1、20202021 学年广东省揭阳市普宁市九年级第一学期期末数学试卷学年广东省揭阳市普宁市九年级第一学期期末数学试卷 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题）小题） 1. 如图，一个由圆柱和长方体组成的几何体水平放置，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中 【详解】从上面看，是一个矩形，矩形的中间是一个圆 故选：C 【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图 2. 用公式法解方程 2 3x5x10 ，正确是( ) A. 513 x 6 B. 513 x 3 C. 513
2、 x 6 D. 513 x 3 【答案】A 【解析】 【分析】 利用求根公式求出解即可 【详解】解：3a ，5b ，1c ， 22 454 3 1130bac ， 2 4513 26 bbac x a ， 故选：A 【点睛】本题考查了解一元二次方程公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键 3. 已知关于 x的一元二次方程 x2+bx10，则下列关于该方程根的判断，正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 实数根的个数与实数 b的取值有关 【答案】A 【解析】 【分析】 先计算出判别式的值，再根据非负数的性质判断0，然后利用判别式的意义对各选项进
3、行判断 【详解】解：b24 （1）b2+40， 方程有两个不相等的实数根 故选：A 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根与=b2-4ac 有如下关系：当 0 时，方程有两个不相等的实数根；当=0 时，方程有两个相等的实数根；当0时，方程无实数根 4. 在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为 1，2，3，4若随机摸出一个小球后 不放回，再随机摸出一个小球，则两次取出小球标号的和等于 5的概率为（ ） A. 1 4 B. 2 3 C. 1 3 D. 3 16 【答案】C 【解析】 【分析】 首先根据题意画出树状图， 然后由树状图求得所有等
4、可能的结果与两次摸出的小球标号之和等于 5的情况， 再利用概率公式求解即可求得答案 【详解】解：画树状图得： 共有 12 种等可能的结果，两次摸出的小球标号之和等于 5的有 4种情况， 两次摸出的小球标号之和等于 5的概率是： 41 123 . 故选 C. 【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举解 题时注意：概率=所求情况数与总情况数之比 5. 如图，在ABC中，C90 ，设A，B，C所对的边分别为 a，b，c，则（ ） A. sinA a b B. asinB c C. cosA b c D. tanA b a 【答案】C 【解析】 【分析】
5、根据锐角三角函数的定义逐项进行判断即可 【详解】解：在ABC中，C90 ，设A，B，C所对的边分别为 a，b，c， 因此有：sinA a c ，sinB b c ，cosA b c ，tanA a b ， 故 A 不符合题意；故 C符合题意；故 D 不符合题意； 由 sinB b c 可得 bsinB c，故 B 不符合题意； 故选：C 【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的意义是正确判断的前提 6. 用配方法将二次函数 y=x28x9化为 y=a（xh）2+k 的形式为（ ） A. y=（x4）2+7 B. y=（x+4）2+7 C. y=（x4）225 D. y=（x+4）
6、225 【答案】C 【解析】 【分析】 直接利用配方法进而将原式变形得出答案 【详解】y=x2-8x-9 =x2-8x+16-25 =（x-4）2-25 故选 C 【点睛】此题主要考查了二次函数的三种形式，正确配方是解题关键 7. 下列说法正确的是（ ） A. 一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】B 【解析】 分析】 利用平行四边形判定、菱形的判定、矩形的判定及正方形的判定定理对各选项逐一判断后即可确定正确 的选项 【详解】解：A.一组对边平行，另一组对边相等
