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    新高考题型:开放性问题《数列》

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    新高考题型:开放性问题《数列》

    1、 第 1 页(共 48 页) 新高考题型:解答题开放性问题(条件新高考题型:解答题开放性问题(条件 3 3 选选 1 1) 数列数列 1 已知公差不为 0 的等差数列 n a的首项 1 2a , 前n项和是 n S, 且_ ( 1 a,3a,7a成等比数列, (3) 2 n n n S , 8 16a ,任选一个条件填入上空) ,设 1 2n nn ba ,求数列 n b的前n项和 n T 2在 3 5a , 252 6aab; 2 2b , 343 3aab; 3 9S , 452 8aab,这三个条件中任选一个,补充在 下面问题中,并解答 已知等差数列 n a的公差为(1)d d ,前n项

    2、和为 n S,等比数列 n b的公比为q,且 11 ab,dq, (1)求数列 n a, n b的通项公式 (2)记 n n n a c b ,求数列 n c的前n项和 n T 3在等差数列 n a中,已知 6 12a , 18 36a (1)求数列 n a的通项公式 n a; (2)若_,求数列 n b的前n项和 n S 在 1 4 n nn b a a ,( 1)n nn ba ,2 n a nn ba这三个条件中任选一个补充在第(2)问中,并对其求解 4在 4 14S , 5 15S , 6 15S 三个条件中任选两个,补充到下面问题中,并解答 已知等差数列 n a的前n项和为 n S,

    3、满足: ,*nN (1)求 n S的最小值; (2)设数列 67 1 nn aa 的前n项和 n T,证明:1 n T 5从条件2(1) nn Sna, 1 (2) nnn SSa n ,0 n a , 2 2 nnn aaS中任选一个,补充到下面问题中, 并给出解答 已知数列 n a的前n项和为 n S, 1 1a ,_若 1 a, k a, 2k S 成等比数列,求k的值 第 2 页(共 48 页) 6在 35 5aa, 4 7S ; 2 43 n Snn; 42 514SS, 5 a是 3 a与 9 2 的等比中项,这三个条件中任选一个, 补充在下面问题中,然后解答补充完整的题目 已知

    4、n S为等差数列 n a的前n项和,若_ (1)求 n a; (2)记 222 1 n nn b aa ,求数列 n b的前n项和 n T 7已知 n a为等差数列, 1 a, 2 a, 3 a分别是表第一、二、三行中的某一个数,且 1 a, 2 a, 3 a中的任何两个数都不 在表的同一列 第一列 第二列 第三列 第一行 第二行 4 6 9 第三行 12 8 7 请从 1 2a , 1 1a , 1 3a 的三个条件中选一个填入上表,使满足以上条件的数列 n a存在;并在此存在的 数列 n a中,试解答下列两个问题 (1)求数列 n a的通项公式; (2)设数列 n b满足 12 ( 1)n

    5、 nn ba ,求数列 n b的前n项和 n T 8在 2 n Snn, 35 16aa, 35 42SS, 1 7 1, 56 n n an S an 这三个条件中任选一个补充在下面的问题 中,并加以解答 设等差数列 n a的前n项和为 n S, 数列 n b为等比数列, _, 12 112 , 2 a a ba b 求数列 1 n n b S 的前n项和 n T 9在 234 2aaa,22 nn Sa, 42 5SS三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答在已知等比 数列 n a的公比0q 前n项和为 n S,若 _,数列 n b满足 1 1 ,1 3 nnn ba bb (1)求数

    6、列 n a, n b的通项公式; (2)求数列 1 nnn a b b 的前n项和 n T,并证明 1 3 n T 第 3 页(共 48 页) 10在 1 31 nn SS , 21 1 ,213 9 nn aSa 这三个条件中选择两个,补充在下面问题中,并给出解答 已知数列 n a的前n项和为 n S, 满足_, _; 又知正项等差数列 n b满足 1 2b , 且 1 b, 2 1b , 3 b成等比数列 (1)求 n a和 n b的通项公式; (2)证明: 12 3 26 n bbb aaa 11给出以下三个条件: 数列 n a是首项为 2,满足 1 42 nn SS 的数列; 数列 n

