1、2020-2021 学年湖南省益阳市赫山区九年级（上）期末数学试卷学年湖南省益阳市赫山区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的，请将答案填在答题卡中对应题号的空格里）求的，请将答案填在答题卡中对应题号的空格里） 1关于反比例函数 y图象，下列说法正确的是（ ） A必经过点（2，1） B两个分支分布在第一、三象限 C两个分支关于 x 轴成轴对称 D两个分支关于原点成中心对称 22020 年为阻击新冠疫情，某社区要
2、了解每一栋楼的居民年龄情况，以便有针对性进行防疫，一志愿者得 到某栋楼 60 岁以上人的年龄（单位：岁）数据如下：62，63，75，79，68，85，82，69，70获得这组 数据的方法是（ ） A直接观察 B实验 C调查 D测量 3泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明泰勒斯曾通过测量同一时 刻标杆的影长， 标杆的高度， 金字塔的影长， 推算出金字塔的高度， 这种测量原理， 就是我们所学的 （ ） A图形的平移 B图形的旋转 C图形的轴对称 D图形的相似 4已知 x1 是一元二次方程（m2）x2+4xm20 的一个根，则 m 的值为（ ） A1 或 2 B1 C2
3、 D0 5若一次函数 ykx+b 与反比例函数的图象都经过点（2，1） ，则 b 的值是（ ） A3 B3 C5 D5 62020 年益阳始建高铁站，该站建设初期需要运送大量的土石方，某运输公司承担了运送总量为 106m3土 石方的任务，该运输公司平均运送土石方的速度 v（单位：m3/天）与完成运送任务所需的时间 t（单位： 天）之间的函数关系式是（ ） Av Bv106 Cv Dv106t2 7已知关于 x 的一元二次方程（m1）x2+2x+10 有实数根，则 m 的取值范围是（ ） Am2 Bm2 Cm2 且 m1 Dm2 且 m1 8如图，某停车场入口的栏杆 AB，从水平位置绕点 O 旋
4、转到 AB的位置，已知 AO 的长为 4 米若栏 杆的旋转角AOA，则栏杆 A 端升高的高度为（ ） A米 B4sin 米 C米 D4cos 米 9如图，在ABCD 中，AEAD，连接 BE，交 AC 于点 F，AC12，则 AF 为（ ） A4 B4.8 C5.2 D6 10已知抛物线 yax2+bx+c（a，b，c 是常数，a0，c1）经过点（2，0） ，其对称轴是直线 x有 下列结论： abc0； 关于 x 的方程 ax2+bx+ca 有两个不等的实数根； a 其中，正确结论的个数是（ ） A0 B1 C2 D3 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 8 个小题，每小题个小题，每小题 4
5、 分，共分，共 32 分，请将答案填在答题卡中对应题号的横线上）分，请将答案填在答题卡中对应题号的横线上） 11抛物线 y3（x1）2+8 的顶点坐标为 12 如图， 若反比例函数 y （x0） 的图象经过点 A， ABx 轴于 B， 且AOB 的面积为 6， 则 k 13生活中到处可见黄金分割的美如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下 a 与全身 b 的高度比值 接近 0.618，可以增加视觉美感若图中 b 为 2 米，则 a 约为 14 在 对 一 组 样 本 数 据 进 行 分 析 时 ， 小 华 列 出 了 方 差 的 计 算 公 式 ： S2 ，由公式提供的信息，样本的容量是 4，
6、样本的中位数是 3，样本的众数是 3，样本的平均数是 3.5，则说法错误的是 （填序号） 15将一元二次方程 x28x50 化成（x+a）2b（a、b 为常数）的形式，则 a、b 的值分别是 16在解一元二次方程 x2+bx+c0 时，小明看错了一次项系数 b，得到的解为 x12，x23；小刚看错了 常数项 c，得到的解为 x11，x25请你写出正确的一元二次方程 17ABC 中，B90，AC，tanC，则 BC 边的长为 18如图，D 是ABC 的边 BC 上一点，AB4，AD2，DACB，如果ABD 的面积为 15，那么 ACD 的面积为 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 8 个小题，
