1、2020-2021 学年浙江省宁波市慈溪市九年级（上）期末数学试卷学年浙江省宁波市慈溪市九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（每题一、选择题（每题 4 分，共分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1下列各图中，能通过一个三角形绕一点旋转一次得到另一三角形的图形是（ ） A B C D 2气象台预明天下雨的概率为 70%，则下列理解正确的是（ ） A明天 30%的地区不会下雨 B明天下雨的可能性较大 C明天 70%的时间会下雨 D明天下雨是必然事件 3把二次函数 y（x1）23 的图象向左平移 3 个单位，向上平移
2、 4 个单位后，得到的图象所对应的二 次函数表达式为（ ） Ay（x+2）2+1 By（x2） 2+1 Cy（x+4） 2+1 Dy（x4） 2+1 4一个圆的内接正六边形与内接正方形的边长之比为（ ） A3：2 B1： C1： D： 5如图，直线 l1l2l3，直线 AB，DE 分别交 l1，l2，l3于点 A，B，C 和 D，E，F，若 AB：AC2：5， EF15，则 DF 的长等于（ ） A18 B20 C25 D30 6在 45 网格中，A，B，C 为如图所示的格点（正方形的顶点） ，则下列等式正确的是（ ） AsinA BcosA CtanA DcosA 7如图，已知O 的半径为
3、3，弦 AB直径 CD，A30，则的长为（ ） A B2 C3 D6 8如图，某商场为了便于残疾人的轮椅行走，准备拆除台阶换成斜坡，又考虑安全，斜坡的坡角不得超过 10， 此商场门前的台阶高出地 1.53 米， 则斜坡的水平宽度 AB 至少需 （ ） （精确到 0.1 米 参考值： sin100.7，cos100.98，tan100.18） A8.5 米 B8.8 米 C8.3 米 D9 米 9如图，矩形相框的外框矩形的长为 12dm，宽为 8dm，上下边框的宽度都为 xdm，左右边框的宽度都为 ydm则符合下列条件的 x，y 的值能使内边框矩形和外边框矩形相似的为（ ） Axy B3x2y
4、Cx1，y2 Dx3，y2 10如图，二次函数 yax2+bx+c（a0，a，b，c 为常数）与二次函数 yx2+ex+f（e，f 为常数）的图 象的顶点分别为 A、B，且相交于 C（m，n）和 D（m+8，n） ，若ACB90，则 a 的值为（ ） A B C D 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，共分，共 30 分）分） 11 （5 分）如图，已知 P（4，3）为 边上一点，则 cos 12 （5 分）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球某学习小组做摸球实验，将 球搅匀后从中随机摸出一个球记第下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计 数据：
5、摸球的次数 n 100 150 200 500 800 1000 6000 到白球的次数 m 58 96 116 295 484 601 3601 摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601 0.600 小杰根据表格中的数据提出了下列两个判断：若摸 10000 次，则频率一定为 0.6； 可以估计摸一次得白球的概率约为 0.6则这两个判断正确的是 （若有正确的，则填编号；若 没有正确的，则填“无” ） 13 （5 分）已知点 A（1，y1） ，B（0.5，y2） ，C（4，y3）都在二次函数 yax2+2ax1（a0）的图 象上，则 y1，y2，y3的大小关
6、系是 14 （5 分）如图，AB 为O 的直径，2，M 为的中点，过 M 作 MNOC 交 AB 于 N，连接 BM， 则BMN 的度数为 15（5 分） 如图， 将一张面积为 10 的大三角形纸片沿着虚线剪成三张小三角形纸片与一张平行四边形纸片， 根据图中标示的长度，则平行四边形纸片的面积为 16 （5 分） 如图 1， 是 2002 年发行的中国纪念邮票， 其图案是三国时期吴国数学家赵爽在注释 周髀算经 中所给勾股定理的证明同学们在探索勾股定理时还出现了许多利用正方形证明勾股定理的方法，如图 2，正方形 ABCD 是由四个全等的直角三角形和一个正方形 EFGH 拼成；正方形 EFGH 是由
