1、第九章第九章 单元测试卷单元测试卷 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分每小题中只有一项符合题目要求) 1若直线 l1：kxy30 和 l2：x(2k3)y20 互相垂直，则 k 等于( ) A3 B2 C1 2或1 D.1 2或 1 答案 A 解析 依题意，得直线 l1和 l2垂直的充要条件是 k(2k3)0，即 k3. 2直线 xy50 与圆 C：x2y22x4y40 相交所截得的弦长等于( ) A1 B2 C3 D4 答案 B 解析 圆 C：x2y22x4y40，即(x1)2(y2)29，其圆心 C(1,2)到直线 xy50 的距离 d2 2，所以截得的弦长 l
2、2322 222. 3圆 C1：x2y22y0，C2：x2y22 3x60 的位置关系为( ) A外离 B外切 C相交 D内切 答案 D 解析 配方得圆 C1：x2(y1)21，圆心 C1(0,1)，半径 r11.圆 C2：(x 3)2y29，圆心 C2( 3， 0)，半径 r23，而|C1C2|0 321022r2r1，则两圆的位置关系为内切 4若双曲线x 2 6 y2 31 的渐近线与圆(x3) 2y2r2(r0)相切，则 r( ) A. 3 B2 C3 D6 答案 A 解析 双曲线x 2 6 y2 31 的渐近线方程为 y 2 2 x， 因为双曲线的渐近线与圆(x3)2y2r2(r0)相
3、切， 故圆心(3,0)到直线 y 2 2 x 的距离等于 r，即 r3 2 6 3. 5若曲线 ax2by21 为焦点在 x 轴上的椭圆，则实数 a，b 满足( ) Aa2b2 B.1 a 1 b C0ab D0b 1 b0，则 0a0)中 p 的几何意义为：抛物线的焦点到准线的距离又 p1 4，故选 D. 7已知双曲线x 2 a2 y2 b21 的一个焦点与抛物线 y 24 10 x 的焦点重合，且双曲线的离心率等于 10 3 ， 则该双曲线的方程为( ) Ax2y 2 91 B.x 2 9y 21 Cx2y21 D.x 2 9 y2 91 答案 B 解析 抛物线 y24 10 x 的焦点为
4、( 10，0)，所以双曲线x 2 a2 y2 b21 中 c 10， c a 10 3 ，所以 a3， b c2a21，所求方程为x 2 9y 21，故选 B. 8已知抛物线 y22px(p0)与双曲线x 2 a2 y2 b21 有相同的焦点 F，点 A 是两曲线的交点，且 AFx 轴， 则双曲线的离心率为( ) A. 51 2 B. 21 C. 31 D.2 21 2 答案 B 解析 由抛物线与双曲线的焦点相同，得p 2c. 又 A 是两曲线的交点，且 AFx 轴， 则两曲线的半通径相等，得 pb 2 a . 由，消去 p，得 b22ac. 又c2a2b2，c2a22ac0. 又双曲线的离心
5、率 e1， e22e10，e 21. 9直线 4kx4yk0 与抛物线 y2x 交于 A，B 两点，若|AB|4，则弦 AB 的中点到直线 x1 20 的距离等于( ) A.7 4 B2 C.9 4 D4 答案 C 解析 直线 4kx4yk0，即 yk(x1 4)，可知直线 4kx4yk0 过抛物线 y 2x 的焦点(1 4，0)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x21 24.故 x1x2 7 2，则弦 AB 的中点的横坐标是 7 4，弦 AB 的中点到直 线 x1 20 的距离是 7 4 1 2 9 4. 10.如图所示，过抛物线 x24py(p0)焦点的直线依次交抛物线
6、与圆 x2(yp)2p2于点 A，B，C，D， 则AB CD 的值是( ) A8p2 B4p2 C2p2 Dp2 答案 D 解析 |AB |AF|pyA， |CD |DF|pyB， |AB | |CD |yAyBp2.因为AB ， CD 的方向相同， 所以AB CD |AB | |CD |yAyBp2. 11已知点 M(3,0)，N(3,0)，B(1,0)，动圆 C 与直线 MN 切于点 B，分别过点 M，N 且与圆 C 相切的 两条直线相交于点 P，则点 P 的轨迹方程为( ) Ax2y 2 81(x1) Bx2y 2 101(x0) Cx2y 2 81(x0) Dx2y 2 101(x1)
