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    2021年高三数学考点复习:直线与圆锥曲线综合问题

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    2021年高三数学考点复习:直线与圆锥曲线综合问题

    1、考点十六 直线与圆锥曲线综合问题 1 A卷 PART ONE 解析 由题意, 得焦点 F(c,0)到渐近线 bxay0 的距离为 d |bc0| a2b2 bc c b 2,又 c a 3,c 2a2b2,解得 c 3,所以该双曲线的焦距为 2c2 3,故选 B. 一、选择题 1已知双曲线 x2 a2 y2 b21(a0,b0)的离心率为 3,右焦点到一条渐近 线的距离为 2,则此双曲线的焦距等于( ) A. 3 B2 3 C3 D6 答案答案 解析解析 2已知圆 O:x2y24,从圆上任意一点 P 向 y 轴作垂线段 PP1(P1 在 y 轴上),点 M 在直线 PP1上,且向量P1M 2P

    2、1P ,则动点 M 的轨迹方程 是( ) A4x216y21 B16x24y21 C.x 2 4 y2 161 D x2 16 y2 4 1 答案答案 解析 由题意可知 P 是 MP1的中点,设点 M(x,y),P(x0,y0),P1(0, y0),则 x01 2x, y0y. 又 x2 0y 2 04,故 x 2 2y24,即x 2 16 y2 4 1.故选 D. 解析解析 3(2020 天津高考)设双曲线 C 的方程为 x2 a2 y2 b21(a0,b0),过抛 物线 y24x 的焦点和点(0,b)的直线为 l.若 C 的一条渐近线与 l 平行,另一 条渐近线与 l 垂直,则双曲线 C

    3、的方程为( ) A.x 2 4 y 2 4 1 Bx2y 2 4 1 C.x 2 4 y21 Dx2y21 答案答案 解析 由题意可知,抛物线的焦点为(1,0),所以直线 l 的斜率为b, 又双曲线的渐近线的方程为 y b ax,所以b b a,b b a1.因为 a 0,b0,所以 a1,b1.故选 D. 解析解析 4(2020 山东潍坊高密二模)已知椭圆 E: x2 a2 y2 b21(ab0)的右焦点为 F(3,0),过点 F 的直线交椭圆于 A,B 两点若 AB 的中点坐标为(1,1), 则椭圆 E 的方程为( ) A. x2 45 y2 361 B x2 45 y2 271 C. x

    4、2 27 y2 181 D x2 18 y2 9 1 答案答案 解析 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x2 1 a2 y2 1 b21, x2 2 a2 y2 2 b21, 两式相减并化简得 b2 a2 y1y2 x1x2 y1y2 x1x2,即 b2 a2 1 1 01 31 1 2 b2 a2 1 2a 22b2,由于 a2 b2c2且 c3,由此可解得 a218,b29,故椭圆 E 的方程为 x2 18 y2 9 1.故选 D. 解析解析 5(2020 山东临沂二模、枣庄三调)已知 F 是抛物线 y22px(p0)的焦 点,过 F 的直线与抛物线交于 A,B 两点,AB 的中

    5、点为 C,过 C 作抛物线 准线的垂线交准线于 C1,若 CC1的中点为 M(1,4),则 p( ) A4 B8 C4 2 D8 2 答案答案 解析 因为 CC1的中点为 M(1,4),所以 yAyB8, xCp 212, 所以 xC2 p 2, 因为 xAxBp2 xCp 2 , 所以 xAxB4p,设直线 AB 的方程为 xmyp 2,代 入抛物线的方程,得 y22pmyp20,所以 yAyB 2pm, xAxBm(yAyB)p8mp, 所以 82pm, 8mp4p, 解得 p8, m1 2, 故选 B. 解析解析 6 已知椭圆 C: x2 a2 y2 b21(ab0)的右焦点为 F,短轴

