1、2020-2021 学年北京市平谷区九年级（上）期末数学试卷学年北京市平谷区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 24 分，每小题分，每小题 3 分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的. 1已知 2x3y（x0） ，则下列比例式成立的是（ ） A B C D 2抛物线 y（x1）2+2 的顶点坐标为（ ） A （1，2） B （1，2） C （1，2） D （2，1） 3如图所示的正方形网格中有，则 tan 的值为（ ） A B C D2 4如图，DABCAE，请你再添加一个条件，使得ADEABC则下列选项
2、不成立的是（ ） ADB BEC C D 5如图，是某供水管道的截面图，里面尚有一些水，若液面宽度 AB8cm，半径 OCAB 于 D，液面深度 CD2cm，则该管道的半径长为（ ） A6cm B5.5cm C5cm D4cm 6如图，函数 y1x+1 与函数 y2的图象相交于点 M（1，m） ，N（2，n） 若 y1y2，则 x 的取值范 围是（ ） Ax2 或 0 x1 Bx2 或 x1 C2x0 或 0 x1 D2x0 或 x1 7如图，在 RtABC 中，C90，B30，AC1，以 A 为圆心 AC 为半径画圆，交 AB 于点 D， 则阴影部分面积是（ ） A B C D 8某种摩托车
3、的油箱最多可以储油 10 升，李师傅记录了他的摩托车加满油后，油箱中的剩余油量 y（升） 与摩托车行驶路程 x（千米）的关系，则当 0 x500 时，y 与 x 的函数关系是（ ） x（千米） 0 100 150 300 450 500 y（升） 10 8 7 4 1 0 A正比例函数关系 B一次函数关系 C二次函数关系 D反比例函数关系 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 24 分，每小题分，每小题 3 分）分） 9将二次函数 yx2+4x1 化为 y（xh）2+k 的形式，结果为 y 10如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D 是网格线交点，AC 与 BD 相交于点 O，则ABO 的
4、面积 与CDO 的面积的比为 11如图，已知点 A、B、C 是O 上三点，若AOB80，则ACB 12如图，若点 A 与点 B 是反比例函数的图象上的两点，过点 A 作 AMx 轴于点 M，ANy 轴于点 N，过点 B 作 BGx 轴于点 G，BHy 轴于点 H，设矩形 OMAN 的面积为 S1，矩形 BHOG 的面 积为 S2，则 S1与 S2的大小关系为：S1 S2（填“” ， “”或“” ） 13如图，抛物线 yax2+bx+c 的对称轴为 x1，点 P，点 Q 是抛物线与 x 轴的两个交点，若点 P 的坐标 为（4，0） ，则点 Q 的坐标为 14如图，小东用长 2 米的竹竿 CD 做
5、测量工具，测量学校旗杆的高度 AB，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端 的影子恰好落在地面的同一点 O此时，OD3 米，DB6 米，则旗杆 AB 的高为 米 15如图，AB，BC，CD 分别与O 相切于点 E、F、G 三点，且 ABCD，BO6，CO8，则 BE+GC 的 长为 16学习完函数的有关知识之后，强强对函数产生了浓厚的兴趣，他利用绘图软件画出函数 yx2+的图 象并对该函数的性质进行了探究 下面有 4 个推断： 该函数自变量 x 的取值范围为 x0； 该函数与 x 轴只有一个交点（1，0） ； 若（x1，y1） ， （x2，y2）是该函数上两点，当 x1x20 时一定有 y1y2； 该函数
