1、2021 年湖南省长沙市长沙县、望城区、浏阳市、宁乡县高考数学调研试卷年湖南省长沙市长沙县、望城区、浏阳市、宁乡县高考数学调研试卷 一、选择题（共一、选择题（共 8 小题）小题）. 1已知集合 Ax|x2+2x+30，全集为 R，则RA（ ） A（，13，+） B（，31，+） C1，3 D3，1 2复数的值为（ ） A B C D 3某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择 15 名志愿者，对其身高和臂展进行测量（单位：厘米）， 图 1 为选取的 15 名志愿者身高与臂展的折线图， 图 2 为身高与臂展所对应的散点图， 并求得其回归方程 为，以下结论中正确的为（ ） A15 名志愿者身高的极
2、差大于臂展的极差 B身高相差 10 厘米的两人臂展都相差 11.6 厘米 C身高为 190 厘米的人臂展一定为 189.65 厘米 D15 名志愿者身高和臂展成正相关关系 4如图所示，在边长为 4 的正方形纸片 ABCD 中，AC 与 BD 相交于 O剪去AOB，将剩余部分沿 OC、 OD 折叠，使 OA，OB 重合，则以 A（B）C，D，O 为顶点的四面体的外接球的体积为（ ） A8 B24 C D48 5音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：以“宫”为基本音，“宫”经 过一次 “损” ， 频率变为原来的， 得到 “徵” ；“徵” 经过一次 “益” ， 频率变为原来
3、的， 得到 “商” ； 依 次损益交替变化，获得了“宫、徵、商、羽、角”五个音阶据此可推得（ ） A“宫、商、角”的频率成等比数列 B“宫、徵、商”的频率成等比数列 C“商、羽、角”的频率成等比数列 D“徵、商、羽”的频率成等比数列 6设函数 f（x）asin（x+1）+bsin（x+2），则“是 f（x）为偶函数”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 7 经研究发现： 任意一个三次多项式函数 f （x） ax3+bx2+cx+d （a0） 的图象都只有一个对称中心点 （x0， f（x0），其中 x0是 f（x）0 的根，f（x）是 f（x）的导数，
4、f（x）是 f（x）的导数若函数 f（x）x3+ax2+x+b 图象的对称点为（1，2），且不等式 exmxe（lnx+1）f（x）x33x2+exe对 任意 x（1，+）恒成立，则（ ） Aa3 Bb2 Cm 的值不可能是e Dm 的值可能是 8已知函数 f（x）为定义在 R 上且图像连续的偶函数，满足 xf（x）0（或 xf（x）0）在（，0） （0， +） 恒成立 若把函数 yf （x） 向右平移 4 个单位可得函数 yg （x） ， 则方程 的所有根之和为（ ） A4 B6 C10 D12 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。
5、在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。 全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的对分，部分选对的对 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分。分。 9以下是关于圆锥曲线的四个命题中真命题为（ ） A设 A，B 为两个定点，k 为非零常数，若|PA|PB|k，则动点 P 的轨迹是双曲线 B方程 2x25x+20 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率 C双曲线1 与椭圆 +y21 有相同的焦点 D以过抛物线的焦点的一条弦 PQ 为直径作圆，则该圆与抛物线的准线相切 10已知函数 f（x）sinxcosx（04）满足 f（x+）f（x），
6、其图象向左平移 m 个单位后， 所得图象对应的函数 yg（x）在，上单调递增，则下列判断正确的是（ ） A1 B函数 f（x）的图象关于直线 x对称 C正整数 m 的值可以为 7 D正整数 m 的最小值为 6 11某地区机械厂为倡导“大国工匠精神”，提高对机器零件质量的品质要求，对现有产品进行抽检，由 抽检结果可知，该厂机器零件的质量指标值 Z 服从正态分布 N（200，224），则（ ） （附：14.97，若 ZN（，2），则 P（Z+）0.6826，P（2Z+2） 0.9544） AP（185.03Z200）0.6826 BP（200Z229.94）0.4772 CP（185.03Z229
