1、2021 年湖南省长沙、广东省深圳年湖南省长沙、广东省深圳名名校高考数学联考试卷（校高考数学联考试卷（3 月份）月份） 一、单项选择题（每小题一、单项选择题（每小题 5 分）分） 1设集合 Ax|x2+x20，Bx|0 x3，则 AB（ ） Ax|2x3 Bx|0 x1 Cx|1x3 Dx|0 x2 2已知 i 是虚数单位，z 是复数，若（1+3i）z2i，则复数 z 的虚部为（ ） A B C D 3在ABC 中，“sinAcosB”是“C”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4函数 f（x）ln（+kx）的图象不可能是（ ） A B C D 5
2、已知圆 x2+y24x+4y+a0 截直线 x+y40 所得弦的长度小于 6，则实数 a 的取值范围为（ ） A B C（9，+） D（9，8） 6 的展开式中的常数项是（ ） A5 B15 C20 D25 7已知双曲线的实轴长为 16，左焦点为 F，M 是双曲线 C 的一条渐近线上 的点，且 OMMF，O 为坐标原点，若 SOMF16，则双曲线 C 的离心率为（ ） A B C D 8已知函数 f（x）+x+2，若不等式 f（m4x+1）+f（m2 x）5 对任意的 x0 恒成立，则实数 m 的最小值为（ ） A B 1 C D1 二、多项选择题（每小题二、多项选择题（每小题 5 分）分）
3、9设 a，b，c 为实数，且 ab0，则下列不等式中正确的是（ ） A Bac2bc2 C Dlga2lg（ab） 10 函数 f （x） Acos （x+）的部分图象如图所示， 且满足， 现将图象沿 x 轴向左平移个单位，得到函数 yg（x）的图象 下列说法正确的是（ ） Ag（x）在上是增函数 Bg（x）的图象关于对称 Cg（x）是奇函数 Dg（x）在区间上的值域是 11 已知四棱锥 PABCD， 底面 ABCD 为矩形， 侧面 PCD平面 ABCD， BC2， CDPCPD2 若 点 M 为 PC 的中点，则下列说法正确的为（ ） ABM平面 PCD BPA面 MBD C四棱锥 MABC
4、D 外接球的表面积为 36 D四棱锥 MABCD 的体积为 6 12 设 Sn为等比数列an的前 n 项和， 满足 a13， 且 a1， 2a2， 4a3成等差数列， 则下列结论正确的是 （ ） A B3Sn6+an C若数列an中存在两项 ap，as使得，则的最小值为 D若恒成立，则 mt 的最小值为 三、填空题（本题共三、填空题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13已知| |2，| |1， + （2，），则| +2 | 14若cos（）sin ，则 sin（2+） 15已知直线 y2x2 与抛物线 y28x 交于 A，B 两点，抛物线的焦点为 F，则
5、的值为 16已知函数，若函数 有 3 个不同的零点 x1，x2，x3，且 x1x2x3，则 f（x1）+f（x2）+2f（x3）的取值范围是 四、解答题（本题共四、解答题（本题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形，DAB90，ADBC，AD侧面 PAB， PAB 是等边三角形，DAAB2，BC，E 是线段 AB 的中点 （）求证：PECD； （）求 PC 与平面 PDE 所成角的正弦值 18在bsinA+asinB4csinAsinB，cos2C22
6、， 这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解决该问题 已知ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对边，sinAsinB，c2，_，求角 C 及 ABC 的面积 S 19已知数列an满足 a15，且 an+2an1（2）n3（n2 且 nN*） （1）求 a2，a3的值； （2）设 bn，是否存在实数 ，使得bn是等差数列？若存在，求出 的值，否则，说明理由 （3）求an的前 n 项和 Sn 20为了缓解日益拥堵的交通状况，不少城市实施车牌竞价策略，以控制车辆数量某地车牌竞价的基本 规则是：“盲拍”，即所有参与竞拍的人都是网络报价，每个人并不知晓其他人的报价，也不知道参 与当期