6、有最小值 2 其中合理的是 （写序号） 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 52 分，第分，第 1721 题，每小题题，每小题 5 分，第分，第 22 题题 6 分，第分，第 2325 题，每小题题，每小题 5 分）解答分）解答 应写出文字说明、演算步骤或证明过程应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17 （5 分）计算： 18 （5 分）已知：如图，直线 l，和直线外一点 P 求作：过点 P 作直线 PC，使得 PCl， 作法：在直线 l 上取点 O，以点 O 为圆心，OP 长为半径画圆，交直线 l 于 A，B 两点； 连接 AP，以点 B 为圆心，AP 长为半径画弧，交半圆于点 C； 作
7、直线 PC 直线 PC 即为所求作 （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹） ； （2）完成下面的证明： 证明：连接 BP BCAP， ABPBPC（ ） （填推理依据） 直线 PC直线 l 19 （5 分）已知抛物线 yax2+bx+c（a0）图象上部分点的横坐标 x 与纵坐标 y 的对应值如下表： x 2 1 0 1 2 3 y 5 0 3 4 3 0 （1）求此抛物线的解析式； （ 2 ） 画 出 函 数 图 象 ， 结 合 图 象 直 接 写 出 当0 x 4时 ， y的 范 围 20 （5 分）如图，热气球探测器显示，从热气球 M 处看一座电视塔尖 A 处的仰角为 20，
8、看这座电视塔 底部 B 处的俯角为 45， 热气球与塔的水平距离 MC 为 200 米， 试求这座电视塔 AB 的高度（参考数据： sin200.34，cos200.94，tan200.36） 21 （5 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 y经过点 A（2，3） （1）求双曲线 y的表达式； （2）已知点 P（n，n） ，过点 P 作 x 轴的平行线交双曲线 y于点 B，过点 P 作 y 轴的平行线 交双曲线 y于点 C，设线段 PB、PC 与双曲线上 BC 之间的部分围成的区域为图象 G（不包 含边界） ，横纵坐标均为整数的点称为整点 当 n4 时，直接写出图象 G 上的整数点
9、个数是 ； 当图象 G 内只有 1 个整数点时，直接写出 n 的取值范围 22 （6 分）如图，RtABC 中，B90，AD 平分BAC，E 是 AC 上一点，以 AE 为直径作O，若O 恰好经过点 D （1）求证：直线 BC 与O 相切； （2）若 BD3，求O 的半径的长 23 （7 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线：yax22ax+4（a0） （1）抛物线的对称轴为 x ；抛物线与 y 轴的交点坐标为 ； （2）若抛物线的顶点恰好在 x 轴上，写出抛物线的顶点坐标，并求它的解析式； （3）若 A（m1，y1） ，B（m，y2） ，C（m+2，y3）为抛物线上三点，且总有 y1
10、y3y2，结合图象，求 m 的取值范围 24 （7 分）如图，ABC 中，ABAC，ADBC 于 D，BEAC 于 E，交 AD 于点 F （1）求证：BADCBE； （2）过点 A 作 AB 的垂线交 BE 的延长线于点 G，连接 CG，依据题意补全图形；若AGC90，试 判断 BF、AG、CG 的数量关系，并证明 25 （7 分）在平面直角坐标系 xOy 中的图形 W 与图形 N，如果图形 W 与图形 N 有两个交点，我们则称图 形 W 与图形 N 互为“友好图形” （1）已知 A（1，1） ，B（2，1）则下列图形中与线段 AB 互为“友好图形”的是 ； 抛物线 yx2； 双曲线； 以
11、O 为圆心 1 为半径的圆 （2）已知：图形 W 为以 O 为圆心，1 为半径的圆，图形 N 为直线 yx+b，若图形 W 与图形 N 互为“友 好图形” ，求 b 的取值范围 （3）如图，已知 A（，2） ，B（，2） ，C（，2） ，图形 W 是以（t，0）为圆心，1 为 半径的圆，若图形 W 与ABC 互为“友好图形” ，直接写出 t 的取值范围 2020-2021 学年北京市平谷区九年级（上）期末数学试卷学年北京市平谷区九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 24 分，每小题分，每小题 3 分）下面各题均有四个选项，其中只有
