1、高考调研高考调研 第第1页页 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 专题研究专题研究 排列组合的综合应用排列组合的综合应用 高考调研高考调研 第第2页页 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 专题讲解专题讲解 题组层级快练题组层级快练 自助餐自助餐 高考调研高考调研 第第3页页 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 专题讲解专题讲解 高考调研高考调研 第第4页页 第十章第十章 计数原理和概率计
2、数原理和概率 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 排列组合中的几何问题依然是利用两个基本原理求解， 并注意到分类的不重不漏 例1 (1)平面上有9个点，其中有4个点共线，除此外无3 点共线 用这9个点可以确定多少条直线？ 用这9个点可以确定多少个三角形？ 用这9个点可以确定多少个四边形？ 题型一题型一 几何问题几何问题 高考调研高考调研 第第5页页 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 【解析】 确定一条直线需要两个点，因为有 4 个点 共线，所以这 9 个点所确定直线的条数为 C2 9C 2 413
3、1. 确定一个三角形需要三个不共线的点，所以这 9 个点 确定三角形的个数为 C3 9C 3 480. 确定一个四边形需要四个不共线的点，所以这 9 个点 确定四边形的个数为 C4 9C 1 5C 3 4C 4 4105. 【答案】 31 80 105 高考调研高考调研 第第6页页 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 (2)在正方体的八个顶点中取三点连成三角形，可构成 _个等腰直角三角形 【答案】 24 高考调研高考调研 第第7页页 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复
4、习高三总复习 (1)平面内有n条直线任意两条都相交， 任意三条都不交于一点，则这n条直线的交点的个数为( ) 思考题思考题1 An(n1) B(n1)(n2) C.nn1 2 D.n1n2 2 【解析】 这 n 条直线交点的个数为 C2 nnn1 2 . 【答案】 C 高考调研高考调研 第第8页页 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 (2)四面体的顶点和各棱中点共10个点，若在其中取4个不 共面的点，则不同的取法共有多少种？ 【解析】 方法一：从 10 个点中，任意取 4 个点的不同 取法共有 C4 10种，其中，所取 4
5、个点共面的可分为两类第一 类，四个点同在四面体的一个面上，共有 4C4 6种取法 高考调研高考调研 第第9页页 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第二类，四个点不同在四面体的一个面上，又可分为两 种情形：4 个点分布在不共面的两条棱上，这只能是恰有 1 个点是某棱的中点，另 3 点在对棱上，因为共有 6 条棱，所 以有 6 种取法；4 个点所在的不共面的棱不止两条，这时， 4 个点必然都是棱的中点，它们所在的 4 条棱必然是空间四 边形的四条边，故有 3 种不同取法所以符合题意的不同取 法种数为 C4 10(4C 4 66
6、3)141. 高考调研高考调研 第第10页页 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 方法二：在四面体中取定一个面，记为 ，那么取不共 面的 4 个点，可分为四类第一类，恰有 3 个点在 上这 时，该 3 点必然不在同一条棱上，因此，4 个点的不同取法 数为 4(C3 63)68.第二类，恰有 2 个点在 上，可分两种情 形：该 2 点在同一条棱上，这时 4 个点的不同取法数为 3C2 3 (C 2 43)27；该 2 点不在同一条棱上，这时 4 个点的 不同取法数为(C2 63C 2 3)(C 2 41)30. 高考调研高考调
7、研 第第11页页 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第三类，恰有1个点在上，可分两种情形：该点是棱 的中点，这时4个点的不同取法数为339；该点不是棱 的中点，这时4个点的不同取法数为326.第四类，4个点都 不在上，只有1种取法应用分类计数原理，得所求的不同 取法数为682730961141. 【答案】 141 高考调研高考调研 第第12页页 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 均匀分组与不均匀分组、无序分组与有序分组是组合问 题的常见题型解决此类问题
