1、2020-2021 学年江苏省南通市海安市十一校八年级下学年江苏省南通市海安市十一校八年级下第一次段考数学试卷第一次段考数学试卷 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ） A三内角之比为 1：2：3 B三边长的平方之比为 1：2：3 C三边长之比为 3：4：5 D三内角之比为 3：4：5 2将一根 24cm 的筷子，置于底面直径为 15cm，高 8cm 的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面 的长度 hcm，则 h 的取值范围是（ ） Ah17cm Bh8cm C15cmh16cm D7cmh16cm 3下
2、列命题正确的是（ ） A对角线互相垂直的四边形是菱形 B一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 C对角线相等的四边形是矩形 D对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 4平行四边形的两条对角线分别为 6 和 10，则其中一条边 x 的取值范围为（ ） A4x6 B2x8 C0 x10 D0 x6 5在ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，则能通过旋转到达重合的三角形有（ ） A2 对 B3 对 C4 对 D5 对 6在直线 l 上依次摆放着七个正方形（如图所示） 已知斜放置的三个正方形的面积分别是 1、2、3，正放 置的四个正方形的面积依次是 S1、S2、S3、S4，则
3、 S1+S2+S3+S4等于（ ） A4 B5 C6 D14 7如图，ABCD 是矩形纸片，翻折B，D，使 AD，BC 边与对角线 AC 重叠，且顶点 B，D 恰好落在同 一点 O 上，折痕分别是 CE，AF，则等于（ ） A B2 C1.5 D 8如图，D 是ABC 内一点，BDCD，AD6，BD4，CD3，E、F、G、H 分别是 AB、AC、CD、 BD 的中点，则四边形 EFGH 的周长是（ ） A7 B9 C10 D11 9已知 RtABC 的周长是 4+4，斜边上的中线长是 2，则 SABC为（ ） A16 B8 C4 D12 10如图，在ABCD 中，分别以 AB、AD 为边向外作
4、等边ABE、ADF，延长 CB 交 AE 于点 G，点 G 在点 A、E 之间，连接 CE、CF，EF，则以下四个结论一定正确的是（ ） CDFEBC；CDFEAF；ECF 是等边三角形；CGAE A只有 B只有 C只有 D 二、填空题（二、填空题（11-13 每题每题 3 分，分，14-18 题每题题每题 4 分，共分，共 29 分）分） 11直角三角形两边长是 3 和 4，则它的周长为 12已知一个菱形的两条对角线长分别为 6cm 和 8cm，则这个菱形的面积为 cm2 13若一个平行四边形一个内角的平分线把一条边分为 2cm 和 3cm 的两条线段，则该平行四边形的周长 是 14已知平行
5、四边形的面积是 144cm2，相邻两边上的高分别为 8cm 和 9cm，则这个平行四边形的周长为 cm 15在ABC 中，ABAC5，BC6若点 P 在边 AC 上移动，则 BP 的最小值是 16如图，在ABCD 中，AD2AB，F 是 AD 的中点，作 CEAB，垂足 E 在线段 AB 上，连接 EF、CF， 则下列结论中一定成立的是 （把所有正确结论的序号都填在横线上） DCFBCD；EFCF；SBEC2SCEF；DFE3AEF 17如图，P 是四边形 ABCD 的 DC 边上的一个动点，当四边形 ABCD 满足条件 时，PBA 的面积 始终保持不变（注：只需填上你认为正确的一种条件即可，