12、一个是符合题意的分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的. 1已知 2x3y（x0） ，则下列比例式成立的是（ ） A B C D 【分析】根据等式的两边同时乘以或除以同一个不为 0 的数或字母等式仍成立即可解决 【解答】解：根据等式性质 2，可判断出只有 B 选项正确， 故选：B 2抛物线 y（x1）2+2 的顶点坐标为（ ） A （1，2） B （1，2） C （1，2） D （2，1） 【分析】直接根据二次函数的顶点式可得出结论 【解答】解：抛物线的解析式为：y（x1）2+2， 其顶点坐标为（1，2） 故选：B 3如图所示的正方形网格中有，则 tan 的值为（ ） A B C
13、D2 【分析】利用网格特点，构建 RtACB，然后利用正切的定义求解 【解答】解：如图，在 RtACB 中，tan 故选：A 4如图，DABCAE，请你再添加一个条件，使得ADEABC则下列选项不成立的是（ ） ADB BEC C D 【分析】根据DABCAE，可以得到DAEBAC，然后即可判断添加各个选项中的条件是否可 以使得ADEABC，本题得以解决 【解答】解：DABCAE， DAB+BAECAE+BAE， DAEBAC， 当添加条件DB 时，则ADEABC，故选项 A 不符合题意； 当添加条件EC 时，则ADEABC，故选项 B 不符合题意； 当添加条件时，则ADEABC，故选项 C
14、不符合题意； 当添加条件时，则ADE 和ABC 不一定相似，故选项 D 符合题意； 故选：D 5如图，是某供水管道的截面图，里面尚有一些水，若液面宽度 AB8cm，半径 OCAB 于 D，液面深度 CD2cm，则该管道的半径长为（ ） A6cm B5.5cm C5cm D4cm 【分析】连接 AO，由 OC 垂直于 AB，利用垂径定理得到 D 为 AB 的中点，求出 AD 的长，设圆的半径 为 rcm，由 OCCD 表示出 OD，在直角三角形 AOD 中，利用勾股定理求出 r 的值即可 【解答】解：连接 AO， OCAB，D 为 AB 的中点， AD4cm， 设圆的半径为 rcm， 在 RtA
15、OD 中，ODOCCD（r2）cm， 根据勾股定理得：OA2AD2+OD2，即 r216+（r2）2， 解得：r5， 故选：C 6如图，函数 y1x+1 与函数 y2的图象相交于点 M（1，m） ，N（2，n） 若 y1y2，则 x 的取值范 围是（ ） Ax2 或 0 x1 Bx2 或 x1 C2x0 或 0 x1 D2x0 或 x1 【分析】观察函数 y1x+1 与函数的图象，即可得出当 y1y2时，相应的自变量 x 的取值范围 【解答】解：由一次函数和反比例函数的图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象之上时，所对应 的 x 的取值范围为2x0 或 x1， 故选：D 7如图，在 RtAB
16、C 中，C90，B30，AC1，以 A 为圆心 AC 为半径画圆，交 AB 于点 D， 则阴影部分面积是（ ） A B C D 【分析】 本题中阴影部分的面积为 RtABC 和扇形 ACD 的面积差， 可在 RtACB 中， 根据B 的度数， 求出 BC 的长，即可得出扇形 ACD 的面积和 RtABC 的面积 【解答】解：ABC 中，C90，B30，AC1， 所以 BCAC，A60， S阴影SABCS扇形ACD 1 故选：B 8某种摩托车的油箱最多可以储油 10 升，李师傅记录了他的摩托车加满油后，油箱中的剩余油量 y（升） 与摩托车行驶路程 x（千米）的关系，则当 0 x500 时，y 与
