1、2021 年山东省日照市高考数学模拟试卷（年山东省日照市高考数学模拟试卷（3 月份）月份） 一、单项选择题：共一、单项选择题：共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。求的。 1复平面内表示复数 zi（ai）（a0）的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2设集合 Ax|x2+x20，Bx|2x+30，则 AB（ ） A B C（1，2） D（2，1） 3要将甲、乙、丙、丁 4 名同学分到 A，B，C 三个班中，要求每个班至少分到一人，则甲被分到
2、A 班的 分法种数为（ ） A6 B12 C24 D36 4明朝早期，郑和七下西洋过程中，将中国古代天体测量方面所取得的成就创造性地应用于航海，形成了 一套先进的航海技术“过洋牵星术”简单地说，就是通过观测不同季节、时辰的日月星辰在天空 运行的位置和测量星辰在海面以上的高度来判断方位 其采用的主要工具是牵星板， 其由 12 块正方形木 板组成，最小的一块边长约 2 厘米（称一指），木板的长度从小到大依次成等差数列，最大的边长约 24 厘米 （称十二指） 观测时，将木板立起， 一手拿着木板， 手臂伸直， 眼睛到木板的距离大约为 72 厘米， 使牵星板与海平面垂直，让板的下缘与海平面重合，上边缘对
3、着所观测的星辰依高低不同替换、调整木 板，当被测星辰落在木板上边缘时所用的是几指板，观测的星辰离海平面的高度就是几指，然后就可以 推算出船在海中的地理纬度 如图所示， 若在一次观测中， 所用的牵星板为六指板， 则 sin2 约为 （ ） A B C D 5函数 ya3x（a0，且 a1）的图象恒过定点 A，若点 A 在椭圆上，则 m+n 的最小值为（ ） A12 B14 C16 D18 6如图所示，单位圆上一定点 A 与坐标原点重合若单位圆从原点出发沿 x 轴正向滚动一周，则 A 点形成 的轨迹为（ ） A B C D 7 将函数 ysinx 的图象向左平移个单位， 得到函数 yf （x） 的
4、函数图象， 则下列说法正确的是 （ ） Ayf（x）是奇函数 Byf（x）的周期为 Cyf（x）的图象关于直线 x对称 Dyf（x）的图象关于点（，0）对称 8已知直三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱长为 2，ABBC，ABBC2过 AB，BB1的中点 E，F 作平面 与平面 AA1C1C 垂直，则所得截面周长为（ ） A B C D 二、 多项选择题： 共二、 多项选择题： 共 4 小题， 每小题小题， 每小题 5 分， 共分， 共 20 分。 在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求的，分。 在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求的， 全部选对得全部选对得 5 分，选对但不全的
5、得分，选对但不全的得 3 分，有选错得得分，有选错得得 0 分。分。 9PM2.5 是衡量空气质量得重要指标，我国采用世卫组织得最宽值限定值，即 PM2.5 日均值在 35g/m3以 下，空气质量为一级，在 3575g/m3，空气质量为二级，超过 75g/m3为超标如图是某地 12 月 1 日 至 10 日得 PM2.5（单位：g/m3）的日均值，则下列说法正确的是（ ） A这 10 天中有 3 天空气质量为一级 B从 6 日到 9 日 PM2.5 日均值逐渐降低 C这 10 天中 PM2.5 日均值的中位数是 55 D这 10 天中 PM2.5 日均值的平均值是 45 10已知 x1+log
6、3x10，x2+log2x20，则（ ） A0 x2x11 B0 x1x21 Cx2lgx1x1lgx20 Dx2lgx1x1lgx20 11已知函数 f（x）对于任意 xR，均满足 f（x）f（2x）当 x1 时，若 函数 g（x）m|x|2f（x），下列结论正确的为（ ） A若 m0，则 g（x）恰有两个零点 B若，则 g（x）有三个零点 C若，则 g（x）恰有四个零点 D不存在 m 使得 g（x）恰有四个零点 12已知正方体 ABCA1B1C1D1的棱长为 4，M 为 DD1的中点，N 为 ABCD 所在平面上一动点，则下列命 题正确的是（ ） A若 MN 与平面 ABCD 所成的角为，