6、不必考虑所有可能的情形） 18 如图， 用 9 个全等的等边三角形， 按图拼成一个几何图案， 从该图案中可以找出 个平行四边形 三、解答题（共三、解答题（共 8 题，共题，共 91 分，将答案写在规定区域分，将答案写在规定区域.） 19 （9 分） （拓展创新）如图所示，正方形网格中的每个小正方形边长都是 1，每个小格的顶点叫格点，以 格点以顶点分别按下列要求画三角形 （1）使三角形的三边长分别为 3，2，； （在图中画一个即可） （2）使三角形为钝角三角形且面积为 4 （在图中画一个即可） 20 （10 分）在ABCD 中，过点 D 作 DEAB 于点 E，点 F 在边 CD 上，DFBE，
7、连接 AF，BF （1）求证：四边形 BFDE 是矩形； （2）若 CF3，BF4，DF5，求证：AF 平分DAB 21 （10 分）如图，在四边形 ABCD 中，ACBD，BD12，AC16，E，F 分别为 AB，CD 的中点，求 EF 的长 22 （12 分）已知：如图，在ABCD 中，E、F 分别为边 AB、CD 的中点，BD 是对角线，AGDB 交 CB 的延长线于 G （1）求证：ADECBF； （2）若四边形 AGBD 是矩形，则四边形 BEDF 是什么特殊四边形？请证明你的结论 23 （12 分）如图，正方形 ABCD 的对角线交于点 O，点 E 是线段 OD 上一点，连接 EC
8、，作 BFCE 于点 F，交 OC 于点 G （1）求证：BGCE； （2）若 AB4，BF 是DBC 的角平分线，求 OG 的长 24 （12 分）已知：菱形 OBCD 在平面直角坐标系中位置如图所示，点 B 的坐标为（2，0） ，DOB60 （1）点 D 的坐标为 ，点 C 的坐标为 ； （2）若点 P 是对角线 OC 上一动点，点 E（0，） ，求 PE+PB 的最小值 25 （12 分）阅读：如图 1，在ABC 中，3A+B180，BC4，AC5，求 AB 的长 小明的思路： 如图 2，作 BEAC 于点 E，在 AC 的延长线上取点 D，使得 DEAE，连接 BD，易得AD，ABD
9、为等腰三角形，由 3A+B180和A+ABC+BCA180，易得BCA2A，BCD 为等腰 三角形，依据已知条件可得 AE 和 AB 的长 解决下列问题： （1）图 2 中，AE ，AB ； （2）在ABC 中，A，B，C 的对边分别为 a、b、c 如图 3，当 3A+2B180时，用含 a，c 式子表示 b； （要求写解答过程） 当 3A+4B180，b2，c3 时，可得 a 26 （14 分）如图，在平面直角坐标系中，ABOC，A（0，12） ，B（a，c） ，C（b，0） ，并且 a，b 满足 b +16一动点 P 从点 A 出发，在线段 AB 上以每秒 2 个单位长度的速度向点 B 运
10、动；动 点 Q 从点 O 出发在线段 OC 上以每秒 1 个单位长度的速度向点 C 运动，点 P、Q 分别从点 A、O 同时出 发，当点 P 运动到点 B 时，点 Q 随之停止运动设运动时间为 t（秒） （1）求 B、C 两点的坐标； （2）当 t 为何值时，四边形 PQCB 是平行四边形？并求出此时 P、Q 两点的坐标； （3）当 t 为何值时，PQC 是以 PQ 为腰的等腰三角形？并求出 P、Q 两点的坐标 2020-2021 学年江苏省南通市海安市十一校八年级下学年江苏省南通市海安市十一校八年级下第一次段考数学试卷第一次段考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每小
11、题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ） A三内角之比为 1：2：3 B三边长的平方之比为 1：2：3 C三边长之比为 3：4：5 D三内角之比为 3：4：5 【分析】根据三角形内角和定理和勾股定理的逆定理判定是否为直角三角形 【解答】解：A、根据三角形内角和公式，求得各角分别为 30，60，90，所以此三角形是直角三 角形； B、三边符合勾股定理的逆定理，所以其是直角三角形； C、32+4252，符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形； D、根据三角形内角和公式，求得各角分别为 45，60，75，所以此三角形不是直角三角形；