7、与上述四个 直角三角形全等的三角形和正方形 IJKL 拼成；正方形 ABCD，EFGH，IJKL 的面积分别为 S1，S2，S3， 分别连接 AK，BL，CI，DJ 并延长构成四边形 MNOP，它的面积为 m 请用等式表示 S1，S2，S3之间的数量关系为： ； m （用含 S1，S3的代数式表示 m） 三、解答题（第三、解答题（第 17、18、19 题各题各 8 分，第分，第 20、21、22 题各题各 10 分，第分，第 23 题题 12 分，第分，第 24 题题 14 分，共分，共 80 分）分） 17 （8 分）计算求值： （1）已知，求的值； （2）2sin30tan60cos30
8、18 （8 分）如图，在 48 的网格中，已知格点ABC（正方形的顶点称为格点，顶点在格点处的三角形称 为格点三角形） ，在图 1、图 2 中分别画一个格点三角形（所画的两个三角形不全等） ，使其同时符合下 列两个条件 （1）与ABC 有一公共角； （2）与ABC 相似但不全等 19 （8 分）某校在防疫期间开设 A，B，C 三个测体温通道一天早晨，小丽与小聪任意选择一个通道进入 校园 （1）求小丽通过 A 通道进入校园的概率； （2）利用画树状图或列表的方法，求小丽和小聪从两个不同通道进入校园的概率（要求画出树状图或表 格） 20（10 分） 有一种落地晾衣架如图 1 所示， 其原理是通过改
9、变两根支撑杆夹角 的度数来调整晾杆的高度， 图2是晾衣架的侧面的平面示意图， AB和CD分别是两根长度不等的支撑杆， 夹角BOD， AO70cm， BODO80cm，CO40cm （1）若 56，求点 A 离地面的高度 AE； （参考值：sin62cos280.88，sin28cos620.47，tan621.88，tan280.53 ） （2）调节 的大小，使 A 离地面高度 AE125cm 时，求此时 C 点离地面的高度 CF 21 （10 分）如图，用长为 24 米的篱笆靠一道长为 a 米的墙围一个矩形养鸡场（靠墙一面不用篱笆） （1）求下列情形下养鸡场的面积的最大值； a15； a10
10、 （2）若可围成的矩形养鸡场的面积的最大值为 67.5 平方米，求 a 的值 22 （10 分）如图，已知，A，B 是O 上的点，P 为O 外一点，连接 PA，PB，分别交O 于点 C，D， （1）求证：PAPB； （2）若P60，3AOC 的面积等于 9，求图中阴影部分的面积 23 （12 分）如图，已知二次函数 yax2+bx+c 的图象经过点 A（1，0） ，B（4，0） ，E（1，3） ，与 y 轴 交于点 C （1）求该二次函数表达式； （2）判断ABC 的形状，并说明理由； （3）P 为第一象限内该二次函数图象上一动点，过 P 作 PQAC，交直线 BC 于点 Q，作 PMy 轴交
11、 BC 于 M 求证：PQMCOA； 求线段 PQ 的长度的最大值 24 （14 分）如图，O 的半径为 5，弦 BC6，A 为 BC 所对优弧上一动点，ABC 的外角平分线 AP 交 O 于点 P，直线 AP 与直线 BC 交于点 E （1）如图 1求证：点 P 为的中点； 求 sinBAC 的值； （2）如图 2，若点 A 为的中点，求 CE 的长； （3）若ABC 为非锐角三角形，求 PAAE 的最大值 2020-2021 学年浙江省宁波市慈溪市九年级（上）期末数学试卷学年浙江省宁波市慈溪市九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每题一、选择题（每题
12、4 分，共分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1下列各图中，能通过一个三角形绕一点旋转一次得到另一三角形的图形是（ ） A B C D 【分析】直接利用旋转的定义得出答案即可 【解答】解：根据旋转的定义，A，B，C 中的三角形绕一点旋转一次不能得到另一三角形，不符合题意， 选项 D 符合题意 故选：D 2气象台预明天下雨的概率为 70%，则下列理解正确的是（ ） A明天 30%的地区不会下雨 B明天下雨的可能性较大 C明天 70%的时间会下雨 D明天下雨是必然事件 【分析】根据概率的意义找到正确选项即可 【解答