7、.94）0.9544 D任取 10000 件机器零件，其质量指标值位于区间（185.03，229.94）内的件数约为 8185 件 12已知 3a5b15，则 a，b 可能满足的关系是（ ） Aa+b4 Bab4 C（a1）2+（b1）22 Da2+b28 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分。共分。共 20 分分 13在（xy）（x+y）4展开式中，x3y2的系数为 14已知等比数列an中，an0，4a1，a3，3a2成等差数列，则 15如图，在棱长为的正方体 ABCDABCD中，点 E、F、G 分别是棱 AB、BC、CD 的中点，则由点 E、F、G 确
8、定的平面截正方体所得的截面多边形的面积等于 16在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A，B 为圆 C：（xa）2+（y2）24 上两个动点，且 AB2若 直线 l：yx 上存在点 P，使得+，则实数 a 的取值范围为 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，小题，70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17已知函数 f（x）2cosxsin（x）+ （1）求函数 f（x）的最小正周期； （2）若锐角 满足 f（+），求 sin 的值 18在等差数列an满足 a11，a59（nN*）；数列an的前 n 项和为 Snn2；公差不为 0
9、 的等 差数列an的首项 a11，且 a1，a2，a5成等比数列这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作 答 问题：已知数列bn满足 b1+b2+bn3n，且_ （）求数列an，bn的通项公式； （）若数列cn满是 cn，求证：数列cn的前 n 项和 Tn 19冬天的北方室外温度极低，若轻薄保暖的石墨烯发热膜能用在衣服上，可爱的医务工作者行动会更方 便石墨烯发热膜的制作：从石墨中分离出石墨烯，制成石墨烯发热膜从石墨分离石墨烯的一种方法 是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶现在有 A 材料、B 材料供选择，研究人员对附 着在 A 材料、B 材料上再结晶各做了 50 次试验，得到
10、如图等高条形图 （1）根据上面的等高条形图，填写如表列联表，判断是否有 99%的把握认为试验成功与材料有关？ A 材料 B 材料 合计 成功 不成功 合计 （2）研究人员得到石墨烯后，再生产石墨烯发热膜有三个环节：透明基底及 UV 胶层；石墨烯层； 表面封装层第一、二环节生产合格的概率均为第三个环节生产合格的概率为，且各生产环节 相互独立已知生产 1 吨的石墨烯发热膜的固定成本为 1 万元，若生产不合格还需进行修复第三个环节 的修复费用为 3000 元，其余环节修复费用均为 1000 元如何定价才能实现每生产 1 吨石墨烯发热膜获 利可达 1 万元以上的目标？ 附：k2 ，其中，na+b+c+
11、d P（K2k0 ） 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 k0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 20如图，三棱锥 PABC 中，平面 PAB平面 ABC，PABPBA45，ABC2BAC60，D 是棱 AB 的中点，点 E 在棱 PB 上，点 G 是BCD 的重心 （1）若 E 是 PB 的中点，证明：GE面 PAC； （2） 是否存在点 E， 使二面角 ECDG 的大小为 30？若存在， 求的值； 若不存在， 请说明理由 21如图，已知椭圆 C：+1（ab0）经过点 P（2，），离心率 e，直线 l 的方程为 x 8 （1）求椭圆 C 的
