1、高考调研高考调研 第第1页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 高考调研高考调研 第第2页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 第第1课时课时 两个计数原理两个计数原理 高考调研高考调研 第第3页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 1理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理 2会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解 决一些简单的实
2、际问题 请注意 两个计数原理是解决排列、组合问题的基本方法，同时 又能独立地解决一些简单的计数问题，在本章中占有十分重 要的地位因此它是高考中必考的一个知识点 高考调研高考调研 第第4页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 课前自助餐课前自助餐 授授人以渔人以渔 自助餐自助餐 题组层级快练题组层级快练 高考调研高考调研 第第5页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 课前自助餐课前自助餐 高考调研高考调研 第第6页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理
3、） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 1分类计数原理的推广 完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的 方法，在第2类办法中有m2种不同的方法在第n类办法中 有mn种不同的办法，那么完成这件事共有N_ 种不同的方法 m1m2mn 高考调研高考调研 第第7页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 2分步计数原理的推广 完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的 方法，做第2步有m2种不同的方法做第n步有mn种不同的 方法，那么完成这件事共有N 种不同的方 法 m1m2mn 高
4、考调研高考调研 第第8页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 1教学大楼共有4层，每层都有东西两个楼梯，由一层 到4层共有走法种数为( ) A6 B23 C42 D44 答案 B 解析 由一层到二层有2种选择，二层到三层有2种选 择，三层到四层有2种选择，由分步计数原理可知走法种数 为238. 高考调研高考调研 第第9页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 2已知1,2X1,2,3,4,5，满足这个关系式的集合X 共有( ) A2个 B6个 C4个 D
5、8个 答案 D 解析 由题意知集合 X 中的元素 1,2 必取， 另外， 从 3,4,5 中可以不取，取 1 个，取 2 个，取 3 个故有 C0 3C 1 3C 2 3 C3 38. 高考调研高考调研 第第10页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 3若集合P1,2,3，Q2,3,4,5，定义PQ(a， b)|aP，bQ，则集合PQ中元素的个数为( ) A4 B6 C12 D20 答案 C 解析 确定集合PQ中元素(a，b)需要分两步： 第一步：确定a，有3种不同方法； 第二步：确定b，有4种不同方法 由分步计数原理可知
6、元素个数有3412(个) 选C 高考调研高考调研 第第11页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 4(2015衡水调研卷)为了应对乌克兰危机，俄罗斯天 然气公司决定从10名办公室工作人员中裁去4人，要求甲、乙 二人不能全部裁去，则不同的裁员方案的种数为_ 答案 182 解析 甲、乙中裁一人的方案有 C1 2C 3 8种，甲、乙都不裁 的方案有 C4 8种，故不同的裁员方案共有 C 1 2C 3 8C 4 8182 种 高考调研高考调研 第第12页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章
7、 计数原理和概率计数原理和概率 5(2015上海普陀区期末)2015年上海春季高考有8所高 校招生，如果某3位同学恰好被其中2所高校录取，那么录取 方法的种数为_ 答案 168 解析 分步考虑：从 8 所高校中选 2 所，有 C2 8种选法； 依题意必有 2 位同学被同一所学校录取，则有 C2 3C 1 2种录取方 法； 另一位同学被剩余的一所学校录取 所以共有 C2 8 C 2 3 C 1 2 168 种录取方法 高考调研高考调研 第第13页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 授人以渔授人以渔 高考调研高考调研 第第1
8、4页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 例1 (1)全体两位数中，个位数字大于十位数字的两位数 共有多少个？ 【 解 析 】 方 法 一 按 十 位 数 上 的 数 字 分 别 是 1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两 位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个 由分类加法计数原理知，符合题意的两位数的个数共 有： 8765432136(个) 题型一题型一 两个计数原理两个计数原理 高考调研高考调研 第第15页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复