12、故选：D 2将一根 24cm 的筷子，置于底面直径为 15cm，高 8cm 的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面 的长度 hcm，则 h 的取值范围是（ ） Ah17cm Bh8cm C15cmh16cm D7cmh16cm 【分析】如图，当筷子的底端在 A 点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在 D 点时，筷子 露在杯子外面的长度最长然后分别利用已知条件根据勾股定理即可求出 h 的取值范围 【解答】解：如图，当筷子的底端在 D 点时，筷子露在杯子外面的长度最长， h24816cm； 当筷子的底端在 A 点时，筷子露在杯子外面的长度最短， 在 RtABD 中，AD15，BD8
13、，AB17， 此时 h24177cm， 所以 h 的取值范围是 7cmh16cm 故选：D 3下列命题正确的是（ ） A对角线互相垂直的四边形是菱形 B一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 C对角线相等的四边形是矩形 D对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 【分析】根据矩形、菱形、平行四边形的知识可判断出各选项，从而得出答案 【解答】解：A、对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故本选项错误； B、一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形，故本选项错误； C、对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形，故本选项错误； D、对角线互相垂直平分且相等
14、的四边形是正方形，故本选项正确 故选：D 4平行四边形的两条对角线分别为 6 和 10，则其中一条边 x 的取值范围为（ ） A4x6 B2x8 C0 x10 D0 x6 【分析】平行四边形的两条对角线相交于平行四边形的两边构成三角形，这个三角形的两条边是 3，5， 第三条边就是平行四边形的一条边 x，即满足，解得即可 【解答】解：平行四边形 ABCD OAOC3，OBOD5 在AOB 中，OBOAxOB+OA 即：2x8 故选：B 5在ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，则能通过旋转到达重合的三角形有（ ） A2 对 B3 对 C4 对 D5 对 【分析】只要知道平行四边形中
15、全等的三角形的个数，就可知道能重合的三角形的个数 【解答】解：根据平行四边形的性质可知有 4 对全等的三角形：AOBCOD、AODCOB、 ADCCBA、ABDCBD它们能通过旋转达到重合故选 C 6在直线 l 上依次摆放着七个正方形（如图所示） 已知斜放置的三个正方形的面积分别是 1、2、3，正放 置的四个正方形的面积依次是 S1、S2、S3、S4，则 S1+S2+S3+S4等于（ ） A4 B5 C6 D14 【分析】如图，易证CDEABC，得 AB2+DE2DE2+CD2CE2，同理 FG2+LK2HL2，S1+S2+S3+S4 1+34 【解答】解：如图， 在CDE 和ABC 中， ，
16、 CDEABC（AAS） ， ABCD，BCDE， AB2+DE2DE2+CD2CE23， 同理可证 FG2+LK2HL21， S1+S2+S3+S4CE2+HL21+34 故选：A 7如图，ABCD 是矩形纸片，翻折B，D，使 AD，BC 边与对角线 AC 重叠，且顶点 B，D 恰好落在同 一点 O 上，折痕分别是 CE，AF，则等于（ ） A B2 C1.5 D 【分析】根据矩形的性质和折叠的性质，得到 AOAD，COBC，AOECOF90，从而 AO CO，ACAO+COAD+BC2BC，得到CAB30，ACB60，进一步得到BCE ，所以 BE，再证明AOECOF，得到 OEOF，所以