13、】解：天气台预报明天下雨的概率为 70%，说明明天下雨的可能性很大，故 B 正确 故选：B 3把二次函数 y（x1）23 的图象向左平移 3 个单位，向上平移 4 个单位后，得到的图象所对应的二 次函数表达式为（ ） Ay（x+2）2+1 By（x2） 2+1 Cy（x+4） 2+1 Dy（x4） 2+1 【分析】根据平移规律“左加右减，上加下减”解答 【解答】解：把二次函数 y（x1）23 的图象向左平移 3 个单位，向上平移 4 个单位后，得到的图 象所对应的二次函数表达式为 y（x1+3）23+4，即 y（x+2）2+1 故选：A 4一个圆的内接正六边形与内接正方形的边长之比为（ ） A
14、3：2 B1： C1： D： 【分析】设圆的半径是 R，则可表示出两个多边形的边长，进而求解 【解答】解：设此圆的半径为 R， 它的内接正六边形的边长为 R， 则它的内接正方形的边长为R， 内接正六边形和内接四边形的边长比为 R：R1： 故选：C 5如图，直线 l1l2l3，直线 AB，DE 分别交 l1，l2，l3于点 A，B，C 和 D，E，F，若 AB：AC2：5， EF15，则 DF 的长等于（ ） A18 B20 C25 D30 【分析】利用平行线分线段成比例定理得到，然后把已知条件代入计算即可 【解答】解：l1l2l3， ，即， DF25 故选：C 6在 45 网格中，A，B，C
15、为如图所示的格点（正方形的顶点） ，则下列等式正确的是（ ） AsinA BcosA CtanA DcosA 【分析】根据网格构造直角三角形利用勾股定理可求出三角形 ABC 的三边的长，进而得出此三角形是等 腰直角三角形，在利用特殊锐角三角函数值得出答案 【解答】解：由网格构造直角三角形可得， AB212+3210，AC212+225，BC212+225， AB2AC2+BC2， ABC 是等腰直角三角形， AB45， sinAsin45，cosAcos45，tanAtan451， 选项 D 是正确的， 故选：D 7如图，已知O 的半径为 3，弦 AB直径 CD，A30，则的长为（ ） A B
16、2 C3 D6 【分析】连接 OB，求出BOD 的度数，利用弧长公式求解即可 【解答】解：如图，连接 OB CDAB，CD 是直径， ， AOCBOC， OAOB， AB30， AOB1803030120， COBAOB60， DOB18060120， 的长2， 故选：B 8如图，某商场为了便于残疾人的轮椅行走，准备拆除台阶换成斜坡，又考虑安全，斜坡的坡角不得超过 10， 此商场门前的台阶高出地 1.53 米， 则斜坡的水平宽度 AB 至少需 （ ） （精确到 0.1 米 参考值： sin100.7，cos100.98，tan100.18） A8.5 米 B8.8 米 C8.3 米 D9 米
17、【分析】根据坡度坡角定义即可求出结果 【解答】解：由于台阶共高出地面 1.53 米，斜坡的坡角不得超过 10， 斜坡的水平宽度 AB 至少为 AB8.5（米） 故选：A 9如图，矩形相框的外框矩形的长为 12dm，宽为 8dm，上下边框的宽度都为 xdm，左右边框的宽度都为 ydm则符合下列条件的 x，y 的值能使内边框矩形和外边框矩形相似的为（ ） Axy B3x2y Cx1，y2 Dx3，y2 【分析】分两种情形，利用相似多边形的性质求解即可 【解答】解：如图，当矩形 ABCD矩形 EFGH 时，则有， ， 可得 3x2y，选项 B 符合题意， 当矩形 ABCD矩形 EHFG 时，则有，
18、， 推不出：xy 或 3x2y 或 x1，y2 或 x3，y2故选项 A，B，C，D 都不满足条件，此种情形不 存在 矩形 ABCD矩形 EFGH，可得 3x2y， 故选：B 10如图，二次函数 yax2+bx+c（a0，a，b，c 为常数）与二次函数 yx2+ex+f（e，f 为常数）的图 象的顶点分别为 A、B，且相交于 C（m，n）和 D（m+8，n） ，若ACB90，则 a 的值为（ ） A B C D 【分析】根据二次函数图象的性质，再结合二次函数图象，可以表达对称轴，并结合几何图形，利用相 似三角形得出等量关系，建立等式，求解 【解答】解：C（m，n）和 D（m+8，n） ， CD