    7、 a是首项为 2,满足 21 32() n n SR 的数列; 数列 n a是首项为 2,满足 1 32 nn Sa 的数列 请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整,并求解 设数列 n a的前n项和为 n S, n a与 n S满足_, 记数列 21222 logloglog nn baaa, 2 1 n nn nn c b b ,求数列 n c的前n项和 n T 12在 546 2abb, 3514 4()aabb, 2423 5b Sa b三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解答 设 n a是公比大于 0 的等比数列,其前n项和为 n S, n b是等差数列已知 1 1a ,

    8、3221 2SSaa, 435 abb, _ (1)求 n a和 n b的通项公式; (2)设 1 1223 3nnn Taba ba ba b,求 n T 13在 4 S是 2 a与 21 a的等差中项; 7 a是 3 3 S 与 22 a的等比中项;数列 2 n a的前 5 项和为 65 这三个条件中任选 一个,补充在横线中,并解答下面的问题 已知 n a是公差为 2 的等差数列,其前n项和为 n S,_ (1)求 n a; 第 4 页(共 48 页) (2)设 3 ( ) 4 n nn ba;是否存在kN,使得 27 8 k b ?若存在,求出k的值;若不存在,说明理由 14设数列 n

    9、a的前n项和为 n S, 1 1a ,_ 给出下列三个条件: 条件:数列 n a为等比数列,数列 1 n Sa也为等比数列;条件:点( n S, 1)n a 在直线1yx上;条件: 1 121 222 nn nn aaana 试在上面的三个条件中任选一个,补充在上面的横线上,完成下列两问的解答: (1)求数列 n a的通项公式; (2)设 2123 1 loglog n nn b aa ,求数列 n b的前n项和 n T 15在 2351 aaab, 237 2a aa, 3 15S 这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答 已知等差数列 n a的公差0d ,前n项和为 n S,若 _,

    10、数列 n b满足 1 1b , 2 1 3 b , 11nnnn a bnbb (1)求 n a的通项公式; (2)求 n b的前n项和 n T 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分 16在 53 AB, 122 114 aaB , 5 35B 这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答 已知等差数列 n a的公差为(0)d d ,等差数列 n b的公差为2d设 n A, n B分别是数列 n a, n b的前n项和, 且 1 3b , 2 3A ,_ (1)求数列 n a, n b的通项公式; (2)设 1 3 2 n a n nn c b b ,求数列 n c的前n项和 n

    11、S 17 535 abb, 3 87S 91012 aabb这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并给出解答 设等差数列 n a的前n项和为 n S, 数列 n b的前n项和为 n T, _,1 6 ab, 若对于任意 * nN都有21 nn Tb, 第 5 页(共 48 页) 且( nk SSk为常数) ,求正整数k的值 注:如果选择多个条件分别解答,那么按第一个解答计分 18在1, n a, n S成等差数列,递增等比数列 n a中的项 2 a, 4 a是方程 2 1090 xx的两根, 1 1a , 1 20 nn aa 这三个条件中任选一个, 补充在下面的问题中, 若问题中的k存在,

    12、 求k的值; 若k不存在, 说明理由 已 知数列 n a和等差数列 n b满足 _,且 14 ba, 223 baa,是否存在(320,)kkkN使得 k T是数列 n a 中的项?( n S为数列 n a的前n项和, n T为数列 n b的前n项和) 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分 19给出以下三个条件: 3 4a, 4 3a, 5 2a成等差数列;对于 * nN ,点( ,) n n S均在函数2xya的图象上, 其中a为常数; 3 7S 请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整,并求解 设 n a是一个公比为(0,1)q qq的等比数列,且它的首项 1 1a , (1

    13、)求数列 n a的通项公式; (2)令 * 2 2log1() nn banN,证明数列 1 1 nn b b 的前n项和 1 2 n T 20在 133 aab, 5 2a , 254 bSb 这三个条件中任选两个,补充在下面的问题中若问题中的m存 在,求出m的值;若不存在,请说明理由 等差数列 n a的前n项和为 n S, n b是各项均为正数的等比数列, , ,且 1 2b , 23 12bb是否存在 大于 2 的正整数m,使得 1 4S, 3 S, m S成等比数列? 21在 22 1 3(0) nnn aaa , 2 11 390 nnnn aa aa , 2 22 n Snn这三个