7、则点 N 的轨迹为圆 B若 MN4，则 MN 的中点 P 的轨迹所围成图形的面积为 2 C若点 N 到直线 BB1与直线 DC 的距离相等，则点 N 的轨迹为抛物线 D若 D1N 与 AB 所成的角为，则点 N 的轨迹为双曲线 三、填空题：共三、填空题：共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13若函数 f（x）logax（a1），在区间a，2a上的最大值是最小值的 3 倍，则 a 14为了贯彻落实习近平总书记在全国教育大会上的讲话精神，2020 年中办、国办联合印发了关于全面 加强和改进新时代学校体育工作的意见为落实该文件精神，某中学对女生立定跳远项目的考核要求
8、为：1.33 米得 5 分，每增加 0.03 米，分值增加 5 分，直到 1.84 米得 90 分后，每增加 0.1 米，分值增加 5 分，满分为 120 分若某女生训练前的成绩为 70 分，经过一段时间的训练后，成绩为 105 分，则该女生 经过训练后跳远增加了 米 15已知函数（a3），若对任意 x1，x2，x3R，总有 f（x1），f（x2），f（x3）为某一个 三角形的边长，则实数 a 的取值范围是 16已知 F1，F2分别为双曲线 C：的左、右焦点，E 为双曲线 C 的右顶点，过 F2的直线与双曲 线 C 的右支交于 A，B 两点（其中点 A 在第一象限），设 M，N 分别为AF1F
9、2，BF1F2的内心，则|ME| |NE|的取值范围是 四、解答题：共四、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17在ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 所对的边，若 2asinA（2sinB+sinC）b+（2sinC+sinB）c （1）求 A 的大小； （2）求 sinB+sinC 的最大值 18在已知数列an满足：an+12an0，a38，等比数列an中，公比 q2，前 5 项和为 62，这两 个条件中任选一个，并解答下列问题 （1）求数列an的通项公式； （2）设，数列bn的前 n 项和为 Tn，若 2Tn
10、m2022 对 nN*恒成立，求正整数 m 的最大值 19如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 E，BD8，AC6，将ACD 沿 AC 折到PAC 的位置 使得 PD4 （1）证明：PBAC （2）求平面 PAB 与平面 PCD 所成锐二面角的余弦值 20为加强进口冷链食品监管，某省于 2020 年底在全省建立进口冷链食品集中监管专仓制度，在口岸、目 的地市（或县区、市）等进口冷链食品第一入境点，设立进口冷链食品集中监管专仓，集中开展核酸检 测和预防性全面消毒工作，为了进一步确定某批进口冷冻食品是否感染病毒，在入关检疫时需要对其采 样进行化验，若结果呈阳性，则有该病毒；若结果
11、呈阴性，则没有该病毒，对于 n（nN*）份样本，有 以下两种检验方式：一是逐份检验，则需检验 n 次：二是混合检验，将 k 份样本分别取样混合在一起， 若检验结果为阴性，那么这 k 份全为阴性，因而检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这 k 份究竟哪些为阳性，就需要对它们再次取样逐份检验，则 k 份检验的次数共为 k+1 次，若每份样本没有 该病毒的概率为（0p1），而且样本之间是否有该病毒是相互独立的 （1）若 p，求 2 份样本混合的结果为阳性的概率； （2）若取得 4 份样本，考虑以下两种检验方案； 方案一：采用混合检验； 方案二：平均分成两组，每组 2 份样本采用混合检验 若检
12、验次数的期望值越小，则方案越“优”试间方案一、二哪个更“优”？请说明理由 21在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，动点 G 到两点的距离之和为 4 （1）试判断动点 G 的轨迹是什么曲线，并求其轨迹方程 C； （2）已知直线 l：（k0）与圆 F：交于 M、N 两点，与曲线 C 交于 P、 Q 两点，其中 M、P 在第一象限d 为原点 O 到直线 l 的距离，是否存在实数 k，使得 T（|NQ|MP|） d 2 取得最大值，若存在，求出 k；不存在，说明理由 22已知函数 f（x）exax1，g（x）kx2 （1）当 a0 时，求 f（x）的值域； （2）令 a1，当 x（0，+）时，恒成立，
