1、章末复习 第十八章 平行四边形 复习导入 平行四边形这章中，特殊四边形的平行四边形这章中，特殊四边形的 性质与判定较多，但联系紧密，区别难分、性质与判定较多，但联系紧密，区别难分、 易混，为了进一步弄清它们的联系与区别易混，为了进一步弄清它们的联系与区别. .这这 节课我们一起将本章知识结构、知识要点进节课我们一起将本章知识结构、知识要点进 行复习梳理行复习梳理. . 复习目标 （1 1）通过复习理清本章的知识结构和重要知识点）通过复习理清本章的知识结构和重要知识点. . （2 2）总结本章的重要思想方法和技能技巧）总结本章的重要思想方法和技能技巧. . 自主复习 矩形矩形 菱形菱形 正方形正
2、方形 平行四边形平行四边形 四边形四边形 四边形及特殊四边形的关系四边形及特殊四边形的关系 平行四平行四 边形边形 矩形矩形 菱形菱形 正方形正方形 四边形四边形 a a b b c c d d e e a. a.两组对边分别平行两组对边分别平行；b. b.有一个角是直角有一个角是直角； c. c.有一组邻边相等有一组邻边相等；d. d.有一组邻边相等有一组邻边相等； e. e.有一个角是直角有一个角是直角. . 平行四边形平行四边形 平行四边形的两组对边分别相等平行四边形的两组对边分别相等. . 平行四边形的两组对角分别相等平行四边形的两组对角分别相等. . 平行四边形的对角线互相平分平行四
3、边形的对角线互相平分. . 性质 对角线互相平分的四边形是平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形 判定 两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 两组对角分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 矩形矩形 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. . 矩形的四个角都是直角矩形的四个角都是直角 矩形的两条对角线相等矩形的两条对角线相等
4、性质 判定 对角线相等的平行四边形是矩形对角线相等的平行四边形是矩形. 有一个角是直角的平行四边形是矩形有一个角是直角的平行四边形是矩形. 有三个角是直角的四边形是矩形有三个角是直角的四边形是矩形. 菱形菱形 菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一 条对角线平分一组对角条对角线平分一组对角. . 菱形的四条边都相等菱形的四条边都相等. . 菱形的对角都相等菱形的对角都相等. . 性质 判定 四条边都相等的四边形是菱形四条边都相等的四边形是菱形. . 对角线互相垂直的平行四边形是菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形. . 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形有
5、一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. . 正方形正方形 性质 正方形是轴对称图形，它有四条对称轴正方形是轴对称图形，它有四条对称轴. . 正方形的四个角都是直角；正方形的四个角都是直角； 正方形的四条边都相等；正方形的四条边都相等； 正方形的对角线相等，并且互相垂直平分；正方形的对角线相等，并且互相垂直平分； 判定 有一组邻边相等的矩形是正方形有一组邻边相等的矩形是正方形. . 有一个角为直角的菱形是正方形有一个角为直角的菱形是正方形. . 各种平行四边形的研究中，它们各自的研究各种平行四边形的研究中，它们各自的研究 内容、研究步骤、研究方法有什么共同点？内容、研究步骤、研究方法有什么共同点？
6、研究内容研究内容 研究步骤研究步骤 研究方法研究方法 平行四平行四 边形边形 矩形矩形 菱形菱形 正方形正方形 边、角、对边、角、对 角线的特征角线的特征 边、角、对边、角、对 角线的特征角线的特征 边、角、对边、角、对 角线的特征角线的特征 边、角、对边、角、对 角线的特征角线的特征 下定义下定义探性探性 质质研判定研判定 下定义下定义探性探性 质质研判定研判定 下定义下定义探性探性 质质研判定研判定 下定义下定义探性探性 质质研判定研判定 观察、猜想、证明；把四边形问观察、猜想、证明；把四边形问 题转化为三角形问题；从性质定题转化为三角形问题；从性质定 理的逆命题讨论中研究判定定理理的逆命