17、 x 的函数关系是（ ） x（千米） 0 100 150 300 450 500 y（升） 10 8 7 4 1 0 A正比例函数关系 B一次函数关系 C二次函数关系 D反比例函数关系 【分析】根据表格数据，描点、连线画出互相图象，根据图象即可判断 【解答】解：根据表格数据，描点、连线画出函数的图象如图： 故 y 与 x 的函数关系是一次函数， 故选：B 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 24 分，每小题分，每小题 3 分）分） 9将二次函数 yx2+4x1 化为 y（xh）2+k 的形式，结果为 y （x+2）25 【分析】利用配方法先提出二次项系数，在加上一次项系数的一半的平方来凑完全
18、平方式，把一般式转 化为顶点式 【解答】解：yx2+4x1x2+4x+441（x+2）25 故答案为：y（x+2）25 10如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D 是网格线交点，AC 与 BD 相交于点 O，则ABO 的面积 与CDO 的面积的比为 1：4 【分析】AOBCOD，只需求出其相似比，平方即得两三角形面积比 【解答】 解：如上图，设小方格的边长为 1， ABE、DCF 分别是边长为 1 和 2 的等腰直角三角形， ABECDF45，AB，CD2， BEDF， EBOFDO， ABOCDO， 又AOBCOD， ABOCDO， SABO：SCDO（AB：CD）2， SABO：SCD
19、O（：2）21：4， 故答案为：1：4 11如图，已知点 A、B、C 是O 上三点，若AOB80，则ACB 40 【分析】利用圆周角定理解决问题即可 【解答】解：ACBAOB，AOB80， ACB40， 故答案为：40 12如图，若点 A 与点 B 是反比例函数的图象上的两点，过点 A 作 AMx 轴于点 M，ANy 轴于点 N，过点 B 作 BGx 轴于点 G，BHy 轴于点 H，设矩形 OMAN 的面积为 S1，矩形 BHOG 的面 积为 S2，则 S1与 S2的大小关系为：S1 S2（填“” ， “”或“” ） 【分析】根据反比例函数系数 k 的几何意义即可得出结论 【解答】解：点 A
20、与点 B 是反比例函数的图象上的两点，过点 A 作 AMx 轴于点 M， ANy 轴于点 N，过点 B 作 BGx 轴于点 G，BHy 轴于点 H， S1|k|，S2|k|， S1S2， 故答案为 13如图，抛物线 yax2+bx+c 的对称轴为 x1，点 P，点 Q 是抛物线与 x 轴的两个交点，若点 P 的坐标 为（4，0） ，则点 Q 的坐标为 （2，0） 【分析】根据抛物线的对称轴结合点 P 的横坐标，即可求出点 Q 的横坐标，此题得解 【解答】解：抛物线的对称轴为直线 x1，点 P 的坐标为（4，0） ， 点 Q 的横坐标为 1242， 点 Q 的坐标为（2，0） 故答案为： （2，
21、0） 14如图，小东用长 2 米的竹竿 CD 做测量工具，测量学校旗杆的高度 AB，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端 的影子恰好落在地面的同一点 O此时，OD3 米，DB6 米，则旗杆 AB 的高为 6 米 【分析】由平行线证明三角形相似，利用相似三角形对应边成比例解题即可 【解答】解：竹竿 CD 和旗杆 AB 均垂直于地面， CDAB， OCDOAB， ，即， AB6（米） 故答案为：6 15如图，AB，BC，CD 分别与O 相切于点 E、F、G 三点，且 ABCD，BO6，CO8，则 BE+GC 的 长为 10 【分析】先根据切线长定理得到BFBE，CFCG，BO 平分ABC，CO 平分BCD，
22、再证明BOC 90，然后利用勾股定理计算出 BC 即可 【解答】解：AB，BC，CD 分别与O 相切于点 E、F、G 三点， BFBE，CFCG，BO 平分ABC，CO 平分BCD， OBCABC，OCBBCD， OBC+OCB（ABC+BCD） ， ABCD， ABC+BCD180， OBC+OCB18090， BOC90， 在 RtOBC 中，BO6，CO8， BC10， BE+CG10 故答案为 10 16学习完函数的有关知识之后，强强对函数产生了浓厚的兴趣，他利用绘图软件画出函数 yx2+的图 象并对该函数的性质进行了探究 下面有 4 个推断： 该函数自变量 x 的取值范围为 x0；