13、求 k 的取值范围 参考答案参考答案 一、单项选择题：共一、单项选择题：共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。求的。 1复平面内表示复数 zi（ai）（a0）的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 解：复数 zi（ai）1+ai， 因为 a0，所以复数 z 对应的点的坐标（1，a）在第四象限 故选：D 2设集合 Ax|x2+x20，Bx|2x+30，则 AB（ ） A B C（1，2） D（2，1） 解：， 故选：A 3要将甲、乙、丙、丁 4
14、名同学分到 A，B，C 三个班中，要求每个班至少分到一人，则甲被分到 A 班的 分法种数为（ ） A6 B12 C24 D36 解：根据题意，分 2 步进行分析： 将甲、乙、丙、丁 4 名同学分为 3 组，有 C426 种分组方法， 将甲所在的组分到 A 班，剩下 2 组安排到 B、C 班，有 A222 种情况， 则有 6212 种分法， 故选：B 4明朝早期，郑和七下西洋过程中，将中国古代天体测量方面所取得的成就创造性地应用于航海，形成了 一套先进的航海技术“过洋牵星术”简单地说，就是通过观测不同季节、时辰的日月星辰在天空 运行的位置和测量星辰在海面以上的高度来判断方位 其采用的主要工具是牵
15、星板， 其由 12 块正方形木 板组成，最小的一块边长约 2 厘米（称一指），木板的长度从小到大依次成等差数列，最大的边长约 24 厘米 （称十二指） 观测时，将木板立起， 一手拿着木板， 手臂伸直， 眼睛到木板的距离大约为 72 厘米， 使牵星板与海平面垂直，让板的下缘与海平面重合，上边缘对着所观测的星辰依高低不同替换、调整木 板，当被测星辰落在木板上边缘时所用的是几指板，观测的星辰离海平面的高度就是几指，然后就可以 推算出船在海中的地理纬度 如图所示， 若在一次观测中， 所用的牵星板为六指板， 则 sin2 约为 （ ） A B C D 解：由题意知六指为 2+512（厘米）， 所以 ta
16、n， 所以 sin22sincos 故选：B 5函数 ya3x（a0，且 a1）的图象恒过定点 A，若点 A 在椭圆上，则 m+n 的最小值为（ ） A12 B14 C16 D18 解：由题意可知 A（3，1）， ，即， m+n（m+n）10+10+216，当且仅当，即 m3n12 时取 到等号 故选：C 6如图所示，单位圆上一定点 A 与坐标原点重合若单位圆从原点出发沿 x 轴正向滚动一周，则 A 点形成 的轨迹为（ ） A B C D 解：因为 A 在圆上，转动一周，先慢慢升高， 达到最高点的纵坐标为圆的直径长为 2，然后在下来， 转动一周的横坐标为圆的周长 2 故选：A 7 将函数 ys
17、inx 的图象向左平移个单位， 得到函数 yf （x） 的函数图象， 则下列说法正确的是 （ ） Ayf（x）是奇函数 Byf（x）的周期为 Cyf（x）的图象关于直线 x对称 Dyf（x）的图象关于点（，0）对称 解：将函数 ysinx 的图象向左平移个单位，得 ysin（x+）cosx 即 f（x）cosx f（x）是周期为 2 的偶函数，选项 A，B 错误； coscos（ ）0， yf（x）的图象关于点（，0）、（，0）成中心对称 故选：D 8已知直三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱长为 2，ABBC，ABBC2过 AB，BB1的中点 E，F 作平面 与平面 AA1C1C 垂直，则所得截
18、面周长为（ ） A B C D 解：取 AC 的中点 D，连接 BD，取 A1C1的中点 D1，连接 B1D1，DD1， 取 AD 的中点 G，连接 EG，连接 EF，并延长，与 A1B1的延长线交于 H， 取 C1D1的中点 M，连接 MH，交 B1C1于 N，连接 FN，GM， 可得 EGBD，BDB1D1，MNB1D1，即有 EGMN， 又 ABBC，可得 BDAC， AA1平面 ABC，可得 AA1BD，所以 BD平面 AA1C1C， 可得 EG平面 AA1C1C， 由面面垂直的判定定理，可得平面 EGMNF平面 AA1C1C， 则平面 EGMNF 即为平面 ， 由 EGBD，GM，M