19、x 轴，且二次函数的对称轴 xm+4， ABCD， 点 C，D 在二次函数 yax2+bx+c（a0，a，b，c 为常数）与二次函数 yx2+ex+f（e，f 为常数） 的图象上， yax2+bx+ca（xm） （xm8）+n，y（xm） （xm8）+n， A（m+4，n16a） ，B（m+4，n8） ， 设 AB 与 CD 的交点为 E，则 E（m+4，n） ， 则 CE4，AE16a，BE8； 在ABC 中，ACB90，且 ABCD， 则 CE2AEBE， 4216a8，解得， 故选：C 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，共分，共 30 分）分） 11 （5 分）如图，已知 P（4
20、，3）为 边上一点，则 cos 【分析】过点 P 作 x 轴的垂线，构造直角三角形，根据勾股定理和锐角三角函数看求出答案 【解答】解：过点 P（4，3）作 PQx 轴，垂足为 Q，则 PQ3，OQ4， 在 RtPOQ 中，OP5， 所以 cos， 故答案为： 12 （5 分）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球某学习小组做摸球实验，将 球搅匀后从中随机摸出一个球记第下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计 数据： 摸球的次数 n 100 150 200 500 800 1000 6000 到白球的次数 m 58 96 116 295 484 601 36
21、01 摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601 0.600 小杰根据表格中的数据提出了下列两个判断：若摸 10000 次，则频率一定为 0.6； 可以估计摸一次得白球的概率约为 0.6则这两个判断正确的是 （若有正确的，则填编号；若 没有正确的，则填“无” ） 【分析】根据题意和表格中的数据、概率的含义，可以判断和的结论是否成立，本题得以解决 【解答】解：由题意可得， 若摸 10000 次，则频率不一定为 0.6，可能为 0.6，故错误； 由表格中的数据可以估计摸一次得白球的概率约为 0.6，故正确； 故答案为： 13 （5 分）已知点 A（1，y1） ，
22、B（0.5，y2） ，C（4，y3）都在二次函数 yax2+2ax1（a0）的图 象上，则 y1，y2，y3的大小关系是 y3y1y2 【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是直线 x1，根据 x1 时，y 随 x 的增大 而增大，即可得出答案 【解答】解：yax2+2ax1（a0） ， 图象的开口向下，对称轴是直线 x1， A（4，y3）关于直线 x1 的对称点是（2，y3） ， 210.5， y3y1y2， 故答案为 y3y1y2 14 （5 分）如图，AB 为O 的直径，2，M 为的中点，过 M 作 MNOC 交 AB 于 N，连接 BM， 则BMN 的度数为 45 【分
23、析】连接 OM想办法求出MNB，NBM，即可解决问题 【解答】解：连接 OM AB 是直径，2， BOC18060， ， MOBCOM30， OMOB， BOMB（18030）75， OCMN， MNBCOB60， BMN180BNMNBM180607545， 故答案为：45 15（5 分） 如图， 将一张面积为 10 的大三角形纸片沿着虚线剪成三张小三角形纸片与一张平行四边形纸片， 根据图中标示的长度，则平行四边形纸片的面积为 【分析】如图，由 DEBC，可得ADEABC，利用相似三角形的性质，可求得ADE 的高，进而 求得平行四边形的高，则问题可解 【解答】解：如图，作 AMBC 于 M，