    6、的一个端点为 P, 直线 l:4x3y0 与椭圆 C 相交于 A,B 两点若|AF|BF|6,点 P 到直 线 l 的距离不小于6 5,则椭圆 C 的离心率的取值范围是( ) A. 0,5 9 B 0, 3 2 C. 0, 5 3 D 1 3, 3 2 答案答案 解析 如图所示,设 F为椭圆的左焦点,连接 AF,BF,则四边 形 AFBF 是平行四边形, 可得 6|AF|BF|AF|AF|2a, 得 a3, 取 P(0, b), 由点 P 到直线 l 的距离不小于6 5, 可得 |3b| 3242 6 5, 解得|b|2. 所以 e c a 1b 2 a2 14 9 5 3 ,故选 C. 解析

    7、解析 7(多选)(2020 山东泰安二轮复习质量检测)已知双曲线 x2 a2 y2 b21(a0, b0)的一条渐近线方程为 x2y0,双曲线的左焦点在直线 xy 50 上,A,B 分别是双曲线的左、右顶点,点 P 为双曲线右支上位于第一象限 的动点,PA,PB 的斜率分别为 k1,k2,则 k1k2的取值可能为( ) A.3 4 B1 C4 3 D2 答案答案 解析 根据题意知b a 1 2,c 5,故 a2,b1,双曲线方程为 x2 4 y2 1,则 A(2,0),B(2,0),设 P(x0,y0),则x 2 0 4 y2 01,x00,y00,k1k2 y0 x02 y0 x02 2x0

    8、y0 x2 04 x0 2y0,根据渐近线方程知 0 y0 x01. 故选 CD. 解析解析 8(多选)(2020 海南中学高三第七次月考)已知抛物线 C:y24x 的焦 点为 F、准线为 l,过点 F 的直线与抛物线交于两点 P(x1,y1),Q(x2,y2), 点 P 在 l 上的射影为 P1,则( ) A若 x1x26,则|PQ|8 B以 PQ 为直径的圆与准线 l 相切 C设 M(0,1),则|PM|PP1| 2 D过点 M(0,1)与抛物线 C 有且仅有一个公共点的直线至多有 2 条 答案答案 解析 对于 A,因为 p2,所以 x1x22|PQ|,则|PQ|8,故 A 正 确;对于

    9、B,设 N 为 PQ 的中点,点 N 在 l 上的射影为 N1,点 Q 在 l 上的 射影为 Q1,则由梯形性质可得|NN1|PP 1|QQ1| 2 |PF|QF| 2 |PQ| 2 ,故 B 正确;对于 C,因为 F(1,0),所以|PM|PP1|PM|PF|MF| 2,故 C 正确;对于 D,显然直线 x0,y1 与抛物线只有一个公共点,设过 M 的 直线为 ykx1,联立 ykx1, y24x, 可得 k2x2(2k4)x10,令 0, 则 k1,所以直线 yx1 与抛物线也只有一个公共点,此时有三条直线 符合题意,故 D 错误故选 ABC. 解析解析 答案 1 2 二、填空题 9 (2

    10、020 湖南湘潭高三下学期三模)若直线 2x4ym0 经过抛物线 y 2x2的焦点,则 m_. 解析 抛物线方程 y2x2可化为 x2 1 2y,故该抛物线的焦点坐标为 0,1 8 .由题意可得 2041 8m0,故 m 1 2. 答案答案 解析解析 解析 由题意可知 F(c,0),把 y2b 代入双曲线方程可得 x 5a,不 妨设 B( 5a,2b),C( 5a,2b),因为BFC90 ,所以 kBF kCF1,即 2b 5ac 2b 5ac1,化简,得 4b 25a2c2,因为 b2c2a2,所以c 2 a2 9 5,所以离心率 e c a 3 5 3 5 5 . 答案 3 5 5 10(