17、四边形 AECF 为菱形， 所以 AECE，得到 BE，即可解答 【解答】解：ABCD 是矩形， ADBC，B90， 翻折B，D，使 AD，BC 边与对角线 AC 重叠，且顶点 B，D 恰好落在同一点 O 上， AOAD，COBC，AOECOF90， AOCO，ACAO+COAD+BC2BC， CAB30， ACB60， BCE， BE ABCD， OAEFCO， 在AOE 和COF 中， AOECOF， OEOF， EF 与 AC 互相垂直平分， 四边形 AECF 为菱形， AECE， BE， 2， 故选：B 8如图，D 是ABC 内一点，BDCD，AD6，BD4，CD3，E、F、G、H 分
18、别是 AB、AC、CD、 BD 的中点，则四边形 EFGH 的周长是（ ） A7 B9 C10 D11 【分析】 根据勾股定理求出 BC 的长， 根据三角形的中位线定理得到 HGBCEF， EHFGAD， 求出 EF、HG、EH、FG 的长，代入即可求出四边形 EFGH 的周长 【解答】解：BDDC，BD4，CD3，由勾股定理得：BC5， E、F、G、H 分别是 AB、AC、CD、BD 的中点， HGBCEF，EHFGAD， AD6， EFHG2.5，EHGF3， 四边形 EFGH 的周长是 EF+FG+HG+EH2（2.5+3）11 故选：D 9已知 RtABC 的周长是 4+4，斜边上的中
19、线长是 2，则 SABC为（ ） A16 B8 C4 D12 【分析】由斜边上的中线长是 2，可以得到斜边长为 4，设两个直角边的长为 x，y 则 x+y4，x2+y2 16，解这个方程组求出 xy 的值即可求出三角形的面积 【解答】解：RtABC 的周长是 4+4，斜边上的中线长是 2， 斜边长为 4， 设两个直角边的长为 x，y，则 x+y4，x2+y216， 解得：xy8， SABCxy4 故选：C 10如图，在ABCD 中，分别以 AB、AD 为边向外作等边ABE、ADF，延长 CB 交 AE 于点 G，点 G 在点 A、E 之间，连接 CE、CF，EF，则以下四个结论一定正确的是（
20、） CDFEBC；CDFEAF；ECF 是等边三角形；CGAE A只有 B只有 C只有 D 【分析】根据题意，结合图形，对选项一一求证，判定正确选项 【解答】解：ABE、ADF 是等边三角形 FDAD，BEAB ADBC，ABDC FDBC，BEDC CBEFDC，FDAABE CDFEBC CDFEBC，故正确； FAEFAD+EAB+BAD60+60+（180CDA）300CDA， FDC360FDAADC300CDA， CDFEAF，故正确； 同理可得：CBEEAFCDF， BCADAF，BEAE， EAFEBC， AEFBEC， AEF+FEBBEC+FEBAEB60， FEC60，
21、CFCE， ECF 是等边三角形，故正确； 在等边三角形 ABE 中， 等边三角形顶角平分线、底边上的中线、高和垂直平分线是同一条线段 如果 CGAE，则 G 是 AE 的中点，ABG30，ABC150，题目缺少这个条件，CGAE 不 能求证，故错误 故选：B 二、填空题（二、填空题（11-13 每题每题 3 分，分，14-18 题每题题每题 4 分，共分，共 29 分）分） 11直角三角形两边长是 3 和 4，则它的周长为 12 或 7+ 【分析】直角边长为 3 和 4，根据勾股定理求出斜边的长，从而求出周长 【解答】解： （1）当 3 和 4 为直角边时 直角三角形两边长是 3 和 4，
22、斜边长为：5 周长为：3+4+512 （2）当 4 是斜边时 4 是斜边，3 是直角边时， 另一直角边为： 周长为：3+4+7+ 故答案为：12 或 7+ 12已知一个菱形的两条对角线长分别为 6cm 和 8cm，则这个菱形的面积为 24 cm2 【分析】根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求得其面积即可 【解答】解：一个菱形的两条对角线长分别为 6cm 和 8cm， 这个菱形的面积6824（cm2） 故答案为：24 13若一个平行四边形一个内角的平分线把一条边分为 2cm 和 3cm 的两条线段，则该平行四边形的周长是 14cm 或 16cm 【分析】根据平行四边形的性质和等腰三角形的判定求
