1、 2021 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟数学模拟试试卷（卷（一一） 一一、选择题：本题共、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项分在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的 1已知复数z满足2zi ii，则z （ ） A 2 B3 C5 D10 2已知 f x是 R 上的偶函数， 12 ,x xR，则“ 12 0 xx”是“ 12 f xf x”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 3已知函数( ) 3sin()0,|
2、 2 f xx 的部分图象如图所示，若 513 2424 ff ，则函 数的单调递增区间为（ ） A 3 ,() 88 kkk Z B 3 2,2() 88 kkk Z C 37 ,() 88 kkk Z D 37 2,2() 88 kkk Z 4梯形ABCD中，/AB CD， 2CD ， 3 BAD ，若 2AB ACAB AD ，则AC AD （ ） A12 B16 C20 D24 5 定义 x表示不超过x的最大整数， 如 0 . 3 90 ，1.281 若数列 n a的通项公式为 2 log n an， n S为数列 n a的前n项和，则 2047 S（ ） A 11 22 B 11 3
3、 22 C 11 6 22 D 11 9 22 6式子 2 5y xxy x 的展开式中， 33 x y的系数为（ ） A3 B5 C15 D20 7日常生活中，有各式各样精美的糖果包装礼盒某个铁皮包装礼盒的平面展开图是由两个全等的矩形，两 个全等的三角形和一个正方形所拼成的多边形(如图)，矩形的长为12cm，矩形的宽和正方形的边长均为 8cm.若该包装盒内有一颗球形硬糖的体积为V 3 cm，则V的最大值为（ ） A 64 2 3 B 32 2 3 C32 D 256 3 8设点 ,A B分别为双曲线 22 22 :10,0 xy Cab ab 的左右焦点，点 ,M N分别在双曲线C的左、右支
4、 上，若 2 5,MNAM MBMN MB ，且,MBNB则双曲线C的离心率为（ ） A 65 5 B 85 5 C13 5 D17 7 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题分在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求全部选对的得目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9已知函数 sinf xAx （0A，0，）的部分图象如图示，且 5 0 6 ff ， 则下列说法正确的为（ ） A函数 2 3 yfx 为奇函数 B要得到函数 ( ) 2si
5、n2g xx=的图象，只需将函数 f x的图象向右平移 3 个单位长度 C函数 f x的图象关于直线 12 x 对称 D函数 f x在区间 511 , 1212 上单调递增 10在棱长为 2 的正方体 1111 ABCDABC D中，点 M 在线段 1 BC上， 1 2BMMC，过 A、 1 C、M 三点 的平面截正方体所得的截面记为，记BD与截面的交点为 N，则（ ） A截面的形状为等腰梯形 B3BDBN CMN 平面 11 BCD D三棱锥 1 CMND的体积为 4 9 11在ABC中，D，E，F 分别是边BC，AC，AB中点，下列说法正确的是（ ） A0 ABACAD B0 DAEBFC
6、 C若 3 | ABACAD ABACAD ，则BD是BA在BC的投影向量 D若点 P 是线段AD上的动点，且满足BPBABC，则的最大值为 1 8 12已知函数 3 1? ( ) 1 x x xex f x e x x ， ， ，函数( )( )g xxf x，下列选项正确的是（ ） A点(0,0)是函数 ( )f x的零点 B 12 (0,1),(1,3)xx，使 12 ( )()f xf x C函数 ( )f x的值域为 1 e , D若关于x的方程 2 ( )2( )0g xag x有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是 2 2 2 ee ,( ,) e82 三、填空题：本题共三、