19、NB1D1，NF，FE， 可得所得截面周长为+3+ 故选：C 二、 多项选择题： 共二、 多项选择题： 共 4 小题， 每小题小题， 每小题 5 分， 共分， 共 20 分。 在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求的，分。 在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求的， 全部选对得全部选对得 5 分，选对但不全的得分，选对但不全的得 3 分，有选错得得分，有选错得得 0 分。分。 9PM2.5 是衡量空气质量得重要指标，我国采用世卫组织得最宽值限定值，即 PM2.5 日均值在 35g/m3以 下，空气质量为一级，在 3575g/m3，空气质量为二级，超过 75g/m3为超标如图是某
20、地 12 月 1 日 至 10 日得 PM2.5（单位：g/m3）的日均值，则下列说法正确的是（ ） A这 10 天中有 3 天空气质量为一级 B从 6 日到 9 日 PM2.5 日均值逐渐降低 C这 10 天中 PM2.5 日均值的中位数是 55 D这 10 天中 PM2.5 日均值的平均值是 45 解：由图形知，PM2.5 日均值在 35g/m3以下的有第 1 天、第 3 天和第 4 天，共三天空气质量为一级，A 正确； 从 6 日到 9 日 PM2.5 日均值是逐渐降低，所以选项 B 正确； 这 10 天中 PM2.5 日均值从小到大排列为 30、32、34、40、41、45、48、60
21、、78、80， 所以中位数是（41+45）43，所以选项 C 错误； 计算平均数为（30+41+32+34+40+80+78+60+45+48）48.8，所以 D 错误 故选：AB 10已知 x1+log3x10，x2+log2x20，则（ ） A0 x2x11 B0 x1x21 Cx2lgx1x1lgx20 Dx2lgx1x1lgx20 解：由题意可知 x10，x20， 因为知 x1+log3x10，x2+log2x20， 所以 log3x1x1，log2x2x2， 故比较 yx 与 ylog3x 和 ylog2x 交点横坐标的大小， 在同一坐标系中作出三个函数的图象如图所示， 由图可知，0
22、 x1x21 故选：BC 11已知函数 f（x）对于任意 xR，均满足 f（x）f（2x）当 x1 时，若 函数 g（x）m|x|2f（x），下列结论正确的为（ ） A若 m0，则 g（x）恰有两个零点 B若，则 g（x）有三个零点 C若，则 g（x）恰有四个零点 D不存在 m 使得 g（x）恰有四个零点 解：由 f（x）f（2x）对任意 xR 都成立， 所以函数 f（x）的图像关于直线 x1 对称， 先作出函数 f（x）在（，1上的图像，再作出这部分图像关于直线 x1 对称的图像，得函数 f（x） 的图像， 如图所示： 令 g（x）0，得 f（x）m|x|2， 令 h（x）m|x|2，则函数
23、 g（x）的零点个数即函数 f（x）的图像与函数 yh（x）的图像的交点个数， 因为 h（x）h（x）， 所以函数 yh（x）是偶函数， 所以 yh（x）的图像关于 y 轴对称，且恒过定点（0，2）， 当函数 yh（x）的图像过点 A（2，1）时，m， 过点（0，2）作函数 ylnx（0 x1）的图像的切线， 设切点为（x0，lnx0）处的切线方程为 ylnx0 （xx0）， 又切线过点（0，2），所以 x0， 所以切线的斜率为 e， 即当 me 时，yh（x）的图像与函数 ylnx（0 x1）的图像相切， 对于 A：若 m0，则 g（x）恰有两个零点，故 A 正确； 对于 B：若，则 g（x
24、）有三个零点，故 B 正确； 对于 C，D：若，则 g（x）恰有四个零点，故 C 正确，D 不正确 故选：ABC 12已知正方体 ABCA1B1C1D1的棱长为 4，M 为 DD1的中点，N 为 ABCD 所在平面上一动点，则下列命 题正确的是（ ） A若 MN 与平面 ABCD 所成的角为，则点 N 的轨迹为圆 B若 MN4，则 MN 的中点 P 的轨迹所围成图形的面积为 2 C若点 N 到直线 BB1与直线 DC 的距离相等，则点 N 的轨迹为抛物线 D若 D1N 与 AB 所成的角为，则点 N 的轨迹为双曲线 解：对于 A，因为 MN 与平面 ABCD 所成的角为，即MND， 所以 DN