7、竞拍的总人数；竞价时间截止后，系统根据当期车牌配额，按照竞拍人的出价从高到低分配名 额某人拟参加 2018 年 4 月份的车牌竞拍，他为了预测最低成交价，根据竞拍网站的公告，统计了最近 5 个月参与竞拍的人数（如表）： 月份 2017.11 2017.12 2018.01 2018.02 2018.03 月份编号 t 1 2 3 4 5 竞拍人数 y （万 人） 0.5 0.6 1 1.4 1.7 （1）由收集数据的散点图发现，可用线性回归模型拟合竞拍人数 y（万人）与月份编号 t 之间的相关关 系请用最小二乘法求 y 关于 t 的线性回归方程：，并预测 2018 年 4 月份参与竞拍的人数；
8、 （2）某市场调研机构对 200 位拟参加 2018 年 4 月份车牌竞拍人员的报价价格进行了一个抽样调查，得 到如表一份频数表： 报价区间 （万 元） 1，2） 2，3） 3，4） 4，5） 5，6） 6，7 频数 20 60 60 30 20 10 （i）求这 200 位竞拍人员报价 X 的平均值 和样本方差 s2（同一区间的报价可用该价格区间的中点值代 替）； （ii）假设所有参与竞价人员的报价 X 可视为服从正态分布 N（，2），且 与2可分别由（i）中所 求的样本平均数 及 s2估值若 2018 年 4 月份实际发放车牌数量为 3174，请你合理预测（需说明理由） 竞拍的最低成交价
9、参考公式及数据：回归方程，其中，； ，； 若随机变量 Z 服从正态分布 N（，2），则 P（Z+）0.6826，P（2Z+2 ）0.9544，P（3Z+3）0.9974 21已知椭圆的离心率为 ，直线与椭圆 C 有且仅有一个公共 点 A （1）求椭圆 C 的方程及 A 点坐标； （2）设直线 l 与 x 轴交于点 B过点 B 的直线与 C 交于 E，F 两点，记 A 在 x 轴上的投影为 G，T 为 BG 的中点，直线 AE，AF 与 x 轴分别交于 M，N 两点试探究|TM|TN|是否为定值？若为定值，求出此定 值，否则，请说明理由 22已知函数 f（x）x22mx+2lnx（m0） （1）
10、讨论函数 f（x）的单调性； （2）若 x1，x2为函数 f（x）的两个极值点，且 x1，x2为函数 h（x）lnxcx2bx 的两个零点，x1x2求 证：当时， 参考答案参考答案 一、单项选择题（每小题一、单项选择题（每小题 5 分）分） 1设集合 Ax|x2+x20，Bx|0 x3，则 AB（ ） Ax|2x3 Bx|0 x1 Cx|1x3 Dx|0 x2 解：由 Ax|x2+x20 x|2x1， Bx|0 x3， 得 ABx|2x3 故选：A 2已知 i 是虚数单位，z 是复数，若（1+3i）z2i，则复数 z 的虚部为（ ） A B C D 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘
11、除运算化简得答案 解：由（1+3i）z2i， 得 z， 复数 z 的虚部为， 故选：B 3在ABC 中，“sinAcosB”是“C”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】在ABC 中，由“sinAcosB”或，即或；由“C” ，则，根据充分必要条件的定义判断即可 解：在ABC 中，若 sinAcosB，则或，即或， 故在ABC 中，“sinAcosB”推不出“C”； 若，则，则， 故在ABC 中，“C”“sinAcosB”； 故在ABC 中，“sinAcosB”是“C”必要不充分条件 故选：B 4函数 f（x）ln（+kx）的图象不可能是（