7、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且 22 cosbcaB，8a ，ABC的面积 为4 3，则bc的值为_ 14已知数列 n a为等差数列，数列 n b为等比数列若集合 123 ,Aa a a，集合 123 ,Bb b b，集 合, , 2Ca b（0a，0b），且ABC，则ab_ 15在ABC中，45A ，M是AB的中点，若2ABBC，D在线段AC上运动，则DB DM 的最小值为_ 16已知数列 n a的前 n 项和为 n S，满足 1 3 2 a ， 2 2a ， 21 241 nnn SSS ，
8、则数列 n a的前 16 项和 16 S=_. 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写分解答应写出出文字说明、证明过程或演算步骤文字说明、证明过程或演算步骤 17 已知递增等差数列 n a满足 15 10aa， 24 21aa， 数列 n b满足 2 2log1,* nn banN. （1）求 n b的前 n 项和 n S； （2）若 12 (1) nn Tnbnbb，求数列 n T的通项公式. 18在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， sin3sinbAB， 222 bcabc （1）求ABC外接圆的面积； （2）若BC边上的中线长为 3
9、3 2 ，求ABC的周长 19甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都 猜对，则“星队”得 3 分；如果只有一个人猜对，则“星队”得 1 分；如果两人都没猜对，则“星队”得 0 分已 知甲每轮猜对的概率是 3 4 ，乙每轮猜对的概率是 2 3 ；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响各轮结果亦互 不影响假设“星队”参加两轮活动，求： （）“星队”至少猜对 3 个成语的概率； （）“星队”两轮得分之和为 X 的分布列和数学期望 EX 20 如图， 在四棱锥PABCD中， 底面四边形ABCD中，/AD BC，ADBC ，ADCD，ADDC， 在 PAD
10、 中，PAPD，60APD o ，平面PAD 平面PCD. （1）证明：AB 平面PAD； （2）若4AB ，Q为线段PB的中点，求三棱锥QPCD的体积. 21已知椭圆C： 22 22 10 xy ab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，短轴长为2 3，点P在椭圆上， 1 PFx轴，且 1 3 2 PF （1）求椭圆C的标准方程； （2） 将椭圆C按照坐标变换 1 2 3 3 xx yy 得到曲线 1 C， 若直线l与曲线 1 C相切且与椭圆C相交于M，N两 点，求MN的取值范围 22已知函数 1 lnf xxaxaR x （1）求函数 f x的单调区间； （2）当1a时， 1 2
11、exg xf xx x ，记函数 yg x在 1 ,1 4 上的最大值为m，证明： 430mm 2021 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟数学模拟卷（卷（一一） 一一、选择题：本题共、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项分在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的 1已知复数z满足2zi i i，则z （ ） A 2 B3 C5 D10 【答案】A 【解析】由题意可得： 2 211 i ziiii i ， 则1,2zi z . 故选 A. 2已知 f x是 R 上
12、的偶函数， 12 ,x xR，则“ 12 0 xx”是“ 12 f xf x”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由题意，函数 f x是 R 上的偶函数， 若 12 0 xx，则 12 xx ，则 122 f xfxf x成立，即充分性成立； 若 12 f xf x，则 12 xx 或 12 xx，即必要性不一定成立， 所以“ 12 0 xx”是“ 12 f xf x”的充分不必要条件. 故选：A. 3已知函数( ) 3sin()0,| 2 f xx 的部分图象如图所示，若 513 2424 ff ，则函 数的单调递增区间为（
13、） A 3 ,() 88 kkk Z B 3 2,2() 88 kkk Z C 37 ,() 88 kkk Z D 37 2,2() 88 kkk Z 【答案】A 【解析】因为 513 2424 ff ，所以对称轴为 93 248 x，即 3 2 82 k 又因为0 8 f ，所以2 8 k ， 联立可得：2, 4 ，所以 3sin 2 4 f xx ， 所以222 242 kxk ，即 3 ,() 88 xkkk Z 所以函数 f x的单调递增区间为 3 ,() 88 xkkk Z 故选：A. 4梯形ABCD中，/AB CD， 2CD ， 3 BAD ，若 2AB ACAB AD ，则AC