25、DM2，所以点 N 的轨迹是 D 为圆心，2 为半径的圆，故选项 A 正确； 对于 B，若 MN4，因为 MDDN，MD2，所以， 所以点 P 到 DM 的中点 Q 的距离为， 又因为点 P 到平面 ABCD 的距离等于 DQ1 为定值， 所以点 P 的轨迹是以 Q 为圆心，为半径的圆， 其面积为，故选项 B 错误； 对于 C，因为 BB1平面 ABCD，所以点 N 到直线 BB1的距离为 NB，即点 N 到点 B 的距离与到直线 DC 的距离相等， 又 B 不在直线 DC 上，所以点 N 的轨迹为以 B 为焦点，直线 DC 为准线的抛物线，故选项 C 正确； 对于 D，以 D 为坐标原点，D
26、A，DC，DD1为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系如图所示， 则 A（4，0，0），B（4，4，0），D1（0，0，4），设 N（x，y，0）， 则， 因为 D1N 与 AB 所成的角为 ， 所以， 化简可得 3y2x216，所以点 N 的轨迹为双曲线，故选项 D 正确 故选：ACD 三、填空题：共三、填空题：共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13若函数 f（x）logax（a1），在区间a，2a上的最大值是最小值的 3 倍，则 a 解：函数 f（x）logax（a1），函数是增函数， 在区间a，2a上的最大值是最小值的 3 倍， 可得 loga（2
27、a）3logaa3，即 loga2+13，解得 a 故答案为： 14为了贯彻落实习近平总书记在全国教育大会上的讲话精神，2020 年中办、国办联合印发了关于全面 加强和改进新时代学校体育工作的意见为落实该文件精神，某中学对女生立定跳远项目的考核要求 为：1.33 米得 5 分，每增加 0.03 米，分值增加 5 分，直到 1.84 米得 90 分后，每增加 0.1 米，分值增加 5 分，满分为 120 分若某女生训练前的成绩为 70 分，经过一段时间的训练后，成绩为 105 分，则该女生 经过训练后跳远增加了 0.42 米 解：已知 1.33 米1.84 米，每增加 0.03 米，分值增加 5
28、 分， 训练前 70 分，则训练前的跳远距离为 1.33+1.33+0.391.72 米， 又 1.84 米得 90 分， 则 1.84 米后跳远距离为， 所以训练后跳远距离为 1.84+0.32.14 米， 所以该女生训练后跳远增加的距离为 2.141.720.42， 故答案为：0.42 15已知函数（a3），若对任意 x1，x2，x3R，总有 f（x1），f（x2），f（x3）为某一个 三角形的边长，则实数 a 的取值范围是 3，6 解：因为 f（x1），f（x2），f（x3）为某一个三角形的边长， 所以 f（x1）+f（x2）f（x3），对任意 x1，x2，x3R，恒成立， 函数3+，
29、当 a3 时，f（x）3，满足题意； 当 a3，f（x）在 R 上单调递减， 所以函数的值域为（3，a）， 所以 f（x1）+f（x2）6 且 f（x3）a， 所以 3a6， 综上可得，3a6， 即实数 a 的取值范围是3，6 故答案为：3，6 16已知 F1，F2分别为双曲线 C：的左、右焦点，E 为双曲线 C 的右顶点，过 F2的直线与双曲 线 C 的右支交于 A，B 两点（其中点 A 在第一象限），设 M，N 分别为AF1F2，BF1F2的内心，则|ME| |NE|的取值范围是 （，） 解：由题意可得 E（2，0），设 AF1，AF2，F1F2的切点分别为 H，I，J， 则 AHAI，F
30、1HF1J，F2JF2 由双曲线的定义可知 AF1AF22a， 即（AH+HF1）（AI+IF2）2a，所以 HF1IF22a， 即 JF1JF22a， 设内心 M 的横坐标为 x0，则点 J 的横坐标为 x0， 则（c+x0）（cx0）2a，可得 x0a， 所以 JMx 轴，则 E 为直线 JM 与 x 轴的交点， 同理可得BF1F2的内心在直线 JM 上， 设直线 AB 的倾斜角为 ，则EF2M，EF2N， MENE（ca）tan（ca）tan（ca）（tantan）（ca）（ ）（ca）， 由题意知 a2，c4， 所以， 所以 tan或 tan， 所以 MENE（，0）（0，）， 当直线