7、的四边形是平行四边形错误，如等腰梯形； B.对角线互相垂直平分的四边形是菱形，正确； C.对角线相等的四边形是矩形错误，如等腰梯形； D.对角线互相垂直且相等四边形是正方形错误，如一般四边形对角线也可以互相垂直且相等 故选：B 【点睛】本题考查了命题与定理，解题的关键是了解平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定及正方 形的判定定理，难度一般 8. 已知ABC如图，则下列 4个三角形中，与ABC相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 ABC 是等腰三角形，底角是 75 ，则顶角是 30 ，看各个选项是否符合相似的条件 【详解】解：由图可知，ABAC6，B75 ，
8、 C75 ，A30 ， A.三角形各角的度数分别为 75 ，52.5 ，52.5 ，不符合题意； B.三角形各角的度数都是 60 ，不符合题意； C.三角形各角的度数分别为 75 ，30 ，75 ，符合题意； D.三角形各角的度数分别为 40 ，70 ，70 ，不符合题意； 只有 C 选项中三角形各角的度数与题干中三角形各角的度数相等， 故选：C 【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理和相似三角形的判定的理解和掌握，解题的 关键是熟练掌握相似三角形的判定 9. 如图，菱形 ABCD的对角线 AC，BD相交于点 O，过点 D 作 DHAB 于点 H，连接 OH，若 OA6，S菱
9、形ABCD48，则 OH的长为（ ） A. 4 B. 8 C. 13 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】 由菱形的性质得出 OAOC6，OBOD，ACBD，则 AC12，由直角三角形斜边上的中线性质得出 OH 1 2 AB，再由菱形的面积求出 BD8，即可得出答案 【详解】解：四边形 ABCD 是菱形， OAOC6，OBOD，ACBD， AC12， DHAB， BHD90 ， OH 1 2 BD， 菱形 ABCD的面积 1 2 AC BD 1 2 12 BD48， BD8， OH 1 2 BD4； 故选：A 【点睛】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，菱形的面积公式，关键是根据直角三
10、角形斜边上的 中线性质求得 OH= 1 2 BD 10. 若函数 2 0yaxbxc a 的图象如图所示，则函数yaxb和 c y x 在同一平面直角坐标系中的图 象大致是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据二次函数的图像即可判断出 a，b，c与 0的大小关系，然后根据一次函数和反比例函数的图像特点确定 答案 【详解】解：抛物线开口向上 a0 抛物线对称轴 2 b x a 0 b0 抛物线与 y轴交点在 y轴正半轴上 c0 当a0，b0 时，一次函数yaxb的图像过第一、三、四象限； 当 c0 时，反比例函数 c y x 的图像过第一、三象限 故选 B 【点睛】
11、本题考查了一次函数、二次函数、反比例函数图像与系数的关系，解答本题的关键是掌握一次函 数、二次函数、反比例函数的性质 二、填空题（共二、填空题（共 7 小题） 小题） 11. 计算：tan2604sin302cos45_ 【答案】5 2 【解析】 【分析】 直接利用特殊角的三角函数值得出答案 【详解】解：原式 2 12 34232252 22 故答案为：5 2 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值 12. 设 1 x， 2 x是方程 2 2340 xx 的两个实数根，则 1212 x xxx的值为_ 【答案】 1 2 【解析】 【分析】 先根据根与系数的关系得
12、到 12 3 2 xx ， 12 4 2 2 x x ，然后利用整体代入的方法计算 【详解】解：根据题意得 12 3 2 xx ， 12 4 2 2 x x ， 12121212 31 2 22 x xxxx xxx 故答案是： 1 2 【点睛】本题考查一元二次方程根于系数的关系式，解题的关键是掌握韦达定理公式 13. 如图，在ABC中，D是 AB中点，DEBC，若 DE6，则 BC_ 【答案】12 【解析】 【分析】 根据平行线分线段成比例定理得到 AEEC，根据三角形中位线定理计算即可 【详解】解：DEBC，D是 AB中点， AE EC AD DB 1， AEEC， ADDB， BC2DE
13、2 612， 故答案为：12. 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理，掌握 三角形的中位线定理的运用是解 题的关键 14. 如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，在OAB中， ,AOAB ACOB于点C，点A在反比 例函数(0) k yk x 的图象上，若 OB=4，AC=3，则k的值为_ 【答案】6 【解析】 【分析】 由等腰三角形的性质可得 C点坐标，结合 AC 长即可得到 A点坐标，进而可得 k 值 【详解】AO=OB AOB为等腰三角形 又ACOB C 为 OB 中点 OB=4，AC=3 C（2，0） ，A（2，3） 将 A 点坐标代入反比例函数(0) k yk
