1、2019-2020 学年哈尔滨南岗区八年级（下）期中数学试卷（五四学制）学年哈尔滨南岗区八年级（下）期中数学试卷（五四学制） 一、选择题（每题一、选择题（每题 3 分，共分，共 30 分）分） 1下列方程中是一元二次方程的是（ ） Ax24 B+x2 Cx2+y25 Dax2 +bx+c0 2下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（ ） A1.5，2，3 B7，24，25 C6，8，10 D9，12，15 3如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，下列结论中不一定成立的是（ ） AABDC BACBD CACBD DOAOC 4将方程 x2+4x+10 配方后，原方程
2、变形为（ ） A （x+2）23 B （x+4）23 C （x+2）23 D （x+2）25 5顺次连接矩形的四边中点所得的四边形一定是（ ） A菱形 B矩形 C平行四边形 D正方形 6在直角坐标系中，点 P（2，3）到原点的距离是（ ） A B C15 D2 7对角线的夹角为 60的矩形，且这个角所对的边长为 5cm，则矩形的对角线长是（ ） A5cm B20cm C10cm D10cm 8下列给出的条件中，能判断四边形 ABCD 是平行四边形的是（ ） AABCD，ADBC BBC；AD CABCD，CBAD DABAD，CDBC 9如图，在ABC 中，ABAC5，BC6，点 M 为 BC
3、 的中点，MNAC 于点 N，则 MN 等于（ ） A B C D 10如图，E、F 分别是正方形 ABCD 的边 CD、AD 上的点，且 CEDF，AE、BF 相交于点 O，下列结论： （1）AEBF； （2）AEBF； （3）AOOE； （4）SAOBS四边形DEOF中正确的有（ ） A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 二、填空题（每题二、填空题（每题 3 分，共分，共 30 分）分） 11在平行四边形 ABCD 中，A 与B 的度数之比为 2：3，则B 的度数是 12已知 x1 是方程 x2+mx+10 的一个根，则 m 13如果一直角三角形的两条直角边的长分别是 3cm 和 4cm
4、，那么这个直角三角形斜边上的中线等于 cm 14已知一个菱形的两条对角线长分别为 6cm 和 8cm，则这个菱形的面积为 cm2 15三角形的两边长分别为 3 和 6，第三边的长是方程 x26x+80 的解，则此三角形的周长是 16已知关于 x 的方程 x22x+2k0 有两个不相等实数根，则 k 的取值范围是 17如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB6cm，AD8cm，折叠该纸片，使得 AB 边落在对角线 AC 上，点 B 落在点 F 处，折痕为 AE，则 EF cm 18如图所示，在矩形 ABCD 中，AB6，AD8，P 是 AD 上的动点，PEAC，PFBD 于 F，则 PE+PF 的值
5、为 19 ABCD 的周长是32cm， ABC的平分线交 AD 所在直线于点E， 且AE： ED3： 2， 则AB的长为 20如图，在 RtABC 中，BAC90，点 D 在 BC 上，点 E 在 AB 上，EDBADC，点 F 在 BC 上，AFE2FAC，DAF60，AF4，AD3，则 ED 三、解答题（三、解答题（21、22 各各 7 分，分，23、24、各、各 8 分，分，25、26、27 题各题各 10 分，共分，共 60 分）分） 21 （7 分）解下列方程： （1）x22x0； （2）x23x40 22 （7 分）如图所示，在每个小正方形的边长均为 1 的网格中，线段 AB 的端
6、点 A、B 均在小正方形的顶点 上 （1）在图 1 中画出以 AB 为一边的ABC，点 C 在小正方形顶点上，且ABC 的面积为 12 （2）在图 2 中画出以 AB 为一腰的等腰直角三角形 ABD，点 D 在小正方形顶点上 （3）在（2）的条件下，请直接写出 AD 的长度 23 （8 分） 如图， 在四边形 ABCD 中， 已知 AB3， BC4， CD12， AD13， B90 求四边形 ABCD 的面积 24 （8 分）如图所示，BD 是ABCD 的对角线，AEBD 于点 E，CFBD 于 F （I）求证：四边形 AECF 是平行四边形； （2）若 E 是 BF 的中点，写出图中所有面积