31、 AB 的斜率不存在时，MENE0， 综上所述：MENE（，）， 故答案为：（，） 四、解答题：共四、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17在ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 所对的边，若 2asinA（2sinB+sinC）b+（2sinC+sinB）c （1）求 A 的大小； （2）求 sinB+sinC 的最大值 解：（1）因为 2asinA（2sinB+sinC）b+（2sinC+sinB）c， 所以由正弦定理可得 2a2（2b+c）b+（2c+b）c，即 a2b2+c2+bc， 由余弦定理可得 cos
32、A， 因为 A（0，）， 可得 A （2）由（1）可得 sinB+sinCsinB+sin（B）cosB+sinBsin（+B）， 故当 B时，sinB+sinC 取得最大值为 1 18在已知数列an满足：an+12an0，a38，等比数列an中，公比 q2，前 5 项和为 62，这两 个条件中任选一个，并解答下列问题 （1）求数列an的通项公式； （2）设，数列bn的前 n 项和为 Tn，若 2Tnm2022 对 nN*恒成立，求正整数 m 的最大值 解：（1）选已知数列an满足：an+12an0，a38， 设等比数列an的公比为 q， 由 an+12an，可得 q2， 又 a38，即 4a
33、18，解得 a12， 所以 an2n； 选等比数列an中，公比 q2，前 5 项和为 62， 则 q2，62， 解得 a1q2， 所以 an2n； （2）， Tn+， Tn+， 上面两式相减可得Tn+ ， 化简可得 Tn2， 因为 Tn+1Tn2 2+ 0， 所以Tn递增，T1最小，且为 ，所以 2m2022， 解得 m2023， 则 m 的最大值为 2022 19如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 E，BD8，AC6，将ACD 沿 AC 折到PAC 的位置 使得 PD4 （1）证明：PBAC （2）求平面 PAB 与平面 PCD 所成锐二面角的余弦值 【解答】（1）证明：
34、因为 ABCD 是菱形，所以 ACBD， 则 BEAC，PEAC 因为 BE平面 PBE，PE平面 PBE，且 BEPEE，所以 AC平面 PBE 因为 PB平面 PBE，所以 PBAC （2）解：取 DE 的中点 O，连接 OP，取 CD 的中点 F，连接 OF 因为 BD8，所以 DEPE4 因为 PD4，所以 PDPE，所以 PODE 由（1）可知 AC平面 PBE，所以平面 PBD平面 ABCD，则 PO平面 ABCD 故以 O 为坐标原点，的方向分别为 x，y，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz 由题中数据可得 A （3， 2， 0） ， B （0， 6， 0）
35、， C （3， 2， 0） ， D （0， 2， 0） ， 则， 设平面 PAB 的法向量为 （x1，y1，z1）， 则，令 x14，得 设平面 PCD 的法向量为 （x2，y2，z2）， 则，令 x24，得 设平面 PAB 与平面 PCD 所成的锐二面角为 ， 则 20为加强进口冷链食品监管，某省于 2020 年底在全省建立进口冷链食品集中监管专仓制度，在口岸、目 的地市（或县区、市）等进口冷链食品第一入境点，设立进口冷链食品集中监管专仓，集中开展核酸检 测和预防性全面消毒工作，为了进一步确定某批进口冷冻食品是否感染病毒，在入关检疫时需要对其采 样进行化验，若结果呈阳性，则有该病毒；若结果呈
36、阴性，则没有该病毒，对于 n（nN*）份样本，有 以下两种检验方式：一是逐份检验，则需检验 n 次：二是混合检验，将 k 份样本分别取样混合在一起， 若检验结果为阴性，那么这 k 份全为阴性，因而检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这 k 份究竟哪些为阳性，就需要对它们再次取样逐份检验，则 k 份检验的次数共为 k+1 次，若每份样本没有 该病毒的概率为（0p1），而且样本之间是否有该病毒是相互独立的 （1）若 p，求 2 份样本混合的结果为阳性的概率； （2）若取得 4 份样本，考虑以下两种检验方案； 方案一：采用混合检验； 方案二：平均分成两组，每组 2 份样本采用混合检验 若检验