23、解，解题时要注意分类讨论，即 DE 可能为 2，也 可能为 3 【解答】解：由题意可得，DC5cm， 平行四边形 ABCD， BAEDEA， 又AE 为DAB 的角平分线， DAEDEA， ADE 是等腰三角形，ADDE， 当 DE2cm 时，该平行四边形的周长是 10+414cm； 当 DE3cm 时，该平行四边形的周长是 10+616cm 14 已知平行四边形的面积是 144cm2， 相邻两边上的高分别为 8cm 和 9cm， 则这个平行四边形的周长为 68 cm 【分析】根据平行四边形的面积以及相邻两边的高，不难计算相邻两边的长是 18 和 16，再根据平行四 边形的对边相等，即可求得其
24、周长 【解答】解：平行四边形的面积边长高， 当边上的高为 8cm 时，边长144818； 当边上的高为 9cm 时，边长144916 平行四边形的周长为 2（18+16）68cm 故填空答案：68 15在ABC 中，ABAC5，BC6若点 P 在边 AC 上移动，则 BP 的最小值是 4.8 【分析】根据点到直线的连线中，垂线段最短，得到当 BP 垂直于 AC 时，BP 的长最小，过 A 作等腰三 角形底边上的高 AD，利用三线合一得到 D 为 BC 的中点，在直角三角形 ADC 中，利用勾股定理求出 AD 的长，进而利用面积法即可求出此时 BP 的长 【解答】解：根据垂线段最短，得到 BPA
25、C 时，BP 最短， 过 A 作 ADBC，交 BC 于点 D， ABAC，ADBC， D 为 BC 的中点，又 BC6， BDCD3， 在 RtADC 中，AC5，CD3， 根据勾股定理得：AD4， 又SABCBCADBPAC， BP4.8 故答案为：4.8 16如图，在ABCD 中，AD2AB，F 是 AD 的中点，作 CEAB，垂足 E 在线段 AB 上，连接 EF、CF， 则下列结论中一定成立的是 （把所有正确结论的序号都填在横线上） DCFBCD；EFCF；SBEC2SCEF；DFE3AEF 【分析】分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出AEFDMF（ASA） ，得出
26、对 应线段之间关系进而得出答案 【解答】解：F 是 AD 的中点， AFFD， 在ABCD 中，AD2AB， AFFDCD， DFCDCF， ADBC， DFCFCB， DCFBCF， DCFBCD，故正确； 延长 EF，交 CD 延长线于 M， 四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD， AMDF， F 为 AD 中点， AFFD， 在AEF 和DMF 中， ， AEFDMF（ASA） ， FEMF，AEFM， CEAB， AEC90， AECECD90， FMEF， FCFM，故正确； EFFM， SEFCSCFM， MCBE， SBEC2SEFC 故 SBEC2SCEF错误，即错误；
27、设FECx，则FCEx， DCFDFC90 x， EFC1802x， EFD90 x+1802x2703x， AEF90 x， DFE3AEF，故正确 故答案为： 17 如图， P 是四边形 ABCD 的 DC 边上的一个动点， 当四边形 ABCD 满足条件 如 DCAB （答案不唯一） 时， PBA 的面积始终保持不变 （注： 只需填上你认为正确的一种条件即可， 不必考虑所有可能的情形） 【分析】要使PBA 的面积始终保持不变，根据三角形面积公式由于 AB 的长一定，需满足 AB 边上的高 需不变，故四边形 ABCD 需满足条件 DCAB 【解答】解：当四边形 ABCD 满足条件 DCAB