7、等于ABE 面积 2 倍的三角形 25 （10 分）汽车产业的发展，有效促进了我国现代化建设某汽车销售公司 2016 年盈利 1000 万元，2018 年盈利 1440 万元，且从 2016 年到 2018 年，每年盈利的年增长率相同 （1）求每年盈利的年增长率； （2）若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计 2019 年盈利多少万元？ 26 （10 分）如图 1，正方形 ABCD 沿 GF 折叠，使 B 落在 CD 边上点 E 处，连接 BE，BH （1）求HBE 的度数； （2）若 BH 与 GF 交于点 O，连接 OE，判断BOE 的形状，说明理由； （3）在（2）的条件下，作 EQA
8、B 于点 Q，连接 OQ，若 AG2，CE3，求OQR 的面积 27 （10 分）如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，四边形 OABC 是矩形，OA 边在 x 轴上，OC 边在 y 轴上，B（8，4） ，点 D 在 x 轴的正半轴上，且OBCOBD （1）求点 D 坐标； （2）动点 P 从点 O 出发，沿折线 OBC 方向以 2个单位/秒的速度向终点 C 匀速运动，设PBD 的面积为 S，点 P 运动时间为 1 秒，用含 t 的代数式表示 S； （3）在（2）的条件下，当点 P 在 BC 边上，PBD 是以 BP 为腰的等腰三角形时，在第一象限内是否 存在一点 Q，使以 P、D、B
9、、Q 为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请求出所有满足条件点 Q 的坐 标，若不存在，请说明理由 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每题一、选择题（每题 3 分，共分，共 30 分）分） 1下列方程中是一元二次方程的是（ ） Ax24 B+x2 Cx2+y25 Dax2 +bx+c0 【分析】根据一元二次方程的定义解答 【解答】解：A、是一元二次方程，故 A 符合题意； B、是分式方程，故 B 不符合题意； C、是二元二次方程，故 C 不符合题意； D、当 a0 时不是一元二次方程，故 D 不符合题意； 故选：A 2下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（ ） A1.5，
10、2，3 B7，24，25 C6，8，10 D9，12，15 【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直 角三角形如果没有这种关系，这个就不是直角三角形 【解答】解：A、1.52+2232，不符合勾股定理的逆定理，故正确； B、72+242252，符合勾股定理的逆定理，故错误； C、62+82102，符合勾股定理的逆定理，故错误； D、92+122152，符合勾股定理的逆定理，故错误 故选：A 3如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，下列结论中不一定成立的是（ ） AABDC BACBD CACBD DOAOC 【分析】直接
11、利用菱形的性质对边互相平行、对角线互相垂直且平分进而分析即可 【解答】解：四边形 ABCD 是菱形， ABDC，故选项 A 正确，不合题意； 无法得出 ACBD，故选项 B 错误，符合题意； ACBD，故选项 C 正确，不合题意； OAOC，故选项 D 正确，不合题意； 故选：B 4将方程 x2+4x+10 配方后，原方程变形为（ ） A （x+2）23 B （x+4）23 C （x+2）23 D （x+2）25 【分析】配方法的一般步骤： （1）把常数项移到等号的右边； （2）把二次项的系数化为 1； （3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方 【解答】解：x2+4x+10， x2+4x1，