12、方程； （2）AB 是椭圆 C 经过定点 Q（2，0）的任意一条弦（不经过点 P），设直线 AB 与直线 l 相交于点 M， 记直线 PA，PB，PM 的斜率依次为 k1，k2，k3，问：是否存在常数 ，使得 k1+k2k3？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由 22已知函数 f（x） （1）若 a0 时 f（x）在1，e上的最小值是ln2，求 a； （2）若 ae，且 x1，x2是 f（x）的两个极值点，证明：f（x1）+f（x2） （x12+x22）2e（其中 e 为 自然对数的底数，e2.71） 参考答案参考答案 一、选择题（共一、选择题（共 8 小题）小题）. 1已知集合 Ax|x
13、2+2x+30，全集为 R，则RA（ ） A（，13，+） B（，31，+） C1，3 D3，1 解：Ax|1x3， RA（，13，+） 故选：A 2复数的值为（ ） A B C D 解： 故选：B 3某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择 15 名志愿者，对其身高和臂展进行测量（单位：厘米）， 图 1 为选取的 15 名志愿者身高与臂展的折线图， 图 2 为身高与臂展所对应的散点图， 并求得其回归方程 为，以下结论中正确的为（ ） A15 名志愿者身高的极差大于臂展的极差 B身高相差 10 厘米的两人臂展都相差 11.6 厘米 C身高为 190 厘米的人臂展一定为 189.65 厘米 D1
14、5 名志愿者身高和臂展成正相关关系 解：由图 1 可知，身高的最大值略小于臂展的最大值，身高的最小值大于臂展的最小值， 则身高极差小于臂展的极差，故 A 错误； 由回归方程为， 可知身高相差 10 厘米的两人展臂的估计值相差 11.6 厘米，不是准确值，故 B 错误； 把身高 190 厘米，代入回归方程可得展臂大约为 189.65 厘米，不是准确值，故 C 错误； 由相关系数 0，可知 15 名志愿者身高和臂展成正相关关系，故 D 正确 故选：D 4如图所示，在边长为 4 的正方形纸片 ABCD 中，AC 与 BD 相交于 O剪去AOB，将剩余部分沿 OC、 OD 折叠，使 OA，OB 重合，
15、则以 A（B）C，D，O 为顶点的四面体的外接球的体积为（ ） A8 B24 C D48 解：翻折后的几何体为底面边长为 4，侧棱长为 2的正三棱锥 OACD，如图， 取 CD 中点 E，连结 AE，作 OF平面 ABC，交 AE 于 F，则 F 是ACD 的重心， 由题意知 AE2，AF，OF， 设 G 为四面体的外接球的球心、球半径为 R，则 G 在直线 OF 上， 且 OGAGR， 由 AG2AF2+GF2，得： R2（）2+（R）2，解得 R， 以 A（B）、C、D、O 为顶点的四面体的外接球的体积为 VR38 故选：A 5音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”
16、：以“宫”为基本音，“宫”经 过一次 “损” ， 频率变为原来的， 得到 “徵” ；“徵” 经过一次 “益” ， 频率变为原来的， 得到 “商” ； 依 次损益交替变化，获得了“宫、徵、商、羽、角”五个音阶据此可推得（ ） A“宫、商、角”的频率成等比数列 B“宫、徵、商”的频率成等比数列 C“商、羽、角”的频率成等比数列 D“徵、商、羽”的频率成等比数列 解：设“宫”的频率为 a，由题意经过一次“损”，可得“徵”的频率为a，“徵”经过一次“益”， 可得“商”的频率为a， “商”经过一次“损”，可得“羽”频率为a，最后“羽”经过一次“益”，可得“角”的频率是 a， 由于 a，a，a 成等比数列
17、，所以“宫、商、角”的频率成等比数列， 故选：A 6设函数 f（x）asin（x+1）+bsin（x+2），则“是 f（x）为偶函数”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解：若 f（x）为偶函数，则 f（x）f（x）， 即 asin（x+1）+bsin（x+2）asin（x+1）+bsin（x+2） 整理得 2asinxcos1+2bsinxcos20，即 acos1+bcos20， 所以， 若，即有 acos1+bcos20， 所以“是 f（x）为偶函数”的充要条件， 故选：C 7 经研究发现： 任意一个三次多项式函数 f （x） ax3+bx2