7、共个小题，共 78 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19解方程：2x23x+10 20计算： （） 1cos260+（ ）0sin60tan30 21如图，反比例函数 y与一次函数 yx+2 的图象交于 A、B 两点 （1）求 A、B 两点的坐标； （2）求AOB 的面积 22某小区在绿化工程中有一块长为 18m、宽为 6m 的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，使 它们的面积之和为 60m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示） ，求人行通道的宽 度 23为贯彻落实党中央关于全面建成小康社会的战略部署，某贫困地
8、区的广大党员干部深入农村积极开展 “精准扶贫” 工作 经过多年的精心帮扶， 截至 2019 年底， 按照农民人均年纯收入 3218 元的脱贫标准， 该地区只剩少量家庭尚未脱贫现从这些尚未脱贫的家庭中随机抽取 50 户，统计其 2019 年的家庭人均 年纯收入，得到如图 1 所示的条形图 （1）如果该地区尚未脱贫的家庭共有 1000 户，试估计其中家庭人均年纯收入低于 2000 元（不含 2000 元）的户数； （2）估计 2019 年该地区尚未脱贫的家庭人均年纯收入的平均值； （3）2020 年初，由于新冠疫情，农民收入受到严重影响，上半年当地农民家庭人均月纯收入的最低值 变化情况如图 2 的
9、折线图所示为确保当地农民在 2020 年全面脱贫，当地政府积极筹集资金，引进某科 研机构的扶贫专项项目据预测，随着该项目的实施，当地农民自 2020 年 6 月开始，以后每月家庭人均 月纯收入都将比上一个月增加 170 元 已知 2020 年农村脱贫标准为农民人均年纯收入 4000 元，试根据以上信息预测该地区所有贫困家庭能否 在今年实现全面脱贫 24脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活如图是政府给贫困户新建的房屋，如图是房屋的侧面 示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高 AB 所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上 C 点测得屋顶 A 的仰角为 35，此时地面上 C 点、屋檐上 E
10、点、屋顶上 A 点三点恰好共线，继续向房屋 方向走 8m 到达点 D 时，又测得屋檐 E 点的仰角为 60，房屋的顶层横梁 EF12m，EFCB，AB 交 EF 于点 G（点 C，D，B 在同一水平线上） （参考数据：sin350.6，cos350.8，tan350.7， 1.7） （1）求屋顶到横梁的距离 AG； （2）求房屋的高 AB（结果精确到 1m） 25在平面直角坐标系中，抛物线 yx2+bx+c 经过点 A（4，0） ，点 M 为抛物线的顶点，点 B 在 y 轴 上，且 OAOB，直线 AB 与抛物线在第一象限交于点 C（2，6） ，如图 （1）求抛物线的解析式； （2）求直线 A
11、B 的函数解析式、点 M 的坐标和ABO 的余弦值 （3）连接 OC，若过点 O 的直线交线段 AC 于点 P，将AOC 的面积分成 1：2 的两部分，求点 P 的坐 标为 26 【基础巩固】 （1）如图 1，在ABC 中，D 为 AB 上一点，ACDB求证：AC2ADAB 【尝试应用】 （2）如图 2，在ABCD 中，E 为 BC 上一点，F 为 CD 延长线上一点，BFEA若 BF4，BE3， 求 AD 的长 【拓展提高】 （3）如图 3，在菱形 ABCD 中，E 是 AB 上一点，F 是ABC 内一点，EFAC，AC2EF，EDF BAD，AE2，DF5，求菱形 ABCD 的边长 202
12、0-2021 学年湖南省益阳市赫山区九年级（上）期末数学试卷学年湖南省益阳市赫山区九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的，请将答案填在答题卡中对应题号的空格里）求的，请将答案填在答题卡中对应题号的空格里） 1关于反比例函数 y图象，下列说法正确的是（ ） A必经过点（2，1） B两个分支分布在第一、三象限 C两个分支关于 x 轴成轴对称 D两个分支关于原点成中心对称 【分析
13、】反比例函数 y中，k20，根据反比例函数的性质选择则可 【解答】解：A、因为 1222，故本选项错误； B、因为 k20，所以函数图象位于二、四象限，故本选项错误； C、两个分支关于原点成中心对称，故本选项错误； D、两个分支关于原点成中心对称，故本选项正确； 故选：D 22020 年为阻击新冠疫情，某社区要了解每一栋楼的居民年龄情况，以便有针对性进行防疫，一志愿者得 到某栋楼 60 岁以上人的年龄（单位：岁）数据如下：62，63，75，79，68，85，82，69，70获得这组 数据的方法是（ ） A直接观察 B实验 C调查 D测量 【分析】直接利用调查数据的方法分析得出答案 【解答】解：