12、 x2+4x+41+4， （x+2）23 故选：A 5顺次连接矩形的四边中点所得的四边形一定是（ ） A菱形 B矩形 C平行四边形 D正方形 【分析】因为题中给出的条件是中点，所以可利用三角形中位线性质，以及矩形对角线相等去证明四条 边都相等，从而说明是一个菱形 【解答】解：连接 AC、BD， 在ABD 中， AHHD，AEEB EHBD， 同理 FGBD，HGAC，EFAC， 又在矩形 ABCD 中，ACBD， EHHGGFFE， 四边形 EFGH 为菱形 故选：A 6在直角坐标系中，点 P（2，3）到原点的距离是（ ） A B C15 D2 【分析】在平面直角坐标系中找出 P 点，过 P
13、作 PE 垂直于 x 轴，连接 OP，由 P 的坐标得出 PE 及 OE 的长，在直角三角形 OPE 中，由 PE 及 OE 的长，利用勾股定理求出 OP 的长，即为 P 到原点的距离 【解答】解：过 P 作 PEx 轴，连接 OP， P（2，3） ， PE3，OE2， 在 RtOPE 中，根据勾股定理得：OP2PE2+OE2， OP，则点 P 在原点的距离为 故选：B 7对角线的夹角为 60的矩形，且这个角所对的边长为 5cm，则矩形的对角线长是（ ） A5cm B20cm C10cm D10cm 【分析】只要证明AOB 是等边三角形，推出 OAOBAB5cm，求出 AC 即可 【解答】解：
14、四边形 ABCD 是矩形， BAD90，ADBC，ABDC10cm，AC2AO2OC，BD2OB2OD，ACBD， OAOB， AOB60， AOB 是等边三角形， OAOBAB5cm， AC2OA10cm， 故选：C 8下列给出的条件中，能判断四边形 ABCD 是平行四边形的是（ ） AABCD，ADBC BBC；AD CABCD，CBAD DABAD，CDBC 【分析】平行四边形的判定定理两组对边分别相等的四边形是平行四边形，一组对边平行且相等的 四边形是平行四边形，两组对角分别相等的四边形是平行四边形，对角线互相平分的四边形是平行 四边形，判断即可 【解答】解：A、根据 ADCD，ADB
15、C 不能判断四边形 ABCD 是平行四边形，故本选项错误； B、根据BC，AD 不能判断四边形 ABCD 是平行四边形，故本选项错误； C、根据 ABCD，ADBC，得出四边形 ABCD 是平行四边形，故本选项正确； D、根据 ABAD，BCCD，不能判断四边形 ABCD 是平行四边形，故本选项错误； 故选：C 9如图，在ABC 中，ABAC5，BC6，点 M 为 BC 的中点，MNAC 于点 N，则 MN 等于（ ） A B C D 【分析】连接 AM，根据等腰三角形三线合一的性质得到 AMBC，根据勾股定理求得 AM 的长，再根据 在直角三角形的面积公式即可求得 MN 的长 【解答】解：连
16、接 AM， ABAC，点 M 为 BC 中点， AMCM（三线合一） ，BMCM， ABAC5，BC6， BMCM3， 在 RtABM 中，AB5，BM3， 根据勾股定理得：AM4， 又 SAMCMNACAMMC， MN 故选：C 10如图，E、F 分别是正方形 ABCD 的边 CD、AD 上的点，且 CEDF，AE、BF 相交于点 O，下列结论： （1）AEBF； （2）AEBF； （3）AOOE； （4）SAOBS四边形DEOF中正确的有（ ） A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 【分析】根据正方形的性质得 ABADDC，BADD90，则由 CEDF 易得 AFDE，根据 “SAS”可
17、判断ABFDAE，所以 AEBF；根据全等的性质得ABFEAD， 利用EAD+EAB90得到ABF+EAB90，则 AEBF；连接 BE，BEBC，BABE，而 BO AE，根据垂直平分线的性质得到 OAOE；最后根据ABFDAE 得 SABFSDAE，则 SABFS AOFSDAESAOF，即 SAOBS四边形DEOF 【解答】解：四边形 ABCD 为正方形， ABADDC，BADD90， 而 CEDF， AFDE， 在ABF 和DAE 中 ， ABFDAE， AEBF，所以（1）正确； ABFEAD， 而EAD+EAB90， ABF+EAB90， AOB90， AEBF，所以（2）正确；