24、AM 交 DE 于 N SABCBCAM10，BC5， AM4 DEBC，AMBC， ADEABC，AMDE， ，即， AN， 平行四边形 DEGF 的高 MNAMAN4， 平行四边形纸片的面积2 故答案为： 16 （5 分） 如图 1， 是 2002 年发行的中国纪念邮票， 其图案是三国时期吴国数学家赵爽在注释 周髀算经 中所给勾股定理的证明同学们在探索勾股定理时还出现了许多利用正方形证明勾股定理的方法，如图 2，正方形 ABCD 是由四个全等的直角三角形和一个正方形 EFGH 拼成；正方形 EFGH 是由与上述四个 直角三角形全等的三角形和正方形 IJKL 拼成；正方形 ABCD，EFGH
25、，IJKL 的面积分别为 S1，S2，S3， 分别连接 AK，BL，CI，DJ 并延长构成四边形 MNOP，它的面积为 m 请用等式表示 S1，S2，S3之间的数量关系为： S2（S1+S3） ； m （用含 S1，S3的代数式表示 m） 【分析】由题意可得：S18SAEH+S3，4SAEHS2S3，代入化简即可得到答案； 先证明MLKKEH，设 AEx，PEy，结合四边形 MNOP 的面积为 m，可得答案 【解答】解：观察图像（2）可知，S18SAEH+S3，4SAEHS2S3， S12（S2S3）+S3， 2S2S1+S3， S2（S1+S3） ， 故答案为：S2（S1+S3） HEEF，
26、AKHE， AKEF， 同理：BLGF，DJHE，CIGH， 四边形 MNOP 是平行四边形，且MKLNLIOIJPJK， MNGFEH， LMKEKH90，MLKHEL， MLKKEH， ， 设 AEx，PEy， 则：， ML，MKLN， MN+， mMN2 2 ， S1（x+y）2，S2x2+y2，S3（xy）2， m 故答案为： 三、解答题（第三、解答题（第 17、18、19 题各题各 8 分，第分，第 20、21、22 题各题各 10 分，第分，第 23 题题 12 分，第分，第 24 题题 14 分，共分，共 80 分）分） 17 （8 分）计算求值： （1）已知，求的值； （2）2
27、sin30tan60cos30 【分析】 （1）直接利用一个未知数表示出 a，b，进而代入化简得出答案； （2）直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案 【解答】解： （1）， 设 a3x，则 b4x， ； （2）原式2 1 18 （8 分）如图，在 48 的网格中，已知格点ABC（正方形的顶点称为格点，顶点在格点处的三角形称 为格点三角形） ，在图 1、图 2 中分别画一个格点三角形（所画的两个三角形不全等） ，使其同时符合下 列两个条件 （1）与ABC 有一公共角； （2）与ABC 相似但不全等 【分析】根据网格即可画出满足两个条件的三角形 【解答】解：如图所示，ADE 和ADB 即为所求
28、19 （8 分）某校在防疫期间开设 A，B，C 三个测体温通道一天早晨，小丽与小聪任意选择一个通道进入 校园 （1）求小丽通过 A 通道进入校园的概率； （2）利用画树状图或列表的方法，求小丽和小聪从两个不同通道进入校园的概率（要求画出树状图或表 格） 【分析】 （1）直接利用概率公式求解可得答案； （2）先列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式计算可得 【解答】解： （1）小丽通过 A 通道进入校园的概率为； （2）列表如下： A B C A A，A B，A C，A B A，B B，B C，B C A，C B，C C，C 由表可知，共有 9 种等可能的结果，其中小丽
29、和小聪从两个不同通道进入校园的有 6 种可能， 小丽和小聪从两个不同通道进入校园的概率为 20（10 分） 有一种落地晾衣架如图 1 所示， 其原理是通过改变两根支撑杆夹角 的度数来调整晾杆的高度， 图2是晾衣架的侧面的平面示意图， AB和CD分别是两根长度不等的支撑杆， 夹角BOD， AO70cm， BODO80cm，CO40cm （1）若 56，求点 A 离地面的高度 AE； （参考值：sin62cos280.88，sin28cos620.47，tan621.88，tan280.53 ） （2）调节 的大小，使 A 离地面高度 AE125cm 时，求此时 C 点离地面的高度 CF 【分析】