8、的关键是正确判断分组是均匀 分组还是不均匀分组，无序均匀分组要除以均匀组数的阶乘 数；还要充分考虑到是否与顺序有关，有序分组要在无序分 组的基础上乘以分组数的阶乘数 题型二题型二 分组分配问题分组分配问题 高考调研高考调研 第第13页页 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 例2 按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的 分配方式？ (1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本； (2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3 本； (3)平均分成三份，每份2本； (4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本； (5
9、)分成三份，1份4本，另外两份每份1本； 高考调研高考调研 第第14页页 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 (6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1 本； (7)甲得1本，乙得1本，丙得4本 【思路】 这是一个分配问题，解题的关键是搞清事件 是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计 数的重复或遗漏 高考调研高考调研 第第15页页 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 【解析】 (1)无序不均匀分组问题，先选 1 本有 C1 6种选
10、法；再从余下的 5 本中选 2 本有 C2 5种选法；最后余下 3 本全 选有 C3 3种方法，故共有 C 1 6C 2 5C 3 360 种 (2)有序不均匀分组问题由于甲、乙、丙是不同的三人， 在第(1)题基础上， 还应考虑再分配， 共有 C1 6C 2 5C 3 3A 3 3360 种 高考调研高考调研 第第16页页 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 (3)无序均匀分组问题 先分三步， 则应是 C2 6C 2 4C 2 2种方法， 但是这里出现了重复不妨记 6 本书为 A，B，C，D，E，F， 若第一步取了 AB，第
11、二步取了 CD，第三步取了 EF，记该种 分法为(AB， CD， EF)， 则 C2 6C 2 4C 2 2种分法中还有(AB， EF， CD)， (CD，AB，EF)，(CD，EF，AB)，(EF，CD，AB)，(EF，AB， CD)，共 A3 3种情况，而这 A 3 3种情况仅是 AB，CD，EF 的顺序 不同， 因此只能作为一种分法， 故分配方式有C 2 6C 2 4C 2 2 A3 3 15 种 高考调研高考调研 第第17页页 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 (4)有序均匀分组问题， 在第(3)题基础上再分配给3
12、个人， 共有分配方式C 2 6C 2 4C 2 2 A3 3 A3 3C 2 6C 2 4C 2 290 种 (5)有序部分均匀分组问题，共有C 4 6C 1 2C 1 1 A2 2 15 种 (6)有序部分均匀分组问题在第(5)题基础上再分配给 3 个人，共有分配方式C 4 6C 1 2C 1 1 A2 2 A3 390 种 高考调研高考调研 第第18页页 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 【答案】 (1)60 (2)360 (3)15 (4)90 (5)15 (6)90 (7)30 (7)直接分配问题甲选 1 本有 C
13、1 6种方法，乙从余下 5 本 中选 1 本有 C1 5种方法，余下 4 本留给丙有 C 4 4种方法，共有 C1 6C 1 5C 4 430 种 高考调研高考调研 第第19页页 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 (1)将6位志愿者分成4组，其中两个组各 2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不 同的分配方案有_种(用数字作答) 思考题思考题2 【解析】 6 位志愿者分成四组有C 2 6C 2 4C 1 2 A2 2 A 2 2 45 种方案， 四组分赴四个不同场馆有 A4 424 种方案， 因此不同的分配方
14、 案有C 2 6C 2 4C 1 2 A2 2 A 2 2 A4 41 080 种 【答案】 1 080 高考调研高考调研 第第20页页 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 (2)6名运动员分到4所学校去做教练，每校至少1人，有多 少种不同的分配方法？ 【解析】 人员分配有两类：1,1,1,3 或 1,1,2,2.先取人， 后取位子 1,1,1,3：6 人中先取 3 人有 C3 6种取法，与剩余 3 人分到 4 所学校去有 A4 4种不同分法，共 C 3 6A 4 4种分法； 高考调研高考调研 第第21页页 第十章第十章 计
15、数原理和概率计数原理和概率 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 1,1,2,2：6 人中取 2 人、2 人、1 人、1 人的取法有C 2 6C 2 4C 1 2 A2 2A 2 2 种，然后分到 4 所学校去，有 A4 4种不同的分法，共C 2 6C 2 4C 1 2 A2 2A 2 2 A4 4 种分法 所以符合条件的分配方法有 C3 6A 4 4C 2 6C 2 4C 1 2 A2 2A 2 2 A4 41 560 种 【答案】 1 560 高考调研高考调研 第第22页页 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复