18、连接 BE， BEBC， BABE， 而 BOAE， OAOE，所以（3）错误； ABFDAE， SABFSDAE， SABFSAOFSDAESAOF， SAOBS四边形DEOF，所以（4）正确 故选：B 二、填空题（每题二、填空题（每题 3 分，共分，共 30 分）分） 11在平行四边形 ABCD 中，A 与B 的度数之比为 2：3，则B 的度数是 108 【分析】根据平行四边形的邻角互补，可求B 的度数 【解答】解：A：B2：3 设A2x，B3x 四边形 ABCD 是平行四边形 A+B180 2x+3x180 x36 B108 故答案为：108 12已知 x1 是方程 x2+mx+10 的
19、一个根，则 m 2 【分析】把 x1 代入已知方程，列出关于 m 的新方程，通过解新方程来求 m 的值 【解答】解：关于 x 的一元二次方程 x2+mx+10 有一个根是 1， 12+m+10， 解得：m2， 故答案为：2； 13如果一直角三角形的两条直角边的长分别是 3cm 和 4cm，那么这个直角三角形斜边上的中线等于 cm 【分析】 先根据勾股定理列式求出斜边的长， 再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可 【解答】解：两条直角边的长分别是 3cm 和 4cm， 斜边5cm， 斜边上的中线cm 故答案为： 14已知一个菱形的两条对角线长分别为 6cm 和 8cm，则这个菱形的面
20、积为 24 cm2 【分析】根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求得其面积即可 【解答】解：一个菱形的两条对角线长分别为 6cm 和 8cm， 这个菱形的面积6824（cm2） 故答案为：24 15三角形的两边长分别为 3 和 6，第三边的长是方程 x26x+80 的解，则此三角形的周长是 13 【分析】求出方程的解，有两种情况：x2 时，看看是否符合三角形三边关系定理；x4 时，看看是否 符合三角形三边关系定理；求出即可 【解答】解：x26x+80， （x2） （x4）0， x20，x40， x12，x24， 当 x2 时，2+36，不符合三角形的三边关系定理，所以 x2 舍去， 当 x4
21、时，符合三角形的三边关系定理，三角形的周长是 3+6+413， 故答案为：13 16已知关于 x 的方程 x22x+2k0 有两个不相等实数根，则 k 的取值范围是 k 【分析】关于 x 的方程 x22x+2k0 有两个不相等的实数根，即判别式b24ac0即可得到关于 k 的不等式，从而求得 k 的范围 【解答】解：a1，b2，c2k， b24ac（2）2412k48k0， 解得：k 故答案为：k 17如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB6cm，AD8cm，折叠该纸片，使得 AB 边落在对角线 AC 上，点 B 落在点 F 处，折痕为 AE，则 EF 3 cm 【分析】 根据矩形的性质得到 B
22、CAD8cm， B90由勾股定理得到 AC 10，根据折叠的性质得到 AFAB6，EFBE，AFEB90，根据勾股定理即可得到结论 【解答】解：四边形 ABCD 是矩形， BCAD8cm，B90 AC10， 折叠该纸片，使得 AB 边落在对角线 AC 上，点 B 落在点 F 处， AFAB6，EFBE，AFEB90， CF4，CFE90，CE8EF， EF2+CF2CE2， EF2+42（8EF）2， 解得：EF3cm， 故答案为：3 18如图所示，在矩形 ABCD 中，AB6，AD8，P 是 AD 上的动点，PEAC，PFBD 于 F，则 PE+PF 的值为 【分析】根据矩形的性质和三角形的
23、面积求出 SAODSDOCSAOBSBOCS矩形ABCD68 12，根据勾股定理求出 BD，求出 AO、DO、根据三角形面积公式求出即可 【解答】解：连接 OP， 四边形 ABCD 是矩形， DAB90，AC2AO2OC，BD2BO2DO，ACBD， OAODOCOB， SAODSDOCSAOBSBOCS矩形ABCD6812， 在 RtBAD 中，由勾股定理得：BD10， AOOD5， SAPO+SDPOSAOD， AOPE+DOPF12， 5PE+5PF24， PE+PF， 故答案为： 19 ABCD 的周长是 32cm， ABC 的平分线交 AD 所在直线于点 E， 且 AE： ED3：