28、时，PBA 的面积始终保持不变 18如图，用 9 个全等的等边三角形，按图拼成一个几何图案，从该图案中可以找出 15 个平行四边形 【分析】根据全等三角形的性质及平行四边形的判定，可找出现 15 个平行四边形 【解答】解：两个全等的等边三角形，以一边为对角线构成的四边形是平行四边形，这样的两个平行四 边形又可组成较大的平行四边形，从该图案中可以找出 15 个平行四边形 故答案为：15 三、解答题（共三、解答题（共 8 题，共题，共 91 分，将答案写在规定区域分，将答案写在规定区域.） 19 （9 分） （拓展创新）如图所示，正方形网格中的每个小正方形边长都是 1，每个小格的顶点叫格点，以 格
29、点以顶点分别按下列要求画三角形 （1）使三角形的三边长分别为 3，2，； （在图中画一个即可） （2）使三角形为钝角三角形且面积为 4 （在图中画一个即可） 【分析】 （1），据此作图； （2）可以使底为 2，高为 4 或底为 4，高为 2，做钝角三角形 【解答】解： （1）如图所示的ABC 就是三边分别为 3，2，的一个三角形； （2）如图所示的ABC，DEF 都是符合题意的钝角三角形 20 （10 分）在ABCD 中，过点 D 作 DEAB 于点 E，点 F 在边 CD 上，DFBE，连接 AF，BF （1）求证：四边形 BFDE 是矩形； （2）若 CF3，BF4，DF5，求证：AF 平
30、分DAB 【分析】 （1）根据平行四边形的性质，可得 AB 与 CD 的关系，根据平行四边形的判定，可得 BFDE 是 平行四边形，再根据矩形的判定，可得答案； （2）根据平行线的性质，可得DFAFAB，根据等腰三角形的判定与性质，可得DAFDFA， 根据角平分线的判定，可得答案 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD BEDF，BEDF， 四边形 BFDE 是平行四边形 DEAB， DEB90， 四边形 BFDE 是矩形； （2）四边形 ABCD 是平行四边形， ABDC， DFAFAB 在 RtBCF 中，由勾股定理，得 BC5， ADBCDF5， DAFDFA，
31、 DAFFAB， 即 AF 平分DAB 21 （10 分）如图，在四边形 ABCD 中，ACBD，BD12，AC16，E，F 分别为 AB，CD 的中点，求 EF 的长 【分析】如图，取 BC 边的中点 G，连接 EG、FG根据三角形中位线定理易求 EG、FG 的长度，并且 EGF90，所以在直角EGF 中，利用勾股定理来求 EF 的长度 【解答】解：如图，取 BC 边的中点 G，连接 EG、FG E，F 分别为 AB，CD 的中点， EG 是ABC 的中位线，FG 是BCD 的中位线， EGAC，FGBD 又 BD12，AC16，ACBD， EG8，FG6，EGFG， 在直角EGF 中，由用
32、勾股定理，得 EF10，即 EF 的长度是 10 22 （12 分）已知：如图，在ABCD 中，E、F 分别为边 AB、CD 的中点，BD 是对角线，AGDB 交 CB 的延长线于 G （1）求证：ADECBF； （2）若四边形 AGBD 是矩形，则四边形 BEDF 是什么特殊四边形？请证明你的结论 【分析】 （1）只要证明 AECF，CEAD，BCAD，即可根据 SAS 证明ADECDF； （2）根据已知条件证明 BEDF，BEDF，从而得出四边形 BEDF 是平行四边形，再证明 DEBE， 根据邻边相等的平行四边形是菱形，从而得出结论 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形，
33、 BADC，ADCB，ABCD， 点 E，F 分别是 AB，CD 的中点， AEAB，CFCD， AECF 在ADE 和CBF 中， ADECBF（SAS） （2）四边形 BEDF 是菱形，理由如下： 四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD，ABCD 点 E、F 分别是 AB、CD 的中点， BEAB，DFCD BEDF，BEDF， 四边形 BEDF 是平行四边形， 四边形 AGBD 是矩形， ADB90， 在 RtADB 中，E 为 AB 的中点， AEBEDE， 平行四边形 BEDF 是菱形 23 （12 分）如图，正方形 ABCD 的对角线交于点 O，点 E 是线段 OD 上一点，连