7、题讨论中研究判定定理 一般到特殊的方法，一般到特殊的方法， 类比平行四边形类比平行四边形 一般到特殊的方法，类一般到特殊的方法，类 比平行四边形和矩形比平行四边形和矩形 一般到特殊的方法，一般到特殊的方法， 类比矩形和菱形类比矩形和菱形 典例解析 【例【例1 1】如图，如图，E E、F F是平行四边形是平行四边形ABCDABCD对角线对角线BDBD上的两点上的两点 ，给出下列三个条件：，给出下列三个条件：BEBE= =DFDF; ;AEBAEB= =DFCDFC；AFAFECEC. .请请 你从中选择一个适当的条件你从中选择一个适当的条件_，使四边形，使四边形AECFAECF是平行四边是平行四
8、边 形，并证明你的结论形，并证明你的结论. . 证明：证明：如图，连接如图，连接ACAC交交BDBD于于O O. . AO=COAO=CO，OB=ODOB=OD. . 又又BE=DFBE=DF，OBOB- -BE=ODBE=OD- -DFDF， OE=OFOE=OF. . 又又AO=COAO=CO， 四边形四边形AECFAECF为平行四边形为平行四边形. . 【例【例2 2】如图，点如图，点E E、F F、G G、H H分别为四边形分别为四边形ABCDABCD的的 边边ABAB、BCBC、CDCD、DADA的中点，试判断四边形的中点，试判断四边形EFGHEFGH的形状的形状 ，并证明你的结论，
9、并证明你的结论. . 解：解：四边形四边形EFGHEFGH为平行四边形为平行四边形. . 如图，连接如图，连接ACAC，在，在ACDACD中，中，H H、G G分别为分别为ADAD、CDCD的的 中点，中点， HGHGACAC，HGHG= = ACAC， 同理：同理：EFEFACAC，EFEF= = ACAC， HGHGEFEF，HGHG= =EFEF. . 四边形四边形EFGHEFGH为平行四边形为平行四边形. . 1 2 1 2 【例【例3 3】如图，四边形如图，四边形ABCDABCD是菱形，对角线是菱形，对角线 ACAC=8cm=8cm，BDBD=6cm=6cm，DHDHABAB于于H
10、H，求高，求高DHDH的长的长. . 解：解：四边形四边形ABCDABCD为菱形为菱形, , AOAO= = ACAC=4cm=4cm，ACACBDBD， 在在RtRtAOBAOB中，中， 1 2 2222 435ABAOBO（cmcm）. . S S ABDABD= DH AB= AO BD = DH AB= AO BD 1 2 1 2 DHDH= = （cmcm）. . 4624 55 AOBD AB 【例【例4 4】如图，正方形如图，正方形ABCDABCD的对角线相交于点的对角线相交于点O O，点，点O O 是正方形是正方形A A B B C C O O的一个顶点，如果两个正方形的边长相
11、的一个顶点，如果两个正方形的边长相 等，那么正方形等，那么正方形A A B B C C O O绕点绕点O O无论怎样转动，两个正方形无论怎样转动，两个正方形 重叠部分的面积总等于一个正方形面积的四分之一，你重叠部分的面积总等于一个正方形面积的四分之一，你 能说明理由吗？能说明理由吗？ 解：解：BOFBOF+ +A A OBOB=90=90，A A OBOB+ +AOEAOE=90=90. . BOFBOF= =AOEAOE. . 又又OA=OBOA=OB，OAEOAE= =OBFOBF. . AOEAOEBOFBOF. .S S AOEAOE= =S SBOF BOF . . S S四边形 四
12、边形EBFOEBFO=S =S BOFBOF+ +S SOEBOEB = =S S AOEAOE+ +S S OEBOEB = = S S正方形 正方形ABCDABCD. . 1 4 【例【例5 5】如图，如图，ABCABC中，中，BDBD，CECE为高，为高，F F是边是边BCBC的中的中 点，判断点，判断DEFDEF的形状，并说明理由的形状，并说明理由. . 解：解：DEFDEF为等腰三角形为等腰三角形. . 在在RtRtBECBEC中，中，F F为为BCBC的中点，的中点， EFEF= = BCBC. . 同理：同理：FDFD= = BCBC. . FD=EFFD=EF， DEFDEF为