18、+cx+d （a0） 的图象都只有一个对称中心点 （x0， f（x0），其中 x0是 f（x）0 的根，f（x）是 f（x）的导数，f（x）是 f（x）的导数若函数 f（x）x3+ax2+x+b 图象的对称点为（1，2），且不等式 exmxe（lnx+1）f（x）x33x2+exe对 任意 x（1，+）恒成立，则（ ） Aa3 Bb2 Cm 的值不可能是e Dm 的值可能是 解：对于 A：因为 f（x）x3+ax2+x+b，对称中心为（1，2）， 所以 f（x）3x2+2ax+1， 所以 f（x）6x+2a， 所以 f（1）6+2a0， 解得 a3，故 A 正确； 对于 B：因为 f（1）1+
19、31+b2， 解得 b1，故 B 错误； 对于 C，D：f（x）x3+3x2+x+1， 因为不等式 exmxe（lnx+1）f（x）x33x2+exe对任意 x（1，+）恒成立， 所以 m，对任意 x（1，+）恒成立， 当 x0 时，exx+1， 则 xeexe elnx+x+1（当且仅当 xe 时，等号成立）， 所以e， 所以 me，故 C 不正确，D 错误 故选：A 8已知函数 f（x）为定义在 R 上且图像连续的偶函数，满足 xf（x）0（或 xf（x）0）在（，0） （0， +） 恒成立 若把函数 yf （x） 向右平移 4 个单位可得函数 yg （x） ， 则方程 的所有根之和为（
20、） A4 B6 C10 D12 解：函数 f（x）为定义在 R 上且图像连续的偶函数， 满足 xf（x）0（或 xf（x）0）在（，0）（0，+）恒成立， 可得 f（x）在（，0）、（0，+）都单调， 由题意可得 g（x）的图像关于直线 x4 对称，且在（，4），（0，+）内都单调， 若，可得 x2或 8x2， 由 x2即 x2x10，有两个实根，其和为 1； 由 8x2即 x25x70，有两个实根，其和为 5 所以方程的所有根之和为 1+56 故选：B 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求
21、。分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。 全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的对分，部分选对的对 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分。分。 9以下是关于圆锥曲线的四个命题中真命题为（ ） A设 A，B 为两个定点，k 为非零常数，若|PA|PB|k，则动点 P 的轨迹是双曲线 B方程 2x25x+20 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率 C双曲线1 与椭圆 +y21 有相同的焦点 D以过抛物线的焦点的一条弦 PQ 为直径作圆，则该圆与抛物线的准线相切 解：对于 A：设 A，B 为两个定点，k 为非零常数，若|PA|PB|k，（|AB|k）， 则动点 P 的轨迹是双曲
22、线，故 A 错误； 对于 B：方程 2x25x+20 的两根为 2 或， 可分别作为椭圆和双曲线的离心率，故 B 正确； 对于 C：双曲线1 的焦点坐标为（）和（）， 椭圆+y21 的焦点坐标为（）和（）， 故有相同的焦点，故 C 正确； 对于 D：以过抛物线的焦点的一条弦 PQ 为直径作圆，则该圆与抛物线的准线相切， 根据梯形的中位线和抛物线的定义，故 D 正确 故选：BCD 10已知函数 f（x）sinxcosx（04）满足 f（x+）f（x），其图象向左平移 m 个单位后， 所得图象对应的函数 yg（x）在，上单调递增，则下列判断正确的是（ ） A1 B函数 f（x）的图象关于直线 x对
23、称 C正整数 m 的值可以为 7 D正整数 m 的最小值为 6 解：函数 f（x）sinxcosx2sin（x）， 满足 f（x+）f（x），所以 2sin（x+）2sin（x）， 令 2k，kZ； 解得 2k，kZ； 又 04，所以 2，选项 A 错误； 所以 f（x）2sin（2x），且 f（）2sn（）2， 所以 x是函数 f（x）图象的对称轴，B 正确； 其图象向左平移 m 个单位后，得 y2sin（2x+2m）的图象， 即函数 yg（x）2sin（2x+2m）， x，时，2x ，2x+2m2m，2m； 令， 解得 k+mk+，kZ； k1 时，3.4m3.9， k2 时，6.5m7.
