1、2020-2021 学年湖北省随州市广水市九年级（上）期末数学试卷学年湖北省随州市广水市九年级（上）期末数学试卷 一、 选择题 （本大题一、 选择题 （本大题 10 个小题， 每小题个小题， 每小题 3 分， 共分， 共 30 分， 每小题给出的四个选项中， 只有一个是正确答案。 ）分， 每小题给出的四个选项中， 只有一个是正确答案。 ） 12020 的倒数是（ ） A2020 B C2020 D 2某种感冒病毒的直径是 0.00000012 米，用科学记数法表示为（ ）米 A1.210 7 B0.1210 7 C1.210 6 D0.1210 6 3如图，已知165，如果 CDBE，那么B
2、的度数为（ ） A65 B105 C115 D125 4八年级某同学 6 次数学小测验的成绩分别为 95 分，80 分，85 分，95 分，95 分，85 分，则该同学这 6 次成绩的众数和中位数分别是（ ） A95 分，95 分 B95 分，90 分 C90 分，95 分 D95 分，85 分 5亮亮想用一块铁皮制作一个圆锥模型，要求圆锥的母线长为 12cm，底面圆的半径为 5cm那么，这个圆 锥模型的侧面展开扇形铁皮的圆心角度数应为（ ） A90 B120 C150 D240 6化简：的结果是（ ） A1 B （x+1） （x1） C D 7 九章算术是中国传统数学的重要著作，方程术是它的
3、最高成就其中记载：今有共买物，人出八， 盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出 8 钱，会多 3 钱：每人 出 7 钱，又会差 4 钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为 x 人，物价为 y 钱，以下列出的方程组正 确的是（ ） A B C D 8如图所示，OA、BA 分别表示甲、乙两名学生运动的路程与时间的关系图象，图中 S 和 t 分别表示运动 路程和时间，根据图象判断快者比慢者每秒多跑（ ） A25m B6.25m C1.5m D1.25m 9张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子 x+ （x0）的最小值是
4、2” 其推导方法如下：在面积是 1 的矩形中设矩形的一边长为 x，则另一边长是， 矩形的周长是 2（x+） ；当矩形成为正方形时，就有 x（x0） ，解得 x1，这时矩形的周长 2（x+ ）4 最小，因此 x+（x0）的最小值是 2模仿张华的推导，你求得式子（x0）的最小值 是（ ） A2 B1 C6 D10 10二次函数 yax2+bx+c（a0）的部分图象如图所示，图象过点（1，0） ，对称轴为直线 x2，下列 结论： （1）4a+b0； （2）8a+7b+2c0； （3）若点 A（3，y1） 、点 B（，y2） 、C（，y3）在该函 数图象上，则 y1y3y2； （4）若方程 a（x+1
5、） （x5）3 的两根为 x1和 x2，且 x1x2，则 x11 5x2其中正确的结论有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分，请把答案填在题中的横线上）分，请把答案填在题中的横线上） 11计算： 12如图，AD 是O 的直径，若AOB40，则圆周角BPC 的度数是 13小明把如图所示的平行四边形纸板挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在板上，且落在纸板的任何 一个点的机会都相等） ，则飞镖落在阴影区域的概率是 14探索规律：如图是用棋子摆成的“H”字，第一个图形用了 7 个棋子，第二个图
6、形用了 12 个棋子，按 这样的规律摆下去，摆成第 20 个“H”字需要棋子 15 分别以矩形 OABC 的边 OA，OC 所在的直线为 x 轴， y 轴建立平面直角坐标系，点 B 的坐标是（4，2） ， 将矩形 OABC 折叠使点 B 落在 G（3，0）上，折痕为 EF，若反比例函数的图象恰好经过点 E，则 k 的值为 16如图，在菱形 ABCD 中，ABBD，点 E、F 分别是线段 AB、AD 上的动点（不与端点重合） ，且 AE DF， BF 与 DE 相交于点 G 给出如下几个结论： AEDDFB； CG 平分BGD； 若 AF2DF， 则；其中正确的结论是 （填写所有正确结论的序号）