    11、2020 辽宁沈阳三模)在平面直角坐标系 xOy 中,F 是双曲线 x2 a2 y2 b2 1(a0,b0)的右焦点,直线 y2b 与双曲线交于 B,C 两点,且BFC 90 ,则该双曲线的离心率为_ 答案答案 解析解析 11(2020 山东枣庄二调)已知椭圆 C: x2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点 分别为 F1, F2, 直线 3xy4 30 过点 F1且与 C 在第二象限的交点为 P, 若POF160 (O 为原点),则 F2的坐标为_,C 的离心率为 _ (4,0) 31 解析 直线 3xy4 30 与 x 轴交点为(4,0), 即 F1(4,0), c4, F2(4,0)

    12、,又直线 3xy4 30 的斜率为 3,倾斜角为 60 ,而POF1 60 ,POF1是等边三角形,P(2,2 3), 4 a2 12 b2 1, a2b2c216, 解得 a22 3, b28 3, 离心率为 e c a 4 2 31 31. 解析解析 答案 2 12(2020 湖南师大附中摸底考试)点 M 是抛物线 C:x22py(p0)的对 称轴与准线的交点, 点 F 为抛物线 C 的焦点, 点 P 在抛物线 C 上 在FPM 中,sinPFMsinPMF,则 的最大值为_ 答案答案 解析 如图,过点 P 作准线的垂线,垂足为 B,则由 抛物线的定义可得|PF|PB|,由 sinPFMs

    13、inPMF, 在PFM 中由正弦定理可知|PM|PF|,所以|PM| |PB|,所以1 |PB| |PM|,设 PM 的倾斜角为 ,则 sin 1 , 当 取得最大值时,sin 最小,此时直线 PM 与抛物线相切,设直线 PM 的 方程为 ykxp 2,则 x22py, ykx p 2, 即 x22pkxp20,所以 4p2k24p2 0,所以 k 1,即 tan 1,则 sin 2 2 ,则 的最大值为 1 sin 2. 解析解析 三、解答题 13(2020 全国卷)已知 A,B 分别为椭圆 E: x2 a2y 21(a1)的左、右 顶点,G 为 E 的上顶点,AG GB 8,P 为直线 x

    14、6 上的动点,PA 与 E 的 另一交点为 C,PB 与 E 的另一交点为 D. (1)求 E 的方程; (2)证明:直线 CD 过定点 解 (1)依据题意作出如下图象: 由椭圆方程 E: x2 a2y 21(a1)可得 A(a,0),B(a,0),G(0,1), AG (a,1),GB (a,1)AG GB a218,a29. 椭圆 E 的方程为x 2 9 y21. 解析解析 (2)证明:由(1),得 A(3,0),B(3,0),设 P(6,y0), 则直线 AP 的方程为 y y00 63(x3),即 y y0 9 (x3), 直线 BP 的方程为 yy 00 63 (x3),即 yy0

    15、3 (x3) 联立直线 AP 的方程与椭圆的方程可得 x2 9 y21, yy0 9 x3, 整理,得(y2 09)x 26y2 0 x9y 2 0810, 解得 x3 或 x3y 2 027 y2 09 . 解析解析 将 x3y 2 027 y2 09 代入 yy0 9 (x3)可得 y 6y0 y2 09, 点 C 的坐标为 3y2 027 y2 09 , 6y0 y2 09 . 同理可得,点 D 的坐标为 3y2 03 y2 01 ,2y 0 y2 01 . 直线 CD 的方程为 y 2y0 y2 01 6y0 y2 09 2y0 y2 01 3y2 027 y2 09 3y 2 03

    16、y2 01 x3y 2 03 y2 01 , 解析解析 整理可得 y 2y0 y2 01 4y0 33y2 0 x3y 2 03 y2 01 , y 4y0 33y2 0 x3y 2 03 y2 01 2y0 y2 01 4y0 33y2 0 x3 2 . 故直线 CD 过定点 3 2,0 . 解析解析 14(2020 山东莱西一中、高密一中、枣庄三中模拟)已知动圆与 y 轴相 切于点 M(0,2),过点 E(0,1),F(0,1)分别作动圆异于 y 轴的两切线,设 两切线相交于 Q,点 Q 的轨迹为曲线 . (1)求曲线 的轨迹方程; (2)过(2,0)的直线 l 与曲线 相交于不同两点 A