37、次数的期望值越小，则方案越“优”试间方案一、二哪个更“优”？请说明理由 解：（1）该混合样本阴性的概率是（）2， 根据对立事件可得阳性的概率为：1 （2）方案一：混在一起检验，方案一的检验次数记为 X，则 X 的可能取值为 1，5， P（X1）（）2p2， P（X5）1p2， X 的分布列为： X 1 5 P p2 1p2 E（X）1p2+5（1p2）54p2 方案二：由题意分析得每组 2 份样本混合检验时， 若阴性则检验次数为 1，概率为（）2p， 若阳性，则检测次数为 3，概率为 1p， 方案二的检验次数记为 Y，则 Y 的可能取值为 2，4，6， P（Y2）p2， P（Y4）， P（Y6
38、）（1p）2， Y 的分布列为： Y 2 4 6 P p2 2p2p2 （1p）2 E（Y）2p2+4（2p2p2）+6（1p）264p， E（Y）E（X）64p（54p2）4p24p+1， 当 p时，可得 E（X）E（Y），方案一更优； 当 p时，可得 E（X）E（Y），方案一、二一样 21在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，动点 G 到两点的距离之和为 4 （1）试判断动点 G 的轨迹是什么曲线，并求其轨迹方程 C； （2）已知直线 l：（k0）与圆 F：交于 M、N 两点，与曲线 C 交于 P、 Q 两点，其中 M、P 在第一象限d 为原点 O 到直线 l 的距离，是否存在实数 k，使得
39、 T（|NQ|MP|） d 2 取得最大值，若存在，求出 k；不存在，说明理由 解：（1）由题意知，|GF1|+|GF2|42， 所以动点 G 的轨迹是椭圆， 由椭圆的定义可知，c，a2， 又因为 a2b2c2， 所以 b21， 所以 G 的轨迹方程为+y21 （2）由题设知，M 在椭圆外，N 在椭圆内，点 P 在F2内，Q 在F2外， 在直线 l 上的四点满足： |MP|MN|NP|，|NQ|PQ|NP|， 由， 消去 y 得：（1+4k2）x28k2x+12k240， 因为直线 l 经过椭圆 C 内的右焦点 F2， 所以该方程的判别式0 恒成立， 设 P（x1，y1），Q（x2，y2），
40、所以 x1+x2 ，x1x2 ， |PQ| ， 又因为F2的直径|MN|1， 所以|NQ|MP|PQ|NP|（|MN|NP|）|PQ|MN|PQ|1， yk（x）化为 kxy k0， 因为 d 为点 O 到直线 l 的距离，d， T（|NQ|MP|）d21， 当且仅当 4k2，即 k时等号成立， 所以 k满足题意 22已知函数 f（x）exax1，g（x）kx2 （1）当 a0 时，求 f（x）的值域； （2）令 a1，当 x（0，+）时，恒成立，求 k 的取值范围 解：（1）函数 f（x）exax1，所以 f（x）exa， 令 f（x）0，解得 xlna， 所以 f（x）在（，lna上单调递
41、减，在区间lna，+）上单调递增， 所以 f（x）的最小值为 f（lna）elnaalna1aalna1， 故函数 f（x）的值域为aalna1，+）； （2）当 a1 时，f（x）exx1， 不等式可变形为f（x）+xln（x+1）kx2（x0），即（ex1）ln（x+1）kx2， 所以， 因为对 x（0，+）恒成立， 所以对 x（0，+）恒成立， 令，则， 令 n（x）（x1）ex+1，则 n（x）xex， 因为 x0，所以 n（x）0，故 n（x）在（0，+）上单调递增， 所以 n（x）n（0）0， 故 m（x）0，所以 m（x）在（0，+）上单调递增， 则 m（x）0（x0）， 又由（1）可知，当 a1，且 x0 时，f（x）exx1 的值域为（0，+），即 f（x）exx10， 所以 exx+1 恒成立，即 xln（x+1）， 所以 m（x）m（ln（x+1），即， 又对 x（0，+）恒成立， 所以 k1，故实数 k 的取值范围为（，1
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