9、习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 方法二 按个位数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类，在每一类 中满足条件的两位数分别是1个，2个，3个，4个，5个，6 个，7个，8个，所以按分类加法计数原理共有： 1234567836(个) 【答案】 36 高考调研高考调研 第第16页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 (2)已知a1,2,3，b0,1,3,4，r1,2，则方程(x a)2(yb)2r2所表示的不同的圆的个数有_ 【解析】 a1,2,3，a有3种方法，同理b的取 法有4种，r有2种，又只有a，b，
10、r依次确定后，才能确定圆， 共有34224个不同的圆 【答案】 24 高考调研高考调研 第第17页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 探究1 利用两个计数原理解题，必须类步分明，依实际 问题是分类，还是分步，必须由题而定如(1)题中完成这件 事分4类即可；(2)题中完成这件事，需分三步，这三步完成后 这件事才算告终 高考调研高考调研 第第18页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 (1)设x，yN*，直角坐标平面中的点为 P(x，y) 若xy6，这样
11、的P点有_个 若1x4,1y5，这样的P点又有_个 【解析】 当x1,2,3,4,5时，y值依次有5,4,3,2,1个， 不同P点共有5432115(个) x有1,2,3,4这4个不同值，而y有1,2,3,4,5这5个不同值， 共有不同P点4520(个) 【答案】 15 20 思考题思考题1 高考调研高考调研 第第19页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 (2)设集合M3，2，1,0,1,2，P(a，b)是坐标平 面上的点，a，bM，P可以表示 平面上多少个不同的点？ 第二象限内的多少个点？ 不在直线yx上的多少个点？
12、【思路】 要确定平面上点的坐标，需确定横纵坐标， 可分两步完成，需用分步计数原理 高考调研高考调研 第第20页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 【解析】 分两步：第一步，确定横坐标6种方法，第 二步确定纵坐标有6种方法，根据分步计数原理得N66 36. 分两步；第一步确定横坐标(小于0)有3种方法；第二步 确定纵坐标(大于0)有2种方法，根据分步计数原理得N32 6. 分两步：第一步确定横坐标有6种方法；第二步确定纵 坐标有5种方法根据分步计数原理得N6530. 【答案】 36 6 30 高考调研高考调研 第第21页页
13、 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 例2 (1)春回大地，大肥羊学校的春季运动会正在如火如 荼地进行，喜羊羊、懒羊羊、沸羊羊、暖羊羊4只小羊要争夺 5项比赛的冠军，则有_种不同的夺冠情况 【答案】 45 高考调研高考调研 第第22页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 (2)5名旅客投宿到一个旅店的3个房间，问共有多少种不 同的住店方法？ 【解析】 安排第1名旅客有3个房间(3种方法) 安排第2名旅客也有3个房间(3种方法)，. 共有3333335(种
14、)不同的住店方法 【答案】 35 高考调研高考调研 第第23页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 探究2 解决计数问题时一定要明确研究的对象是什么？ 怎样才能完成计数，本题给出解决此类问题的一种方法：住 店法 高考调研高考调研 第第24页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 (1)三封信投入到4个不同的信箱中，共 有_种不同的投法 【解析】 方法一：只要三封信都投进了信箱，这件事 就算完成，故分三步： 第一步，将第一封信投进信箱，有4种方法 第二步，
15、将第二封信投进信箱，有4种方法 第三步，将第三封信投进信箱，有4种方法 由分步计数原理得共有44464种不同投法 方法二：本题相当于3个人住4间店 【答案】 64 思考题思考题2 高考调研高考调研 第第25页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 (2)动物园的一个大笼子里，有4只老虎，3只羊，同一只 羊不能被不同的老虎分食，问老虎将羊吃光的情况有多少 种？ 【解析】 方法一：因为3只羊都被吃掉，故应分为三 步，逐一考虑每只羊都可能被4只老虎中的一只吃掉，故有 4种可能，按照分步乘法计数原理，故有4444364 种 方法二：
16、本题相当于3个人住4间店 【答案】 64 高考调研高考调研 第第26页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 例3 (1)(2013山东理)用0,1，9十个数字，可以组成 有重复数字的三位数的个数为( ) A243 B252 C261 D279 【解析】 由分步乘法计数原理知：用0,1，9十个数 字组成三位数(可有重复数字)的个数为91010900，组成 没有重复数字的三位数的个数为998648，则组成有重 复数字的三位数的个数为900648252，故选B. 【答案】 B 题型二题型二 两个原理的应用两个原理的应用 高考调研