14、一志愿者得到某栋楼 60 岁以上人的年龄（单位：岁）数据如下：62，63，75，79，68，85， 82，69，70 获得这组数据的方法是：调查 故选：C 3泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明泰勒斯曾通过测量同一时 刻标杆的影长， 标杆的高度， 金字塔的影长， 推算出金字塔的高度， 这种测量原理， 就是我们所学的 （ ） A图形的平移 B图形的旋转 C图形的轴对称 D图形的相似 【分析】根据图形的变换和相似三角形的应用等知识直接回答即可 【解答】解：泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度，金字塔的影长，推算出金字塔的高 度，这种测量原理，就是我们所学的图
15、形的相似， 故选：D 4已知 x1 是一元二次方程（m2）x2+4xm20 的一个根，则 m 的值为（ ） A1 或 2 B1 C2 D0 【分析】首先把 x1 代入（m2）x2+4xm20 解方程可得 m12，m21，再结合一元二次方程定 义可得 m 的值 【解答】解：把 x1 代入（m2）x2+4xm20 得： m2+4m20， m2+m+20， 解得：m12，m21， （m2）x2+4xm20 是一元二次方程， m20， m2， m1， 故选：B 5若一次函数 ykx+b 与反比例函数的图象都经过点（2，1） ，则 b 的值是（ ） A3 B3 C5 D5 【分析】首先把已知点的坐标代入
16、反比例函数可求出 k 值，再进一步把已知点的坐标和 k 的值代入一次 函数，求得 b 的值 【解答】解：将点（2，1）代入解析式，得 k2； 再把点（2，1）和 k2 代入一次函数，得 2（2）+b1， 解得 b3 故选：B 62020 年益阳始建高铁站，该站建设初期需要运送大量的土石方，某运输公司承担了运送总量为 106m3土 石方的任务，该运输公司平均运送土石方的速度 v（单位：m3/天）与完成运送任务所需的时间 t（单位： 天）之间的函数关系式是（ ） Av Bv106 Cv Dv106t2 【分析】按照运送土石方总量平均运送土石方的速度 vX 完成运送任务所需时间 t，列出等式，然后变
17、 形得出 v 关于 t 的函数，观察选项可得答案 【解答】解：由题意可得，vt106， 故选：A 7已知关于 x 的一元二次方程（m1）x2+2x+10 有实数根，则 m 的取值范围是（ ） Am2 Bm2 Cm2 且 m1 Dm2 且 m1 【分析】根据二次项系数非零及根的判别式0，即可得出关于 m 的一元一次不等式组，解之即可得 出 m 的取值范围 【解答】解：关于 x 的一元二次方程（m1）x2+2x+10 有实数根， ， 解得：m2 且 m1 故选：D 8如图，某停车场入口的栏杆 AB，从水平位置绕点 O 旋转到 AB的位置，已知 AO 的长为 4 米若栏 杆的旋转角AOA，则栏杆 A
18、 端升高的高度为（ ） A米 B4sin 米 C米 D4cos 米 【分析】过点 A作 ACAB 于点 C，根据锐角三角函数的定义即可求出答案 【解答】解：过点 A作 ACAB 于点 C， 由题意可知：AOAO4， sin， AC4sin， 故选：B 9如图，在ABCD 中，AEAD，连接 BE，交 AC 于点 F，AC12，则 AF 为（ ） A4 B4.8 C5.2 D6 【分析】根据平行四边形的对边相等可得 ADBC，然后求出 AEADBC，再根据平行线分线段 成比例定理求出 AF、FC 的比，然后求解即可 【解答】解：在ABCD 中，ADBC，ADBC， AEAD， AEADBC AD
19、BC， ， AC12， AF124.8 故选：B 10已知抛物线 yax2+bx+c（a，b，c 是常数，a0，c1）经过点（2，0） ，其对称轴是直线 x有 下列结论： abc0； 关于 x 的方程 ax2+bx+ca 有两个不等的实数根； a 其中，正确结论的个数是（ ） A0 B1 C2 D3 【分析】由题意得到抛物线的开口向下，对称轴，判断 a，b 与 0 的关系，得到 abc0，即可 判断； 根据题意得到抛物线开口向下，顶点在 x 轴上方，即可判断； 根据抛物线 yax2+bx+c 经过点（2，0）以及 ba，得到 4a2a+c0，即可判断 【解答】解：抛物线的对称轴为直线 x， 点