30、（1） 过O作OGBD 于点G， 根据等腰三角形的性质和平行线的性质可得EABBOG28， 再利用锐角三角函数即可解决问题； （2）根据已知条件证明AEBCFD，对应边成比例即可求出 CF 的高度 【解答】解： （1）如图，过 O 作 OGBD 于点 G， AEBD， OGAE， BODO， OG 平分BOD， BOGBOD5628， EABBOG28， 在 RtABE 中，ABAO+BO70+80150（cm） ， AEABcosEAB150cos281500.88132（cm） ， 答：点 A 离地面的高度 AE 约为 132cm； （2）OGAE， EABBOG， CFBD， CFOG，
31、 DCFDOG， BOGDOG， BAEDCF， AEBCFD90， AEBCFD， ， CF100（cm） ， 答：C 点离地面的高度 CF 为 100cm 21 （10 分）如图，用长为 24 米的篱笆靠一道长为 a 米的墙围一个矩形养鸡场（靠墙一面不用篱笆） （1）求下列情形下养鸡场的面积的最大值； a15； a10 （2）若可围成的矩形养鸡场的面积的最大值为 67.5 平方米，求 a 的值 【分析】 （1）设矩形的长为 x 米，则宽为米，由题意可知 xa，设矩形的面积为 S，根据题意用含 x 的式子表示出 S，将其写成二次函数的顶点式，则可知其对称轴，然后分别对a15；a10 计算 求
32、得相应的最大值即可 （2）令 S67.5 得关于 x 的一元二次方程，求得方程的解并结合由（1）的结论可得答案 【解答】解： （1）设矩形的长为 x 米，则宽为米，由题意可知 xa， 设矩形的面积为 S，则 Sx x2+12x （x12）2+72， 0，抛物线开口向下，对称轴为直线 x12， 当 0 x12 时，S 随 x 的增大而增大，当 x12 时，S 随 x 的增大而减小； a15 时，xa 即 x15； 当 x12 时，S 有最大值为 72 平方米； a10 时，xa 即 x10， 当 x10 时，面积的最大值为（1012）2+7270（平方米） （2）令 S67.5 得：（x12）2
33、+7267.5， 解得 x9 或 x15， 由 xa 可知，当 x15 时，a15， 由（1）知，此时矩形最大值在 x12 时取得，面积最大值为 72 平方米，故 x15 舍去 a9 22 （10 分）如图，已知，A，B 是O 上的点，P 为O 外一点，连接 PA，PB，分别交O 于点 C，D， （1）求证：PAPB； （2）若P60，3AOC 的面积等于 9，求图中阴影部分的面积 【分析】 （1）连接 OA，OC，OD，OB，设 OMAC 于 M，ONBD 于 N，设 OP 交O 于 E证明 Rt OMCRtOND（HL） ，推出 OMON，再证明 RtPOMRtPON（HL） ，可得结论
34、（2）过点 A 作 AJOC 于 J设 OAOBR，则 AJR，首先证明AOC30，利用三角形的面 积公式求出 R，即可解决问题 【解答】 （1）证明：连接 OA，OC，OD，OB，设 OMAC 于 M，ONBD 于 N，设 OP 交O 于 E ， ACBD， OAOCOBOD，OMAC，ONBD， CMAM，BNDN，OMCOND90， CMDN， 在 RtOMC 和 RtOND 中， ， RtOMCRtOND（HL） ， OMON， 在 RtPOM 和 RtPON 中， ， RtPOMRtPON（HL） ， PMPN， AMBN， PAPB （2）解：APB60，PMOPNO90， MON
35、120， POMPON， POMPON60， 3， COE3COM， COM15， AOC2COM30， 过点 A 作 AJOC 于 J设 OAOBR，则 AJR SAOC9， RR9， R6， S阴S阴S阴SAOC939 23 （12 分）如图，已知二次函数 yax2+bx+c 的图象经过点 A（1，0） ，B（4，0） ，E（1，3） ，与 y 轴 交于点 C （1）求该二次函数表达式； （2）判断ABC 的形状，并说明理由； （3）P 为第一象限内该二次函数图象上一动点，过 P 作 PQAC，交直线 BC 于点 Q，作 PMy 轴交 BC 于 M 求证：PQMCOA； 求线段 PQ 的长