7、 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，共小题，共 72 分，解答应写出必要的演算步骤、文字说明或证明）分，解答应写出必要的演算步骤、文字说明或证明） 17 （5 分）若 a+2，b2，求 a2b+ab2的值 18 （7 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2（m2）xm0 （1）求证：无论 m 取任何的实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两实根为 x1、x2，且：x12+x222x1x213，求 m 的值 19（10 分） 为了遏制新型冠状病毒疫情的蔓延势头， 各地教育部门在推迟各级学校开学时间的同时提出 “停 课不停学” 的要求， 各地学校也都开展了远程网络教
8、学， 某校为学生提供四类在线学校方式： 在线阅读、 在线听课、在线答疑、在线讨论，为了了解学生的需求，该校通过网络对本校部分学生进行了“你对哪 类在线学校方式最感兴趣”的调查，并根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图 （1）本次调查的人数有 人 （2）请补全条形图； （3） “在线答疑”在扇形图中的圆心角是 度； （4） 小宁和小娟都参加了远程网络教学活动，请用画树状图法或列表求出小宁和小娟选择同一种学习方 式的概率 20 （8 分）已知ABC 中，AB8，AC6，点 D 是线段 AC 的中点，点 E 在线段 AB 上，若ADE 与 ABC 相似，求 AE 的长 21 （9 分）如图，AB 是O
9、 的直径，AD、BD 是O 的弦，BC 是O 的切线，切点为 B，OCAD，BA， CD 的延长线相交于点 E （1）求证：CD 是O 的切线； （2）若O 的半径为 4，ED3AE，求 AE 的长 22 （10 分）景城邻里中心超市进了一批成本为 8 元/个的文具盒，调查发现：这种文具盒每个星期的销售 量 y（个）与它的定价 x（元/个）的关系如图所示： （1）这种文具盒每个星期的销售量 y（个）与它的定价 x（元/个）之间的函数关系式为 （不必 写出自变量 x 的取值范围） ； （2）设超市每星期的销售利润为 W，写出 W 与 x 之间的函数关系式； （3）若该超市每星期销售这种文具盒的销
10、售量不少于 125 个，且单件利润不低于 3 元，当每个文具盒定 价多少元时，超市每星期利润最高？最高利润是多少？ 23 （11 分）知识生成 通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式 例如：如图是一个长为 2a，宽为 2b 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图 的形状拼成一个正方形请解答下列问题： （1）图中阴影部分的正方形的边长是 ； （2）请用两种不同的方法求图中阴影部分的面积： 方法 1： ；方法 2： ； （3）观察图，请你写出（a+b）2、 （ab）2、ab 之间的等量关系是 ； （4）根据（3）中的等量关系解决如下问题：若 x+y6，则（x
11、y）2 ； 知识迁移 类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式 （5）根据图，写出一个代数恒等式： ； （6）已知a+b3，ab1，利用上面的规律求的 值 24 （12 分）如图，已知顶点为 D 的抛物线 yax2+bx+3（a0）与 x 轴交于 A（1，0） ，C（3，0）两点， 与 y 轴交于 B 点 （1）求该抛物线的解析式及点 D 坐标； （2）若点 Q 是该抛物线的对称轴上的一个动点，当 AQ+QB 最小时，直接写出直线 AQ 的函数解析式； （3）若点 P 为抛物线上的一个动点，且点 P 在 x 轴上方，过 P 作 PK 垂直 x 轴于点 K，是否存在点
12、P 使 得 A，K，P 三点形成的三角形与DBC 相似？若存在，求出点 P 的坐标，若不存在，请说明理由 2020-2021 学年湖北省随州市广水市九年级（上）期末数学试卷学年湖北省随州市广水市九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、 选择题 （本大题一、 选择题 （本大题 10 个小题， 每小题个小题， 每小题 3 分， 共分， 共 30 分， 每小题给出的四个选项中， 只有一个是正确答案。 ）分， 每小题给出的四个选项中， 只有一个是正确答案。 ） 12020 的倒数是（ ） A2020 B C2020 D 【分析】根据倒数的概念解答 【解答】解：2020 的倒