12、） A B C D 解：A，B 选项中，图象关于原点对称， f（x）为奇函数，即 f（x）+f（x）0，即 ln（+kx）+ln（kx）0， k1， 当 k1 时，f（x）的图象为选项 A；当 k1 时，f（x）的图象为选项 B； 而 C，D 选项中，图象关于 y 轴对称，所以 f（x）为偶函数，即 f（x）f（x），即 ln（+kx） ln（kx）， k0， 当 k0 时，f（x）0，故 f（x）的图象为选项 D，不可能为选项 C 故选：C 5已知圆 x2+y24x+4y+a0 截直线 x+y40 所得弦的长度小于 6，则实数 a 的取值范围为（ ） A B C（9，+） D（9，8） 【分
13、析】化圆的方程为标准方程，求得圆心坐标与半径，由 r20 求得 a 的范围，求出圆心到直线的距 离，结合弦长小于 6 列式进一步求解 a 的范围，取交集得答案 解：由圆 x2+y24x+4y+a0，得（x2）2+（y+2）28a， 圆心为（1，1），半径为，则 8a0，即 a8， 圆心到直线 x+y40 的距离为， 弦的长度小于 6， 解得 a9， a（9，8）， 故选：D 6 的展开式中的常数项是（ ） A5 B15 C20 D25 【分析】 求出展开式的通项公式， 分别令 x 的指数为 0， 2， 求出对应的 r 值， 从而计算得解 解：展开式的通项公式为 Tr+1（1）rx6 2r， 令
14、 62r0，得 r3，令 62r2，得 r4， 所以的展开式中的常数项是（1）4+2（1）325 故选：D 7已知双曲线的实轴长为 16，左焦点为 F，M 是双曲线 C 的一条渐近线上 的点，且 OMMF，O 为坐标原点，若 SOMF16，则双曲线 C 的离心率为（ ） A B C D 【分析】求得双曲线 C 一条渐近线方程为 yx，运用点到直线的距离公式，结合勾股定理和三角形的 面积公式，化简整理解方程可得 c4 ，进而得到双曲线的离心率 解：设 F（c，0），双曲线 C 一条渐近线方程为 yx， 可得|FM|b， 即有|OM|a， 由 SOMF16，可得 ab16， 2a16， a8 b4
15、 c2a2+b264+1680， c4 ， e 故选：A 8已知函数 f（x）+x+2，若不等式 f（m4x+1）+f（m2 x）5 对任意的 x0 恒成立，则实数 m 的最小值为（ ） A B 1 C D1 解：由 f（x）+x+2，可设 g（x）f（x）x+x+， 由 g（x）+g（x）x+x+0+0， 则 g（x）g（x），即 g（x）为奇函数； g（x）10，可得 g（x）在 R 上递增 不等式 f（m4x+1）+f（m2x）5 等价为f（m4x+1） +f（m2x）0， 即为 g（m4x+1）+g（m2x）0，可得 g（m4x+1）g（m2x）g（2xm）， 则有 m4x+12xm，
16、化为 m 在 x0 恒成立， 设 2x1t（t0）， ， 当且仅当 t，即 xlog2（1+）时取得等号， 所以 m， 即 m 的最小值为， 故选：C 二、多项选择题（本题共二、多项选择题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求， 全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分）分） 9设 a，b，c 为实数，且 ab0，则下列不等式中正确的是（ ） A Bac2bc2 C Dlga2lg（ab） 【分析】由不等式的基本性质
17、即可判断选项 A，取 c0 即可判断选项 B，由指数函数的单调性即可判断 选项 C，由对数函数的单调性即可判断选项 D 解：对于 A，因为 ab0，所以，所以 A 正确； 对于 B，当 c0 时，ac2bc2不成立，所以 B 错误； 对于 C，因为 ab0，函数是 R 上的减函数，所以，所以 C 正确； 对于 D，因为 ab0，所以 a2ab0，因为 ylgx 是（0，+）上的增函数，所以 lga2lg（ab）， 所以 D 正确 故选：ACD 10 函数 f （x） Acos （x+）的部分图象如图所示， 且满足， 现将图象沿 x 轴向左平移个单位，得到函数 yg（x）的图象 下列说法正确的是