24、2， 则 AB 的长为 6cm 或 12cm 【分析】证ABE 是等腰三角形，分两种情况，分别求得答案即可 【解答】解：分两种情况： 角平分线 AD 在ABCD 内部，如图 1， 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC，ABCD，ADBC， AB+AD3216（cm） ，AEBCBE， ABC 的平分线交 AD 所在的直线于点 E， ABECBE， ABEAEB， ABAE， AE：ED3：2， AB：AD3：5， 平行四边形 ABCD 的周长为 32cm AB 的长为：166（cm） 角平分线 AD 在ABCD 外部，如图 2， 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC，ABCD，AD
25、BC， AB+AD3216（cm） ，AEBCBE， ABC 的平分线交 AD 所在的直线于点 E， ABECBE， ABEAEB， ABAE， AE：ED3：2， AB：AD3：1， 平行四边形 ABCD 的周长为 32cm AB 的长为：1612（cm） ； 故答案为：6cm 或 12cm 20如图，在 RtABC 中，BAC90，点 D 在 BC 上，点 E 在 AB 上，EDBADC，点 F 在 BC 上，AFE2FAC，DAF60，AF4，AD3，则 ED 1 【分析】作 FMAB 于 M，延长 ED 至 N 使DNF60，设FAC，首先证明AEF 为等腰三角 形， 然后证DAFDN
26、F， 根据全等三角形的性质得 NFAF4， DNAD3， 从而得出 NFEF， 即可得 ENF 是等边三角形，求出 EN，由 EDENDN 即可求解 【解答】解：作 FMAB 于 M，延长 ED 至 N 使DNF60，设FAC， BAC90，FMAB， MFAC， MFAFAC， AFE2FAC2， MFAMFE， AEFEAF90， AEF 为等腰三角形， EFAF4， FDNEDB，EDBADC， FDNADC， 在DAF 和DNF 中， ， DAFDNF（AAS） ， NFAF4，DNAD3， EFAF4， EFNF4， DNF60， ENF 是等边三角形， ENNF4， EDENDN4
27、31 故答案为：1 三、解答题（三、解答题（21、22 各各 7 分，分，23、24、各、各 8 分，分，25、26、27 题各题各 10 分，共分，共 60 分）分） 21 （7 分）解下列方程： （1）x22x0； （2）x23x40 【分析】 （1）利用因式分解法把方程化为 x0 或 x20，然后解一次方程即可； （2）利用因式分解法把方程化为 x40 或 x+10，然后解一次方程即可 【解答】解： （1）x（x2）0， x0 或 x20， 所以 x10，x22； （2） （x4） （x+1）0， x40 或 x+10， 所以 x14，x21 22 （7 分）如图所示，在每个小正方形的边
28、长均为 1 的网格中，线段 AB 的端点 A、B 均在小正方形的顶点 上 （1）在图 1 中画出以 AB 为一边的ABC，点 C 在小正方形顶点上，且ABC 的面积为 12 （2）在图 2 中画出以 AB 为一腰的等腰直角三角形 ABD，点 D 在小正方形顶点上 （3）在（2）的条件下，请直接写出 AD 的长度 2 【分析】 （1）直接利用数形结合的思想思考问题即可； （2）利用等腰直角三角形的性质即可解决问题； （3）利用勾股定理计算即可； 【解答】解： （1）ABC 如图所示 （2）等腰三角形ABD 如图所示 （3）AD2， 故答案为 2 23 （8 分） 如图， 在四边形 ABCD 中，
29、 已知 AB3， BC4， CD12， AD13， B90 求四边形 ABCD 的面积 【分析】连接 AC，根据勾股定理求出 AC，根据勾股定理的逆定理求出ACD 是直角三角形，分别求出 ABC 和ACD 的面积，即可得出答案 【解答】解：连接 AC， 在ABC 中， B90，AB3，BC4， AC5， SABCABBC346， 在ACD 中， AD13，AC5，CD12， CD2+AC2AD2， ACD 是直角三角形， SACDACCD51230 四边形 ABCD 的面积SABC+SACD6+3036 24 （8 分）如图所示，BD 是ABCD 的对角线，AEBD 于点 E，CFBD 于 F