13、数是， 故选：B 2某种感冒病毒的直径是 0.00000012 米，用科学记数法表示为（ ）米 A1.210 7 B0.1210 7 C1.210 6 D0.1210 6 【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10 n，与较大数的科学记数 法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 【解答】解：0.000000121.210 7， 故选：A 3如图，已知165，如果 CDBE，那么B 的度数为（ ） A65 B105 C115 D125 【分析】先求出1 的对顶角，再根据两直线平行，同旁内角互补即可求出 【解答】解
14、：如图，170， 2170， CDBE， B180218065115 故选：C 4八年级某同学 6 次数学小测验的成绩分别为 95 分，80 分，85 分，95 分，95 分，85 分，则该同学这 6 次成绩的众数和中位数分别是（ ） A95 分，95 分 B95 分，90 分 C90 分，95 分 D95 分，85 分 【分析】根据题目中的数据，可以得到这组数据的众数和中位数，本题得以解决 【解答】解：将这 6 位同学的成绩从小到大排列为 80、85、85、95、95、95， 由于 95 分出现的次数最多，有 3 次，即众数为 95 分， 第 3、4 个数的平均数为90，即中位数为 90 分
15、， 故选：B 5亮亮想用一块铁皮制作一个圆锥模型，要求圆锥的母线长为 12cm，底面圆的半径为 5cm那么，这个圆 锥模型的侧面展开扇形铁皮的圆心角度数应为（ ） A90 B120 C150 D240 【分析】根据展开图的扇形的弧长等于圆锥底面周长计算 【解答】解：10，解得 n150故选：C 6化简：的结果是（ ） A1 B （x+1） （x1） C D 【分析】根据分式的运算法则即可求出答案 【解答】解：原式 故选：D 7 九章算术是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就其中记载：今有共买物，人出八， 盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出 8 钱，会
16、多 3 钱：每人 出 7 钱，又会差 4 钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为 x 人，物价为 y 钱，以下列出的方程组正 确的是（ ） A B C D 【分析】设合伙人数为 x 人，物价为 y 钱，根据题意得到相等关系：8人数物品价值3，物品 价值7人数4，据此可列方程组 【解答】解：设合伙人数为 x 人，物价为 y 钱，根据题意， 可列方程组：， 故选：B 8如图所示，OA、BA 分别表示甲、乙两名学生运动的路程与时间的关系图象，图中 S 和 t 分别表示运动 路程和时间，根据图象判断快者比慢者每秒多跑（ ） A25m B6.25m C1.5m D1.25m 【分析】根据函数图象中的数据
17、，可以分别求得快者和慢者的速度，然后作差即可解答本题 【解答】解：由图象可得， 快者的速度为：100（204）100166.25（m/s） ， 慢者的速度为：100205（m/s） ， 6.2551.25（m/s） ， 即快者比慢者每秒多跑 1.25m， 故选：D 9张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子 x+ （x0）的最小值是 2” 其推导方法如下：在面积是 1 的矩形中设矩形的一边长为 x，则另一边长是， 矩形的周长是 2（x+） ；当矩形成为正方形时，就有 x（x0） ，解得 x1，这时矩形的周长 2（x+ ）4 最小，因此 x+（x0）