13、等腰三角形为等腰三角形. . 1 2 1 2 【例【例6 6】如图，在如图，在ABCABC中，点中，点O O是是ACAC上的一动点，过上的一动点，过 点点O O作直线作直线MNMNBCBC，设设MNMN交交BCABCA的平分线于点的平分线于点E E，交，交 BCABCA的外角平分线于点的外角平分线于点F F. . （1 1）求证：）求证：OCOC= = EFEF. . 1 2 证明：证明：CECE为为BCABCA的平分线，的平分线， BCEBCE= =ECOECO. . 又又MNMNBCBC，BCEBCE= =CEOCEO. . CEOCEO= =ECOECO，EO=OCEO=OC. . 同理
14、：同理：OC=OFOC=OF，OCOC= = EFEF. . 1 2 解：解：当点当点O O运动到运动到ACAC的中点时，的中点时， 四边形四边形AECFAECF是矩形是矩形. . 由（由（1 1）可知，）可知，O O为为EFEF的中点，的中点， 又又O O为为ACAC的中点的中点. . 四边形四边形AECFAECF为平行四边形为平行四边形. . 又又CECE为为BCABCA的平分线，的平分线， CFCF为为ACDACD的平分线，的平分线，ECFECF=90=90. . 四边形四边形AECFAECF是矩形是矩形. . （2 2）当点）当点O O运动到何处时，四边形运动到何处时，四边形AECFA
15、ECF是矩形？并是矩形？并 证明你的结论证明你的结论. . 随堂演练 基础巩固 1. 1.下列图形：矩形、菱形、等腰梯形、正方形中对称下列图形：矩形、菱形、等腰梯形、正方形中对称 轴最多的是（轴最多的是（ ） A.A.矩形矩形 B B菱形菱形 C C等腰梯形等腰梯形 D D正方形正方形 D D 2. 2.如图，平行四边形如图，平行四边形ABCDABCD中，中，A A的平分线的平分线AEAE交交CDCD于于 E E，ABAB=5=5，BCBC=3=3，则，则ECEC的长是（的长是（ ） A.1A.1 B.2B.2 C.1.5C.1.5 D.3D.3 B B 3. 3.如图所示，直线如图所示，直线
16、l l过正方形过正方形ABCDABCD的顶点的顶点B B. . A A，C C两点两点 到直线到直线l l的距离分别为的距离分别为5 5和和1212， 则正方形的边长是则正方形的边长是_._. 1313 4. 4.如图，在矩形如图，在矩形ABCDABCD中，中，ABAB=3=3，ADAD=4=4，点，点P P在在ADAD上上 ，PEPEACAC于于E E，PFPFBDBD于于F F， 则则PEPE+ +PFPF=_.=_. 12 5 综合应用 7. 7.已知：如图，已知：如图，BCBC是等腰三角形是等腰三角形BEDBED底边底边EDED的高，四的高，四 边形边形ABECABEC是平行四边形是平
17、行四边形. .求证：四边形求证：四边形ABCDABCD是矩形是矩形. . 证明：证明：BCBC是等腰三角形是等腰三角形BEDBED底边底边EDED的高，的高， BCBCEDED，EC=CDEC=CD. . 又又四边形四边形ABECABEC是平行四边形，是平行四边形， ABABECEC，即，即ABABCDCD，AB=EC=CDAB=EC=CD. . 四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形. . 又又BCBCEDED，四边形四边形ABCDABCD是矩形是矩形. . 拓展延伸 8. 8.如图，四边形如图，四边形ABCDABCD、DEFGDEFG都是正方形，连接都是正方形，连接AEAE、
18、CGCG. . （1 1）求证：）求证：AE=CGAE=CG; ; （2 2）观察图形，猜想）观察图形，猜想AEAE与与CGCG之间的位置关系，并证明之间的位置关系，并证明 你的猜想你的猜想. .（提示：找全等三角形）（提示：找全等三角形） （1 1）证明证明: :ADCADC= =GDEGDE=90=90， ADCADC+ +ADGADG= =GDEGDE+ +ADGADG， 即即GDCGDC= =ADEADE. . 又又CDCD= =ADAD， DG=DEDG=DE，GCDGCDEADEAD，AEAE= =CGCG. . （2 2）解：）解：AEAECGCG. .由（由（1 1）知）知GCDGCDEADEAD， GCDGCD= =EADEAD. . 又又ANMANM= =CNDCND， AMNAMN= =CDNCDN=90=90，AEAECGCG. . 1. 1.从课后习题中选取；从课后习题中选取； 2. 2.完成练习册本课时的习题。完成练习册本课时的习题。 课后作业 复习题复习题18 复习巩固复习巩固 B B C C B B 综合运用综合运用 拓广探索拓广探索
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