    17、,B,若曲线 上存在点 P,使得 OP OA OB 成立,求实数 的范围 解 (1)设过点 E,F 与动圆相切的切点分别为 C,D, 则|QC|QD|,|FD|FM|,|EC|EM|, 故|QE|QF|QE|QD|DF|QE|QC|FM|CE|FM| |EM|FM|, 由 E,F,M 的坐标可知|EM|3,|FM|1, |QE|QF|4|EF|, 由椭圆的定义可知,点 Q 是以 E,F 为焦点,长轴长为 4 的椭圆(不包 括长轴端点) 设曲线 的方程为 y2 a2 x2 b21(ab0,x0), 解析解析 则 a2,c1,b23, 故曲线 的轨迹方程为y 2 4 x 2 3 1(x0) (2)

    18、由题可知直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 yk(x2)(k 1), 由 y2 4 x 2 3 1, ykx2, 消去 y 得(3k24)x212k2x12(k21)0, 144k448(3k24)(k21)0, 0k24 且 k21, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0), 解析解析 则 x1x2 12k2 3k24,x1x2 12k21 3k24 , y1y2k(x1x24)k 12k2 3k244 16k 3k24, OP OA OB ,(x0,y0)(x1x2,y1y2), x0 x1x2 12k2 3k24,y0 16k 3k24. 当 0 时,k0,直线

    19、 l 为 x 轴,满足 OP OA OB . 当 0,k0 时,x01 (x1x2) 1 12k2 3k24,y0 1 (y1y2) 1 16k 3k24, 解析解析 代入椭圆方程得 16k2 423k242 12k22 323k2421, 化简得 2 16k2 3k24 16 3 4 k2 , 0k24,且 k21,020,b0)的一个焦点为 F(c,0)(c0),且双曲线 C1的两条渐近线与圆 C2:(xc)2y2c 2 4 均相切,则 双曲线 C1的渐近线方程为( ) Ax 3y0 B 3x y0 C. 5x y0 Dx 5y0 答案答案 解析 根据题意知, 焦点 F(c,0)到渐近线

    20、yb ax 的距离为 d bc a2b2 c 2,故 a 23b2,故双曲线 C 1的渐近线方程为 x 3y0.故选 A. 解析解析 2(2020 陕西省咸阳市高三第二次高考模拟检测)抛物线 x22py(p0) 的焦点与双曲线 x2 16 y2 9 1 的右焦点的连线垂直于双曲线的一条渐近线,则 p 的值为( ) A.40 3 B5 2 C20 3 D8 7 3 答案答案 解析 抛物线 x22py(p0)的焦点坐标为 0,p 2 , 双曲线 x2 16 y2 9 1 的右 焦点坐标为(5,0),两焦点的连线的方程为 y p 10(x5),又双曲线的渐近 线方程为 y 3 4x,所以 p 10

    21、3 41,解得 p 40 3 ,故选 A. 解析解析 解析 由题意可得 tanAOF |AF| |OA| |AF| 2|AF| 1 2,渐近线方程为 y b ax, 所以b a 1 2,e 2c 2 a2 b2a2 a2 a2 4 a2 a2 5 4,故 e 5 2 .故选 B. 3设双曲线 C: x2 a2 y2 b21(a0,b0)的右焦点为 F,以 OF 为直径的 圆交双曲线的一条渐近线于另一点 A(O 为坐标原点),且|OA|2|AF|,则双 曲线 C 的离心率 e 为( ) A. 5 B 5 2 C 2 D2 答案答案 解析解析 4(2020 海南中学高三摸底)已知椭圆 C:x 2