18、的最小值是 2模仿张华的推导，你求得式子（x0）的最小值 是（ ） A2 B1 C6 D10 【分析】根据题意求出所求式子的最小值即可 【解答】解：x0， 在原式中分母分子同除以 x， 即x+， 在面积是 9 的矩形中设矩形的一边长为 x，则另一边长是， 矩形的周长是 2（x+） ； 当矩形成为正方形时，就有 x， （x0） ， 解得 x3， 这时矩形的周长 2（x+）12 最小， 因此 x+（x0）的最小值是 6 故选：C 10二次函数 yax2+bx+c（a0）的部分图象如图所示，图象过点（1，0） ，对称轴为直线 x2，下列 结论： （1）4a+b0； （2）8a+7b+2c0； （3）
19、若点 A（3，y1） 、点 B（，y2） 、C（，y3）在该函 数图象上，则 y1y3y2； （4）若方程 a（x+1） （x5）3 的两根为 x1和 x2，且 x1x2，则 x11 5x2其中正确的结论有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】根据抛物线的对称轴为直线 x2，则有 4a+b0；由于 x1 时，y0，则 ab+c0，易得 c5a， 所以 8a+7b+2c8a28a10a30a， 再根据抛物线开口向下得 a0， 于是有 8a+7b+2c0； 利用抛物线的对称性得到（，y3） ，然后利用二次函数的增减性求解即可，作出直线 y3，然后依据 函数图象进行判断即可 【解答
20、】解：x2， 4a+b0，故正确 抛物线与 x 轴的一个交点为（1，0） ， ab+c0 又b4a， a+4a+c0，即 c5a， 8a+7b+2c8a28a10a30a， 抛物线开口向下， a0， 8a+7b+2c0，故正确； 抛物线的对称轴为 x2，C（，y3） ， （，y3） 3，在对称轴的左侧， y 随 x 的增大而增大， y1y2y3，故错误 方程 a（x+1） （x5）0 的两根为 x1 或 x5， 过 y3 作 x 轴的平行线，直线 y3 与抛物线的交点的横坐标为方程的两根， 依据函数图象可知：x115x2，故正确 故选：C 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每
21、小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分，请把答案填在题中的横线上）分，请把答案填在题中的横线上） 11计算： 1 【分析】直接利用零指数幂的性质以及二次根式的性质分别化简得出答案 【解答】解：原式4+1+4 1 故答案为：1 12如图，AD 是O 的直径，若AOB40，则圆周角BPC 的度数是 50 【分析】根据圆周角定理求出BOC 即可解决问题 【解答】解：， AOBCOD40， BOC18080100， BPCBOC50， 故答案为 50 13小明把如图所示的平行四边形纸板挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在板上，且落在纸板的任何 一个点的机会都相等） ，则飞镖落在阴影区域的概率是
22、【分析】用阴影部分的面积除以平行四边形的总面积即可得 【解答】解：飞镖落在阴影区域的概率是， 故答案为： 14探索规律：如图是用棋子摆成的“H”字，第一个图形用了 7 个棋子，第二个图形用了 12 个棋子，按 这样的规律摆下去，摆成第 20 个“H”字需要棋子 102 个 【分析】仔细观察图形的变化规律，找到题目变化的通项公式，然后代入求值即可 【解答】解：图形用棋子的个数2（21+1）+1； 图形用棋子的个数2（22+1）+2； 图形用棋子的个数2（23+1）+3； 摆成第 20 个“H”字需要棋子的个数2（220+1）+20102（个） 故答案为：102 个 15 分别以矩形 OABC 的
23、边 OA，OC 所在的直线为 x 轴， y 轴建立平面直角坐标系，点 B 的坐标是（4，2） ， 将矩形 OABC 折叠使点 B 落在 G（3，0）上，折痕为 EF，若反比例函数的图象恰好经过点 E，则 k 的值为 3 【分析】设 CE 的长为 a，利用折叠的性质得到 EGBE4a，ED3a，在 RtEGD 中，利用勾股 定理可求得 a 的值，得到点 E 的坐标，即可求解 【解答】解：过 G 作 GDBC 于 D，则点 D（3，2） ， 设 CE 的长为 a， 根据折叠的性质知：EGBE4a，ED3a， 在 RtEGD 中，EG2ED2+DG2， （4a）2（3a）2+22， 解得：， 点 E
