1、17.2 勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理 第十七章第十七章 勾股定理勾股定理 新课导入 提问 这个命题的条件和结论分别是什么？这个命题的条件和结论分别是什么？ 命题命题1 如果直角三角形两直角边长分别为如果直角三角形两直角边长分别为a， b，斜边长为，斜边长为c，那么，那么a2+b2=c2 条件：直角三角形的两直角边长为条件：直角三角形的两直角边长为a，b，斜，斜 边长为边长为c .结论：结论：a2+b2=c2 如果将条件和结论反过来，这个命题还如果将条件和结论反过来，这个命题还 成立吗？成立吗？ 答案就藏在课本中，我们一起来看一看！答案就藏在课本中，我们一起来看一看！ 思考 学习目标 1.
2、 1.了解命题、逆命题等概念，并会写一个命了解命题、逆命题等概念，并会写一个命 题的逆命题题的逆命题. . 2. 2.会判断一个命题的逆命题的真假，知道定会判断一个命题的逆命题的真假，知道定 理与逆定理的关系理与逆定理的关系. . 3. 3.了解勾股定理的逆定理的条件与结论与原了解勾股定理的逆定理的条件与结论与原 命题的条件与结论的关系命题的条件与结论的关系. . 4. 4.学会运用勾股定理的逆定理判别一个三角学会运用勾股定理的逆定理判别一个三角 形是不是直角三角形形是不是直角三角形. . 推进新课 知识点知识点 1 1 互逆命题互逆命题 据说据说，古埃及人曾用古埃及人曾用 如图所示的方法画直
3、角如图所示的方法画直角. 这种方法对吗？这种方法对吗？ 3 4 5 三边分别为三边分别为3，4，5， 满足关系：满足关系：32+42=52， 则该三角形是直角三角形则该三角形是直角三角形 画一画：画一画：下列各组数中的两数平方和等于第下列各组数中的两数平方和等于第 三数的平方，分别以这些数为边长画出三角三数的平方，分别以这些数为边长画出三角 形形(单位：单位：cm). 2.5，6，6.5； 6，8，10； 4，7.5，8.5 探究 用量角器量一量，它们是什么三角形？用量角器量一量，它们是什么三角形？ 提问 直角三角形直角三角形 由前面几个例子，我们可以作出什么猜想？由前面几个例子，我们可以作出
4、什么猜想？ 如果三角形如果三角形ABC的三边长的三边长a，b，c满足满足a2+b2 =c2，那么这个三角形是直角三角形，那么这个三角形是直角三角形 命题命题1 如果直角三角形两直角边长分别为如果直角三角形两直角边长分别为a， b，斜边长为，斜边长为c，那么，那么a2+b2=c2 命题命题2 如果三角形如果三角形ABC的三边长的三边长a，b，c满足满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，那么这个三角形是直角三角形 观察 这两个命题有什么不同这两个命题有什么不同？ 题设题设 结论结论 结论结论 题设题设 我们把像这样，题设和结论正好相反我们把像这样，题设和结论正好相反 的两个命题叫做的
5、两个命题叫做互逆命题互逆命题.如果把其中一个如果把其中一个 叫做叫做原命题原命题，那么另一个叫做它的，那么另一个叫做它的逆命题逆命题. 小结 练习 说出下列命题的逆命题说出下列命题的逆命题.这些逆命题成立吗？这些逆命题成立吗？ （1）两条直线平行，内错角相等；）两条直线平行，内错角相等； （2）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等； （1）内错角相等，两直线平行；）内错角相等，两直线平行； 成立成立 （2）如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实）如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实 数相等；数相等； 不成立不成立 说出下列命题的逆命题说出下列命题的