7、 答案 A 解析 如图，设两切线分别与圆切于点 S，T，则|PM|PN|(|PS|SM|)(|PT|TN|)|SM|TN| |BM|BN|22a，所以所求曲线为双曲线的右支且不能与 x 轴相交，a1，c3，所以 b28，故点 P 的轨迹方程为 x2y 2 81(x1) 12已知 F 为抛物线 y2x 的焦点，点 A，B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧，OA OB 2(其中 O 为 坐标原点)，则ABO 与AFO 面积之和的最小值是( ) A2 B3 C.17 2 8 D. 10 答案 B 解析 设出直线 AB 的方程， 用分割法表示出ABO 的面积， 将 SABOSAFO表示为某一变量的函数
8、， 选择适当方法求其最值 设直线 AB 的方程为 xnym(如图)， A(x1，y1)，B(x2，y2)，OA OB 2， x1x2y1y22. 又 y21x1，y22x2，y1y22. 联立 y2x， xnym， 得 y2nym0. y1y2m2，m2，即点 M(2,0) 又 SABOSAMOSBMO1 2|OM|y1| 1 2|OM|y2|y1y2， SAFO1 2|OF| |y1| 1 8y1， SABOSAFOy1y21 8y1 9 8y1 2 y12 9 8y1 2 y13. 当且仅当 y14 3时，等号成立 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题
9、中横线上) 13过点 A(1,0)且与直线 2xy10 平行的直线方程为_ 答案 2xy20 14已知正方形 ABCD，则以 A，B 为焦点，且过 C，D 两点的椭圆的离心率为_ 答案 21 解析 令|AB|2，则|AC|2 2. 在椭圆中，c1,2a22 2a1 2. 可得 ec a 1 21 21. 15已知以 y 3x 为渐近线的双曲线 D：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的左、右焦点分别为 F1，F2，若 P 为双曲线 D 右支上任意一点，则|PF1|PF2| |PF1|PF2|的取值范围是_ 答案 0，1 2 解析 依题意，|PF1|PF2|2a，|PF1|PF2|2c， 所
10、以 0|PF1|PF2| |PF1|PF2| a c 1 e.又双曲线的渐近线方程 y 3x，则 b a 3. 因此 ec a2，故 0b0)和圆 O：x 2y2b2，若 C 上存在点 P，使得过点 P 引圆 O 的两条 切线，切点分别为 A，B，满足APB60 ，则椭圆 C 的离心率的取值范围是_ 答案 3 2 ，1) 解析 OAAP，由APB60 ，知OPA30 . |OP|2|OA|2b.设 P(x，y)，则 x2y24b2， x2 a2 y2 b21. 消去 x，得 y2b 2a24b2 c2 .由 y20，得 a24b20. 即 a24(a2c2)0，c 2 a2 3 4，e 3 2
11、 .又 e1， 故椭圆 C 的离心率的取值范围是 3 2 ，1) 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17(本小题满分 10 分) 过点 P(3,0)作一条直线，使它夹在两直线 l1：2xy20 和 l2：xy30 间的线段 AB 恰好被 P 平 分，求此直线的方程 答案 8xy240 解析 若直线 AB 无斜率，则其方程为 x3， 它与两直线的交点分别为(3,4)，(3，6)，这两点的中点为(3，1)不是点 P，不合题意 所以直线 AB 必有斜率，设为 k(k2 且 k1)， 则直线 AB 的方程为 yk(x3) 由 ykx3， 2xy20
12、， 解得 y1 4k k2. 由 ykx3， xy30， 解得 y26k k1. 据题意y1y2 2 0，即 4k k2 6k k10，解得 k0 或 8. 当 k0 时，它与两直线的交点分别为(1,0)，(3,0)，这两点的中点并不是点 P，不符合题意，舍去 当 k8 时，它与两直线的交点分别为(11 3 ，16 3 )，(7 3， 16 3 )，这两点的中点是点 P，符合题意 直线 AB 的方程为 y8(x3)，即 8xy240. 18(本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中，以 O 为圆心的圆与直线 x 3y4 相切 (1)求圆 O 的方程； (2)圆 O 与 x 轴相交于
13、 A，B 两点，圆 O 内的动点 P 使|PA|，|PO|，|PB|成等比数列，求PA PB 的取值范 围 答案 (1)x2y24 (2)2,0) 解析 (1)依题设，圆 O 的半径 r 等于原点 O 到直线 x 3y40 的距离，即 r 4 132，得圆 O 的方程为 x2y24. (2)不妨设 A(x1,0)，B(x2,0)，x1x2. 由 x24，即得 A(2,0)，B(2,0) 设 P(x，y)，由|PA|，|PO|，|PB|成等比数列，得 x22y2 x22y2x2y2，即 x2y22. PA PB (2x，y) (2x，y)x24y22(y21) 由于点 P 在圆 O 内，故 x2