20、（2，0）关于直线 x的对称点的坐标为（1，0） ， c1， 抛物线开口向下， a0， 抛物线对称轴为直线 x， ab0， abc0，故错误； 抛物线开口向下，与 x 轴有两个交点， 顶点在 x 轴的上方， a0， 抛物线与直线 ya 有两个交点， 关于 x 的方程 ax2+bx+ca 有两个不等的实数根；故正确； 抛物线 yax2+bx+c 经过点（2，0） ， 4a+2b+c0， ba， 4a2a+c0，即 2a+c0， 2ac， c1， 2a1， a，故正确， 故选：C 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 8 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 32 分，请将答案填在答题卡
21、中对应题号的横线上）分，请将答案填在答题卡中对应题号的横线上） 11抛物线 y3（x1）2+8 的顶点坐标为 （1，8） 【分析】已知抛物线顶点式 ya（xh）2+k，顶点坐标是（h，k） 【解答】解：抛物线 y3（x1）2+8 是顶点式， 顶点坐标是（1，8） 故答案为： （1，8） 12如图，若反比例函数 y（x0）的图象经过点 A，ABx 轴于 B，且AOB 的面积为 6，则 k 12 【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义即可解决问题 【解答】解：ABOB， SAOB6， k12， 反比例函数的图象在第二象限， k0， k12， 故答案为12 13生活中到处可见黄金分割的美如图，在设
22、计人体雕像时，使雕像的腰部以下 a 与全身 b 的高度比值 接近 0.618，可以增加视觉美感若图中 b 为 2 米，则 a 约为 1.236 米 【分析】根据雕像的腰部以下 a 与全身 b 的高度比值接近 0.618，因为图中 b 为 2 米，即可求出 a 的值 【解答】解：雕像的腰部以下 a 与全身 b 的高度比值接近 0.618，b2 米， 0.618， a0.61821.236（米） ， 故答案为：1.236 米 14 在 对 一 组 样 本 数 据 进 行 分 析 时 ， 小 华 列 出 了 方 差 的 计 算 公 式 ： S2 ，由公式提供的信息，样本的容量是 4，样本的中位数是
23、3，样本的众数是 3，样本的平均数是 3.5，则说法错误的是 （填序号） 【分析】先根据小华所列方差计算公式得出这组数据为 2、3、3、4，再分别根据样本容量的概念、中位 数、众数及平均数的定义逐一判断即可 【解答】解：由题意知，这组数据为 2、3、3、4，样本容量为 4，故说法正确； 样本的中位数是3，故说法正确； 样本的众数为 3，故说法正确； 样本的平均数为3，故说法错误； 故答案为： 15 将一元二次方程 x28x50 化成 （x+a） 2b （a、 b 为常数） 的形式， 则 a、 b 的值分别是 4， 21 【分析】先移项，再配方，即可得出答案 【解答】解：x28x50， x28x
24、5， x28x+425+42， （x4）221， 所以 a4，b21， 故答案为：4，21 16在解一元二次方程 x2+bx+c0 时，小明看错了一次项系数 b，得到的解为 x12，x23；小刚看错了 常数项 c，得到的解为 x11，x25请你写出正确的一元二次方程 x26x+60 【分析】利用根与系数的关系得到 23c，1+5b，然后求出 b、c 即可 【解答】解：根据题意得 23c， 1+5b， 解得 b6，c6， 所以正确的一元二次方程为 x26x+60 故答案为 x26x+60 17ABC 中，B90，AC，tanC，则 BC 边的长为 2 【分析】根据正切定义得到 tanC，则可设
25、ABx，BC2x，利用勾股定理计算出 ACx， 所以x，解得 x1，然后计算 2x 即可得到 BC 的长 【解答】解：B90， tanC， 设 ABx，则 BC2x， ACx， x， 解得 x1， BC2x2 故答案是：2 18如图，D 是ABC 的边 BC 上一点，AB4，AD2，DACB，如果ABD 的面积为 15，那么 ACD 的面积为 5 【分析】证明ACDBCA，根据相似三角形的性质求，根据题意计算 【解答】解：DACB，CC， ACDBCA， ACD 的面积ABD 的面积5， 故答案为：5 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 8 个小题，共个小题，共 78 分，解答应写出文字说明