    22、4 y 2 3 1 的左、右焦点分别 为 F1,F2,过 F2且斜率为 1 的直线 l 交椭圆 C 于 A,B 两点,则F1AB 的 面积为( ) A.6 2 7 B4 3 7 C12 2 7 D8 3 7 答案答案 解析 直线 AB 方程为 yx1,联立椭圆方程x 2 4 y 2 3 1, 整理可得 7x2 8x80,设 A(x1,y1),B(x2,y2),x1x28 7,x1 x2 8 7,故弦长|AB| 1k2 x1x224x1 x224 7 .点 F1(1,0)到直线 AB 的距离 h 2,故 S F1AB1 2|AB|h 12 2 7 .故选 C. 解析解析 5(2020 河南开封二

    23、模)已知双曲线 C: x2 a2 y2 b21(a0,b0)的一个焦 点为 F,过 F 作 x 轴的垂线分别交双曲线的两条渐近线于 A,B 两点,若 AOB 的面积为 2b2,则双曲线 C 的离心率为( ) A. 2 B 3 C2 2 3 D2 3 3 答案答案 解析 不妨设 F(c,0),联立 xc, yb ax, 所以 xc,ybc a .所以|AB|2bc a , 所以1 2c 2bc a 2b2,所以 c22ab,所以 a22abb20,所以 ab.所以 c22a2,所以 e c a 2.故选 A. 解析解析 6 (2020 山东日照第一中学高三下模拟)已知抛物线 y24x 的焦点为

    24、F, 直线 l 过 F 且与抛物线交于 A,B 两点,过 A 作抛物线准线的垂线,垂足为 M,MAF 的平分线与抛物线的准线交于点 P,线段 AB 的中点为 Q.若|AB| 8,则|PQ|( ) A2 B4 C6 D8 答案答案 解析 如图,过 B 作抛物线准线的垂线,垂足为 N,连接 MF,PF, PB,设 MF 交 AP 于点 G,由题得MAPQAP,|AF|AM|,所以 AP MF,|MG|GF|.所以|PM|PF|,所以MPAFPA,所以PFB PNB90 ,所以PFBPNB,|PF|PN|,所以|PM|PN|,即点 P 是 MN 的中点,所以|PQ|1 2(|AM|BN|) 1 2(

    25、|AF|BF|) 1 2|AB|4.故选 B. 解析解析 7(多选)已知 P 是双曲线 C: x2 3 y 2 m1 上任一点,A,B 是双曲线上关 于坐标原点对称的两点设直线 PA,PB 的斜率分别为 k1,k2(k1k20),若 |k1|k2|t 恒成立,且实数 t 的最大值为2 3 3 .则下列说法正确的是( ) A双曲线的方程为x 2 3 y21 B双曲线的离心率为 2 C函数 yloga(x1)(a0,且 a1)的图象恒过 C 的一个焦点 D直线 2x3y0 与 C 有两个交点 答案答案 解析 设 A(x0,y0),B(x0,y0),P(x,y),x x0,x 2 3 y 2 m1,

    26、y 2 mx2 3 m,y2 0mx 2 0 3 m,k1k2yy 0 xx0 yy0 xx0 y2y2 0 x2x2 0 m 3 ,所以|k1|k2|2 m 3 , 若|k1|k2| m 3 ,直线 PA,PB 与渐近线平行或重合,不符合题意,所以 不等式取不到等号,而|k1|k2|t 恒成立,所以 t2 m 3 2 3 3 ,所以 m 1,双曲线方程为x 2 3 y21,A 正确;双曲线的离心率为2 3 3 ,B 错误;双 曲线的焦点为( 2,0),函数 yloga(x1)(a0,且 a1)的图象过定点(2,0), 所以 C 正确; 双曲线x 2 3 y21 的渐近线方程为 y 3 3 x