17、高考调研 第第27页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 (2)7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益 活动若每天安排3人，则不同的安排方案共有_ 种(用数字作答) 【解析】 解题的步骤为：先选人，再打包，再分天 结果为 C6 7C 3 6C 3 3140. 【答案】 140 高考调研高考调研 第第28页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 探究3 在解决实际问题的过程中，并不一定是单一的分 类或分步，而是可能同时应用两个计数原理，即分类时，
18、每 类的方法可能要运用分步完成，而分步时，每步的方法可能 会采取分类的思想求另外，具体问题是先分类后分步，还 是先分步后分类，应视问题的特点而定解题时经常是两个 原理交叉在一起使用，分类的关键在于要做到“不重不 漏”，分步的关键在于要正确设计分步的程序，即合理分 类，准确分步 高考调研高考调研 第第29页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 (1)某校开设A类选修课3门，B类选修课4 门，一位同学从中共选3门若要求两类课程中各至少选一 门，则不同的选法共有( ) A30种 B35种 C42种 D48种 思考题思考题3 高考
19、调研高考调研 第第30页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 【解析】 方法一：分两种情况：2 门 A,1 门 B，有 C2 3C 1 412 种选法；1 门 A,2 门 B 有 C 1 3C 2 43618 种， 共有 121830 种选法 方法二：排除法：A 类 3 门，B 类 4 门，共 7 门，选 3 门，A，B 各至少选 1 门，有 C3 7C 3 3C 3 4351430 种 选法故选 A. 【答案】 A 高考调研高考调研 第第31页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章
20、 计数原理和概率计数原理和概率 (2)若将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行 的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方 法共有( ) A12种 B18种 C24种 D36种 【解析】 由分步乘法计数原理，先排第一列，有 A3 3种 方法，再排第二列，有 2 种方法，故共有 A3 3212 种排列 方法，选 A. 【答案】 A 高考调研高考调研 第第32页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 例4 如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着 色，若要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选 择
21、，则不同的着色方法共有_种(用数字作答) 高考调研高考调研 第第33页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 【解析】 方法一：区域 1 有 C1 4种着色方法； 区域 2 有 C1 3种着色方法；区域 3 有 C 1 2种着色方法； 区域 4,5 有 3 种着色方法(4 与 2 同色有 2 种， 4 与 2 不同 色有 1 种) 共有 432372 种不同着色方法 高考调研高考调研 第第34页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 方法二：本小题在各类资
22、料上都能找到影子，但所给图 形变化后，需要有敏锐的观察力本题能较深刻地测试逻辑 思维能力 因区域1与其他四个区域都相邻，宜先考虑区域1有4种 涂法若区域2,4同色，有3种涂色，此时区域3,5均有两种涂 法，涂法总数为432248种；若区域2,4不同色，先涂 区域2有3种方法，再涂区域4有2种方法此时区域3,5也都只 有1种涂法，涂法总数为4321124种因此涂法共 有482472种 【答案】 72 高考调研高考调研 第第35页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 探究4 做为两个计数原理应用之一的“涂色问题”，曾 是高考的
23、热点，解决此类问题体现了两个原理的精髓 高考调研高考调研 第第36页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 若给一个各边不等的凸五边形的各边染 色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允 许相邻的边有相同的颜色，则不同的染色方法共有_ 种 【解析】 方法一：如图，染五条边总体分五步，染每 一边为一步 思考题思考题4 高考调研高考调研 第第37页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 当染边1时有3种染法，则染边2有2种染法 (1)当3与1同色时有
