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    新课标版数学(理)高三总复习:题组层级快练19

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    新课标版数学(理)高三总复习:题组层级快练19

    1、题组层级快练题组层级快练(十九十九) 1.函数 f(x)的图像如图所示,下列数值排序正确的是( ) A0f(2)f(3)f(3)f(2) B0f(3)f(3)f(2)f(2) C0f(3)f(2)f(3)f(2) D0f(3)f(2)f(2)f(3) 答案 B 解析 f(2),f(3)是 x 分别为 2,3 时对应图像上点的切线斜率,f(3)f(2)f3f2 32 ,f(3)f(2) 是图像上 x 为 2 和 3 对应两点连线的斜率,故选 B. 2(2015 赣州模拟)函数 yx2ex的图像大致为( ) 答案 A 解析 因为 y2xexx2exx(x2)ex,所以当 x0 时,y0,函数 yx

    2、2ex为增函数;当 2x0 时,y0,所以排除 D,故选 A. 3设底面为等边三角形的直三棱柱的体积为 V,那么其表面积最小时,底面边长为( ) A.3V B.32V C.34V D23V 答案 C 4.如图,某农场要修建 3 个养鱼塘,每个面积为 10 000 米 2,鱼塘前面要留 4 米的运料通道,其余各 边为 2 米宽的堤埂,则占地面积最少时,每个鱼塘的长、宽分别为( ) A长 102 米,宽5 000 51 米 B长 150 米,宽 66 米 C长、宽均为 100 米 D长 150 米,宽200 3 米 答案 D 解析 设鱼塘长、宽分别为 y 米,x 米,依题意 xy10 000. 设

    3、占地面积为 S,则 S(3x8)(y6)18x80 000 x 30 048, 令 S1880 000 x2 0,得 x200 3 ,此时 y150. 5(2015 南昌一模)已知函数 yf(x)对任意的 x( 2, 2)满足 f(x)cosxf(x)sinx0(其中 f(x)是函 数 f(x)的导函数),则下列不等式成立的是( ) A. 2f( 3)f( 4) B. 2f( 3)2f( 3) Df(0) 2f( 4) 答案 A 解析 由 f(x)cosxf(x)sinx0 知( fx cosx)0, 所以 g(x) fx cosx在( 2, 2)上是增函数, 所以 g( 3)g( 4),即

    4、f 3 cos 3 f 4 cos 4 ,即 2f( 3)g( 4),即 f 3 cos 3 f 4 cos 4 ,得 2f( 3)f( 4), 所以 B 不正确;由 g( 3)g(0),即 f 3 cos 3 f0 cos0,得 f(0)g(0),即 f 4 cos 4 f0 cos0,得 f(0) 2f( 4),所以 D 不正确故选 A. 6(2015 绵阳市高三诊断性考试)已知 f(x)|x| ex(xR),若关于 x 的方程 f 2(x)mf(x)m10 恰好有 4 个不相等的实数根,则实数 m 的取值范围为( ) A(1 e,2)(2,e) B(1 e,1) C(1,1 e1) D(

    5、1 e,e) 答案 C 解析 依题意,由 f2(x)mf(x)m10,得 f(x)1 或 f(x)m1.当 x0 时,f(x)xe x,f(x) (x1)e x0 时,f(x)xex,f(x)(x1)ex,若 0x0,f(x) 是增函数;若 x1,则 f(x)0,f(x)是减函数因此,要使关于 x 的方程 f2(x)mf(x)m10 恰好有 4 个不相等的实数根,只要求直线 y1,直线 ym1 与函数 yf(x)的图像共有四个不同的交点注意到 直线 y1 与函数 yf(x)的图像有唯一公共点,因此要求直线 ym1 与函数 yf(x)的图像共有三个不同 的交点,结合图像可知,0m11 e,即 1

    6、m0,则当 2a4 时,有( ) Af(2a)f(2)f(log2a) Bf(2)f(2a)f(log2a) Cf(log2a)f(2a)f(2) Df(2)f(log2a)0,当 x2 时, f(x)0,f(x)是增函数;当 x2 时,f(x)0,f(x)是减函数又2a4,1log2a2.42a16;由 f(2 x)f(2x),得 f(x)f(4x)f(log2a)f(4log2a)由 1log2a2,得2log2a1.24log2a3. 24log2a2a.f(2)f(4log2a)f(2a),即 f(2)f(log2a)f(2a),故选 D. 8已知函数 f(x) 2 x,x2, x13

    7、,x2. 若关于 x 的方程 f(x)k 有两个不同的实根,则实数 k 的取值范围 是_ 答案 (0,1) 解析 当 x0,说明函数在(,2上单调递增,函数的值域是(,1),函 数在2,)上单调递减,函数的值域是(0,1因此要使方程 f(x)k 有两个不同的实根,则 0k0. (1)求 f(x)的单调区间; (2)求所有的实数 a,使 e1f(x)e2对 x1,e恒成立(其中,e 为自然对数的底数) 答案 (1)单调递增区间为(0,a),单调递减区间为(a,) (2)ae 解析 (1)因为 f(x)a2lnxx2ax,其中 x0, 所以 f(x)a 2 x 2xaxa2xa x . 由于 a0