14、 x 得，3= 2 k k=6 故答案为：6 【点睛】本题主要考察反比例函数与等腰三角形的综合，利用等腰三角形的性质求得反比例函数上点的坐 标是解题关键 15. 抛物线 2 (1)1ykxx与 x 轴有交点，则 k的取值范围是_ 【答案】 5 4 k且1k 【解析】 【分析】 直接利用根的判别式进行计算，再结合10k ，即可得到答案 【详解】解：抛物线 2 (1)1ykxx与 x 轴有交点， 2 ( 1)4 (1) 10k ， 5 4 k ， 又10k ， 1k ， k的取值范围是 5 4 k且1k ； 故答案为： 5 4 k且1k 【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴有交点的问题，解题的关键是
15、掌握根的判别式求参数的取值范围 16. 如图所示， 在四边形ABCD中，90B，2AB ，8CD 连接AC，ACCD， 若 1 sin 3 ACB， 则AD长度是_ 【答案】10 【解析】 【分析】 根据直角三角形的边角间关系，先计算AC，再在直角三角形ACD中，利用勾股定理即可求出AD 【详解】解：在Rt ABC中， 1 2,sin 3 AB ABACB AC ， 1 26 3 AC 在Rt ADC中， 22 ADACCD 22 68 10 故答案为：10 【点睛】 本题考查了解直角三角形和勾股定理， 利用直角三角形的边角间关系， 求出 AC是解决本题的关键 17. 如图，P为平行四边形AB
16、CD边BC上一点，E F，分别为PAPD，上的点， 且3,3,PAPE PDPF ,PEFPDCPAB的面积分别记为 12 ,SS S，若2,S 则 12 SS_ 【答案】18 【解析】 【分析】 证明PEFPAD，再结合PEF 的面积为 2 可求出PAD 的面积，进而求出平行四边形 ABCD 的面积， 再用平行四边形 ABCD的面积减去PAD的面积即可求解 【详解】解：3,3,PAPE PDPF 3 PEPD PAPF ，且APD=EPF， PEFPAD， 根据相似三角形面积比等于相似比的平方，且 PEF的面积为 2 可知， 22 ()39 PDA PFE SPD SPF ， 2 918 P
17、DA S， 过 P 点作平行四边形 ABCD的底 AD上的高 PH， 1 =18 2 PDA SADPH， 36ADPH， 即平行四边形 ABCD的面积为36， 12 +=36 1818 平行四边形 PADABCD SSSS 故答案为：18 【点睛】 本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定及性质等，熟练掌握其性质是解决本题的关键 三、解答题（三、解答题（3 个小题，每小题个小题，每小题 6分，共分，共 18 分）分） 18. 用配方法解方程： 2 24160 xx 【答案】 1 2x ， 2 4x 【解析】 【分析】 将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后
18、，再开方即可得 【详解】解： 2 24160 xx 2 280 xx 2 218 1xx 2 19x 13x 1 2x ， 2 4x 【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法 19. 随着“新冠肺炎”疫情防控形势日渐好转， 各地开始复工复学， 某校复学后成立“防疫志愿者服务队”， 设立四个“服务监督岗”：洗手监督岗，戴口罩监督岗，就餐监督岗，操场活动监督岗李老师 和王老师报名参加了志愿者服务工作，学校将报名的志愿者随机分配到四个监督岗用列表法或画树状图 法，求李老师和王老师被分配到同一个监督岗的概率 【答案】见解析， 1 4 【解析】 【分析】 画树状图展示所有 16
19、种等可能的结果，找出李老师和王老师被分配到同一个监督岗的结果数，然后根据概 率公式计算 【详解】画树状图为： 共有16种等可能的结果， 其中李老师和王老师被分配到同一个监督岗的结果数有4种 P分配到同一个监督岗 41 164 所以李老师和王老师被分配到同一个监督岗的概率 1 4 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果 n，再从中选出符合 事件 A或 B的结果数目 m，然后利用概率公式计算事件 A 或事件 B的概率 20. 已知二次函数 2 yxbxc （b，c为常数）的图象经过点（0，3） ， （1，0） （1）则 b ，c ； （2）该二次函数图象的顶点