30、 （I）求证：四边形 AECF 是平行四边形； （2）若 E 是 BF 的中点，写出图中所有面积等于ABE 面积 2 倍的三角形 【分析】 （1）根据垂直证明 AECF，然后利用 AAS 证得AEBCFD，即可得 AECF，由有一组对 边相等且平行的四边形是平行四边形，即可证得四边形 AECF 是平行四边形； （2）根据三角形全等和线段中点的定义得：BEEFDF，最后根据同高三角形面积的关系等于对应底 边的关系可得结论 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD，ABCD， ABECDF， AEBD，CFBD， AECF，AEBCFD90， 在AEB 和CFD 中， ，
31、AEBCFD（AAS） ， AECF， 四边形 AECF 是平行四边形 （2）解：AEBCFD， BEDF， E 是 BF 的中点， BEEFDF， SABFSAEDSBCFSECD2SABE 图中所有面积等于ABE 面积 2 倍的三角形有：ABF，AED，BFC，ECD 25 （10 分）汽车产业的发展，有效促进了我国现代化建设某汽车销售公司 2016 年盈利 1000 万元，2018 年盈利 1440 万元，且从 2016 年到 2018 年，每年盈利的年增长率相同 （1）求每年盈利的年增长率； （2）若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计 2019 年盈利多少万元？ 【分析】 （1）设
32、每年盈利的年增长率为 x，根据题意列出方程求解即可； （2）利用 2019 年盈利1440（1+x） ，由此计算即可； 【解答】解： （1）设每年盈利的年增长率为 x， 根据题意得 1000（1+x）21440 解得 x10.2，x22.2（不合题意，舍去） 答：每年盈利的年增长率为 20% （2）1440（1+0.2）1728 答：预计 2009 年该公司盈利 1728 万元 26 （10 分）如图 1，正方形 ABCD 沿 GF 折叠，使 B 落在 CD 边上点 E 处，连接 BE，BH （1）求HBE 的度数； （2）若 BH 与 GF 交于点 O，连接 OE，判断BOE 的形状，说明理
33、由； （3）在（2）的条件下，作 EQAB 于点 Q，连接 OQ，若 AG2，CE3，求OQR 的面积 【分析】（1） 如图 1 中， 过点 E 作 ENAB 于 N， 过点 B 作 BMEA于 M 证明ENBBME （AAS） ， 推出 ENBM，再证明 RtBAHRtBMH（HL） ，RtBMERtBCE 可得结论 （2）结论：BOE 是等腰直角三角形利用翻折变换的性质结合等腰直角三角形的定义判断即可 （3）如图 3 中，过点 O 作 OMEQ 于 M，ONAB 于 N，过点 G 作 GJBC 于 J利用全等三角形的 性质证明 JFCE3，QC 保费分，长方，推出 EQBC9，BE3，OB
34、OE3，再证明四 边形 OMQN 是正方形，设边长为 x，利用勾股定理构建方程求出 x 即可解决问题 【解答】解： （1）如图 1 中，过点 E 作 ENAB 于 N，过点 B 作 BMEA于 M 由翻折可知，ABFFEA90，FBFE， FBEFEB， EBNBEM， ENBBME90，BEEB， ENBBME（AAS） ， ENBM， 四边形 ABCD 是正方形， NBCCAENB90，ABBC， ABBMBC， BHBH，BEBE， RtBAHRtBMH（HL） ，RtBMERtBCE， ABHMBH，EBMEBC， HBEMBH+EBMABC45 （2）结论：BOE 是等腰直角三角形