6、逆命题.这些逆命题成立吗？这些逆命题成立吗？ （3）全等三角形的对应角相等；）全等三角形的对应角相等； （4）在角的内部，到角两边距离相等的点）在角的内部，到角两边距离相等的点 在角的平分线上在角的平分线上. （3）对应角相等的两个三角形全等；不成立）对应角相等的两个三角形全等；不成立 （4）角平分线上的点到角两边的距离相等；）角平分线上的点到角两边的距离相等； 成立成立 知识点知识点 2 2 勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理 命题命题2正确吗？如何证明呢？正确吗？如何证明呢？ 思考 A B C ？ 三角形全等三角形全等 C是直角是直角 ABC是直角三角形是直角三角形 A B C a b c
7、b a A B C a b c A B C b a 证明证明:画一个画一个ABC，使，使 C=90， BC=a，CA=b. C=90， AB2= a2+b2=c2， AB =c. ABC ABC（SSS）. C=C=90. BC=a=BC，CA=b=CA，AB=c=AB. 在在ABC和和ABC中中 小结 勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理 如果三角形如果三角形ABC的三边长的三边长a，b，c满足满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，那么这个三角形是直角三角形 作用：作用：判定一个三角形三边满足什么条判定一个三角形三边满足什么条 件时为直角三角形件时为直角三角形 例例1 判断由线段判
8、断由线段a，b，c组成的三角形是不是组成的三角形是不是 直角三角形：直角三角形： （1）a=15，b=8，c=17； （2）a=13，b=14，c=15. 分析：分析：只要看两条较小边长的平方和是否等只要看两条较小边长的平方和是否等 于最大边长的平方于最大边长的平方 解：解：(1) 152+82 =225+64=289， 172 =289， 152+82 =172. 以以15,8,17为边长的三角形是直角三角形为边长的三角形是直角三角形 像像15，17，8 这样，能够成为直角三角这样，能够成为直角三角 形三条边长的三个正整数，称为形三条边长的三个正整数，称为勾股数勾股数 解：解：(2) 132
9、+142 =169+196=365， 152 =225， 132+142 152. 这个这个三角形不是直角三角形三角形不是直角三角形 练习 如果三条线段长如果三条线段长a,b,c满足满足a2=c2-b2，这三条，这三条 线段组成的三角形是不是直角三角形？为什么？线段组成的三角形是不是直角三角形？为什么？ 解：这三条线段组成的三角形是直角三角形解：这三条线段组成的三角形是直角三角形. 因为由因为由 a2=c2-b2，所以有所以有a2+b2=c2，由勾股定由勾股定 理的逆定理知这个三角形是直角三角形理的逆定理知这个三角形是直角三角形. 知识点知识点 3 3 用勾股定理的逆定理解决实际问题用勾股定理
10、的逆定理解决实际问题 例例2 如图如图，某港口某港口P位于东西方向的海岸线上位于东西方向的海岸线上.“远航远航” 号号、“海天海天”号轮船同时离开港口号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向各自沿一固定方向 航行航行，“远航远航”号每小时航行号每小时航行16n mile，“海海 天天”号每小时航行号每小时航行12n mile.它们离开它们离开 港口一个半小时后分别位于点港口一个半小时后分别位于点Q、R 处处，且相距且相距30n mile.如果知道如果知道“远航远航” 号沿东北方向航行号沿东北方向航行，能知道能知道“海天海天” 号沿哪个方向航行吗号沿哪个方向航行吗？ 分析： 1.求“海天”号的航向就
11、是求求“海天”号的航向就是求 的的 角度角度. 2 2.已知已知1的角度，则求出的角度，则求出RPQ的的 角度即可角度即可. 3.根据已知条件可求出三边，利用勾股定理的逆定根据已知条件可求出三边，利用勾股定理的逆定 理判断理判断RPQ是否为直角是否为直角. 解：解：根据题意，根据题意， PQ=161.5=24， PR=121.5=18，QR=30. 因为因为242+182=302， 即即PQ2+PR2=QR2，所以，所以QPR=90. 1=45.因此因此2=45，即“海天”号，即“海天”号 沿西北方向航行沿西北方向航行. 练习 A，B，C三地的两两距离如图所示，三地的两两距离如图所示，A地在地