14、y24， x2y22. 由此得 y22)， 其离心率为 3 2 ，故 a24 a 3 2 ，解得 a4. 故椭圆 C2的方程为y 2 16 x2 41. (2)方法一：A，B 两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)， 由OB 2OA 及(1)知，O，A，B 三点共线且点 A，B 不在 y 轴上，因此可设直线 AB 的方程为 ykx. 将 ykx 代入x 2 4y 21 中，得(14k2)x24. 所以 x2A 4 14k2.将 ykx 代入 y2 16 x2 41 中，得(4k 2)x216，所以 x2 B 16 4k2.又由OB 2OA ，得 x2B 4x2A，即 16 4k2 1
15、6 14k2，解得 k 1. 故直线 AB 的方程为 yx 或 yx. 方法二：A，B 两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)， 由OB 2OA 及(1)知，O，A，B 三点共线且点 A，B 不在 y 轴上，因此可设直线 AB 的方程为 ykx. 将 ykx 代入x 2 4y 21 中，得(14k2)x24. 所以 x2A 4 14k2. 由OB 2OA ，得 x2B 16 14k2，y 2 B 16k2 14k2. 将 x2B，y2B代入y 2 16 x2 41 中，得 4k2 14k21， 即 4k214k2，解得 k 1. 故直线 AB 的方程为 yx 或 yx. 20(本小题
16、满分 12 分) 已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线 C 经过 A(7,5)，B(1，1)两点 (1)求双曲线 C 的方程； (2)设直线 l：yxm 交双曲线 C 于 M，N 两点，且线段 MN 被圆 E：x2y212xn0(nR)三等 分，求实数 m，n 的值 答案 (1)2y2x21 (2)m2，n26 解析 (1)设双曲线 C 的方程是 x2y21， 依题意有 49251， 1， 解得 1， 2， 所以所求双曲 线的方程是 2y2x21. (2)将 l：yxm 代入 2y2x21，得 x24mx(2m21)0. (4m)24(2m21)8m240. 设 M(x1，y1)，N(x2，
17、y2)，MN 的中点 P(x0，y0)，则 x1x24m，x1x22m21. 所以 x0 x1x2 2 2m，y0 x0mm，所以 P(2m，m) 又圆心 E(6,0)，依题意 kPE1，故 m 62m1，即 m2. 将 m2 代入式，得 x28x70，解得 x11，x27. 所以|MN|112|x1x2|6 2. 故直线 l 截圆 E 所得弦长为1 3|MN|2 2. 又 E(6,0)到直线 l 的距离 d2 2， 所以圆 E 的半径 r2 22 22 10. 所以圆 E 的方程是(x6)2y210.所以 m2，n26. 21(本小题满分 12 分) (2014 陕西理)如图， 曲线 C 由
18、上半椭圆 C1： y2 a2 x2 b21(ab0， y0)和部分抛物线 C2： yx 21(y0) 连接而成，C1与 C2的公共点为 A，B，其中 C1的离心率为 3 2 . (1)求 a，b 的值； (2)过点 B 的直线 l 与 C1，C2分别交于点 P，Q(均异于点 A，B)，若 APAQ，求直线 l 的方程 答案 (1)a2，b1 (2)8x3y80 解析 (1)在 C1，C2的方程中，令 y0，可得 b1，且 A(1,0)，B(1,0)是上半椭圆 C1的左、右顶点 设 C1的半焦距为 c，由c a 3 2 及 a2c2b21，得 a2. a2，b1. (2)由(1)知，上半椭圆 C
19、1的方程为y 2 4x 21(y0)易知，直线 l 与 x 轴不重合也不垂直，设其方程为 yk(x1)(k0)，代入 C1的方程，整理得(k24)x22k2xk240.(*) 设点 P 的坐标为(xP，yP)， 直线 l 过点 B，x1 是方程(*)的一个根 由求根公式，得 xPk 24 k24，从而 yP 8k k24. 点 P 的坐标为 k24 k24， 8k k24 . 同理，由 ykx1k0， yx21y0， 得点 Q 的坐标为(k1，k22k) AP 2k k24(k，4)，AQ k(1，k2) APAQ，AP AQ 0，即2k 2 k24k4(k2)0. k0，k4(k2)0，解得