35、理由：如图 2 中， 由翻折的旋转可知，FG 垂直平分线段 BE， OBEO， OBEOEB45， OBOE，BOE90， BOE 是等腰直角三角形 （3）如图 3 中，过点 O 作 OMEQ 于 M，ONAB 于 N，过点 G 作 GJBC 于 J AABJBJG90， 四边形 ABJG 是矩形， AGBJ2，ABGJBC， FGBE， EBC+BFG90，BFG+JGF90， CBEJGF， CGJF90，BCGJ， GJFBCE（AAS） ， FJCE3， BFEF5，CF4， BCBF+CF9， BE3， OBOE3， EQAB， ONBOMEOMQMQN90， 四边形 MQNO 是矩
36、形， MONBOE90， BONEOM， OBOE， ONBOME（AAS） ， ONOM， 四边形 MQNO 是正方形，设 OMOMNQMQx， CCBQBQE90， 四边形 BCEQ 是矩形， BQEC3，EQBC9， 在 RtBON 中，则有 x2+（x+3）2（3）2， 解得 x3 或6（舍弃） ， OMQM3，EMBN6， BQROMR90，BRQORM，BQOM3， BQROMR（AAS） ， QRMR SOQRQROM3 27 （10 分）如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，四边形 OABC 是矩形，OA 边在 x 轴上，OC 边在 y 轴上，B（8，4） ，点 D 在
37、 x 轴的正半轴上，且OBCOBD （1）求点 D 坐标； （2）动点 P 从点 O 出发，沿折线 OBC 方向以 2个单位/秒的速度向终点 C 匀速运动，设PBD 的面积为 S，点 P 运动时间为 1 秒，用含 t 的代数式表示 S； （3）在（2）的条件下，当点 P 在 BC 边上，PBD 是以 BP 为腰的等腰三角形时，在第一象限内是否 存在一点 Q，使以 P、D、B、Q 为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请求出所有满足条件点 Q 的坐 标，若不存在，请说明理由 【分析】 （1）BCAO，则OBCBOA，而OBCOBD，则BOAOBD，故 BDOD，在 RtABD 中，利用 BD2AD
38、2+AB2，即可求解； （2）由 AB 与 OA 的长，利用勾股定理求出 OB 的长，分两种情况考虑：P 在 OB 上运动时与 P 在 BC 上 运动时，分别表示出面积 S 与 t 的关系式即可； （3）分类讨论求出点 P 的坐标，再利用图形平移和中点的性质，即可求出点 Q 的坐标 【解答】解： （1）BCAO， OBCBOA， OBCOBD， BOAOBD， BDOD， B（8，4） ，即 BCOA8，ABCO4， 设 BDODx，则有 ADOAOD8x， 在 RtABD 中，根据勾股定理得：BD2AD2+AB2，即 x2（8x）2+42， 解得：x5， OD5，即 D（5，0） ； （2）
39、过 D 作 DEOB 于点 E，连接 PD，如图 1 所示， BED90， 在 RtAOB 中，OA8，AB4， 根据勾股定理得：OB4， BDOD， E 为 OB 的中点，即 BEOB2， CBODBO， tanCBOtanDBO， tanDBO，即 DE， OP2t， PBOBOP42t， 当 0t2 时，SBDPPBDE（42t）5t+10； 过 D 作 DEBC 于点 E，连接 PD，如图 2 所示， DEBEBABAO90， 四边形 ABED 为矩形， DEAB4， PB2t4， 当 2t2+时，SBDPPBDE4（2t4）4t8； 综上，S； （3）存在，理由： 当 PBBD 时，
40、由点 B、D 的坐标知，BD3PB，则点 P（3，4） ， 当 PBPD 时，设点 P（m，4） ，则（m8）2（m5）2+16，解得 m，故点 P（，4） 当点 P 的坐标为（3，4）时， （）当 PD 为边时， 点 P 向右偏移 2 个单位向下平移 4 个单位得到点 D，同样，点 B（Q）向右偏移 2 个单位向下平移 4 个 单位得到点 Q（B） ， 则或，解得， 故点 Q 的坐标为（10，0） （舍去）或（6，8） ； （）当 PD 是对角线时， 由中点公式得：，解得，故点 Q 的坐标为（0，0） （舍去） ； 当点 P 的坐标为（，4）时， 同理可得，点 Q 的坐标为（，8） ； 综上，点 Q 的坐标为： （6，8）或（，8）
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