1、讲解人： 时间：2020.6.1 PEOPLES EDUCATION PRESS HIGH SCHOOL MATHEMATICS ELECTIVE 2-2 1.6 微积分基本定理微积分基本定理 第1章 导数及其应用 人 教 版 高 中 数 学 选 修 2 - 2 我们已经学习了微积分学中两个最基本和最重要的概念导数和定积分，先回顾一下. 课前导入 是刻画函数变化快慢程度的一个一般概念，由于变量和函数在自然界和社会中有着几乎无处不在 的实际背景，所以它是高等学校许多专业的一门重要基础课. 导数 的最本质思想：在每个局部小范围内“以直代曲”，“以不变代变”和逼近的思想，这也是应用定积 分解决实际问
2、题的思想方法. 定积分 学习微积分，数学和思维水平都将进入一个新的阶段，能切实地训练学生的辨证思维.毫不夸张地 说，不学或未学懂微积分，思维难以达到较高的水平，难以适应21世纪对高中学生素质的要求. 利用本节学习的微积分基本定理，我们就能轻松解决首页的问题. 课前导入 微积分的产生和发展被誉为“近代技术文明产生的关键事件之一，它引入了若干极其成功的、对 以后许多数学的发展起决定性作用的思想.” 微积分的建立，无论是对数学还是对其他科学以至于技术的发展都产生了巨大的影响，充分显示 了数学对于人的认识发展、改造世界的能力的巨大促进作用. 微积分是研究各种科学的工具，在中学数学中是研究初等函数最有效
3、的工具.恩格斯称之为“17世 纪自然科学的三大发明之一”. 课前导入 学习微积分的意义 变速直线运动 新知探究 如图，一个作变速直线运动的物体的运动规律是y=y(t).由导数的概念的可知，它在任意时刻t的 速度 .设这个物体在时间段a,b内的位移为s，你能分别用y(t),v(t)表示s吗？ v t = y tv t = y t 函数y=y(t)在t=b处与t=a处的函数值之差. s=y(b)-y(a) 物体的位移s 还可利用定积分，有v(t)求位移，用分点 将区间a,b等分成n个小区间： 01i-1i a = t t tb时， 成立. b a f(x)dxF(b)F(a) 新知探究 因为f(x
4、)在a,b内连续 是f(x)的一个原函数. 又F(x)是f(x)的原函数， F(x)= +C.在上式中令x=a,则由 得到C=F(a) 移项得 令 即得 x a f(t)dt x a f(t)dt a a f(t)dt = 0 x a f(t)dt =F(x)-F a b a x =b, f x dx = F b -F a . 证明： 新知探究 定积分的基本公式,又称牛顿-莱布尼兹公式.常表示为 b b a a f(x)dx =F(x)=F b -F a . 新知探究 接下来让我们练一练吧 例1. 计算 解: 3 3 -1 2 -1 dx = arctanx 1+x = arctan 3 -a
5、rctan -1 7 =- -= 3412 因为 2 1 arctanx= 1+x 由微积分基本定理得： 3 2 -1 dx . 1+x 新知探究 例2. 计算 3 2 1 1 2x-dx x 解: 333 22 111 233 11 11 2x-dx =2xdx-dx xx 11 = x+= 9-1 +-1 x3 22 = 3 因为 2 2 11 x= 2x,=-, xx 由微积分基本定理得： 新知探究 0 0 A =sinxdx = -cosx = -cos - -cos0 = 2 y ox xysin 例3. 计算正弦曲线 上与x轴所围成的面积 y=sinx0,在在 解: 因为 -cos
6、x =sinx 由微积分基本定理得： A 新知探究 y x o 2 2 xysin （1）当对应的区间为 时，区域A位于x轴的正上方.定积分取正值. 并等于区域A的 面积. 0,0, + A 0 A =sinxdx 新知探究 更改积分区间为 ，自己动手计算一下你有什么结论? ,2 , 2,0 运用数形结合的思想 深入探究 新知探究 y ox 2 2 xysin （2）当对应的区间为 时，区域A位于x轴的下方.定积分取负值. 绝对值等于区域A的面积. ,2,2 - A 2 -A =sinxdx 新知探究 y ox 2 2 xysin （3）当对应的区间为 时，区域位于x轴的上方的面积等于位于x轴
7、下方的面积.定积分 值为0. 且等于位于x轴上方的面积减去位于x轴下方的面积. 0,20,2 - + 2 0 sinxdx = 0 新知探究 0 0 2 2 2 2 0 0 sinxdx = -cosx= -cos - -cos0 = 2 sinxdx = -cosx= -cos2 - -cos = -2 sinxdx = -cosx= -cos2 - -cos0 = 0 所以得到： 新知探究 1、计算 . 2 2 2222 1 1 dxdx x (1+x )x (1+x ) 2、 汽车以每小时 36 km 的速度行驶 ,到某处需要减速停车,设汽车以等加速度 刹车,问从开始刹车到停车走了多少距
8、离? 课堂练习 222 2222 111 2 2 1 1 dx11 =dx-dx x (1+x )x1+x 11 = -arctanx=+-arctan2 x24 1、解: 因为 22 111 -=, arctanx = xx1+x 由微积分基本定理得： 2、解: 设开始刹车时刻为 则此时刻汽车速度 刹车后汽车减速行驶 , 其速度为 当汽车停住时, 即 得 故在这段时间内汽车 所走的距离为 2222 2222 0 0 0000 5 5 s =v(t)dt =(10-5t)dt = 10t-t=10(m)s =v(t)dt =(10-5t)dt = 10t-t=10(m) 2 2 课堂练习 微积分基本公式 , )()(, ,)(xfxFbaCxf且设 则有 xxf b a d)( 积分中值定理 )(abF)()(aFbF 微分中值定理 )(abf 牛顿 莱布尼兹公式 课堂小结 讲解人： 时间：2020.6.1 PEOPLES EDUCATION PRESS HIGH SCHOOL MATHEMATICS ELECTIVE 2-2 感 谢 你 的 聆 听感 谢 你 的 聆 听 第1章 导数及其应用 人 教 版 高 中 数 学 选 修 2 - 2
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