20、坐标为 ； （3）在所给坐标系中画出该二次函数的图象； （4）根据图象，当1x0时，y 的取值范围是 【答案】 （1）2，3； （2） （1，4） ； （3）见解析； （4）0y3 【解析】 【分析】 （1）把已知点的坐标代入函数解析式，即可求出答案； （2）化成顶点式即可求得； （3）根据函数的解析式画出抛物线即可； （4）根据图形得出 y 的取值范围即可 【详解】解： （1）将（0，3） ， （1，0）代入 2 yxbxc 得： 3 10 c bc ， 解得 2 3 b c ， 故答案是：2，3； （2） 2 2 2314yxxx ， 顶点坐标为（1，4） ， 故答案是： （1，4） ；
21、（3）如图： ； （3）由图象可知，当 x满足1x0时，0y3， 故答案为 0y3 【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是掌握二次函数解析式的求解，二次函数的图象和性质 四、解答题（二） （本大题四、解答题（二） （本大题 3 个小题，每小题个小题，每小题 8 分，共分，共 24 分）分） 21. B，D 两地间有一段笔直的高速铁路，长度为 100 km，某时发生的地震对地面上以点 A 为圆心，30 km 为半径的圆形区域内的建筑物有影响，分别从 B，D两地处测得点 A的方位角如图所示，高速铁路是否会受 到地震的影响？请通过计算说明理由 （结果精确到 0.1 km，参考数据：21.414, 3
22、1.732） 【答案】不受影响，理由见解析 【解析】 【分析】 过点 A作 ACBD于点 C，然后根据特殊角三角函数即可求出 AC，进而进行比较即可判断 【详解】解：如图，过点 A作 ACBD于点 C， ACBACD90 ， 根据题意可知：ABC45 ，ADC30 ，BD=100 km， BAC45 ， BCAC， 在 RtACD 中，tanADC AC CD ， 3 tan30 AC CDAC ， BDBCCD， AC 3AC100， 解得 AC50（ 31）36.630， 高速铁路不会受到地震的影响 【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，解题的关键是掌握利用锐角三角函数解直角三角形的方法
23、 22. 某商店销售一种成本为 40 元的玩具，若按每件 50 元销售，一个月可售出 500件，销售价每涨 1 元，月 销量就减少 10 件 （1）商店要使月销售利润达到 8000 元，销售价应定为每件多少元？ （2）当销售价定为每件多少元时会获得最大利润？ 【答案】 （1）60 元或 80 元； （2）70元 【解析】 【分析】 （1）设销售价应定为每件 x 元，由利润 8000元等于每件的利润乘以销售量得出关于 x的一元二次方程，求 解即可； （2）设销售价应定为每件 x元，获得利润 y 元，由利润等于每件的利润乘以销售量得出 y 关于 x的二次函 数，将其写成顶点式，按照二次函数的性质及
24、 x的取值范围可得答案 【详解】解： （1）设销售价应定为每件 x 元，由题意得： （x40）50010（x50）8000， 化简得 x2140 x48000， 解得：x160，x280， 销售价应定为每件 60 元或 80 元； （2）设销售价应定为每件 x元，获得利润 y 元，依题意得： y（x40）50010（x50） 10 x21400 x40000 10（x70）29000， x50，且 50010（x50）0， 50 x100， 当 x70时，y 取最大值 9000， 销售价定为每件 70元时会获得最大利润 9000元 【点睛】本题考查了一元二次方程与二次函数在销售问题中的应用，理
25、清题中的数量关系并熟练掌握二次 函数的性质是解题的关键 23. 如图，正方形 ABCD中，点 E，F 分别在边，AD，CD 上，且BEBF，BD 和 EF交于点 O，延长 BD 至点 H，使得BOHO，并连接 HE，HF 1求证：AECF； 2试判断四边形 BEHF 是什么特殊的四边形，并说明理由 【答案】 （1）见解析； （2）四边形 BEHF 是菱形理由见解析. 【解析】 【分析】 （1）根据题意可得 AB=CB，BE=BF，即可证Rt ABERt CBF，所以AECF； （2）由（1）可得 DE=DF，即DEF为等腰直角三角形，可得 EF 垂直 BH，然后可证得 OE=OF，即 EF 与
26、 BH互相垂直平分，所以四边形 BEHF 是菱形 【详解】 1四边形 ABCD是正方形， ABBC，90AC ， 在Rt ABE和Rt CBF中， ABCB，BEBF， Rt ABERt CBF HL AECF； 2四边形 BEHF是菱形； 理由：四边形 ABCD是正方形， 45BDF ， 90ADC ，ADCD， 又AECF， DEDF， DEF为等腰直角三角形， 45DFE ， 90DOF ，即OBEF， 又BEBF， OEOF， OBOH， 四边形 BEHF是菱形 五、解答题（三） （本大题五、解答题（三） （本大题 2 个小题，每小题个小题，每小题 10 分，共分，共 20 分）分）