    8、,所以 f(x)的单调递增区间为(0,a),单调递减区间为(a,) (2)由题意得,f(1)a1e1,即 ae. 由(1)知 f(x)在1,e上单调递增, 要使 e1f(x)e2对 x1,e恒成立 只要 f1a1e1, fea2e2aee2, 由得 ae;由得 ae.因此 ae. 故当 e1f(x)e2对 x1,e恒成立时,实数 a 的值为 e. 10(2013 北京理)设 l 为曲线 C:ylnx x 在点(1,0)处的切线 (1)求 l 的方程; (2)证明:除切点(1,0)之外,曲线 C 在直线 l 的下方 答案 (1)yx1 (2)略 解析 (1)设 f(x)lnx x ,则 f(x)

    9、1lnx x2 . 所以 f(1)1.所以 l 的方程为 yx1. (2)令 g(x)x1f(x),则除切点之外,曲线 C 在直线 l 的下方等价于 g(x)0(x0,x1) g(x)满足 g(1)0,且 g(x)1f(x)x 21lnx x2 . 当 0x1 时,x210,lnx0,所以 g(x)1 时,x210,lnx0,所以 g(x)0,故 g(x)单调递增 所以 g(x)g(1)0(x0,x1) 所以除切点之外,曲线 C 在直线 l 的下方 11已知函数 f(x)xln(xa)在 x1 处取得极值 (1)求实数 a 的值; (2)若关于 x 的方程 f(x)2xx2b 在1 2,2上恰

    10、有两个不相等的实数根,求实数 b 的取值范围 答案 (1)0 (2)5 4ln2b0),则 g(x)2x31 x 2x23x1 x 2x1x1 x . 令 g(x)0,得 x11 2,x21. 当 x 变化时,g(x),g(x)的变化情况如下表: x (0,1 2) 1 2 (1 2,1) 1 (1,2) 2 g(x) 0 0 g(x) 极大值 极小值 b2ln2 当 x1 时,g(x)的极小值为 g(1)b2. 又 g(1 2)b 5 4ln2,g(2)b2ln2, 方程 f(x)2xx2b 在1 2,2上恰有两个不相等的实数根, g1 20, g10, g20, 即 b5 4ln20, b

    11、20, b2ln20, 解得5 4ln2b0),若 f(x)在1,1上的最小值记为 g(a) (1)求 g(a); (2)证明:当 x1,1时,恒有 f(x)g(a)4. 答案 (1)g(a) a3,0a0,1x1,所以 当 0a1 时, 若 x1,a,则 f(x)x33x3a,f(x)3x230,故 f(x)在(a,1)上是增函数 所以 g(a)f(a)a3. 当 a1 时,有 xa,则 f(x)x33x3a,f(x)3x230,故 f(x)在(1,1)上是减函数,所以 g(a) f(1)23a. 综上,g(a) a3,0a1, 23a,a1. (2)证明:令 h(x)f(x)g(a) 当

    12、0a1 时,g(a)a3. 若 xa,1,则 h(x)x33x3aa3,h(x)3x23,所以 h(x)在(a,1)上是增函数,所以 h(x)在a,1 上的最大值是 h(1)43aa3,且 0a0, 知 t(a)在(0,1)上是增函数所以 t(a)t(1)4, 即 h(1)4.故 f(x)g(a)4. 当 a1 时,g(a)23a, 故 h(x)x33x2,h(x)3x23. 此时 h(x)在(1,1)上是减函数,因此 h(x)在1,1上的最大值是 h(1)4. 故 f(x)g(a)4. 综上,当 x1,1时,恒有 f(x)g(a)4. 13(2014 北京理)已知函数 f(x)xcosxsi

    13、nx,x 0, 2 . (1)求证:f(x)0; (2)若 asinx x b 对 x 0, 2 恒成立,求 a 的最大值与 b 的最小值 答案 (1)略 (2)a 的最大值为2 ,b 的最小值为 1 解析 (1)证明:由 f(x)xcosxsinx,得 f(x)cosxxsinxcosxxsinx. 因为在区间 0, 2 上 f(x)xsinx0 时,“sinx x a”等价于“sinxax0”;“sinx x b”等价于“sinxbx0 对任意 x 0, 2 恒成立 当 c1 时,因为对任意 x 0, 2 ,g(x)cosxc0, 所以 g(x)在区间 0, 2 上单调递减,从而 g(x)g(0)0 对任意 x 0, 2 恒成立 当 0cg(0)0.进一步,“g(x)0 对任意 x 0, 2 恒成立” 当且仅当 g 2 1 2c0,即 00对任意x 0, 2 恒成立; 当且仅当c1时, g(x)0对任意x 0, 2 恒成立 所以,若 asinx x b 对任意 x 0, 2 恒成立,则 a 的最大值为2 ,b 的最小值为 1.


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