34、接 EC，作 BFCE 于点 F，交 OC 于点 G （1）求证：BGCE； （2）若 AB4，BF 是DBC 的角平分线，求 OG 的长 【分析】 （1）先根据正方形的性质得到相等的线段和角证得，BOGCEO（AAS） ，所以 BGCE； （2） 利用BF是DBC的角平分线求得18， 结合BFBF， 96可证明BEFBCF （ASA） ， 所以 BEBC4，根据 RtBOC 中对应的比例关系和三角函数可求得 BO2，所以 OEBEBO 42根据BOGCOE 可知 OGOE42 【解答】 （1）证明：正方形 ABCD 中，AC、BD 相交于 O， BOCO，BOCO， BFEC， 56790，
35、 34， 12， BOGCEO， （AAS） BGCE （1 分） （2）解：方法 1：BF 是DBC 的角平分线， 18， BFBF，9690， BEFBCF（ASA） ， （2 分） BEBC4， （1 分） 在 RtBOC 中， 即， ， （1 分） ， （1 分） BOGCOE， （1 分） 方法 2：BF 是DBC 的角平分线， 18， BFBF，9690， BEFBCF（ASA） ， BEBC4， 四边形 BCD 是正方形 AOB90，AOBO 设 AO 为 x， 由勾股定理，得 2x242 解得 x2 BOGCOE OGOE OEBEBO42， OG42 24 （12 分）已知：
36、菱形 OBCD 在平面直角坐标系中位置如图所示，点 B 的坐标为（2，0） ，DOB60 （1）点 D 的坐标为 （1，） ，点 C 的坐标为 （3，） ； （2）若点 P 是对角线 OC 上一动点，点 E（0，） ，求 PE+PB 的最小值 【分析】 （1）作 DFOB 于点 F，在直角ODF 中利用三角函数求得 DF 和 OF 的长，则 D 的坐标即可 求得，然后根据 CDOB，则 C 的坐标即可求得； （2）B 关于 OC 的对称点是 D，则 DE 的长就是 PE+PB 的最小值，作 DHy 轴于点 H，首先在直角 OGH 中利用勾股定理求得 DH 和 OH 的长，然后在直角HED 中利
37、用勾股定理求解 【解答】解： （1）作 DFOB 于点 F B 的坐标是（2，0） ， OB2， 菱形 OBCD 中，ODOBCD2， 在直角ODF 中，DFODsinDOB2，OFODcosDOB21， 则 D 的坐标是（1，） 则 C 的坐标是（3，） 故答案是： （1，） ， （3，） ； （2）作 DHy 轴于点 H，连接 DE 在直角ODH 中，HOD90DOB906030 GHODsinHOD21，OHODcosHOD2 则 HE2 在直角HED 中，DE 即 PE+PB 的最小值是 25 （12 分）阅读：如图 1，在ABC 中，3A+B180，BC4，AC5，求 AB 的长 小
38、明的思路： 如图 2，作 BEAC 于点 E，在 AC 的延长线上取点 D，使得 DEAE，连接 BD，易得AD，ABD 为等腰三角形，由 3A+B180和A+ABC+BCA180，易得BCA2A，BCD 为等腰 三角形，依据已知条件可得 AE 和 AB 的长 解决下列问题： （1）图 2 中，AE 4.5 ，AB 6 ； （2）在ABC 中，A，B，C 的对边分别为 a、b、c 如图 3，当 3A+2B180时，用含 a，c 式子表示 b； （要求写解答过程） 当 3A+4B180，b2，c3 时，可得 a 【分析】 （1）作 BEAC 于点 E，在 AC 的延长线上取点 D，使得 DEAE