    14、条件中任选一个,补充在下面问 题中 已知:数列 n a的前n项和为 n S,且 1 1a , (1)求数列 n a的通项公式; 第 6 页(共 48 页) (2)对大于 1 的自然数n,是否存在大于 2 的自然数m,使得 1 a, n a, m a成等比数列若存在,求m的最小值; 若不存在,说明理由 22在21 nn Sb, 1 4(2) nn bbn , 1 2(2) nn bbn 这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问 题中的k存在,求出k的值;若k不存在,说明理由 已知数列 n a为等比数列, 1 2 3 a , 312 aa a,数列 n b的首项 1 1b ,其前n项和为 n

    15、S, ,是否存在k,使得 对任意*nN, nnkk a ba b恒成立? 23已知函数( )log( k f xx k为常数,0k 且1)k (1)在下列条件中选择一个 使数列 n a是等比数列,说明理由; 数列 () n f a是首项为 2,公比为 2 的等比数列; 数列 () n f a是首项为 4,公差为 2 的等差数列; 数列 () n f a是首项为 2,公差为 2 的等差数列的前n项和构成的数列 (2)在(1)的条件下,当2k 时,设 1 2 2 41 n nn a b n ,求数列 n b的前n项和 n T 24在 44 ab, 6 24S 这两个条件中任选一个,补充在下面问题中

    16、,若问题中的正整数k存在,求k的值; 若k不存在,请说明理由 设 n S为等差数列 n a的前n项和, n b是等比数列, , 15 ba, 3 9b , 6 243b 是否存在k,使得 1kk SS 且 1kk SS ? 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分 25设 3 3Ma , 2 2Na, 4 Ta,给出以下四种排序:M,N,T;M,T,N;N,T,M;T, N,M从中任选一个,补充在下面的问题中,解答相应的问题 已知等比数列 n a中的各项都为正数, 1 1a ,且_依次成等差数列 ()求 n a的通项公式; 第 7 页(共 48 页) ()设 ,01, 1 ,1, nn

    17、n n n aa b a a 数列 n b的前n项和为 n S,求满足100 nn Sb的最小正整数n 26已知数列 n a的前n项和为 n S, 1 1a , 1( 0 nn Spap 且1p , *) nN (1)求 n a的通项公式; (2)在 1k a , 3k a , 2k a 2k a , 1k a , 3k a 这两个条件中任选一个,补充在下面的问题中:对任意的正整数k, 若将 1k a , 2k a , 3k a 按_的顺序排列后构成等差数列,求p的值 27设 * nN,数列 n a的前n项和为 n S,已知 1 2 nnn SSa ,_ 请在 1 a, 2 a, 5 a成等比

    18、数列, 6 9a , 5 35S 这三个条件中任选一个补充在上面题干中,并解答下面问题 (1)求数列 n a的通项公式; (2)若数列 n b满足 1 ( 2)( 1) n an nn ba ,求数列 n b的前2n项的和 2n T 28 已知公差不为0的等差数列的首项 1 2a , 前n项和为 n S, 且 _ ( 1 a,2a,4a成等比数列; (3) 2 n n n S ; 9 26a 任选一个条件填入上空) 设3 n a n b , n n n a c b ,数列 n c的前n项和为 n T,试判断 n T与 1 3 的大小 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分 29在 2

    19、a, 3 a, 4 4a 成等差数列; 1 S, 2 2S , 3 S成等差数列; 1 2 nn aS 中任选一个,补充在下列的 问题中,并解答在各项均为正数等比数列 n a中,前n项和为 n S,已知 1 2a ,且 (1)求数列 n a的通项公式; (2)数列 n b的通项公式 1 2 11 n n nn b aa ,*nN,求数列 n b的前n项和 n T 第 8 页(共 48 页) 30在 36 Sa, 4 20S , 147 24aaa这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答 (注:如果 选择多个条件分别解答,则按第一个解答给分) 已知等差数列 n a的前n项和为 n S,满足

    20、 3 6a ,_ (1)求 n a的通项公式; (2)设2 n a nn ba,求 n b的前n项和 n T 31已知 n a是等差数列, n b是等比数列, 15 ba, 2 3b , 5 81b (1)求数列 n b的通项公式: (2)设数列 n a的前n项和为 n S,在 132 bba, 44 ab这两个条件中任选一个,补充在题干条件中,是否存 在k,使得 1kk SS 且 21kk SS ?若问题中的k存在,求k的值;着k不存在,说明理由 32已知等差数列 n a的公差为d,前n项和为 n S, 3 15S ,0 n a ,1d ,且_从“ 2 1a 为 1 1a 与 3 1a 的等