24、07， 所以正整数 m 的值可以为 7，且为最小正正数； 所以 C 正确，D 错误 故选：BC 11某地区机械厂为倡导“大国工匠精神”，提高对机器零件质量的品质要求，对现有产品进行抽检，由 抽检结果可知，该厂机器零件的质量指标值 Z 服从正态分布 N（200，224），则（ ） （附：14.97，若 ZN（，2），则 P（Z+）0.6826，P（2Z+2） 0.9544） AP（185.03Z200）0.6826 BP（200Z229.94）0.4772 CP（185.03Z229.94）0.9544 D任取 10000 件机器零件，其质量指标值位于区间（185.03，229.94）内的件数约
25、为 8185 件 解：因为 N（200，224），所以 200，14.97， 故 +214.97，+2229.94，185.03，2170.06， 故 P（170.06Z229.94）0.9544，P（185.03Z214.97）0.6826， 由正态分布函数的对称性可知 A 选项应为 P（185.03Z200）0.3413，故 A 错； P（200Z229.94）0.4772，故 B 正确； P（185.03Z229.94）P（185.03Z200）+P（200Z229.94）0.3413+0.47720.8185，故 C 错； 由 C 可知任取 10000 件机器零件， 其质量指标值位于区
26、间 （185.03， 229.94） 内的件数约为 100000.8185 8185 件，故 D 正确 故选：BD 12已知 3a5b15，则 a，b 可能满足的关系是（ ） Aa+b4 Bab4 C（a1）2+（b1）22 Da2+b28 解：3a5b15， alog315，blog515， a+blog315+log515log3（35）+log5（35）log33+log35+log53+log552+log35+ 4，选项 A 正确， （3a）b15b，（5b）a15a， 3ab5ab15b15a，即 15ab15a+b， a+bab，ab4，选项 B 正确， （a1）2+（b1）2a
27、2+b22（a+b）+22ab2（a+b）+22，所以选项 C 正确， a2+b22ab8，选项 D 错误 故选：ABC 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分。共分。共 20 分分 13在（xy）（x+y）4展开式中，x3y2的系数为 2 解：若第一个因式是 x，则第二个是 x2y2，此时为6x3y2， 若第一个因式是y，则第二个是 x3y，此时为4x3y2， 即 x3y2的系数为 642， 故答案为：2 14已知等比数列an中，an0，4a1，a3，3a2成等差数列，则 4 解：由题意得，a34a1+3a2， 故， 所以 q23q40， 由题意 q0，
28、解得 q4，q1（舍）， 则q4 故答案为：4 15如图，在棱长为的正方体 ABCDABCD中，点 E、F、G 分别是棱 AB、BC、CD 的中点，则由点 E、F、G 确定的平面截正方体所得的截面多边形的面积等于 解：分别取 AD 中点 P，CC1中点 M，AA1中点 N，可得出过 E，F，G 三点的平面截正方体所得截面为 正六边形 EFMGPN，则正六边形的边长 MG， 故截面多边形的面积等于 S 16在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A，B 为圆 C：（xa）2+（y2）24 上两个动点，且 AB2若 直线 l：yx 上存在点 P，使得+，则实数 a 的取值范围为 解：设 A（x1，y1
29、），B（x2，y2），AB 的中点 M（ ，）， 圆 C：（xa）2+（y2）24 的圆心 C（a，2），半径 r2， 圆心 C（a，2）到 AB 的距离|CM|， 直线 l：yx 上存在点 P，使得+， 设 P（x，x），则（x1x，y1+x）+（x2x，y2+x）（a，2）， ，得，即 M（x+，x+1）， |CM|， 整理，得 2x2+（2a）x+， 直线 l：yx 上存在点 P，使得+， 0，解得 故答案为： 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，小题，70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17已知函数 f（x）2co