39、，连接 BD，易得AD， ABD 为等腰三角形，由 3A+B180和A+ABC+BCA180，易得BCA2A，BCD 为等腰三角形，依据已知条件可得 AE 和 AB 的长 （2）解题思路同（1） ，如图 3，作 BEAC 于点 E，在 AC 的延长线上取点 D，使得 ABAD，连 接 BD，故 ABAD3，ABDD由于 3A+4ABC180，A+ABC+BCA180，于是 得到 2A+3ABCACBD+CBDABC+CBD+CBD， 推出A+ABCCBDBCD， 得到 BDCDADAC1， 在直角BDE 和直角AEB 中， 利用勾股定理得到： BD2DE2AB2AE2， 即 12（1CE）23
40、2（2+CE）2，求得 CE，BE，进而求得 a， 【解答】解： （1）如图 2，作 BEAC 于点 E，在 AC 的延长线上取点 D，使得 DEAE，连接 BD，则 BE 是中垂线， 故 ABBD，AD 3A+ABC180和A+ABC+BCA180， BCA2A， 又BCAD+CBD， BCAA+CBD2A，则CBDA， DCBC4， ADDC+AC4+59， AEAD4.5， ECADCD4.540.5 在直角BCE 和直角AEB 中，利用勾股定理得到： BC2CE2AB2AE2，即 420.52AB24.52， 解得 AB6 故答案是：4.5；6； （2）作 BEAC 于点 E， 在 A
41、C 的延长线上取点 D， 使得 DEAE， 连接 BD， 则 BE 是边 AD 的中垂线， 故 ABBD，AD 3A+2B180，A+ABC+BCA180， 2A+ABCACB， ACBD+DBC， 2A+ABCD+DBC， AD， A+ABCDBC，BDABc， 即DCBDBC， DBDCc， 设 ECx， DEAE ECAEACb， BE2BC2EC2，BE2AB2AE2， a2（）2c2（）2， 解得，b 如图 3，作 BEAC 于点 E，在 AC 的延长线上取点 D，使得 ABAD，连接 BD， 故 ABAD3，ABDD 3A+4ABC180，A+ABC+BCA180， 2A+3ABC
42、ACBD+CBDABC+CBD+CBD， 2A+2ABC2CBD， A+ABCCBDBCD， BDCDADAC1， 在直角BDE 和直角AEB 中，利用勾股定理得到： BD2DE2AB2AE2，即 12（1CE）232（2+CE）2， 解得 CE， BE， a， 故答案是： 26 （14 分）如图，在平面直角坐标系中，ABOC，A（0，12） ，B（a，c） ，C（b，0） ，并且 a，b 满足 b +16一动点 P 从点 A 出发，在线段 AB 上以每秒 2 个单位长度的速度向点 B 运动；动 点 Q 从点 O 出发在线段 OC 上以每秒 1 个单位长度的速度向点 C 运动，点 P、Q 分别
43、从点 A、O 同时出 发，当点 P 运动到点 B 时，点 Q 随之停止运动设运动时间为 t（秒） （1）求 B、C 两点的坐标； （2）当 t 为何值时，四边形 PQCB 是平行四边形？并求出此时 P、Q 两点的坐标； （3）当 t 为何值时，PQC 是以 PQ 为腰的等腰三角形？并求出 P、Q 两点的坐标 【分析】 （1）根据二次根式的性质得出 a，b 的值进而得出答案； （2）由题意得：QP2t， QOt，PB212t， QC16t， 根据平行四边形的判定可得 212t16t， 再解方程即可； （3）当 PQCQ 时，122+t2（16t）2，解方程得到 t 的值，再求 P 点坐标；当 P
44、QPC 时，由 题意得：QMt，CM162t，进而得到方程 t162t，再解方程即可 【解答】解： （1）b+16， a21，b16， 故 B（21，12）C（16，0） ； （2）由题意得：AP2t，QOt， 则：PB212t，QC16t， 当 PBQC 时，四边形 PQCB 是平行四边形， 212t16t， 解得：t5， P（10，12）Q（5，0） ； （3）当 PQCQ 时，过 Q 作 QNAB， 由题意得：122+t2（16t）2， 解得：t， 故 P（7，12） ，Q（，0） ， 当 PQPC 时，过 P 作 PMx 轴， 由题意得：QMt，CM162t， 则 t162t， 解得：t，2t， 故 P（ ，12） ，Q（，0）
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