    21、比中项” , “等比数列 n b的公比 1 2 q , 12 ba, 33 ba”这两个条件中,选择一个补充在上面问题中的划线 部分,使得符合条件的数列 n a存在并作答 (1)求数列 n a的通项公式; (2)设数列 1 1 nn a a 的前n项和为 n T,求 n T 33在 3 12S , 21 23aa, 8 24a 这三个条件中任选一个,补充在下面问题中并作答 已知 n a是公差不为 0 的等差数列,其前n项和为 n S,_,且 1 a, 2 a, 4 a成等比数列 (1)求数列 n a的通项公式; (2)设数列 n b是各项均为正数的等比数列,且 21 ba, 44 ba,求数列

    22、 nn ab的前n项和 n T 34在 45 16aa; 3 9S ; 2 ( n Snr r为常数)这 3 个条件中选择 1 个条件,补全下列试题后完成解答 (选择多个条件并分别解答的按第 1 个评分) 第 9 页(共 48 页) 设等差数列 n a的前n项和为 n S,若数列 n a的各项均为正整数,且满足公差1d ,_ (1)求数列 n a的通项公式; (2)令21 n a n b ,求数列 n b的前n项的和 35已知 n a为等差数列,各项为正的等比数列 n b的前n项和为 n S,且 11 22ab, 28 10aa,_在 1() nn SbR; 4321 2aSSS;2() n

    23、a n bR 这三个条件中任选其中一个,补充在上面的横线上, 并完成下面问题的解答(如果选择多个条件解答,则按选择第一个解答计分) (1)求数列 n a和 n b的通项公式; (2)求数列 nn ab的前n项和 n T 36在5CA CB ,ABC的面积为3 3,这两个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解决该问题: 在ABC中,角A,B,C所对各边分别为a,b,c, 已知 sinsin 1 sinsinsinsin AC BCAB ,_,且1b (1)求ABC的周长; (2)已知数列 n a为公差不为 0 的等差数列,数列 n b为等比数列, 1cos 1aA ,且 11 ba, 23 ba

    24、, 37 ba若 数列 n c的前n项和为 n S,且 1 1 3 c , 1 1 1 n n nnn a c ba a 2n 证明: 11 6 n S 注:在横线上填上所选条件的序号,如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分 第 10 页(共 48 页) 新高考题型:解答题开放性问题(条件新高考题型:解答题开放性问题(条件 3 3 选选 1 1) 数列答案解析数列答案解析 1 已知公差不为 0 的等差数列 n a的首项 1 2a , 前n项和是 n S, 且_ ( 1 a,3a,7a成等比数列, (3) 2 n n n S , 8 16a ,任选一个条件填入上空) ,设 1 2n nn b

    25、a ,求数列 n b的前n项和 n T 解:设等差数列 n a的公差为d, 选:由 1 a, 3 a, 7 a成等比数列得 22 111 (6 )(2 )a adad, 化简得 2 0ddd,11 n dan , 于是 1 (1) 2n n bn , 21 21 3 24 2(1) 2n n Tn , 23 22 23 24 2(1) 2n n Tn, 相减得: 21 2222(1) 22 nnn n Tnn , 2n n Tn; 选: 1 312 2,1 22 nnn n nnn naSSn 时, 1n 时, 1 2a ,符合上式,1 n an, 下同; 选: 81 2 81 aa d ,2

    26、2(1)2 n ann, 2n n bn, 23 1 22 23 22n n Tn , 2341 21 22 23 22n n Tn , 相减得 23111 22222222 nnnn n Tnn , 1 (1) 22 n n Tn 2在 3 5a , 252 6aab; 2 2b , 343 3aab; 3 9S , 452 8aab,这三个条件中任选一个,补充在 下面问题中,并解答 已知等差数列 n a的公差为(1)d d ,前n项和为 n S,等比数列 n b的公比为q,且 11 ab,dq, 2 2b , 第 11 页(共 48 页) 343 3aab (1)求数列 n a, n b的