18、（ ） Ag（x）在上是增函数 Bg（x）的图象关于对称 Cg（x）是奇函数 Dg（x）在区间上的值域是 解：设 f（x）的最小正周期为 T， 由题图可知， 所以，3， 当时，y0，即， 所以， 因为，所以 k1， 所以，又， 所以， 所以， 所以，所以 g（x）的周期 T， 当 x时，函数取得最小值，x函数取得最大值，所以 A 不正确； x时， ， 所以 g（x）的图象关于对称，所以 B 正确； g（x）是奇函数，所以 C 正确； g（x）在区间上的值域是 ，所以 D 正确； 故选：BCD 11 已知四棱锥 PABCD， 底面 ABCD 为矩形， 侧面 PCD平面 ABCD， BC2， CD
19、PCPD2 若 点 M 为 PC 的中点，则下列说法正确的为（ ） ABM平面 PCD BPA面 MBD C四棱锥 MABCD 外接球的表面积为 36 D四棱锥 MABCD 的体积为 6 【分析】 设 ACDBO， 取 CD 中点为 E， 连接 AE， 可得 PE3 AE3， PA6 A，根据，PB6BC，即可判定 BM平面 PCD 不可能； B，由 OMPA，可得 PA面 MBD； C，由 OMODOBOCOA3，即可得四棱锥 MABCD 外接球的表面积 D，利用体积公式可得四棱锥 MABCD 的体积为 VVPABCD 解：如图，设 ACDBO，取 CD 中点为 E，PECD， 侧面 PCD
20、平面 ABCD，侧面 PCD平面 ABCDCD，PE平面 ABCD 连接 AE，可得 PE23AE3 PA6 对于 A，6BC，BM 不可能垂直 PC，BM平面 PCD 不可能， 故 A 错； 对于 B，OMPA，OM面 MBD，PA面 MBD，故 B 正确； 对于 C，OM，ODOBOCOA，故 O 为四棱锥 MABCD 外接球 的球心，故四棱锥 MABCD 外接球的表面积为 36，故正确 对于 D，四棱锥 MABCD 的体积为 VVPABCD，故 D 错 故选：BC 12 设 Sn为等比数列an的前 n 项和， 满足 a13， 且 a1， 2a2， 4a3成等差数列， 则下列结论正确的是
21、（ ） A B3Sn6+an C若数列an中存在两项 ap，as使得，则的最小值为 D若恒成立，则 mt 的最小值为 【分析】设数列an的公比为 q，由已知列式求得 q，可得等比数列的通项公式与前 n 项和，可得 A，B 正确； 由及等比数列的通项公式求得 p+s6，进一步得到 p 与 s 的值，得到的值判断 C； 分段写出 Sn，由数列的单调性及恒成立问题求得 m 与 t 的范围，得到 mt 的范围判断 D 解：设数列an的公比为 q， 由 a13，4a2a1+4a3，得43q3+43q2，解得 ， ， ，故 A，B 正确； 若，则，即， qp1qs1q4，p+s6，则 或或或， 此时或或或
22、，故 C不正确； ， 当 n 为奇数时，Sn（2，3，当 n 为偶数时， ， 又关于 Sn单调递增， 当 n 为奇数时，当 n 为偶数时， 又恒成立，得，故 D 正确， 故选：ABD 三、填空题（本题共三、填空题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13已知| |2，| |1， + （2，），则| +2 | 2 【分析】直接利用平面向量的数量积和向量的模的运算的应用求出结果 解：，所以， 故， 由于| |2，| |1， ，整理得 ， 故答案为 14若cos（）sin ，则 sin（2+） 【分析】由题意利用两角和差的三角公式求得 sin（+） 的值， 再利用
23、诱导公式、二倍角的余弦公式， 求得 sin（2+）的值 解：由， 而cos（）sin（cos+sin）sincos+sinsin（+）， 即 ， sin （2+） sin2 （+） cos2 （+ ） 1+21+2 ， 故答案为： 15已知直线 y2x2 与抛物线 y28x 交于 A，B 两点，抛物线的焦点为 F，则的值为 11 解：由 y28x 可得焦点坐标为（2，0） 由，解得或， 即 A（2，22），B（2+，2+2）， （，22），（，2+2）， （，22）（，2+2）3+（412）11， 故答案为：11 16已知函数，若函数 有 3 个不同的零点 x1，x2，x3，且 x1x2x3，