24、 的坐标为（，2） ， 反比例函数的图象恰好经过点 E， ， 故答案为：3 16如图，在菱形 ABCD 中，ABBD，点 E、F 分别是线段 AB、AD 上的动点（不与端点重合） ，且 AE DF， BF 与 DE 相交于点 G 给出如下几个结论： AEDDFB； CG 平分BGD； 若 AF2DF， 则；其中正确的结论是 （填写所有正确结论的序号） 【分析】根据菱形的性质得到 ABAD，推出ABD 为等边三角形，得到ABDF60，根据全等 三角形的判定得到AEDDFB；过点 C 作 CMGB 于 M，CNGD 于 N（如图 1） ，根据全等三角 形的性质得到 CNCM， 根据角平分线的定义得
25、到 CG 平分BGD； 过点 F 作 FPAE 交 DE 于 P 点 （如 图 2） ，根据平行线分线段成比例定理得到；推出 B、C、D、G 四点共圆，根据圆周角定理得到 BGCBDC60，DGCDBC60，求得BGCDGC60，过点 C 作 CMGB 于 M，CNGD 于 N（如图 1） ，推出 S四边形BCDGS四边形CMGN，于是得到 S四边形CMGN2SCMG2 CGCGCG2 【解答】解：ABCD 为菱形， ABAD， ABBD， ABD 为等边三角形， ABDF60， 又AEDF，ADBD， AEDDFB（SAS） ，故本选项正确； 过点 C 作 CMGB 于 M，CNGD 于 N
26、（如图 1） ， 则CBMCDN（AAS） ， CNCM， CGCG， RtCNGRtCMG（HL） ， DGCBGC， CG 平分BGD；故本选项正确； 过点 F 作 FPAE 交 DE 于 P 点（如图 2） ， AF2DF， FP：AEDF：DA1：3， AEDF，ABAD， BE2AE， FP：BEFP：2AE1：6， FPAE， PFBE， FG：BGFP：BE1：6， 故本选项错误； BGEBDG+DBFBDG+GDF60BCD， 即BGD+BCD180， 点 B、C、D、G 四点共圆， BGCBDC60，DGCDBC60， BGCDGC60， 过点 C 作 CMGB 于 M，CN
27、GD 于 N（如图 1） ， 则CBMCDN（AAS） ， S四边形BCDGS四边形CMGN， S四边形CMGN2SCMG， CGM60， GMCG，CMCG， S四边形CMGN2SCMG2CGCGCG2，故本选项错误； 综上所述，正确的结论有，共 3 个， 故答案为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，共小题，共 72 分，解答应写出必要的演算步骤、文字说明或证明）分，解答应写出必要的演算步骤、文字说明或证明） 17 （5 分）若 a+2，b2，求 a2b+ab2的值 【分析】先将所求式子化简，然后将 a、b 的值代入化简后的式子即可解答本题 【解答】解：a2b+ab2 ab
28、（a+b） ， 当 a+2，b2 时，原式（+2）（2）（+2+2）（34）2 2 18 （7 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2（m2）xm0 （1）求证：无论 m 取任何的实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两实根为 x1、x2，且：x12+x222x1x213，求 m 的值 【分析】 （1）只要证明0 恒成立即可； （2）由题意可得，x1+x2m2，x1x2m，进行变形后代入即可求解 【解答】解： （1）证明：x2（m2）xm0， （m2）241（m）m2+40， 无论 m 为任何的实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）x2（m2）xm0，方程的两实根为 x1、x
29、2， x1+x2m2，x1x2m， 又， ， （m2）24（m）13， 解得，m13，m23， 即 m 的值是 3 或3 19（10 分） 为了遏制新型冠状病毒疫情的蔓延势头， 各地教育部门在推迟各级学校开学时间的同时提出 “停 课不停学” 的要求， 各地学校也都开展了远程网络教学， 某校为学生提供四类在线学校方式： 在线阅读、 在线听课、在线答疑、在线讨论，为了了解学生的需求，该校通过网络对本校部分学生进行了“你对哪 类在线学校方式最感兴趣”的调查，并根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图 （1）本次调查的人数有 100 人 （2）请补全条形图； （3） “在线答疑”在扇形图中的圆心角是 72