30、sxsin（x）+ （1）求函数 f（x）的最小正周期； （2）若锐角 满足 f（+），求 sin 的值 解： （1）f（x）2cosxsin（x）+2cosx（sinxcosx）+sin2x +sin（2x）， 故 f（x）的最小正周期为 （2）锐角 满足 f（+）sin（2+）sin（2+ ）cos212sin2， sin 18在等差数列an满足 a11，a59（nN*）；数列an的前 n 项和为 Snn2；公差不为 0 的等 差数列an的首项 a11，且 a1，a2，a5成等比数列这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作 答 问题：已知数列bn满足 b1+b2+bn3n，且_ （）
31、求数列an，bn的通项公式； （）若数列cn满是 cn，求证：数列cn的前 n 项和 Tn 【解答】（）解：当选条件时： 由题设可得：数列an的公差 d2， ana1+（n1）d1+2（n1）2n1， 由 b1+b2+bn3n可得：b1+b2+bn13n1（n2）， 两式相减得 bn3n3n123n1，n2， 又当 n1 时，有 b13， bn ； 当选条件时： Snn2， 当 n2 时，有 anSnSn1n2（n1）22n1， 又当 n1 时，有 S11a1，也适合上式， an2n1， 由 b1+b2+bn3n可得：b1+b2+bn13n1（n2）， 两式相减得 bn3n3n123n1，n2
32、， 又当 n1 时，有 b13， bn ； 当选条件时： 设数列an的公差为 d（d0）， a11，且 a1，a2，a5成等比数列， a22a1a5，即（1+d）21+4d，解得：d2， ana1+（n1）d1+2（n1）2n1， 由 b1+b2+bn3n可得：b1+b2+bn13n1（n2）， 两式相减得 bn3n3n123n1，n2， 又当 n1 时，有 b13， bn ； （）证明：由（）可得：cn， 当 n1 时，有 T1成立， 当 n2 时，Tn+， 又Tn+， 两式相减得：Tn+， 整理得：Tn ， 综上，Tn 19冬天的北方室外温度极低，若轻薄保暖的石墨烯发热膜能用在衣服上，可爱
33、的医务工作者行动会更方 便石墨烯发热膜的制作：从石墨中分离出石墨烯，制成石墨烯发热膜从石墨分离石墨烯的一种方法 是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶现在有 A 材料、B 材料供选择，研究人员对附 着在 A 材料、B 材料上再结晶各做了 50 次试验，得到如图等高条形图 （1）根据上面的等高条形图，填写如表列联表，判断是否有 99%的把握认为试验成功与材料有关？ A 材料 B 材料 合计 成功 不成功 合计 （2）研究人员得到石墨烯后，再生产石墨烯发热膜有三个环节：透明基底及 UV 胶层；石墨烯层； 表面封装层第一、二环节生产合格的概率均为第三个环节生产合格的概率为，且各生产环节 相
34、互独立已知生产 1 吨的石墨烯发热膜的固定成本为 1 万元，若生产不合格还需进行修复第三个环节 的修复费用为 3000 元，其余环节修复费用均为 1000 元如何定价才能实现每生产 1 吨石墨烯发热膜获 利可达 1 万元以上的目标？ 附：k2 ，其中，na+b+c+d P（K2k0 ） 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 k0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 解：（1）根据所给的条形图，可得列表： A 材料 B 材料 合计 成功 45 30 75 不成功 5 20 25 合计 50 50 100 K2126.635； 故有 99%的把握认为
35、试验成功与材料有关 （2）设生产 1 吨的石墨烯发热膜，所需的修复费用为 X 万元，易知 x 可取 0，0.1，0.2，0.3， P（X0）； P（X0.1）； P（X0.2）； P（X0.3）； 所以 X 的分布列为： X 0 0.1 0.2 0.3 P E（X）0+0.1+0.2+0.30.1， 所以石墨烯发热膜每吨的定价至少为 0.1+1+12.1 万元，才能实现预期利润的目标 20如图，三棱锥 PABC 中，平面 PAB平面 ABC，PABPBA45，ABC2BAC60，D 是棱 AB 的中点，点 E 在棱 PB 上，点 G 是BCD 的重心 （1）若 E 是 PB 的中点，证明：GE