20、 k8 3. 经检验，k8 3符合题意 故直线 l 的方程为 8x3y80. 22(本小题满分 12 分) 已知抛物线 C：y24x，点 M(m,0)在 x 轴的正半轴上，过 M 的直线 l 与 C 相交于 A，B 两点，O 为坐 标原点 (1)若 m1，且直线 l 的斜率为 1，求以线段 AB 为直径的圆的方程； (2)问是否存在定点 M，不论直线 l 绕点 M 如何转动，使得 1 |AM|2 1 |BM|2恒为定值 答案 (1)(x3)2(y2)216 (2)存在 M(2,0)使其恒为定值1 4 解析 (1)设 A，B 两点坐标为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB 中点 P 的坐标
21、为 P(x0，y0) 由题意，得 M(1,0)，直线 l 的方程为 yx1. 由 yx1， y24x， 得 x26x10. 则 x1x26，x1x21， 且 x0 x1x2 2 3，y0 x012. 故圆心为 P(3,2)， 直径|AB| 2|x1x2| 2 x1x224x1x28. 以 AB 为直径的圆的方程为(x3)2(y2)216. (2)若存在这样的点 M，使得 1 |AM|2 1 |BM|2恒为定值，设直线 l 的方程为 xkym. 由 xkym， y24x， 得 y24ky4m0. 于是 y1y24k，y1y24m. 又|AM|2y21(1k2)，|BM|2y22(1k2)， 1
22、|AM|2 1 |BM|2( 1 y21 1 y22) 1 1k2 1 1k2 y1y222y1y2 y1y22 1 1k2 k2m 2 m2 . 要与 k 无关，只需m 21，即 m2， 进而 1 |AM|2 1 |BM|2 1 4. 存在定点 M(2,0)，不论直线 l 绕点 M 如何转动， 1 |AM|2 1 |BM|2恒为定值 1 4. 1已知圆 C 的半径为 2，圆心在 x 轴的正半轴上，直线 3x4y40 与圆 C 相切，则圆 C 的方程为 ( ) Ax2y22x30 Bx2y24x0 Cx2y22x30 Dx2y24x0 答案 D 解析 设圆心 C(a,0)(a0)，由3a4 5
23、 2，得 a2.故圆的方程为(x2)2y24，即 x2y24x0. 2已知在ABC 中，点 A，B 的坐标分别为( 2，0)，B( 2，0)，点 C 在 x 轴上方 (1)若点 C 坐标为( 2，1)，求以 A，B 为焦点且经过点 C 的椭圆的方程； (2)过点 P(m,0)作倾斜角为3 4 的直线 l 交(1)中曲线于 M，N 两点，若点 Q(1,0)恰在以线段 MN 为直径的 圆上，求实数 m 的值 答案 (1)x 2 4 y2 21 (2)m 2 19 3 解析 (1)设椭圆方程为x 2 a2 y2 b21，c 2，2a|AC|BC|4，b 2，所以椭圆方程为 x2 4 y2 21. (
24、2)直线 l 的方程为 y(xm)，令 M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立方程解得 3x24mx2m240. x1x24m 3 ， x1x22m 24 3 . 若 Q 恰在以 MN 为直径的圆上， 则 y1 x11 y2 x211，即 m 21(m1)(x 1x2)2x1x20,3m 24m50，解得 m2 19 3 . 3(2015 山东潍坊一模)已知椭圆 C：x 2 3 2y2 3 1，过原点 O 的动直线与椭圆 C 交于 A，B 两点若点 P 满足|PA|PB|，求证： 1 |OA|2 1 |OB|2 2 |OP|2为定值 答案 定值为 2 解析 由|PA|PB|，知 P 在线段
25、AB 的垂直平分线上 由椭圆的对称性可知 A，B 关于原点对称 (1)若 A， B 在椭圆的短轴顶点上， 则点 P 在椭圆的长轴顶点上， 此时 1 |OA|2 1 |OB|2 2 |OP|2 1 b2 1 b2 2 a2 2( 1 a2 1 b2)2.同理若点 A，B 在椭圆的长轴顶点上，则点 P 在短轴顶点上，此时 1 |OA|2 1 |OB|2 2 |OP|2 1 a2 1 a2 2 b22( 1 a2 1 b2)2. (2)当点 A，B，P 不是椭圆顶点时，设直线 l 的方程为 ykx(k0)，则直线 OP 的方程为 y1 kx，设 A(x1，y1)， 由 ykx， x2 3 2y2 3 1， 解得 x21 3 12k2，y 2 1 3k2 12k2. 所以|OA|2|OB|2x21y2131k 2 12k2 . 用1 k代换 k，得|OP| 231k 2 2k2 .所以 1 |OA|2 1 |OB|2 2 |OP|2 12k2 31k2 12k2 31k2 22k2 31k22. 综上， 1 |OA|2 1 |OB|2 2 |OP|2为定值 2.
浙公网安备33030202001339号