14、AD （ ） A12 B16 C20 D24 【答案】C 【解析】解：因为 2AB ACAB AD ，所以AB AC AB ADAB DCAB AD ， 所以2cos 3 ABABAD ，可得4AD ， 2 164 2 cos20 3 AC ADADDCADADAD DC . 故选：C. 5 定义 x表示不超过x的最大整数， 如 0.390，1.281 若数列 n a的通项公式为 2 log n an， n S为数列 n a的前n项和，则 2047 S（ ） A 11 22 B 11 3 22 C 11 6 22 D 11 9 22 【答案】D 【解析】1n， 2 log0n， 当 2 0lo
15、g1n时，1n ，即 1 0a （共 1 项）； 当 2 1log2n时，2,3n ，即 23 1aa（共 2 项）； 当 2 2log3n时，4,5,6,7n ，即 4567 2aaaa（共 4 项）； 当 2 log1knk时， 1 2 ,21,21 kkk n ，即1 22121 kkk aaak （共2k项）， 由 2 12222047 k ，得 1 1 2 2047 1 2 k 即 1 22048 k ，所以10k 所以 2310 2047 0 1 1 22 23 210 2S ， 则 23411 2047 21 22 23 210 2S ， 两式相减得 2341011 2047 2
16、+222210 2S 10 1111 21 2 10 29 22 1 2 ， 11 2047 9 22S 故选：D 6式子 2 5y xxy x 的展开式中， 33 x y的系数为（ ） A3 B5 C15 D20 【答案】B 【解析】 22 555yy xxyx xyxy xx ， 5 x xy的展开式通项为 56 55 kkkkkk k TxCxyCxy ， 2 5y xy x 的展开式通项为 2 542 55 rrrrrr r y SCxyCxy x ， 由 63 43 k r ，可得 3 1 k r ， 因此，式子 2 5y xxy x 的展开式中， 33 x y的系数为 31 55
17、5CC. 故选：B. 7日常生活中，有各式各样精美的糖果包装礼盒某个铁皮包装礼盒的平面展开图是由两个全等的矩形，两 个全等的三角形和一个正方形所拼成的多边形(如图)，矩形的长为12cm，矩形的宽和正方形的边长均为 8cm.若该包装盒内有一颗球形硬糖的体积为V 3 cm，则V的最大值为（ ） A 64 2 3 B 32 2 3 C32 D 256 3 【答案】A 【解析】根据题意作出礼盒的直观图如下图所示： 由图可知该几何体为直三棱柱， 设等腰三角形的内切圆半径为R，又因为等腰三角形的高为 22 1248 2 ， 所以根据等面积法可知：12 12 88 8 2 22 R ，所以2 2R ， 又因
18、为正方形的边长为8，所以 8 2 24 2 R ， 所以球形硬糖的半径最大值为2 2，所以体积V的最大值为 3 464 2 2 2= 33 ， 故选：A. 8设点 ,A B分别为双曲线 22 22 :10,0 xy Cab ab 的左右焦点，点 ,M N分别在双曲线C的左、右支 上，若 2 5,MNAM MBMN MB ，且,MBNB则双曲线C的离心率为（ ） A 65 5 B 85 5 C13 5 D17 7 【答案】B 【解析】 5MNAM ，,A M N共线，设AM m，则5MNm， 22 ()MBMN MBMBMBBNMBMB BN ， 0MB BN ，MB BN ， 结合双曲线定义得
19、 22 2 2 62 (5 ) MBma mNBa MBNBm ， 222 (2 )(62 )25mamam，整理得()(32 )0mamam a 或 2 3 ma， 若 2 3 ma，则 8 3 MBa，2NBa，不满足MBNB，舍去， 若m a ，则3MBa，4NBa，满足MBNB，5MNa，6ANa， 在MNB中 44 cos 55 a MNB a ， 在ANB中，由余弦定理得 222 2cosABANBNAN BNNB， 即 222 4361664 5 4 2caaaa ，整理得 2 2 17 5 c a ， 85 5 c e a 故选：B 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小