16、习高三总复习 例3 8个相同的小球放入5个不同盒子中，每盒不空的放 法共有_种 题型三题型三 名额分配问题名额分配问题(隔板法隔板法) 高考调研高考调研 第第23页页 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 【解析】 一共有 8 个相同的小球，放入 5 个不同的盒 子，每个盒子不空，即将小球分成 5 份，每份至少 1 个(定 分数) 将 8 个小球摆放一列，形成 9 个空，中间有 7 个空，(定 空位) 则只需在这 7 个空中插入 4 个隔板，隔板不同的放法有 C4 7C 3 7765 32135 种(插隔板) 所以每盒不空的放
17、法共有 35 种 【答案】 35 高考调研高考调研 第第24页页 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 【讲评】 (1)分定数：确定名额的个数、分成的组数以 及各组名额的数量 (2)定空位：将元素排成一列，确定可插隔板的空位数 (3)插隔板：确定需要的隔板个数，根据组数要求，插入 隔板，利用组合数求解不同的分法种数 高考调研高考调研 第第25页页 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 (4)回顾反思：隔板法的关键在于准确确定空位个数以及 需要的隔板个数，使用这
18、种方法需要注意两个方面的问题： 一是要根据题意确定能否转化为“每组至少一个”的问题， 以便确定能否利用隔板法；二是要注意准确确定空位数以及 需要的隔板数，一般来说，两端不能插隔板 高考调研高考调研 第第26页页 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 (2015 河北沧州市回民中学)有5个大学保 送名额，计划分到3个班级每班至少一个名额，有多少种不同 的分法？ 思考题思考题3 【解析】 一共有 5 个保送名额，分到 3 个班级，每个 班级至少 1 个名额，即将名额分成 3 份至少 1 个(定分数) 将 5 个名额排成一列产生 6
19、 个空，中间有 4 个空(定空 位) 即只需在中间 4 个空中插入 2 个隔板， 隔板不同的方法共有 C2 46 种(插隔板) 【答案】 6种 高考调研高考调研 第第27页页 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 例4 (1)(2014北京理)把5件不同产品摆成一排，若产品 A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有 _种 题型四题型四 综合问题综合问题 高考调研高考调研 第第28页页 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 【解析】 利用排列知识求
20、解 将产品 A 与 B 捆绑在一起，然后与其他三种产品进行全 排列，共有 A2 2A 4 4种方法，将产品 A，B，C 捆绑在一起，且 A 在中间，然后与其他两种产品进行全排列，共有 A2 2A 3 3种方 法于是符合题意的排法共有 A2 2A 4 4A 2 2A 3 336 种 . 【答案】 36 高考调研高考调研 第第29页页 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 (2)(2015衡水调研卷)设集合S1,2,3,4,5,6,7,8,9，集合 Aa1，a2，a3，AS，a1，a2，a3满足a1a2a3且a3a26， 那么满足
21、条件的集合A的个数为( ) A76 B78 C83 D84 高考调研高考调研 第第30页页 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 【解析】 在集合 S 中任取三个数共有 C3 984 种情况， 这三个数大小关系确定，其中不满足 a3a26，又最大数减 去次大数大于 6 的情况只有 1 种，即 a11，a22，a39， 其他均满足题意，所以满足条件的集合 A 的个数为 C3 91 83，故选 C. 【答案】 C 高考调研高考调研 第第31页页 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高
22、三总复习高三总复习 (1)形如45132的数称为“波浪数”，即 十位数字，千位数字均比它们各自相邻数位的数字大，则由 1,2,3,4,5可构成不重复的五位“波浪数”的个数为_ 思考题思考题3 【解析】 千位和十位只能有(3,5)，(4,5)这 2 种情形 当十位和千位为(3,5)时，3 的左、右只有排 1,2，共有 A2 2 A2 24 种； 当十位和千位为(4,5)时， 共有 A 2 2A 3 312 种情形 共有 12416 种情形 【答案】 16 高考调研高考调研 第第32页页 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 (2