27、24. 如图在平面直角坐标系中，一次函数y kxb 图像经过点0, 4A，2,0B交反比例函数 m y x 0 x 的图像于点3,Ca， 点P在反比例函数的图像上， 横坐标为n03n，/ /PQy轴交直线AB 于点Q，D是y轴上任意一点，连接PD，QD （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求DPQV面积的最大值 【答案】 （1） 6 24,yxy x ； （2）4. 【解析】 【分析】 （1）利用点0, 4A，2,0B求解一次函数的解析式，再求C的坐标，再求反比例函数解析式； （2）设 6 ,P n n 则 ,24 ,Q nn再表示PQ的长度，列出三角形面积与n的函数关系式，利用函数
28、的性 质可得答案 【详解】解： （1）设直线 AB 为,ykxb 把点0, 4A，2,0B代入解析式得： 4 20 b kb 解得： 2 4 k b 直线AB为24,yx 把3,Ca代入得：2 342,a 3,2 ,C 把3,2C代入：, m y x 2 36m ， 6 ,y x （2）设 6 ,P n n / /PQy轴， 则,24 ,Q nn 由n3， 666 242424,PQnnn nnn 16 24 2 DPQ Snn n 2 2 2314,nnn 即当1n 时， 4. DPQ S 最大 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，以及利用二次函数的性质求 解
29、面积的最值，掌握以上知识是解题的关键 25. 如图，在四边形 ABCD和 RtEBF 中，ABCD，CDAB，点 C 在 EB 上，ABCEBF90，AB BE8 cm， BCBF6 cm， 延长 DC交 EF于点 M， 点 P从点 A出发， 沿 AC方向匀速运动， 速度为 2 cm/s； 同时， 点 Q从点 M 出发， 沿 MF 方向匀速运动， 速度为 1 cm/s， 过点 P 作 GHAB 于点 H， 交 CD于点 G， 设运动时间为 t（s） （0t5） ； （1）当 t为何值时，CMQM？ （2）连接 PQ，作 QNAF 于点 N，当四边形 PQNH 为矩形时，求 t的值； （3）连接
30、 QC，QH，设四边形 QCGH的面积为 S（cm2） ，求 S 与 t的函数关系式 【答案】 （1） 3 2 t ； （2）t=3； （3） 2 16157 2552 Stt 【解析】 【分析】 （1）证明ECMEBF，由相似三角形的性质可得出 CMCE BFBE ，求出 CM 的长，则可求出答案； （2） 由勾股定理求出ACEF10 cm， 根据相似三角形的性质求出EM的长， 由矩形的性质得出 64 6 55 tt， 解方程可得出答案； （3）过 Q作 QICD 于点 I，交 DM 的延长线于点 I，证明GCPBAC，得出 GCCP ABAC ，可求出 GC 8 8 5 t，同理MIQFB
31、E，由相似三角形的性质得出 6108 MItIQ ，则 MI 3 5 t，IQ 4 5 t，由梯 形的面积公式可得出答案 【详解】 （1）ABCD， ECMEBF， EE， ECMEBF， CMCE BFBE ， ABBE8 cm，BCBF6 cm， 86 68 CM ， CM 3 2 （cm） ， 依题意得 QMt， tQMCM 3 2 ， 当 t 3 2 时，CMQM； （2）如图 1所示， ABCEBF90，ABBE8 cm，BCBF6 cm， 由勾股定理可得 ACEF 22 86 10（cm） ， 由（1）得ECMEBF， EMEC EFEB ，即 86 108 EM ， 解得 5 2
32、 EM （cm） ， 同理可得 , PHCB QNBE APAC QFEF ， 68 , 210 1010 PHQN ttEM ， 64 ,6 55 PHt QNt， 四边形 PQNH为矩形， PHQN， 即 64 6 55 tt， t3； （3）如图 2所示，过 Q作 QICD，交 DM 的延长线于点 I， GHAB于点 H，ABC90，ABCD， GHBC6，GCPCAB，CGPABC90， GCPBAC， GCCP ABAC ，即 102 810 GCt ， GC 8 8 5 t， 同理MIQFBE， MIMQIQ BFEFBE ， 即 6108 MItIQ ， MI 3 5 t，IQ 4 5 t， GIGCCMMI 83319 8 5252 ttt， CICMMI 33 25 t， SS梯形QIGCSCQI 1 2（IQGH） GI 1 2 IQ CI 1 2（ 4 5 t6） （19 2 t） 1433 2525 tt 2 16157 2552 tt 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，梯形的面积计算，熟练掌 握性质是解题关键
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