20、题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题分在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求全部选对的得目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9已知函数 sinf xAx （0A，0，）的部分图象如图示，且 5 0 6 ff ， 则下列说法正确的为（ ） A函数 2 3 yfx 为奇函数 B要得到函数 ( ) 2sin2g xx=的图象，只需将函数 f x的图象向右平移 3 个单位长度 C函数 f x的图象关于直线 12 x 对称 D函数 f x在区间 511 , 1212 上单调递增 【答案】
21、BCD 【解析】由图象可知2A，因为 5 0 6 ff ，所以函数 f x图象的一条对称轴为直线 5 0 6 2 x 5 12 ，设 f x的最小正周期为T，则 5 41264 T ，即T，所以 2 2 T ，又 5 2 12 f ， 所以 5 2sin2 6 ，即 5 sin1 6 ，所以 5 2 62 k ，kZ，即 4 2 3 k ， kZ因为，所以 2 3 ，所以 2 2sin 2 3 f xx 对于 A， 22 2sin 2 33 yfxx ，为非奇非偶函数，故 A 错误； 对于 B， f x的图象向右平移 3 个单位长度得到 2 2sin 22sin2 33 yxx 的图象， 即
22、g x的 图象，B 正确； 对于 C，当 12 x 时， 2 2 32 x ，所以 yf x的图象关于直线 12 x 对称，C 正确； 对于 D，由 2 222 232 kxk ，kZ，得 7 1212 kxk ，kZ，所以函数 f x 在区间 511 , 1212 上单调递增，D 正确综上可知，正确的说法为 BCD 故选：BCD 10在棱长为 2 的正方体 1111 ABCDABC D中，点 M 在线段 1 BC上， 1 2BMMC，过 A、 1 C、M 三点 的平面截正方体所得的截面记为，记BD与截面的交点为 N，则（ ） A截面的形状为等腰梯形 B3BDBN CMN 平面 11 BCD
23、D三棱锥 1 CMND的体积为 4 9 【答案】BCD 【解析】对 A，如图，连接 1 C M交BC于 E， 11 BMCCME， 111 2 BCB M CEMC 即 E 是中点，取 11 AD中点 F，连接AE、AF、 1 C F， 故 1 / /AFC E，即菱形 1 AEC F为与正方体的截面，故 A 错误； 对 B，同理可得ANDENB，2 DNAD NBBE ，3BDBN，故 B 正确； 对 C，连接 1 AC，由前两个相似三角形可知 1 1 2 EMEN MCNA ， 1 / /MNAC， 在正方体中，由 11 BCBC， 1 BCAB，且 1 BCABB=， 故 1 BC 面
24、1 ABC，故而 11 BCAC， 同理 111 B DAC，且 1111 B DBCB， 1 AC 平面 11 BCD，MN平面 11 BCD，故 C 正确； 对 D， 1 12 3 33 MNAC ， 11 2 3 2 22 3 4 B CD S ， 111 12 3 33 MCDB CD SS 11 112 32 34 33339 C MNDMCD VMN S 故选：BCD. 11在ABC中，D，E，F 分别是边BC，AC，AB中点，下列说法正确的是（ ） A0 ABACAD B0 DAEBFC C若 3 | ABACAD ABACAD ，则BD是BA在BC的投影向量 D若点 P 是线段
25、AD上的动点，且满足BPBABC，则的最大值为 1 8 【答案】BCD 【解析】如图所示： 对选项 A， 20ABACADADADAD ，故 A 错误. 对选项 B， 111 ()()() 222 DAEBFCABACBABCCACB 111111 222222 ABACBABCCACB 111111 0 222222 ABACABBCACBC ，故 B 正确. 对选项 C， | AB AB ， | AC AC ， | AD AD 分别表示平行于AB，AC，AD的单位向量， 由平面向量加法可知： | ABAC ABAC 为BAC的平分线表示的向量. 因为 3 | ABACAD ABACAD ，
26、所以AD为BAC的平分线， 又因为AD为BC的中线，所以ADBC，如图所示： BA在BC的投影为 cos BD BABBABD BA =?， 所以BD是BA在BC的投影向量，故选项 C 正确. 对选项 D，如图所示： 因为P在AD上，即,A P D三点共线， 设(1)BPtBAt BD=+-，01t . 又因为 1 2 BDBC，所以 (1) 2 t BPtBABC - =+. 因为BPBABC，则1 2 t t ，01t . 令 2 1111 () 2228 t yttl m - = ?-+， 当 1 2 t 时，取得最大值为 1 8 .故选项 D 正确. 故选：BCD 12已知函数 3 1