30、 度； （4） 小宁和小娟都参加了远程网络教学活动，请用画树状图法或列表求出小宁和小娟选择同一种学习方 式的概率 【分析】 （1）根据在线阅读的人数和所占的百分比求出调查的总人数； （2）用总人数减去其它方式的人数求出在线答疑的人数，从而补全统计图； （3）用 360乘以“在线答疑”所占的百分比即可； （4） 根据题意画出树状图得出所有等情况数和小宁和小娟选择同一种学习方式的情况数， 再根据概率公 式即可得出答案 【解答】解： （1）本次调查的人数有 2525%100（人） 故答案为：100 （2）在线答疑的人数有：10025401520（人） ，补全统计图如下： （3） “在线答疑”在扇形图
31、中的圆心角度数是 36072 故答案为：72 （4）记四种学习方式：在线阅读、在线听课、在线答疑、在线讨论，分别为 A、B、C、D，则可画树状 图如下： 共有 16 种等可能的情况数，其中小宁和小娟选择同一种学习方式的有 4 种， 则小宁和小娟选择同一种学习方式的概率是 20 （8 分）已知ABC 中，AB8，AC6，点 D 是线段 AC 的中点，点 E 在线段 AB 上，若ADE 与 ABC 相似，求 AE 的长 【分析】根据相似三角形对应边的比相等列式即可求解 【解答】解：点 D 是线段 AC 的中点， ADAC3 ADEABC， 当时， 即， 解得 AE 当时， 即， 解得：AE4， 综
32、上所述，AE 的值为 4 或 21 （9 分）如图，AB 是O 的直径，AD、BD 是O 的弦，BC 是O 的切线，切点为 B，OCAD，BA， CD 的延长线相交于点 E （1）求证：CD 是O 的切线； （2）若O 的半径为 4，ED3AE，求 AE 的长 【分析】 （1）连接 DO，利用平行线的性质和等腰三角形的性质证明CODCOB则根据“SAS”可 判断CODCOB，所以CDOCBO再根据切线的性质得CBO90，则CDO90，然 后根据切线的判定定理得到结论； （2）根据切线的性质得EDO90，由勾股定理可求解 【解答】 （1）证明：连接 DO，如图， OCAD， DAOCOB，ADO
33、COD， 又OAOD， DAOADO， CODCOB 在COD 和COB 中 ， CODCOB（SAS） ， CDOCBO BC 是O 的切线， CBO90， CDO90， ODCE， 又点 D 在O 上， CD 是O 的切线； （2）解：CD 是圆 O 的切线， EDO90， ED2+OD2OE2， O 的半径为 4，ED3AE， （3AE）2+42（4+AE）2， 解得：AE1，AE0（舍去） AE 的长是 1 22 （10 分）景城邻里中心超市进了一批成本为 8 元/个的文具盒，调查发现：这种文具盒每个星期的销售 量 y（个）与它的定价 x（元/个）的关系如图所示： （1）这种文具盒每个
34、星期的销售量 y（个）与它的定价 x（元/个）之间的函数关系式为 y10 x+300 （不必写出自变量 x 的取值范围） ； （2）设超市每星期的销售利润为 W，写出 W 与 x 之间的函数关系式； （3）若该超市每星期销售这种文具盒的销售量不少于 125 个，且单件利润不低于 3 元，当每个文具盒定 价多少元时，超市每星期利润最高？最高利润是多少？ 【分析】 （1）根据图象利用待定系数法直接求出函数的解析式即可； （2）根据利润等于每个利润数量建立方程即可得到结论； （3）根据条件先求出售价的取值范围，再表示出利润的解析式，根据函数的性质就可以求出结论 【解答】解： （1）设这种文具盒每个星
35、期的销售量 y（个）与它的定价 x（元/个）之间的函数关系式 y kx+b， 由题意，得， 解得：， 则销售量 y（个）与它的定价 x（元/个）之间的函数关系式为 y10 x+300， 故答案为：y10 x+300； （2）由题意，得 W（x8） y（x8） （10 x+300） ， 故 W 与 x 之间的函数关系式为 W10 x2+380 x2400； （3）根据题意得： ， 得：11x17.5， 设每星期所获利润为 W 元，由题意，得 W（x8） y （x8） （10 x+300） 10（x238x+240） 10（x19）2+1210， a100， 抛物线开口向下，在对称轴的左边 W 随