    27、通项公式 (2)记 n n n a c b ,求数列 n c的前n项和 n T 解: 选择 (1) 3 5a , 252 6aab, 11 ab,dq, 1 11 25 1 256 ad d ada d , 解得 1 1 2 a d 或 1 25 6 5 12 a d (舍去) , 1 1 2 b q , 1 (1)21 n ndn, 11 1 2 nn n bbq , (2) n n n a c b , 1 1 211 (21)( ) 22 n n n n cn , 221 1111 135( )(23)( )(21)( ) 2222 nn n Tnn , 231 111111 3 ( )5

    28、( )(23)( )(21)( ) 222222 nn n Tnn , 1 21 11 1( ) 1111111 22 12( )( )(21)( )12(21)( )3(23)( ) 1 2222222 1 2 n nnnn n Tnnn , 1 1 6(23)( ) 2 n n Tn 选择 2 2b , 343 3aab; (1)设 11 abt,1dq,由 2 2b , 343 3aab,可得2tq , 2 253tdtq, 又dq,解得2dq,1t , 可得12(1)21 n ann ; 1 2n n b ; (2) 1 1 (21) ( ) 2 nn n n a cn b , 前n项

    29、和 1 111 1135(21) ( ) 242 n n Tn , 11111 135(21) ( ) 22482 n n Tn, 第 12 页(共 48 页) 两式相减可得 2 11111 1 1( )(21) ( ) 22422 nn n Tn , 1 1 1 1 2 1(1) ( ) 1 2 1 2 n n n , 化简可得 1 1 6(23) ( ) 2 n n Tn 选择 3 9S, 452 8aab, 11 ab,dq,1d , 1 11 3 278 ad ada d , 解得 1 1 2 a d 或 1 21 8 3 8 a d (舍去) , 1 (1)21 n aandn, 1

    30、1 1 2 nn n bbq (2) 1 1 211 (21)( ) 22 nn nn n n an ccn b , 221 1111 135( )(23)( )(21)( ) 2222 nn n Tnn , 231 111111 3 ( )5( )(23)( )(21)( ) 222222 nn n Tnn , 1 21 11 1( ) 1111111 22 12( )( )(21)( )12(21)( )3(23)( ) 1 2222222 1 2 m nnnn n Tnnn , 1 1 6(23)( ) 2 n n Tn 3在等差数列 n a中,已知 6 12a , 18 36a (1)

    31、求数列 n a的通项公式 n a; (2)若_,求数列 n b的前n项和 n S 在 1 4 n nn b a a ,( 1)n nn ba ,2 n a nn ba这三个条件中任选一个补充在第(2)问中,并对其求解 解: (1)由题意,设等差数列 n a的公差为d,则 1 1 512 1736 ad ad ,解得 1 2 2 a d , 2(1)22 n ann,*nN 第 13 页(共 48 页) (2)方案一:选条件 由(1)知, 1 441 22(1)(1) n nn b a annn n , 12nn Sbbb 111 1 22 3(1)n n 11111 1 2231nn 1 1

    32、1n 1 n n 方案二:选条件 由(1)知,( 1)( 1) 2 nn nn ban , 12 2468( 1) 2 n nn Sbbbn , ( ) i当n为偶数时, 12nn Sbbb 2468( 1) 2 n n , ( 24)( 68) 2(1)2 nn 222 2 2 n n, ( )ii当n为奇数时,1n为偶数, 12nn Sbbb 2468( 1) 2 n n , ( 24)( 68) 2(2)2(1)2nnn 2222n 1 22 2 n n 1n , , 1,. n n n S nn 为偶数 为奇数 ; 第 14 页(共 48 页) 方案三:选条件 由(1)知, 2 222

    33、2 4 n ann nn bann, 123 12 2 44 46 424n nn Sbbbn , 231 42 44 42(1) 424 nn n Snn , 两式相减,可得 1231 32 42 42 42 424 nn n Sn 1211 8 (1444)24 nn n 1 14 824 14 n n n 1 2(13 )8 4 33 n n 1 2(31)8 4 99 n n n S 4在 4 14S , 5 15S , 6 15S 三个条件中任选两个,补充到下面问题中,并解答 已知等差数列 n a的前n项和为 n S,满足: ,*nN (1)求 n S的最小值; (2)设数列 67