23、)某学校周五安排有语文、数学、英语、物理、化学、 体育六节课，要求体育不排在第一节课，数学不排在第四节 课，则这天课表的不同排法种数为( ) A600 B288 C480 D504 高考调研高考调研 第第33页页 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 【解析】 对六节课进行全排列有 A6 6种方法，体育课排 在第一节课有 A5 5种方法，数学课排在第四节课也有 A 5 5种方 法， 体育课排在第一节课且数学课排在第四节课有A4 4种方法， 由排除法得这天课表的不同排法种数为 A6 62A 5 5A 4 4504. 【答案】 D
24、 高考调研高考调研 第第34页页 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 自助餐自助餐 高考调研高考调研 第第35页页 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 1某校高一有6个班，高二有5个班，高三有8个班，各 年级分别举行班与班之间篮球单循环赛，则共需要进行比赛 的场数为( ) AC2 6C 2 5C 2 8 BC 2 6C 2 5C 2 8 CA2 6A 2 5A 2 8 DC2 19 答案 B 高考调研高考调研 第第36页页 第十章第十章 计数原理和概率计数
25、原理和概率 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 解析 依题意，高一比赛有 C2 6场，高二比赛有 C 2 5场，高 三比赛有 C2 8场，由分类计数原理，得共需要进行比赛的场数 为 C2 6C 2 5C 2 8，选 B. 高考调研高考调研 第第37页页 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 2(2014保定调研)从8个不同的数中选出5个数构成函 数f(x)(x1,2,3,4,5)的值域，如果8个不同的数中的A，B两个 数不能是x5对应的函数值，那么不同的选法种数为( ) AC2 8A 3 6 BC1
26、7A 4 7 CC1 6A 4 7 D无法确定 答案 C 高考调研高考调研 第第38页页 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 解析 自变量有 5 个，函数值也是 5 个不同的数，因此 自变量与函数值只能一一对应，不会出现多对一的情形因 为 A，B 两个数不能是 x5 对应的函数值，故先从余下 6 个 数中选出与 5 对应的函数值，有 C1 6种方法，再从其他 7 个数 中选出 4 种排列即可，故不同选法共有 C1 6A 4 7种 高考调研高考调研 第第39页页 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 新课标版新课标版 数
27、学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 3由1,2,3,4,5组成没有重复数字且2与5不相邻的四位数 的个数是( ) A120 B84 C60 D48 答案 B 解析 法 1： 无 2 有 A4 4个， 无 5 有 A 4 4个， 有 2 和 5： C 2 3A 2 2 A2 3个， 共有 A4 4A 4 4C 2 3A 2 2A 2 384. 法 2：A4 5A 2 2C 2 3A 3 384. 高考调研高考调研 第第40页页 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 4将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个 盒子里
28、，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编 号，则不同的放球方法有( ) A10种 B20种 C36种 D52种 答案 A 高考调研高考调研 第第41页页 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 解析 将4个小球分2组， C 2 4C 2 2 A2 2 3种； C1 4C 3 34种 中的这 3 种分组方法任意放均满足条件，3A2 26 种放 法中的 4 种分组方法各只对应 1 种放法故总种数为 6 410 种 高考调研高考调研 第第42页页 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 新课标版新课标版 数学（理）数学（理）
29、 高三总复习高三总复习 5(2015人大附中期末)在8张奖券中有一、二、三等奖 各1张，其余5张无奖将这8张奖券分配给4个人，每人2张， 不同的获奖情况有_种(用数字作答) 答案 60 解析 分情况：一种情况将有奖的奖券按 2 张，1 张分 给 4 个人中的 2 个人，种数为 C2 3C 1 1A 2 436；另一种将 3 张有 奖的奖券分给 4 个人中的 3 个人，种数为 A3 424，则获奖情 况总共有 362460 种 高考调研高考调研 第第43页页 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 题组层级快练题组层级快练(七十四七十四)
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