26、，证明过程或演算步骤）分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19解方程：2x23x+10 【分析】方程左边利用十字相乘法分解因式后，利用两数相乘积为 0 两因式中至少有一个为 0 转化为两 个一元一次方程来求解 【解答】解：方程分解因式得： （2x1） （x1）0， 可得 2x10 或 x10， 解得：x1，x21 20计算： （） 1cos260+（ ）0sin60tan30 【分析】原式第一项利用负整数指数幂法则计算，第二、四项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利 用零指数幂法则计算即可得到结果 【解答】解：原式2+1 3 2 21如图，反比例函数 y与一次函数 yx+2 的图象交
27、于 A、B 两点 （1）求 A、B 两点的坐标； （2）求AOB 的面积 【分析】 （1）解方程组可得到 A 点坐标和 B 点坐标； （2）先确定一次函数与 y 轴的交点 D 的坐标，然后根据 SAOBSAOD+SBOD进行计算 【解答】解： （1）解方程组得或 所以 A 点坐标为（2，4） ，B 点坐标为（4，2） ； （2）直线 AB 交 y 轴于点 D，如图， 把 x0 代入 yx+2 得 y2， 则 D 点坐标为（0，2） ， 所以 SAOBSAOD+SBOD22+246 22某小区在绿化工程中有一块长为 18m、宽为 6m 的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，使 它们的面积
28、之和为 60m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示） ，求人行通道的宽 度 【分析】设人行道的宽度为 x 米，根据矩形绿地的面积之和为 60 米 2，列出一元二次方程 【解答】解：设人行道的宽度为 x 米，根据题意得， （183x） （62x）60， 化简整理得， （x1） （x8）0 解得 x11，x28（不合题意，舍去） 答：人行通道的宽度是 1m 23为贯彻落实党中央关于全面建成小康社会的战略部署，某贫困地区的广大党员干部深入农村积极开展 “精准扶贫” 工作 经过多年的精心帮扶， 截至 2019 年底， 按照农民人均年纯收入 3218 元的脱贫标准， 该地区只剩少量家庭
29、尚未脱贫现从这些尚未脱贫的家庭中随机抽取 50 户，统计其 2019 年的家庭人均 年纯收入，得到如图 1 所示的条形图 （1）如果该地区尚未脱贫的家庭共有 1000 户，试估计其中家庭人均年纯收入低于 2000 元（不含 2000 元）的户数； （2）估计 2019 年该地区尚未脱贫的家庭人均年纯收入的平均值； （3）2020 年初，由于新冠疫情，农民收入受到严重影响，上半年当地农民家庭人均月纯收入的最低值 变化情况如图 2 的折线图所示为确保当地农民在 2020 年全面脱贫，当地政府积极筹集资金，引进某科 研机构的扶贫专项项目据预测，随着该项目的实施，当地农民自 2020 年 6 月开始，
30、以后每月家庭人均 月纯收入都将比上一个月增加 170 元 已知 2020 年农村脱贫标准为农民人均年纯收入 4000 元，试根据以上信息预测该地区所有贫困家庭能否 在今年实现全面脱贫 【分析】 （1）用 2000 乘以样本中家庭人均纯收入低于 2000 元（不含 2000 元）的频率即可； （2）利用加权平均数进行计算即可； （3）求出当地农民 2020 年家庭人均年纯收入与 4000 进行大小比较即可 【解答】解： （1）根据题意，可估计该地区尚未脱贫的 1000 户家庭中，家庭人均年纯收入低于 2000 元 （不含 2000 元）的户数为： 1000120（户） ； （2）根据题意，可估计
31、该地区尚未脱贫的家庭 2019 年家庭人均年纯收入的平均值为： （1.56+2.08+2.210+2.512+3.09+3.25） 2.4（千元） ； （3）根据题意，得， 2020 年该地区农民家庭人均月纯收入的最低值如下： 由上表可知当地农民 2020 年家庭人均年纯收入不低于： 500+300+150+200+300+450+620+790+960+1130+1300+1470 960+1130+1300+14704000 所以可以预测该地区所有贫困家庭能在今年实现全面脱贫 24脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活如图是政府给贫困户新建的房屋，如图是房屋的侧面 示意图，它是一个轴对称图形
32、，对称轴是房屋的高 AB 所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上 C 点测得屋顶 A 的仰角为 35，此时地面上 C 点、屋檐上 E 点、屋顶上 A 点三点恰好共线，继续向房屋 方向走 8m 到达点 D 时，又测得屋檐 E 点的仰角为 60，房屋的顶层横梁 EF12m，EFCB，AB 交 EF 于点 G（点 C，D，B 在同一水平线上） （参考数据：sin350.6，cos350.8，tan350.7， 1.7） （1）求屋顶到横梁的距离 AG； （2）求房屋的高 AB（结果精确到 1m） 【分析】 （1） 根据题意得到 AGEF， EGEF， AEGACB35， 解直角三角形即可得到结论；
