1、题组层级快练题组层级快练(十七十七) (第一次作业) 1函数 f(x)(x21)22 的极值点是( ) Ax1 Bx1 Cx1 或1 或 0 Dx0 答案 C 解析 f(x)x42x23， 由 f(x)4x34x4x(x1)(x1)0，得 x0 或 x1 或 x1. 又当 x1 时，f(x)0，当1x0，当 0x1 时，f(x)1 时，f(x)0， x0,1，1 都是 f(x)的极值点 2(2013 课标全国)已知函数 f(x)x3ax2bxc，下列结论中错误的是( ) Ax0R，f(x0)0 B函数 yf(x)的图像是中心对称图形 C若 x0是 f(x)的极小值点，则 f(x)在区间(，x0
2、)上单调递减 D若 x0是 f(x)的极值点，则 f(x0)0 答案 C 解析 x0是 f(x)的极小值点，则 yf(x)的图像大致如右图所示，则在(，x0)上不单调，故 C 不正 确 3设函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为 f(x)，且函数 f(x)在 x2 处取得极小值，则函数 yxf(x) 的图像可能是( ) 答案 C 解析 由 f(x)在 x2 处取得极小值可知， 当 x2 时，f(x)0； 当2x0，则 xf(x)0 时，xf(x)0. 4若函数 yax3bx2取得极大值和极小值时的 x 的值分别为 0 和1 3，则( ) Aa2b0 B2ab0 C2ab0 Da2b0 答案
3、D 解析 y3ax22bx，据题意，0，1 3是方程 3ax 22bx0 的两根，2b 3a 1 3，a2b0. 5若函数 f(x)x33bx3b 在(0,1)内有极小值，则( ) A0b1 Bb1 Cb0 Db1 2 答案 A 解析 f(x)在(0,1)内有极小值，则 f(x)3x23b 在(0,1)上先负后正，f(0)3b0. b0.f(1)33b0，b1. 综上，b 的取值范围为 0b1. 6 已知 f(x)2x36x2m(m 为常数)在2,2上有最大值 3， 那么此函数在2,2上的最小值是( ) A37 B29 C5 D以上都不对 答案 A 解析 f(x)6x212x6x(x2)， f
4、(x)在(2,0)上单调递增，在(0,2)上单调递减 x0 为极大值点，也为最大值点 f(0)m3，m3. f(2)37，f(2)5. 最小值是37，选 A. 7若函数 f(x)ax33x1 对于 x1,1总有 f(x)0 成立，则实数 a 的取值范围为( ) A2，) B4，) C4 D2,4 答案 C 解析 f(x)3ax23， 当 a0 时，f(x)minf(1)a20，a2，不合题意； 当 01 时，f(1)a40，且 f( 1 a) 2 a10，解得 a4.综上所述，a4. 8若函数 f(x)e x x，则( ) A仅有极小值 1 2e B仅有极大值 1 2e C有极小值 0，极大值
5、 1 2e D以上皆不正确 答案 B 解析 f(x)e x x 1 2 x e xex( x 1 2 x)e x 12x 2 x . 令 f(x)0，得 x1 2. 当 x1 2时，f(x)0；当 x0. x1 2时取极大值，f( 1 2) 1 e 1 2 1 2e. 9若 yalnxbx2x 在 x1 和 x2 处有极值，则 a_，b_. 答案 2 3 1 6 解析 ya x2bx1. 由已知 a2b10， a 24b10， 解得 a2 3， b1 6. 10若 f(x)x3ax2bxa2在 x1 处有极值 10，则 ab_. 答案 7 解析 由 x1 时，f(x)有极值 10 知，f(1)
6、10，f(1)0， 1aba210， 32ab0， 即 a4， b11 或 a3， b3. 当 a4，b11 时，f(x)x34x211x16， 得 f(x)3x28x11(3x11)(x1) 当 x(11 3 ，1)时，f(x)0，故当 x1 时，f(x)为极小值 当 a3，b3 时，f(x)3(x1)20，即 x1 时，不取极值，a3，b3 应舍去所以 ab 7. 11若 f(x)x(xc)2在 x2 处有极大值，则常数 c 的值为_ 答案 6 解析 f(x)3x24cxc2， f(x)在 x2 处有极大值， f20， fx2， fx0 x0)， 又 f(x)过点 P(1,0)，且在点 P
7、 处的切线斜率为 2， f10， f12， 即 1a0， 12ab2. 解得 a1，b3. (2)由(1)知，f(x)xx23lnx，其定义域为(0，)， g(x)2xx23lnx，x0. 则 g(x)12x3 x x12x3 x . 当 0x0；当 x1 时，g(x)7 且 b3 解析 (1)f(x)3x22ax3， f(x)在1，)上是增函数， f(x)0 在1，)上恒成立，即 3x22ax30 在1，)上恒成立 则必有a 31，且 f(1)2a0.a0. (2)依题意，f(1 3)0，即 1 3 2 3a30，a4. f(x)x34x23x. 令 f(x)3x28x30，得 x11 3，
8、x23. 则当 x 变化时，f(x)与 f(x)变化情况如下表： x 1 (1,3) 3 (3,4) 4 f(x) 0 f(x) 6 18 12 f(x)在1,4上的最大值是 f(1)6. (3)函数 g(x)有 3 个零点方程 f(x)bx0 有 3 个不相等的实根 即方程 x34x23xbx 有 3 个不等实根 x0 是其中一个根， 只需满足方程 x24x3b0 有两个非零不等实根 1643b0， 3b0. b7 且 b3. 故实数 b 的取值范围是 b7 且 b3. 14设 f(x) ex 1ax2，其中 a 为正实数 (1)当 a4 3时，求 f(x)的极值点； (2)若 f(x)为
9、R 上的单调函数，求实数 a 的取值范围 答案 (1)极小值点为 x13 2，极大值点为 x2 1 2 (2)(0,1 解析 对 f(x)求导得 f(x)ex 1ax22ax 1ax22 . (1)当 a4 3时，若 f(x)0，则 4x 28x30，解得 x 13 2，x2 1 2. 又当 x 变化时，f(x)和 f(x)的变化情况如下表： x (，1 2) 1 2 (1 2， 3 2) 3 2 (3 2，) f(x) 0 0 f(x) 极大值 极小值 x13 2是极小值点，x2 1 2是极大值点 (2)若 f(x)为 R 上的单调函数，则 f(x)在 R 上不变号结合(1)与条件 a0，知
10、 ax22ax10 在 R 上 恒成立，由 4a24a4a(a1)0，得 0a1. 即实数 a 的取值范围是(0,1 15(2014 福建)已知函数 f(x)exax(a 为常数)的图像与 y 轴交于点 A，曲线 yf(x)在点 A 处的切线 斜率为1. (1)求 a 的值及函数 f(x)的极值； (2)证明：当 x0 时，x2ex. 答案 (1)a2，极小值为 f(ln2)2ln4 (2)略 解析 (1)由 f(x)exax，得 f(x)exa. 又 f(0)1a1，得 a2. 所以 f(x)ex2x，f(x)ex2. 令 f(x)0，得 xln2. 当 xln2 时，f(x)0，f(x)单调递减； 当 xln2 时，f(x)0，f(x)单调递增 所以当 xln2 时，f(x)取得极小值， 且极小值为 f(ln2)eln22ln22ln4， f(x)无极大值 (2)令 g(x)exx2，则 g(x)ex2x， 由(1)得 g(x)f(x)f(ln2)0， 故 g(x)在 R 上单调递增又 g(0)10， 因此，当 x0 时，g(x)g(0)0，即 x2ex.
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