    34、1 nn aa 的前n项和 n T,证明:1 n T 解: (1)若选择; 由题知: 665 0aSS, 又因为 15 53 5() 515 2 aa Sa ,所以 3 3a 所以 63 33daa,解得1d 所以 6 (6)6 n aann 所以 12567 0aaaaa, 所以 65 15 n SSS 若选择; 由题知: 554 1aSS , 又因为 15 53 5() 515 2 aa Sa , 第 15 页(共 48 页) 所以 3 3a 所以 53 22daa,1d 所以 3 (3)6 n aandn 所以 12567 0aaaaa, 所以 65 15 n SSS 若选择; 由题知:

    35、 16 6 6() 15 2 aa S ,所以 161 255aaad 由题知: 14 4 4() 14 2 aa S ,所以 141 237aaad 所以 1 5a ,1d 所以6 n an 所以 12567 0aaaaa, 所以 65 15 n SSS 证明(2)因为6 n an, 所以 67 1111 (1)1 nn aan nnn 所以 111111 111 22311 n T nnn 5从条件2(1) nn Sna, 1 (2) nnn SSa n ,0 n a , 2 2 nnn aaS中任选一个,补充到下面问题中, 并给出解答 已知数列 n a的前n项和为 n S, 1 1a ,

    36、_若 1 a, k a, 2k S 成等比数列,求k的值 解:选择2(1) nn Sna, 11 2(2) nn Sna ,相减可得: 11 2(2)(1) nnn anana , 1 1 nn aa nn , 1 1 1 n aa n ,可得: n an 2 (2)(12)(2)(3) 22 k kkkk S 1 a, k a, 2k S 成等比数列, 2 12kk aa S , 2 (2)(3) 2 kk k , * kN,解得6k 第 16 页(共 48 页) 选择 1 (2) nnn SSan ,变形得: 1111 ()() nnnnnnnn SSSSSSSS ,0 n S ,化为:

    37、1 1 nn SS , 数列 n S是等差数列,首项为 1,公差为 111 n Snn ,解得 2 n Sn 2n 时, 22 1 (1)21 nnn aSSnnn 2 (2)(123) (2)(2) 2 k kk Skk 1 a, k a, 2k S 成等比数列, 2 12kk aa S , 22 (21)(2)kk, * kN,解得3k 选 择 0 n a , 2 2 nnn aaS, 2 111 2 nnn aaS , 相 减 可 得 : 22 111 2 nnnnn aaaaa , 化 为 : 11 ()(1)0 nnnn aaaa , 可得: 1 1 nn aa , 数列 n a是首

    38、项与公差都为 1 的等差数列, 11 n ann (1) 2 n n n S , 1 a, k a, 2k S 成等比数列, 2 12kk aa S , 2 (2)(12) 2 kk k , * kN,解得6k 6在 35 5aa, 4 7S ; 2 43 n Snn; 42 514SS, 5 a是 3 a与 9 2 的等比中项,这三个条件中任选一个, 补充在下面问题中,然后解答补充完整的题目 已知 n S为等差数列 n a的前n项和,若_ (1)求 n a; (2)记 222 1 n nn b aa ,求数列 n b的前n项和 n T 解: (1)选择条件:设等差数列 n a的公差为d, 则

    39、 1 1 265, 4 3 47, 2 ad ad 解得 1 1, 1 , 2 a d 第 17 页(共 48 页) 1 2 n n a ,*nN; 选择条件: 2 43 n Snn, 当2n时, 22 1 4443(1)3(1)22 nnn aSSnnnnn 即 1( 2) 2 n n an , 当1n 时, 2 11 13 1 1 4 aS ,也适合上式, 1 2 n n a ,*nN; 选择条件:设等差数列 n a的公差为d, 则 11 2 11 5(46 )14(2), 9 (4 )(2 ), 2 adad adad , 解得 1 1a , 1 2 d ,或 1 0a ,0d ,不合题

