中，有 4 个锐角， 3 个钝角 【思路分析】（1）（2）（3）根据线段、射线和线段的含义：线段有限长，有两个端点；射线有一个端 点，无限长；直线无端点，无限长；据此画图即可 （4）大于 0小于 90的角叫做锐角，大于 90小于 180的角叫做钝角 【规范解答】解： 画好的图形中有 4 个锐角，3 个钝角 答：画好的图形中有 4 个锐角，3 个钝角 故答案为 4，3 【名师点评】本题主要考查了直线、射线、线段的画法以及角的分类
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