36、面 PAC； （2） 是否存在点 E， 使二面角 ECDG 的大小为 30？若存在， 求的值； 若不存在， 请说明理由 【解答】（1）证明：延长 DG 交 BC 于 F，连接 EF， 点 G 是BCD 的重心，F 为 BC 的中点， D、E 分别为 AB、BP 的中点，DFAC，DEAP 又DFDED，平面 DEF平面 APC， 又 GE平面 DEF，GE平面 PAC； （2）解：连接 PD，PABPBA45， PAPB，又 D 是 AB 的中点， PDAB， 平面 PAB平面 ABC，而平面 PAB平面 ABCAB，PD平面 PAB， PD平面 ABC 如图，以 D 为坐标原点，以 DB、D
37、P 所在直线分别为 y、z 轴建立空间直角坐标系 设 PAPB2，则 AB，PDCD D（0，0，0），B（0，0），C（，0）， G（，0），P（0，0， ）， 假设存在点 E，使二面角 ECDG 的大小为 30，设，（0，1 则（0，） E（0，） 又， 设平面 ECD 的法向量为， 由， 令 x1，得； 又平面 ABC 的一个法向量为， 而二面角 ECDG 的大小为 30， |cos|， 即| |，解得 存在点 E，使二面角 ECDG 的大小为 30，此时 21如图，已知椭圆 C：+1（ab0）经过点 P（2，），离心率 e，直线 l 的方程为 x 8 （1）求椭圆 C 的方程； （2）
38、AB 是椭圆 C 经过定点 Q（2，0）的任意一条弦（不经过点 P），设直线 AB 与直线 l 相交于点 M， 记直线 PA，PB，PM 的斜率依次为 k1，k2，k3，问：是否存在常数 ，使得 k1+k2k3？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由 解：（1）由题意可得，解得：a216，b24， 所以椭圆的方程为：+1； （2）由题意可知直线 AB 的斜率存在，设直线 AB 的方程为：yk（x2），B（x1，y1），A（x2，y2）， 由联立整理可得：（1+4k2）x216k2x+16（k21）0， x1+x2，x1x2， k1 k，k2k， k1+k22k 2k2k， 又 k1+k2k3
39、， 2kk3k， 2， 故存在 2 22已知函数 f（x） （1）若 a0 时 f（x）在1，e上的最小值是ln2，求 a； （2）若 ae，且 x1，x2是 f（x）的两个极值点，证明：f（x1）+f（x2） （x12+x22）2e（其中 e 为 自然对数的底数，e2.71） 解：（1）f（x）定义域是（0，+）， f（x）， g（x）x22ax+2a，对称轴 x0a0， 因为 1a，g（1）10，所以当 x1，e时，g（x）0，即 f（x）0， 所以 f（x）在1，e上单调递增， 所以 f（x）minf（1）ln2， 解得 a1 （2）证明：由 f（x）有两个极值点 x1，x2， 则 f（
40、x）0 在（0，+）上有两个不等的实根，则，解得 a2， x1+x22a，x1x22a，x12+x22（x1+x2）2x1x24a24a， 当 ae 时，f（x1）+f（x2）（x12+x22）+2ealn4x1x2a（x1+x2） （x12+x22）+2e aln8a2a2（4a24a）+2e aln8a3a2+a+2e，（ae）， 令 g（a）aln8a3a2+a+2e（ae）时，g（a）ln8a6a+2（ae）， 令 h（a）g（a）ln8a6a+2， h（a）， 当 ae 时，h（a）0所以 h（a）在e，+）上单调递减， 所以 h（a）h（e）， g（a）g（e）ln8e6e+2（1+3ln2）6e+23ln26e+336e+366e0， 所以 h（a）g（e）eln8e3e2+3ee（1+3ln2）3e2+3e， e（3ln23e+4）e（33e+4）e（73e）0， 所以 g（a）0，所以原式成立， 即 f（x1）+f（x2） （x12+x22）2e
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