24、1种染法，则4有2种，5有1种，此时染 法总数为3212112(种) (2)当3与1不同色时，3有1种，当4与1同色时，4有1 种，5有2种；当4与1不同色时，4有1种，5有1种则此时 有321(1211)18(种) 综合(1)、(2)，由分类加法计数原理，可得染法的种数为 30种 高考调研高考调研 第第38页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 方法二：通过分析可知，每种色至少要涂 1 次，至多只 能涂 2 次，即有一色涂 1 次，剩余两种颜色各涂 2 次一次 的有 C1 3C 1 5种涂法，涂 2 次的有 2 种涂法，
25、故一共有 2C 1 3C 1 5 30 种涂法 【答案】 30 高考调研高考调研 第第39页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 对于分类计数原理，要重点抓住“类”字，应用时要注 意“类”及“类”之间的独立性和并列性，对于分步计数原 理，要重点抓住“步”字，应用时要注意“步”与“步”之 间的相依性和连续性，对于稍复杂问题，常常结合相关知识 混合使用两个计数原理 高考调研高考调研 第第40页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 自助餐自助餐 高考调研高考
26、调研 第第41页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 1从1到10的正整数中，任意抽取两个相加所得和为奇 数的不同情形的种数是( ) A10 B15 C20 D25 答案 D 解析 当且仅当偶数加上奇数后和为奇数，从而不同情 形有5525(种) 高考调研高考调研 第第42页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 2从集合1,2,3，10中任意选出三个不同的数，使 这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为( ) A5 B4 C6 D8 答案 D 解析 分
27、类考虑，当公比为 2 时，等比数列可为 1,2,4； 2,4,8，当公比为 3 时，可为 1,3,9，当公比为3 2时，可为 4,6,9， 将以上各数列颠倒顺序时， 也是符合题意的， 因此， 共有 42 8 个 高考调研高考调研 第第43页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 3(2014安徽理)从正方体六个面的对角线中任取两条 作为一对，其中所成的角为60的共有( ) A24对 B30对 C48对 D60对 答案 C 解析 先找出正方体一个面上的对角线与其余面对角线 成60角的对数，然后根据正方体六个面的特征求解 高考调
28、研高考调研 第第44页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，与面对角线 AC 成 60 角的面对角线有 B1C，BC1，A1D，AD1，AB1，A1B，D1C， DC1，共 8 条，同理与 DB 成 60 角的面对角线也有 8 条因 此一个面上的 2 条面对角线与其相邻的 4 个面上的 8 条对角 线共组成 16 对又正方体共有 6 个面，所以共有 166 96(对) 又因为每对被计算了 2 次， 因此成 60 的面对角线有1 2 9648(对) 高考调研高考调研 第第45页页
29、新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 4在一宝宝“抓周”的仪式上，他面前摆着2件学习用 品，2件生活用品，1件娱乐用品，若他可抓其中的两件物 品，则他抓的结果有_种 答案 10 解析 设学习用品为a1，a2；生活用品为b1，b2，娱乐用 品为c，则结果有：(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，c)， (a2，b1)，(a2，b2)，(a2，c)，(b1，b2)，(b1，c)，(b2，c)，共 10种 高考调研高考调研 第第46页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计
30、数原理和概率计数原理和概率 5已知数列an是公比为q的等比数列，集合Aa1， a2，a10，从A中选出4个不同的数，使这4个数成等比数 列，这样得到4个数的不同的等比数列的个数为_ 答案 24 高考调研高考调研 第第47页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 解析 当公比为 q 时，满足题意的等比数列有 7 种，当 公比为1 q时，满足题意的等比数列有 7 种，当公比为 q 2 时， 满足题意的等比数列有 4 种，当公比为 1 q2时，满足题意的等 比数列有 4 种， 当公比为 q3时， 满足题意的等比数列有 1 种， 当
31、公比为 1 q3时，满足题意的等比数列有 1 种，因此满足题意 的等比数列共有 77441124(种) 高考调研高考调研 第第48页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 6.用红黄蓝三种颜色给如图所示的六连圆涂色，若每种颜 色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同 的涂色方案共有_种 答案 30 高考调研高考调研 第第49页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 解析 由题意知每种颜色涂两个圆，共有 5 类，每类 A3 3 种涂法，所以总数为 5A3 330. 注：将六圆依次编号， 可分如下 5 类：， ， ， ， ，. 高考调研高考调研 第第50页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 题组层级快练题组层级快练
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