24、则 f（x1）+f（x2）+2f（x3）的取值范围是 【分析】先利用导数和函数极值的关系求出函数 f（x）的极小值，再令 tf（x），可得 g（t）+0， 求出方程的根即为函数 h（x）的零点即方程 f（x）m 和 f（x）根，再分类讨论即可求出 f（x1） +f（x2）+2f（x3）的范围 解：， 令 f（x）0，解得 xe， 当 xe 时，函数 f（x）0，函数 f（x）单调递减， 当ex0 时，函数 f（x）0，函数 f（x）单调递增， f（x）的极小值为， 0， 令 tf（x）， g（t）+0， 即 2t2+mtm20，解得方程两根为m 和 ， 函数 h（x）的零点即方程 f（x）m
25、和 f（x）根， 函数 h（x）有 3 个不同的零点需满足： 当 m0 时， 且 f（x3）m（0，+）， ； 当 m0 时， 且 ， ， 综上：f（x1）+f（x2）+2f（x3）的范围为 四、解答题（本题共四、解答题（本题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形，DAB90，ADBC，AD侧面 PAB， PAB 是等边三角形，DAAB2，BC，E 是线段 AB 的中点 （）求证：PECD； （）求 PC 与平面 PDE 所成角的正弦值 【分析】（I）
26、 根据线面垂直的性质和正三角形性质， 得 ADEP 且 ABEP， 从而得到 PE平面 ABCD 再 结合线面垂直的性质定理，可得 PECD； （II）以 E 为原点，EA、EP 分别为 y、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系可得 E、C、D、P 各点 的坐标，从而得到向量、的坐标，利用垂直向量数量积等于 0 的方法，可得平面 PDE 一个法 向量 （1， 2， 0） ， 最后根据直线与平面所成角的公式， 可得 PC 与平面 PDE 所成角的正弦值为 解：（）AD侧面 PAB，PE平面 PAB，ADEP 又PAB 是等边三角形，E 是线段 AB 的中点，ABEP ADABA，PE平面 ABC
27、D CD平面 ABCD，PECD （）以 E 为原点，EA、EP 分别为 y、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 则 E（0，0，0），C（1，1，0），D（2，1，0），P（0，0，） （2，1，0），（0，0，），（1，1，） 设 （x，y，z）为平面 PDE 的一个法向量 由 ，令 x1，可得 （1，2，0） 设 PC 与平面 PDE 所成的角为 ，得 所以 PC 与平面 PDE 所成角的正弦值为 18在bsinA+asinB4csinAsinB，cos2C22， 这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解决该问题 已知ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对边，sin
28、AsinB，c2，_，求角 C 及 ABC 的面积 S 【分析】若选由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，结合范围 C（0， ），可求 C 的值，接下来求ABC 的面积 S， 法一：设ABC 外接圆的半径为 R，则由正弦定理可求 ab 的值，进而根据三角形的面积公式即可求解 法二：由题意可得 cosC，利用三角函数恒等变换的应用可求 cos（AB），结合范围 ，可求 A，B 的值，由正弦定理得 b，利用三角形的面积公式即可求解 选利用二倍角公式化简已知等式，可得，解得 cosC，结合范围 C（0， ），可求 C 的值，以下同解法同 选由已知利用正弦定理得， 由余弦定理得 cosC
29、， 结合范围 0C， 可求 C 的值， 以下解法同 解：若选bsinA+asinB4csinAsinB， 因为 bsinA+asinB4csinAsinB， 所以由正弦定理得 sinBsinA+sinAsinB4sinCsinAsinB， 即 2sinBsinA4sinCsinAsinB，所以， 因为 C（0，），所以，或， 若，由， 而， 从而，矛盾，舍去 故， 接下来求ABC 的面积 S 法一：设ABC 外接圆的半径为 R，则由正弦定理，得， a2RsinA4sinA，b2RsinB4sinB， ， ， 法二：由题意可得 cosC，即， ， ， ， ， 或， 当时，又， ， 由正弦定理，得