27、? ( ) 1 x x xex f x e x x ， ， ，函数( )( )g xxf x，下列选项正确的是（ ） A点(0,0)是函数 ( )f x的零点 B 12 (0,1),(1,3)xx，使 12 ( )()f xf x C函数 ( )f x的值域为 1 e , D若关于x的方程 2 ( )2( )0g xag x有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是 2 2 2 ee ,( ,) e82 【答案】BC 【解析】 ( )yf x 图像 ( )yg x图像 对于选项 A，0 是函数 ( )f x的零点，零点不是一个点，所以 A 错误. 对于选项 B，当1x时， /( ) (1) x
28、 fxxe，可得， 当1x时， ( )f x单调递减；当11x 时， ( )f x单调递增； 所以，当01x时， 0( )f xe 当1x 时， / 4 (3) ( ) x ex fx x ，可得， 当13x时， ( )f x单调递减；当 3x 时， ( )f x单调递增； 所以，当13x时， 3 ( ) 27 e ef x ，综上可得，选项 B 正确. 对于选项 C， min 1 ( )( 1)f xf e ，选项 C 正确. 对于选项 D，关于x的方程 2 ( )2( )0g xag x有两个不相等的实数根 关于x的方程( ) ( )2 0g x g xa有两个不相等的实数根 关于x的方程
29、( )20g xa有一个非零的实数根 函数( )yg x与2ya有一个交点，且 0 x 2 2 ,1 ( ) ,1 x x x ex g x e x x 当1x时， /2 ( )(2 ) x g xexx 当x变化时， /( ) gx，( )g x的变化情况如下： x 2x 2 20 x 0 01x /( ) gx 0 0 ( )g x 极大值 极小值 极大值 2 4 ( 2)g e ，极小值(0)0g 当1x 时， / 3 (2) ( ) x ex g x x 当x变化时， /( ) gx，( )g x的变化情况如下： x 1 12x 2 2x /( ) gx 0 ( )g x e 极小值
30、极小值 2 (2) 4 e g 综上可得， 2 2 4 2 4 e a e 或2ae， a的取值范围是 2 2 2 ee ,( ,) e82 ，D 不正确. 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且 22 cosbcaB，8a ，ABC的面积 为4 3，则bc的值为_ 【答案】4 5 【解析】由题意，在ABC中，22 cosbcaB， 根据余弦定理，可得 222 22 2 acb bca ac ，整理得 222 bcabc ， 可得 222 1 cos 22 bca A bc ，因为
31、(0, )A，可得 2 3 A ， 又因为ABC的面积为4 3，可得 113 sin4 3 222 bcAbc，解得16bc ， 又由8a ，根据余弦定理可得 222 2cosabcbcA， 即 222222 2 642cos()()16 3 bcbcbcbcbcbcbc ， 所以 2 ()80bc，可得4 5bc. 故答案为：4 5 14已知数列 n a为等差数列，数列 n b为等比数列若集合 123 ,Aa a a，集合 123 ,Bb b b，集 合, , 2Ca b（0a，0b），且ABC，则ab_ 【答案】5 【解析】由 123123 , , 2a a ab b ba b，其中0a，
32、0b， 可得 2 2b ，则 2 21 3 4bbb，令 13 , abbb，或 13 , bbba可得4ab， 令 n a中的 123 ,2,abaaa ，根据等差数列的性质可得 213 2aaa， 所以22ab ， 根据得出1,4ab，所以5ab； 令 n a中的 123 ,2,aaaba ，根据等差数列的性质可得 213 2aaa， 所以22ba ， 根据得出4,1ab，所以5ab； 同理令 n a中的 321 ,2,abaaa ，根据等差数列的性质可得 213 2aaa， 所以22ab ，与联立可5ab； 令 n a中的 321 ,2,aaaba ，根据等差数列的性质可得 213 2a
33、aa， 所以22ba ，与联立可5ab；综上所述5ab. 故答案为：5ab. 15在ABC中，45A ，M是AB的中点，若2ABBC，D在线段AC上运动，则DB DM 的最小值为_ 【答案】 7 8 【解析】 在ABC中，45A，2ABBC，所以45C，90B ， ABC是等腰直角三角形，2 2AC ， 如图以AC所在的直线为x轴，以AC的中点为坐标原点建立直角坐标系， 则 22 2,0 ,0,2 , 22 ABM ，设,0D t22t 则 22 ,2 , 22 DBtDMt ， 所以 2 222 21 222 DB DMtttt 22 2127 1 4848 tt ， 所以 2 4 t 时，