23、该函数与 x 轴只有一个交点（1，0） ； 若（x1，y1） ， （x2，y2）是该函数上两点，当 x1x20 时一定有 y1y2； 该函数有最小值 2 其中合理的是 （写序号） 【分析】根据函数的图象几何函数的关系式综合进行判断即可 【解答】解：由函数 yx2+的图象可得，图象与 y 轴无交点，因此 x0，即函数自变量 x 的取值范围 为 x0，故正确； 根据函数的图象可直观看出该函数与 x 轴只有一个交点（1，0） ，也可以根据 x2+0，解得 x1， 因此与 x 轴的交点为（1，0） ，故正确； 由函数的图象可知，当 x0 时，y 随 x 的增大而减小，因此当 x1x20 时，有 y1y
24、2，故正确； 根据图象可知，函数值 y 可以 0 或负数，因此不正确； 因此正确的结论有：， 故答案为： 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 52 分，第分，第 1721 题，每小题题，每小题 5 分，第分，第 22 题题 6 分，第分，第 2325 题，每小题题，每小题 5 分）解答分）解答 应写出文字说明、演算步骤或证明过程应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17 （5 分）计算： 【分析】首先利用二次根式的性质、绝对值的性质、特殊角的三角函数值、零次幂的性质进行计算，再 算加减即可 【解答】解：原式1+22+31+22+3 18 （5 分）已知：如图，直线 l，和直线外一点 P 求作
25、：过点 P 作直线 PC，使得 PCl， 作法：在直线 l 上取点 O，以点 O 为圆心，OP 长为半径画圆，交直线 l 于 A，B 两点； 连接 AP，以点 B 为圆心，AP 长为半径画弧，交半圆于点 C； 作直线 PC 直线 PC 即为所求作 （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹） ； （2）完成下面的证明： 证明：连接 BP BCAP， ABPBPC（ 同弧或等弧所对的圆周角相等 ） （填推理依据） 直线 PC直线 l 【分析】 （1）根据要求画出图形即可 （2）连接 PB，只要证明ABPCPB 即可 【解答】解： （1）如图，直线 PC 即为所求作 （2）证明：连接 PB
26、 BCAP， .， ABPBPC（同弧或等弧所对的圆周角相等） ， 直线 PC直线 l 故答案为：，同弧或等弧所对的圆周角相等 19 （5 分）已知抛物线 yax2+bx+c（a0）图象上部分点的横坐标 x 与纵坐标 y 的对应值如下表： x 2 1 0 1 2 3 y 5 0 3 4 3 0 （1）求此抛物线的解析式； （ 2 ） 画 出 函 数 图 象 ， 结 合 图 象 直 接 写 出 当0 x 4时 ， y的 范 围 【分析】 （1）设交点式 ya（x+1） （x3） ，然后把（0，3）代入求出 a 的值，从而得到抛物线解析 式； （2）先利用描点法画出函数图象，然后根据二次函数的性质
27、，结合函数图象写出当 0 x4 时对应的 y 的范围 【解答】解： （1）设抛物线解析式为 ya（x+1） （x3） ， 把（0，3）代入得3a3，解得 a1， 抛物线解析式为 y（x+1） （x3） ， 即 yx22x3； （2）如图， 当 0 x4 时，y 的范围为4y5 20 （5 分）如图，热气球探测器显示，从热气球 M 处看一座电视塔尖 A 处的仰角为 20，看这座电视塔 底部 B 处的俯角为 45， 热气球与塔的水平距离 MC 为 200 米， 试求这座电视塔 AB 的高度（参考数据： sin200.34，cos200.94，tan200.36） 【分析】根据仰角俯角定义，利用锐角