30、， ， 当时，同理可得， 故ABC 的面积为 选， 因为， 所以， 即， 所以或（舍）， 因为 C（0，），所以， 以下同解法同 选， 由，及正弦定理得， 即， 由余弦定理得， 0C， 以下解法同 19已知数列an满足 a15，且 an+2an1（2）n3（n2 且 nN*） （1）求 a2，a3的值； （2）设 bn，是否存在实数 ，使得bn是等差数列？若存在，求出 的值，否则，说明理由 （3）求an的前 n 项和 Sn 【分析】（1）对于式子 an+2an1（2）n3（n2 且 nN*），分别令 n2 与 3，再由 a15，即 可求得结果； （2）先由（1）求得 b1，b2，b3，再由数列
31、bn是等差数列求得 的值，最后利用等差数列的定义证明结 论即可； （3）先由（2）求得 an，然后令 ，再利用错位相 减法求得 Tn，即可求得 Sn 解：（1）由题设，知， 令 n2，有，得 a211， 令 n3，有，得 a333； （2）由（1），可得， 若数列bn是等差数列，则有 2b2b1+b3，即 ，解得 1， 下证：当 1 时，数列bn是等差数列， 由，可得 an+1+2an（2）n+13， b n+1 bn 1， 数列bn是公差为 1 的等差数列，又 ，bnn+1， 故存在 1 使得数列bn是等差数列； （3）由（2），可得， ， 令， 则， 两式相减，得 3Tn4+（2）2+（2
32、）3+（2）n（n+1）（2）n+1 4+ （n+1）（2）n+1， Tn ， 20为了缓解日益拥堵的交通状况，不少城市实施车牌竞价策略，以控制车辆数量某地车牌竞价的基本 规则是：“盲拍”，即所有参与竞拍的人都是网络报价，每个人并不知晓其他人的报价，也不知道参 与当期竞拍的总人数；竞价时间截止后，系统根据当期车牌配额，按照竞拍人的出价从高到低分配名 额某人拟参加 2018 年 4 月份的车牌竞拍，他为了预测最低成交价，根据竞拍网站的公告，统计了最近 5 个月参与竞拍的人数（如表）： 月份 2017.11 2017.12 2018.01 2018.02 2018.03 月份编号 t 1 2 3
33、4 5 竞拍人数 y （万 人） 0.5 0.6 1 1.4 1.7 （1）由收集数据的散点图发现，可用线性回归模型拟合竞拍人数 y（万人）与月份编号 t 之间的相关关 系请用最小二乘法求 y 关于 t 的线性回归方程：，并预测 2018 年 4 月份参与竞拍的人数； （2）某市场调研机构对 200 位拟参加 2018 年 4 月份车牌竞拍人员的报价价格进行了一个抽样调查，得 到如表一份频数表： 报价区间 （万 元） 1，2） 2，3） 3，4） 4，5） 5，6） 6，7 频数 20 60 60 30 20 10 （i）求这 200 位竞拍人员报价 X 的平均值 和样本方差 s2（同一区间的
34、报价可用该价格区间的中点值代 替）； （ii）假设所有参与竞价人员的报价 X 可视为服从正态分布 N（，2），且 与2可分别由（i）中所 求的样本平均数 及 s2估值若 2018 年 4 月份实际发放车牌数量为 3174，请你合理预测（需说明理由） 竞拍的最低成交价 参考公式及数据：回归方程，其中，； ，； 若随机变量 Z 服从正态分布 N（，2），则 P（Z+）0.6826，P（2Z+2 ）0.9544，P（3Z+3）0.9974 【分析】（1）由题意求出 ， ，代入公式求值，从而得到回归直线方程； （2）根据（1）求出 P根据表中数据求解平均值 和样本方差 s2，由正态分布 N（，2），则