36、度的最大值 【分析】 （1）利用待定系数可求解析式； （2）先求出 AB，AC，BC，由勾股定理的逆定理可求解； （3）由平行线的性质可得ACBCQPPQM90，PMQBCOCAO，由相似三角 形的判定定理可得PQMCOA； 先求出 BC 解析式，设 P（m，m2+m+2） ，则点 M（m，m+2） ，由锐角三角函数可求 PQ 的 长，由二次函数的性质可求解 【解答】解： （1）二次函数 yax2+bx+c 的图象经过点 A（1，0） ，B（4，0） ，E（1，3） ， ， 解得：， 二次函数表达式为 yx2+x+2； （2）ABC 是直角三角形， 理由如下：抛物线 yx2+x+2 与 y 轴
37、交于点 C， 点 C（0，2） ， 又点 A（1，0） ，B（4，0） ， AB5，AC，BC2， AB225，AC2+BC225， AB2AC2+BC2， ACB90， ABC 是直角三角形； （3）ACBAOC90， ACO+BCO90ACO+CAO， BCOCAO， PQAC，PMy 轴， ACBCQPPQM90，PMQBCOCAO， PMQCOA； 如图，延长 PM 交 AB 于 H， PMQBMH，PQMPHB90， QPMCBA， B（4，0） ，点 C（0，2） ， 直线 BC 解析式为 yx+2， 设 P（m，m2+m+2） ，则点 M（m，m+2） ， PMm2+m+2（m+
38、2）（m2）2+2， cosCBAcosQPM， ， ， PQ（m2）2+， 当 m2 时，PQ 有最大值为 24 （14 分）如图，O 的半径为 5，弦 BC6，A 为 BC 所对优弧上一动点，ABC 的外角平分线 AP 交 O 于点 P，直线 AP 与直线 BC 交于点 E （1）如图 1求证：点 P 为的中点； 求 sinBAC 的值； （2）如图 2，若点 A 为的中点，求 CE 的长； （3）若ABC 为非锐角三角形，求 PAAE 的最大值 【分析】 （1）证明：如图 1，连接 PC，根据圆内接四边形的性质和圆周角定理得：PCBPBC， 所以弦相等，弧相等，可得结论； 如图 2，作辅
39、助线，构建直径 PG，根据垂径定理得：BG3，BOGBAC，最后由三角函数定义 可得结论； （2）如图 3，过 P 作 PGBC 于 G，连接 OC，根据勾股定理计算 OG 和 PC 的长，根据各角的关系证 明APCE，则 CE 和 PC 的长相等，可得结论； （3）如图 4，过点 C 作 CQAB 于 Q，证明ACEAPB，列比例式得：PAAEACAB，根据三角 形面积公式得 PAAESABC，由图形可知：点 A 运动到使ABC 为直角三角形时，如图 5，ABC 的面积最大，从而得结论 【解答】 （1）证明：如图 1，连接 PC， A、P、B、C 四点内接于O， PAFPBC， AP 平分B
40、AF， PAFBAP， BAPPCB， PCBPBC， PBPC， ， 点 P 为的中点； 解：如图 2，过 P 作 PGBC 于 G，交 BC 于 G，交O 于 H，连接 OB， ， PH 是直径， BPCBAC，BOGBPGBPC， OGBC， BGBC3， RtBOG 中，OB5， sinBACsinBOG； （2）解：如图 3，过 P 作 PGBC 于 G，连接 OC， 由（1）知：PG 过圆心 O，且 CG3，OCOP5， OG4， PG4+59， PC3， 设APCx， A 是的中点， ， ABCABPx， PBPC， PCBPBC2x， PCE 中，PCBCPE+E， E2xxxCPE， CEPC3； （3）解：如图 4，过点 C 作 CQAB 于 Q， ACEP，CAEPAFPAB， ACEAPB， ， PAAEACAB， sinBAC， CQACsinBACAC， SABCABCQ， PAAESABC， ABC 为非锐角三角形， 点 A 运动到使ABC 为直角三角形时，如图 5，ABC 的面积最大， RtABC 中，AB10，BC6， AC8， 此时 PAAE80
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