12、在B地地 的正东方向，的正东方向，C地在地在B地的什么方向？地的什么方向？ 解：解：AB2+BC2122+52 =144+25=169， ， AC2=132=169，所以，所以AB2+BC2=AC2， ABC为直角三角形，且为直角三角形，且B=90，由于，由于A地在地在B 地的正东方向，所以地的正东方向，所以C地在地在B地的正北方向地的正北方向. 随堂演练 基础巩固 1. 1.下列各组数能否作为一个直角三角形的下列各组数能否作为一个直角三角形的 三边长三边长? ?为什么？为什么？ (1) 5(1) 5，1212，1313 (2) 6(2) 6，8 8，1010 (3) 15(3) 15，202
13、0，2525 2 2. .写出下列命题的逆命题，并断定其逆命题的真假写出下列命题的逆命题，并断定其逆命题的真假 性性. . (1)(1)如果两个角是直角，那么它们相等如果两个角是直角，那么它们相等. . (2)(2)在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平 分线上分线上. . (3)(3)如果如果 ，那么那么a a0. 0. 22 ()aa 解：解：(1)如果两个角相等，那么这两个角是直角如果两个角相等，那么这两个角是直角.假假 命题命题. (2)在角的内部，角的平分线上的点到两边的在角的内部，角的平分线上的点到两边的 距离相等距离相等.真命题真命题
14、. (3)如果如果a0，那么，那么 .真命题真命题. 22 ()aa 综合应用 解：由题意得：解：由题意得：(a+b)(a-b)(a2+b2-c2)=0， a-b=0或或a2+b2-c2=0. 5. 5.已知已知a a、b b、c c是是ABCABC的三边长，且满足的三边长，且满足 ，试判断试判断ABCABC的形状的形状. . 224422 a cbab c 当当a=b时，时，ABC为等腰三角形为等腰三角形; 当当ab时，时，ABC为直角三角形为直角三角形. 误 区 诊 断 在在ABCABC中中，a a: :b b: :c c=9:15:12=9:15:12，试判断试判断ABCABC 是直角三
15、角形是直角三角形. . 错解：错解：依题意依题意，设设 a a=9=9k k，b b=15=15k k，c c=12=12k k( (k k 0 0) )， a2+b2=( (9 9k k) )2 2+ +( (1515k k) )2 2=306=306k k2 2，c c2 2= =( (1212k k) )2 2=144=144k k2 2， a2+b2 c c2 2，ABCABC不是直角三角形不是直角三角形. . 误误 区区 不能正确理解勾股定理的逆定理不能正确理解勾股定理的逆定理 错因分析：错因分析：错在没有弄清楚哪条边是最长错在没有弄清楚哪条边是最长 边的情况下就盲目地运用勾股定理的
16、逆定理，边的情况下就盲目地运用勾股定理的逆定理， 从而导致错误从而导致错误. 正解：正解：依题意知依题意知b b是最长边是最长边， 设设a a=9=9k k，b b=15=15k k，c c=12=12k k( (k k 0 0) )， a2+c2=( (9 9k k) )2 2+ +( (1212k k) )2 2=225=225k k2 2，b b2 2= =( (1515k k) )2 2=225=225k k2 2， a2+c c2 = b b2 2，ABCABC是直角三角形是直角三角形. . 课堂小结 勾股定理 的逆定理 逆命题和逆定理逆命题和逆定理 勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理
17、 勾股数勾股数 拓展延伸 一个零件的形状如图所示，一个零件的形状如图所示， 工人师傅量得这个零件各边尺寸如工人师傅量得这个零件各边尺寸如 下下(单位：单位：dm)：AB=3，AD=4， BC=12，CD=13.且且DAB=90.你你 能求出这个零件的面积吗？能求出这个零件的面积吗？ 解：如图，连接解：如图，连接BDBD. .在在RtRtABDABD中，中， 在在BCDBCD中，中， BDBD2 2+ +BCBC2 2=5=52 2+12+122 2=13=132 2= =CDCD2 2. . 2222 345.BDABAD BCDBCD为直角三角形，为直角三角形，DBCDBC=90=90. .