    40、意,舍去, 1 2 n n a ,*nN; (2)由(1)可知, 222 1411 2() (21)(23)2123 n nn b aannnn , 12 111111 2() 35572123 nn Tbbb nn 114 2() 32369 n nn 7已知 n a为等差数列, 1 a, 2 a, 3 a分别是表第一、二、三行中的某一个数,且 1 a, 2 a, 3 a中的任何两个数都不 在表的同一列 第一列 第二列 第三列 第一行 第二行 4 6 9 第三行 12 8 7 请从 1 2a , 1 1a , 1 3a 的三个条件中选一个填入上表,使满足以上条件的数列 n a存在;并在此存在

    41、的 数列 n a中,试解答下列两个问题 (1)求数列 n a的通项公式; (2)设数列 n b满足 12 ( 1)n nn ba ,求数列 n b的前n项和 n T 第 18 页(共 48 页) 解: (1)若选择条件 1 2a ,则放在第一行的任何一列,满足条件的等差数列 n a都不存在, 若选择条件 1 1a ,则放在第一行的第二列,结合条件可得 1 1a , 2 4a , 3 7a ,则32 n an,则*nN, 若选择条件 1 3a ,则放在第一行的任何一列,结满足条件的等差数列 n a都不存在, 综上可得32 n an,则*nN, (2)由(1)知, 12 ( 1)(32) n n

    42、bn , 当n为偶数时, 222222 12312341nnnn Tbbbbaaaaaa , 1212343411 ()()()()()() nnnn aaaaaaaaaaaa , 2 123 (132)93 3()3 222 n nn aaaann , 当n为奇数时, 222 1 9393 (1)(1)(32)2 2222 nnn TTbnnnnn , 2 2 93 , 22 93 2, 22 n nn n T nnn 为偶数 为奇数 8在 2 n Snn, 35 16aa, 35 42SS, 1 7 1, 56 n n an S an 这三个条件中任选一个补充在下面的问题 中,并加以解答

    43、设等差数列 n a的前n项和为 n S, 数列 n b为等比数列, _, 12 112 , 2 a a ba b 求数列 1 n n b S 的前n项和 n T 解:选: 当1n 时, 11 2aS,当2n时, 1 2 nnn aSSn ,又1n 满足2 n an,所以2 n an设 n b的公比为q, 又因为 12 12112 2,4, 2 a a aaba b由,得 1 2b ,2q ,所以2n n b ; 由数列 n b的前n项和为 1 1 22 22 12 n n ,又可知 2 11111 (1)1 n Snnn nnn , 数列 1 n S 的前n项和为 111111 11 2231

    44、1nnn , 故 11 11 22121 11 nn n T nn 第 19 页(共 48 页) 选: 设公差为d,由 1 3535 1 2616, 16,42, 81342, ad aaSS ad 得解得 1 2, 2, a d 所以 2 2 , nn an Snn 设 n b的公比为q, 又因为 12 12112 2,4, 2 a a aaba b由, 得 1 2b ,2q , 所以2n n b 由数列 n b的前n项和为 1 1 22 22 12 n n ,又可知 2 11111 (1)1 n Snnn nnn ,数列 1 n S 的前n项和为 111111 11 22311nnn ,故

    45、 11 11 22121 11 nn n T nn 选: 由 111 1 1, , 11 nnnn n n aaaaan aa n annnn 得所以即, 741 72856Saa,所以 1 2a ,所以 2 2 , nn an Snn 设 n b的公比为q, 又因为 12 12112 2,4, 2 a a aaba b由,得 1 2,2,2n n bqb所以 由数列 n b的前n项和为 1 1 22 22 12 n n ,又可知 2 11111 (1)1 n Snnn nnn , 数列 1 n S 的前n项和为 111111 11 22311nnn , 故 11 11 22121 11 nn

    46、 n T nn 9在 234 2aaa,22 nn Sa, 42 5SS三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答在已知等比 数列 n a的公比0q 前n项和为 n S,若 _,数列 n b满足 1 1 ,1 3 nnn ba bb (1)求数列 n a, n b的通项公式; (2)求数列 1 nnn a b b 的前n项和 n T,并证明 1 3 n T 解: (1)若选择 234 2aaa,可得 23 111 2aqaqaq, 化为 2 20qq, 解得2( 1q 舍去) , 又因为1 nnn a bb, 1 1 3 b , 解得 1 2a , 所以2n n a , 11 112 n n n b a ; 选择22 nn Sa,可得 111 22aSa,解得 1 2a ,又 1222 22aa


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