35、 P（ Z+）0.6826，由此可得 3.51.7Z5.2P（Z5.2）0.1587，从而预测 竞拍的最低成交价 解：（1）由题意求出 3， 1.04 由， 那么1.040.3230.08 从而得到回归直线方程为 y0.32x+0.08 当 t6 时，可得 y0.326+0.082（万） （ 2 ） （ i ） 根 据 表 中 数 据 求 解 平 均 值 3.5 样本方差 s2（2）2+（12） +0+12+221.7 （ii）P 正态分布 N（，2），可得（3.5，1.7） P（Z+）0.6826， 即 3.51.3Z4.8 P（Z4.8）0.1587， 2018 年 4 月份竞拍的最低成交
36、价为 4.8 万元 21已知椭圆的离心率为 ，直线与椭圆 C 有且仅有一个公共 点 A （1）求椭圆 C 的方程及 A 点坐标； （2）设直线 l 与 x 轴交于点 B过点 B 的直线与 C 交于 E，F 两点，记 A 在 x 轴上的投影为 G，T 为 BG 的中点，直线 AE，AF 与 x 轴分别交于 M，N 两点试探究|TM|TN|是否为定值？若为定值，求出此定 值，否则，请说明理由 【分析】（1）设 C 的半焦距为 c，通过离心率化简椭圆方程，结合直线与椭圆只有 一个公共点，求解 c，得到椭圆方程，同时求解 A 点坐标 （2）求出 B（4，0），通过直线 EF 的斜率为 0，求解，直线
37、EF 的斜率不 为 0，设直线 EF 的方程为 xny+4，代入，得（3n2+4）y2+24ny+360，设 E（x1，y1），F （x2，y2），通过韦达定理以及弦长公式，求解|TM|，|TN|转化求解 解：（1）设 C 的半焦距为 c，则，即 a24c2，b2a2c23c2， 所以，联立与， 得 x22x+43c20，依题意44（43c2）0， 解得 c21，所以 a24，b23， 故椭圆 C 的方程为； 此时 x22x+43c20，即 x22x+10， 根为 x1，则， 所以 A 点坐标为 （2）易知 B（4，0）， 若直线 EF 的斜率为 0，此时 M（2，0），N（2，0）或 N（2
38、，0），M（2，0）， ，或，则， 若直线 EF 的斜率不为 0，设直线 EF 的方程为 xny+4，代入， 得（3n2+4）y2+24ny+360， 设 E（x1，y1），F（x2，y2），则 ， 可得直线AE的方程为，则， ， 同理，所以 ， ， ， 所以 综上，为定值 22已知函数 f（x）x22mx+2lnx（m0） （1）讨论函数 f（x）的单调性； （2）若 x1，x2为函数 f（x）的两个极值点，且 x1，x2为函数 h（x）lnxcx2bx 的两个零点，x1x2求 证：当时， 【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论 m 的范围，求出函数的单调区间即可； （2）求出函数 g（x）
39、的导数，由 x1，x2为 h（x）lnxcx2bx 的零点，得到 lnx1cx12bx10，lnx2 cx22bx20，可得 b c（x1+x2），根据函数的单调性求出函数的最小值即可 解：（1）由于 f（x）x22mx+2lnx，x（0，+）， f（x）2x2m+， 对于方程 x2mx+10，m24， 当 m240，即 0m2 时，f（x）0 恒成立， 故 f（x）在（0，+） 内单调递增， 当 m240，即 m2 时，方程 x2mx+10 恰有两个不相等实根， 令 f（x）0，得 或，此时 f（x）单调递增， f（x）0，得，此时 f（x）单调递减， 综上所述：当 0m2 时，f（x）在（
40、0，+）单调递增； 当 m2 时，f（x）在（0，），（，+）单调递增，（，） 单调递减 证明（2）x1，x2为函数 f（x）的两个极值点， x1，x2即为方程 x2mx+10 的两根， 又， m240，且 x1+x2m，x1x21， 又x1，x2为函数 h（x）lnxcx2bx 的两个零点， lnx1cx12bx10，lnx2cx22bx20， 两式相减得 lnc（x1+x2）（x1x2）b（x1x2）0， bc（x1+x2）， ， ， 令， 0 x1x2， 0t1， 由 x1+x2m 可得 x12+x22+2x1x2m2， 由 x1x21，上式两边同时除以 x1x2得： ， 又， 故， 解得或 t3（舍去）， 设， G（t）2， yG（t）在 上单调递减， ，
浙公网安备33030202001339号