34、DB DM取得最小值为 7 8 ， 故答案为： 7 8 16已知数列 n a的前 n 项和为 n S，满足 1 3 2 a ， 2 2a ， 21 241 nnn SSS ，则数列 n a的前 16 项和 16 S=_. 【答案】84 【解析】将 21 ()241 nnn SSS 变形为 211 1 ()() 2 nnnn SSSS ，即 21 1 2 nn aa ， 又 1 3 2 a ， 2 2a ， 21 1 2 aa符合上式， n a是首项 1 3 2 a ，公差 1 2 d 的等差数列 16 316 151 1684 222 S . 故答案为：84 四、解答题：本题共四、解答题：本题
35、共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写分解答应写出出文字说明、证明过程或演算步骤文字说明、证明过程或演算步骤 17已知递增等差数列 n a满足 15 10aa， 24 21aa，数列 n b满足 2 2log1,* nn banN. （1）求 n b的前 n 项和 n S； （2）若 12 (1) nn Tnbnbb，求数列 n T的通项公式. 【答案】（1）21 n n S ；（2） 1 22 n n Tn + -=. 【解析】（1）设数列 n a公差为(0)d d ，由 1 11 2410 321 ad adad ， 解得 1 1 2 a d 或 1 9 2 a d （舍去）， 所以1
36、 (1) 221 n ann ， 则 2 2log22 n bn，即 2 log1 n bn，所以 1 2n n b ， 所以数列 n b的前 n 项和 21 21 21 n n n S . （2）由（1）知21 n n S ， 又由 12 (1). nn Tnbnbb， 11212312 ()()() nn Tbbbbbbbbb 2 12 2 121+(21) n n SSS 21 2 21 22+222 2 1 n nn nnn . 18在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， sin3sinbAB， 222 bcabc （1）求ABC外接圆的面积； （2）若BC边上的中线长为
37、3 3 2 ，求ABC的周长 【答案】（1）3；（2）9. 【解析】解：（1）因为sin3sinbAB，又 sinsin ab AB ，即sinsinbAaB，所以3a ， 由 222 1 cos 22 bca A bc ，得 3 A ，设ABC外接圆的半径为R 则 13 3 2 sin3 2 2 a R A ，所以ABC外接圆的面积为3 （2）设BC的中点为D，则 3 3 2 AD 因为 1 2 ADABAC， 所以 22222 1127 |2 444 ADABACAB ACcbbc， 即 22 27cbbc ，又 222 bcabc，3a ，则 22 9 18 bc bc ， 整理得 2
38、2 90b ，解得3b或3（舍去），则3c 所以ABC的周长为 9 19甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都 猜对，则“星队”得 3 分；如果只有一个人猜对，则“星队”得 1 分；如果两人都没猜对，则“星队”得 0 分已 知甲每轮猜对的概率是 3 4 ，乙每轮猜对的概率是 2 3 ；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响各轮结果亦互 不影响假设“星队”参加两轮活动，求： （）“星队”至少猜对 3 个成语的概率； （）“星队”两轮得分之和为 X 的分布列和数学期望 EX 【答案】（） 2 3 （）分布列见解析， 23 6 EX 【解析】（）记事件
39、 A:“甲第一轮猜对”，记事件 B：“乙第一轮猜对”， 记事件 C：“甲第二轮猜对”，记事件 D：“乙第二轮猜对”， 记事件 E：“星队至少猜对 3 个成语”. 由题意，.EABCDABCDABCDABCDABCD 由事件的独立性与互斥性， P EP ABCDP ABCDP ABCDP ABCDP ABCD P A P B P C P DP A P B P C P DP A P B P C P D P A P B P C P DP A P B P C P D 323212323132 =2 434343434343 2 . 3 , 所以“星队”至少猜对 3 个成语的概率为 2 3 . （）由题