28、三角函数即可求出结果 【解答】解：根据题意可知： ACMBCM90，AMC20，BMC45，MC200 米， 在 RtAMC 中， tanAMC， AC72（米） ， 在 RtBMC 中， BCM90，BMC45， BCMC200（米） ， ABAC+BC72+200272（米） 答：这座电视塔 AB 的高度为 272 米 21 （5 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 y经过点 A（2，3） （1）求双曲线 y的表达式； （2）已知点 P（n，n） ，过点 P 作 x 轴的平行线交双曲线 y于点 B，过点 P 作 y 轴的平行线 交双曲线 y于点 C，设线段 PB、PC 与双曲线
29、上 BC 之间的部分围成的区域为图象 G（不包 含边界） ，横纵坐标均为整数的点称为整点 当 n4 时，直接写出图象 G 上的整数点个数是 1 ； 当图象 G 内只有 1 个整数点时，直接写出 n 的取值范围 【分析】 （1）将点 A 的坐标代入函数表达式，即可求解； （2）当 n4 时，图象 G 内只有一个点 M（3，3） ；当图象 G 内只有 1 个整数点时，除了点 M 外 还有点 N，即可求解 【解答】解： （1）将点 A 的坐标代入函数表达式得：3，解得 k6， 故双曲线的表达式为 y（x0） ； （2）当 n4 时，图象 G 为 PB、PB 和曲线 BC 之间的部分，此时，图象 G
30、内只有一个点 M（3，3） ， 故答案为 1； 当图象 G 内只有 1 个整数点时，除了点 M 外还有点 N（如上图） ， 故 n 的取值范围为：3n4 或 1n2 22 （6 分）如图，RtABC 中，B90，AD 平分BAC，E 是 AC 上一点，以 AE 为直径作O，若O 恰好经过点 D （1）求证：直线 BC 与O 相切； （2）若 BD3，求O 的半径的长 【分析】 （1）连接 OD根据已知条件证明 ODAB进而可得 BC 是O 的切线； （2）连接 DE，根据三角函数可得 AD5，AB4，根据 AE 是O 的直径，可得ADE90，证明 ABDADE，对应边成比例即可得O 的半径的长
31、 【解答】 （1）解：连接 OD AD 平分BAC， 12 又OAOD， 23 13 ODAB B90， ODC90 BC 是O 的切线； （2）连接 DE， 在 RtABC 中，B90， BD3， AD5，AB4， AE 是O 的直径， ADE90， 12，BADE90， ABDADE， ， O 的半径为 23 （7 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线：yax22ax+4（a0） （1）抛物线的对称轴为 x 1 ；抛物线与 y 轴的交点坐标为 （0，4） ； （2）若抛物线的顶点恰好在 x 轴上，写出抛物线的顶点坐标，并求它的解析式； （3）若 A（m1，y1） ，B（m，y2）
32、，C（m+2，y3）为抛物线上三点，且总有 y1y3y2，结合图象，求 m 的取值范围 【分析】 （1）根据对称轴是直线 x求出对称轴即可；把 x0 代入函数解析式求出 y 即可； （2）把点（1，0）代入 yax22ax+4，再求出 a 即可； （3）先求出 A、B 关于直线 x1 的对称点坐标，再根据二次函数的性质和已知条件得出 3mm+22 m，再求出答案即可 【解答】解： （1）x1， 当 x0 时，yax22ax+44， 所以抛物线的对称轴是直线 x1，抛物线与 y 轴的交点坐标是（0，4） ， 故答案为：1， （0，4） ； （2）抛物线的顶点恰好在 x 轴上； 抛物线的顶点坐标为
33、（1，0） ， 把（1，0）代入 yax22ax+4 得：0a122a1+4， 解得：a4， 抛物线的解析式为 y4x28x+4； （3）A（m1，y1）关于对称轴 x1 的对称点为 A（3m，y1） ， B（m，y2）关于对称轴 x1 的对称点为 B（2m，y2） ， 若要 y1y3y2，则 3mm+22m， 解得： 24 （7 分）如图，ABC 中，ABAC，ADBC 于 D，BEAC 于 E，交 AD 于点 F （1）求证：BADCBE； （2）过点 A 作 AB 的垂线交 BE 的延长线于点 G，连接 CG，依据题意补全图形；若AGC90，试 判断 BF、AG、CG 的数量关系，并证明