18、 ABCDRt ABDRt BCD SSSAD ABBD BC 2 11 22 11 4 35 1236 dm. 22 四四边边形形 1.从课后习题中选取；从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。完成练习册本课时的习题。 课后作业 习题17.2 复习巩固复习巩固 （1）（）（2）（）（3）是；（）是；（4）不是）不是. 1.判断由线段判断由线段a,b,c组成的三角形是不是直角三组成的三角形是不是直角三 角形角形: （1）a=7,b=24,c=25;（2）a= ,b=4,c=5; （3）a= ,b=1,c= ;（4）a=40,b=50,c=60. 41 5 4 3 4 2.下列各命题都成
19、立，写出它们的逆命题下列各命题都成立，写出它们的逆命题. 这些逆命题成立吗？这些逆命题成立吗？ （1）同旁内角互补，两直线平行；）同旁内角互补，两直线平行； （2）如果两个角是直角，那么它们相等；）如果两个角是直角，那么它们相等； （3）全等三角形的对应边相等；）全等三角形的对应边相等； （4）如果两个实数相等，那么它们的平方）如果两个实数相等，那么它们的平方 相等相等. 解：（解：（1）这个命题的逆命题是“两直线平行，同）这个命题的逆命题是“两直线平行，同 旁内角互补”；成立旁内角互补”；成立. （2）这个命题的逆命题是“如果两个角相等，那）这个命题的逆命题是“如果两个角相等，那 么它们都是
20、直角”，不成立么它们都是直角”，不成立. （3）这个命题的逆命题是“对应边相等的三角形）这个命题的逆命题是“对应边相等的三角形 全等”；成立全等”；成立. （4）这个命题的逆命题是“如果两个实数的平方）这个命题的逆命题是“如果两个实数的平方 相等，那么这两个实数相等”；不成立相等，那么这两个实数相等”；不成立. 3.小明向东走小明向东走80 m后，沿另一方向又走了后，沿另一方向又走了60 m， 再沿第三个方向走再沿第三个方向走100 m回到原地回到原地.小明向东走小明向东走80m 后是向哪个方向走的？后是向哪个方向走的？ 解解:小明的行走路线恰好构成三角形小明的行走路线恰好构成三角形.因为因为
21、602+802= 3600+6400=10000=1002，所以这个三角形是直角三，所以这个三角形是直角三 角形，角形， 因为小明向东走因为小明向东走80m，因此小明又向北或南走，因此小明又向北或南走60m. 4.在在ABC中，中，AB=13，BC=10，BC边上的中线边上的中线 AD=12.求求AC. 综合应用综合应用 因为因为BD2+AD2=52+122=25+144=169，AB2=132=169， 所以所以BD2+AD2=AB2，所以，所以ABD是直角三角形且是直角三角形且 ADB=90.因此因此ADC中，中，ADC=90，由勾股，由勾股 定理得：定理得：AC2=AD2+CD2=52+
22、122=132，所以，所以AC=13. 解：在解：在ABD中，中，BD= BC=5，AD=12，AB=13， 1 2 5.如图，在四边形如图，在四边形ABCD中，中，AB=3，BC=4， CD=12，AD=13，B=90.求四边形求四边形 ABCD的面积的面积. 解：如图，连接解：如图，连接BDBD. .在在RtRtABDABD中，中， 在在BCDBCD中，中， BDBD2 2+ +BCBC2 2=5=52 2+12+122 2=13=132 2= =CDCD2 2. . 2222 345.BDABAD BCDBCD为直角三角形，为直角三角形，DBCDBC=90=90. . ABCDRt AB
23、DRt BCD SSSAD ABBD BC 2 11 22 11 4 35 1236 dm. 22 四四边边形形 6.如图，在正方形如图，在正方形ABCD中，中，E 是是BC的中点，的中点，F是是CD上一点，上一点， 且且CF= CD.求证求证AEF=90. 1 4 证明：设证明：设CF=x，则，则EC=BE=2x，DF=3x，AD=AB=4x. 由勾股定理得：由勾股定理得：EF2=EC2+FC2=5x2， AE2=AB2+BE2=20 x2， AF2=AD2+DF2=25x2， EF2+AE2=25x2=AF2. 由勾股定理的逆定理知，由勾股定理的逆定理知，AEF=90. 7.我们知道我们知
24、道3,4,5是一组勾股数，那么是一组勾股数，那么3k,4k,5k（k是正是正 整数）也是一组勾股数吗？一般地，如果整数）也是一组勾股数吗？一般地，如果a,b,c是一组是一组 勾股数，那么勾股数，那么ak,bk,ck（k是正整数）也是一组勾股数是正整数）也是一组勾股数 吗？吗？ 解：（解：（1）3k,4k,5k也是一组勾股数也是一组勾股数. 拓广探索拓广探索 因为（因为（3k）2+（4k）2=9k2+16k2=25k2,（5k）2=25k2, 所以（所以（3k）2+（4k）2=（5k）2. （2）如果）如果a,b,c是一组勾股数，那么是一组勾股数，那么ak,bk,ck也是一也是一 组勾股数组勾股数. 因为因为a,b,c是勾股数，则是勾股数，则a2+b2=c2 （ak）2+（bk）2=a2k2+b2k2=（a2+b2）k2=c2k2, （ck）2=c2k2 故（故（ak）2+（bk）2=（ck）2,所以所以ak,bk,ck也是也是 一组勾股数一组勾股数.
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