36、 x 的增大而增大 当 x17.5 时，W 有最大值，W最大1187.5 答：每个文具盒的定价是 17 元时，可获得每星期最高销售利润 1187.5 元 23 （11 分）知识生成 通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式 例如：如图是一个长为 2a，宽为 2b 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图 的形状拼成一个正方形请解答下列问题： （1）图中阴影部分的正方形的边长是 ab ； （2）请用两种不同的方法求图中阴影部分的面积： 方法 1： （ab）2 ；方法 2： （a+b）24ab ； （3）观察图，请你写出（a+b）2、 （ab）2、ab 之间的等
37、量关系是 （ab）2（a+b）24ab ； （4）根据（3）中的等量关系解决如下问题：若 x+y6，则（xy）2 14 ； 知识迁移 类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式 （5）根据图，写出一个代数恒等式： （a+b）3a3+3a2b+3ab2+b3 ； （6）已知a+b3，ab1，利用上面的规律求的 值 【分析】 （1）由拼图直接得出答案； （2）用不同方法表示小正方形的面积； （3）由（2）可直接得出答案； （4）直接根据（3）的结论代入求值即可； （5）根据体积的不同计算方法得出等式； （6）根据（5）中的结论，直接代入计算即可 【解答】解： （1）由拼图可
38、得，中间小正方形的边长为 ab， 故答案为：ab； （2）方法 1，直接根据正方形的面积公式得， （ab）2， 方法 2，大正方形面积减去四种四个长方形的面积，即（a+b）24ab， 故答案为： （ab）2， （a+b）24ab； （3）故答案为： （ab）2（a+b）24ab； （4）由（3）得， （xy）2（x+y）24xy362214； 故答案为：14； （5）根据体积的不同计算方法可得； （a+b）3a3+3a2b+3ab2+b3； 故答案为： （a+b）3a3+3a2b+3ab2+b3； （6）a+b3，ab1， 9 24 （12 分）如图，已知顶点为 D 的抛物线 yax2+bx+
39、3（a0）与 x 轴交于 A（1，0） ，C（3，0）两点， 与 y 轴交于 B 点 （1）求该抛物线的解析式及点 D 坐标； （2）若点 Q 是该抛物线的对称轴上的一个动点，当 AQ+QB 最小时，直接写出直线 AQ 的函数解析式； （3）若点 P 为抛物线上的一个动点，且点 P 在 x 轴上方，过 P 作 PK 垂直 x 轴于点 K，是否存在点 P 使 得 A，K，P 三点形成的三角形与DBC 相似？若存在，求出点 P 的坐标，若不存在，请说明理由 【分析】 （1）利用待定系数法可求解析式，由配方法可求点 D 坐标； （2）当点 Q 在 BC 上时，AQ+QB 有最小值，由待定系数法可求解
40、； （3）由勾股定理的逆定理可证DBC 是直角三角形，分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求解 【解答】解： （1）根据题意，把 A（1，0） ，C（3，0）两点代入 yax2+bx+3（a0） ， 得， 解得， 抛物线的解析式为 yx2+2x+3， yx2+2x+3（x1）2+4， D（1，4） ； （2）点 A 与点 C 关于对称轴 x1 对称， AQCQ， AQ+QBCQ+QB， 当点 Q 在 BC 上时，AQ+QB 有最小值， 如图 1，连接 BC，交直线 x1 交于点 Q， 当 x0 时，y3， B（0，3） ， 设直线 BC 解析式为 ykx+m， 由题意可得：， 解得：， 直线
41、BC 解析式为 yx+3， 当 x1 时，y2， 点 Q 坐标为（1，2） ， 设直线 AQ 解析式为 ynx+d， 由题意可得：， 解得， 直线 AQ 的函数解析式为 yx+1， AQ+QB 最小时，直线 AQ 的函数解析式为 yx+1； （3）如图 2，过 D 作 DF 垂直 x 轴交于点 F，过 B 作 BG 垂直 DF 于点 G， 在DBC中， ， BD2+BC2DC2， DBC 是直角三角形， AKPDBC90， 若点 A，K，P 三点围成的三角形与DBC 相似， 则AKPDBC 或AKPCBD， 则或， 即或， 设 P（t，t2+2t+3） ，则 K（t，0） 得或， 得t2t0 或， 解得 t0，或 t1（舍去） ，或， 存在点 P（0，3）或（，） ，使得点 A，K，P 三点围成的三角形与DBC 相似
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