40、意，随机变量X的可能取值为 0,1,2,3,4,6. 由事件的独立性与互斥性，得 11111 0 4343144 P X , 31111211105 12 4343434314472 P X , 313131121231121225 2 4343434343434343144 P X , 321111321 3 4343434312 P X , 32313212605 42= 4343434314412 P X , 32321 6 43434 P X . 可得随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 6 P 1 144 5 72 25 144 1 12 5 12 1 4 所以数学期望 15
41、2515123 012346 14472144121246 EX . 20 如图， 在四棱锥PABCD中， 底面四边形ABCD中，/AD BC，ADBC ，ADCD，ADDC， 在 PAD 中，PAPD，60APD o ，平面PAD 平面PCD. （1）证明：AB 平面PAD； （2）若4AB ，Q为线段PB的中点，求三棱锥QPCD的体积. 【答案】（1）证明见解析 ；（2） 8 3 3 . 【解析】（1）如下图所示，取PD的中点O，连接AO， 在 PAD 中，PAPD，60APD o ，则 PAD 为等边三角形， 因为O为PD的中点，则AOPD， 平面PAD 平面PCD，平面PAD平面PCD
42、PD，AO平面PAD， AO平面PCD， CD平面PCD，CDAO， CDAD，AOADAI，CD平面PAD， 在四边形ABCD中，/AD BC且ADBC，所以，四边形ABCD为平行四边形， 所以，/AB CD，因此，AB 平面PAD； （2）由（1）知，四边形ABCD为平行四边形， 因为ADCD，ADCD，所以，四边形ABCD为正方形，4ADAB， 所以， PAD 是边长为4为等边三角形， AOQ平面PCD，所以A到平面PCD的距离 22 2 3dAOADOD ， /AB CDQ，AB平面PCD，CD平面PCD，/AB平面PCD， 所以A、B两点到平面PCD的距离相等，均为d， 又Q为线段P
43、B的中点，所以Q到平面PCD的距离3 2 d h ， 由（1）知，CD平面PAD，因为PD 平面PAD，所以CDPD， 所以 1118 3 4 43 3323 Q PCDPCD VSh . 21已知椭圆C： 22 22 10 xy ab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，短轴长为2 3，点P在椭圆上， 1 PFx轴，且 1 3 2 PF （1）求椭圆C的标准方程； （2） 将椭圆C按照坐标变换 1 2 3 3 xx yy 得到曲线 1 C， 若直线l与曲线 1 C相切且与椭圆C相交于M，N两 点，求MN的取值范围 【答案】（1） 22 1 43 xy ；（2） 4 6 3, 3 MN
44、 . 【解析】解：（1）由已知可得，22 33bb， 2 1 3 2 2 b PFa a ， 则椭圆C的标准方程为： 22 1 43 xy （2）由 2 2 22 1 3 2 2 2 11 4333 3 xx y xx x xy yy yy ，则曲线 1 C： 22 1xy， 当直线l斜率存在且为k时，设l：y kxm ，由直线l与圆 1 C相切， 则 22 2 11 1 m dmk k ， 由 222 22 3484120 1 43 ykxm kxkmxm xy ，设 11 ,M x y， 22 ,N x y， 则 12 2 2 12 2 8 34 412 34 km xx k m x x
45、k ，且0 恒成立 由 222 2 22 12122 2 2 641648 141 34 34 k mm MNkxxxxk k k 22 2 2 144 19248 1 34 km k k 由 22 1mk，则 22 22 22 1449632 14 31 3434 kk MNkk kk ,令 2 34tk ，则 2 43kt ， 2 2 22 1 31 32111 33323 34 tt tt MN kttt ， 令 11 0, 3 s t ，则 2 23yss ， 1 0, 3 s ，则 32 3, 9 y ， 4 6 3, 3 MN 当直线l斜率不存在时，l：1x ， 2 2 3 b MN a ， 综上： 4 6 3, 3 MN 22已知函数 1 lnf xxaxaR x （1）求函数 f x的单调区间； （2）当1a时， 1 2 exg xf xx x ，记函数 yg x在 1 ,1 4
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