34、 【分析】 （1）根据等腰三角形的性质得到ABDC，然后利用等角的余角相等得到结论； （2） 连接 CF， 如图， 先证明ACFABGGAC 则可判断 AGFC， 所以FCGAGC90， 再证明GAFGFA 得到 AGFG，然后利用勾股定理得到 CF2+CG2FG2，所以 BF2+CG2AG2 【解答】 （1）证明：ADBC， BAD+ABD90， BEAC， CBE+C90 ABAC， ABDC， BADCBE； （2）解：如图， 结论：BF2+CG2AG2 证明：连接 CF，如图， ABAC，ADBC， AD 垂直平分 BC， BFFC， FBCFCB， BAG90， GAE+BAC90，
35、 ABG+BAC90， ACFABGGAC AGFC， FCGAGC90， GAF+BAD90， GFA+DAC90， GAFGFA， AGFG， 在 RtFCG 中，CF2+CG2FG2， BF2+CG2AG2 25 （7 分）在平面直角坐标系 xOy 中的图形 W 与图形 N，如果图形 W 与图形 N 有两个交点，我们则称图 形 W 与图形 N 互为“友好图形” （1）已知 A（1，1） ，B（2，1）则下列图形中与线段 AB 互为“友好图形”的是 ； 抛物线 yx2； 双曲线； 以 O 为圆心 1 为半径的圆 （2）已知：图形 W 为以 O 为圆心，1 为半径的圆，图形 N 为直线 yx
36、+b，若图形 W 与图形 N 互为“友 好图形” ，求 b 的取值范围 （3）如图，已知 A（，2） ，B（，2） ，C（，2） ，图形 W 是以（t，0）为圆心，1 为 半径的圆，若图形 W 与ABC 互为“友好图形” ，直接写出 t 的取值范围 【分析】 （1）根据题意画出图形，根据互为“友好图形”分别计算两个图形有几个交点即可判断； （2）如图 4 中，作 OQKL 于 Q，O 于 Q，根据等腰直角三角形的性质可得 b 的值即可判断； （3）分四种情形求出图形 W 与ABC 有 1 个交点时，t 的值，即边界点，可得 t 的取值范围 【解答】解： （1）如图 1，当 y1 时，x21，
37、x1， 抛物线 yx2与线段 AB 有两个交点为（1，1）和（1，1） ， 抛物线 yx2与线段 AB 互为“友好图形” ； 如图 2，当 y1 时，1， x1， 双曲线与线段 AB 有 1 个交点为（1，1） ， 抛物线 y与线段 AB 不是互为“友好图形” ； 如图 3，以 O 为圆心 1 为半径的圆与线段 AB 有 1 个交点为（0，1） ， 以 O 为圆心 1 为半径的圆与线段 AB 不是互为“友好图形” ； 故答案为：； （2）如图 4，作O 的两条切线，过点 O 作 OQKL， OQ1，OQK 是等腰直角三角形， OK， b 的取值范围是b； （3）如图 5，过点 E 作 EQAC
38、 于 Q， 当图形 W 是D 时，D 与 AB 相切，此时 t1， 当图形 W 是E 时，E 与 AB 相切，此时 t+1， A（，2） ，B（，2） ，C（，2） ， BAy 轴，BCx 轴， ABC90， AB4，BC4， AC8， C30， AFDC30， FL2， EF21， EQEF1， E 与 AC 相离， 图形 W 与ABC 有两个交点时，t 的取值是1t+1， 如图 6，当E与 AC 相切时，设切点为 G，连接 EG， 同理得 OEEFOF2， t2， 当D与 AC 相切时，设切点为 H，连接 DH， 同理得 ODOF+FD+2， t+2， 图形 W 与ABC 有两个交点时，t 的取值是2t+2； 综上， 若图形 W 与ABC 互为 “友好图形” ， t 的取值范围是1t+1 或2t+2
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