33、 （2）过 E 作 EHCB 于 H，设 EHx，解直角三角形即可得到结论 【解答】解： （1）房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高 AB 所在的直线，EF BC， AGEF，EGEF，AEGACB35， 在 RtAGE 中，AGE90，AEG35， tanAEGtan35，EG6， AG60.74.2（米） ； 答：屋顶到横梁的距离 AG 约为 4.2 米； （2）过 E 作 EHCB 于 H， 设 EHx， 在 RtEDH 中，EHD90，EDH60， tanEDH， DH， 在 RtECH 中，EHC90，ECH35， tanECH， CH， CHDHCD8， 8， 解
34、得：x9.52， ABAG+BG13.7214（米） ， 答：房屋的高 AB 约为 14 米 25在平面直角坐标系中，抛物线 yx2+bx+c 经过点 A（4，0） ，点 M 为抛物线的顶点，点 B 在 y 轴 上，且 OAOB，直线 AB 与抛物线在第一象限交于点 C（2，6） ，如图 （1）求抛物线的解析式； （2）求直线 AB 的函数解析式、点 M 的坐标和ABO 的余弦值 （3）连接 OC，若过点 O 的直线交线段 AC 于点 P，将AOC 的面积分成 1：2 的两部分，求点 P 的坐 标为 （2，2）或（0，4） 【分析】 （1）将 A、C 的坐标代入即可求解 （2）根据 OBOA，
35、即可求出点 B 坐标，利用 A、B 坐标即可求出直线解析式，利用抛物线解析式可求 出顶点 M结合几何图形和线段长度可求出ABO 的度数，即可求三角函数值 （3）先画出图形，结合AOC 的面积分成 1：2 的两部分，可知或构造三角形相似，即 可求解 【解答】解： （1）将点 A、C 的坐标代入抛物线表达式得： 解得： 故抛物线的解析式为： （2）点 A（4，0） ，OBOA4，故点 B（0，4） ， 设直线 AB 的表达式为：ykx+b 解得： 直线 AB 的表达式为：yx+4 抛物线的解析式为： 顶点 M（2，2） OBOA4 ABO45， 故 （3）连接 OC，作 CEAO 与 E，PDAO
36、 于点 D，如图： 过点 O 的直线交线段 AC 于点 P，将AOC 的面积分成 1：2 的两部分 或 CEAO，PDAO PDCE APDACE C（2，6） ， CE6 当时，PD2，点 P 坐标为： （2，2） 当 AP时，PD4，点 P 坐标为： （0，4） 故答案为： （2，2）或（0，4） 26 【基础巩固】 （1）如图 1，在ABC 中，D 为 AB 上一点，ACDB求证：AC2ADAB 【尝试应用】 （2）如图 2，在ABCD 中，E 为 BC 上一点，F 为 CD 延长线上一点，BFEA若 BF4，BE3， 求 AD 的长 【拓展提高】 （3）如图 3，在菱形 ABCD 中，
37、E 是 AB 上一点，F 是ABC 内一点，EFAC，AC2EF，EDF BAD，AE2，DF5，求菱形 ABCD 的边长 【分析】 （1）证明ADCACB，得出，则可得出结论； （2）证明BFEBCF，得出比例线段，则 BF2BEBC，求出 BC，则可求出 AD （3）分别延长 EF，DC 相交于点 G，证得四边形 AEGC 为平行四边形，得出 ACEG，CGAE，EAC G，证明EDFEGD，得出比例线段，则 DEEF，可求出 DG，则答案可求出 【解答】解： （1）证明：ACDB，AA， ADCACB， ， AC2ADAB （2）四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC，AC， 又BFEA， BFEC， 又FBECBF， BFEBCF， ， BF2BEBC， BC， AD （3）如图，分别延长 EF，DC 相交于点 G， 四边形 ABCD 是菱形， ABDC，BACBAD， ACEF， 四边形 AEGC 为平行四边形， ACEG，CGAE，EACG， EDFBAD， EDFBAC， EDFG， 又DEFGED， EDFEGD， ， DE2EFEG， 又EGAC2EF， DE22EF2， DEEF， 又， DG， DCDGCG52
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