    27、, 而直线 2x3y0 的斜率为2 3 3 3 ,所以直线 2x3y0 与双曲线没有交点,所以 D 错误故 选 AC. 解析解析 8(多选)(2020 海南高三四模)已知抛物线 C:y22px(p0)的准线经过 点 M(1,1),过 C 的焦点 F 作两条互相垂直的直线 l1,l2,直线 l1与 C 交于 A,B 两点,直线 l2与 C 交于 D,E 两点,则下列结论正确的是( ) Ap2 B|AB|DE|的最小值为 16 C四边形 ADBE 的面积的最小值为 64 D若直线 l1的斜率为 2,则AMB90 答案答案 解析 由题可知p 21, 所以p2, 故 A正确; 设直线l1 的斜率为 k

    28、(k0), 则直线 l2的斜率为1 k.设 A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),E(x4,y4),直线 l1:yk(x1),直线 l2:y1 k(x1)联立 y24x, ykx1, 消去 y 整理得 k2x2(2k24)xk20,所以 x1x22k 24 k2 ,x1x21.所以|AB|x1x2p 2k 24 k2 24 4 k2.同理|DE|x3x4p 2 1 k24 1 k2 244k2,从而|AB| 解析解析 |DE|84 1 k2k 2 16,当且仅当 k 1 时等号成立,故 B 正确;因为 S 四边形ADBE1 2|AB| |DE|8 1 1 k2 (1k2)32

    29、1 k2k 2 32,当且仅当 k 1 时等号成立,故 C 错误;MA MB (x11,y11) (x21,y21)x1x2x1 x21y1y2(y1y2)1,将 x1x23,x1x21 与 y1y22,y1y24 代入上式,得MA MB 0,所以AMB90 ,故 D 正确故选 ABD. 解析解析 答案 16 3 二、填空题 9(2020 新高考卷)斜率为 3的直线过抛物线 C:y24x 的焦点,且 与 C 交于 A,B 两点,则|AB|_. 答案答案 解析 如图,抛物线的方程为 y24x,抛物线的焦点为 F(1,0),又 直线 AB 过焦点 F 且斜率为 3,直线 AB 的方程为 y 3(x

    30、1),代入抛 物线的方程消去 y 并化简得 3x210 x30, 解析解析 解法一:解得 x11 3,x23,|AB| 1k2|x1x2| 13 |1 33| 16 3 . 解法二:10036640,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1x210 3 , 过 A,B 分别作准线 x1 的垂线,设垂足分别为 C,D,如图所示,|AB| |AF|BF|AC|BD|x11x21x1x2216 3 . 解析解析 答案 3 3 10已知 P 为椭圆 x2 a2 y2 b21(ab0)上一点,F1,F2 是其左、右焦点, F1PF2取最大值时 cosF1PF21 3,则椭圆的离心率为_ 解析 易

    31、知F1PF2取最大值时,点 P 为椭圆 x2 a2 y2 b21 与 y 轴的交点, 由余弦定理及椭圆的定义,得 2a22a 2 3 4c2,即 a 3c,所以椭圆的离心 率 e c a 3 3 . 答案答案 解析解析 答案 2 11(2020 湖南衡阳二模)直线 yk(x6)(k0)与双曲线 E: x2 a2 y2 b2 1(a0,b0)及其渐近线从左至右依次交于点 A,B,C,D,双曲线的左、 右焦点分别为 F1,F2,且焦距为 4,则F2CD 与F1AB 的面积之比为 _ 答案答案 解 析 由 x2 a2 y2 b21, ykx6, 得 1 a2 k2 b2 x2 12k2x b2 1

    32、36k2 b2 0 , 由 x2 a2 y2 b20, ykx6, 得 1 a2 k2 b2 x212k 2x b2 36k2 b2 0,由以上两式可知,xAxD xBxC,故 AD,BC 具有相同的中点,故|AB|CD|,如图,由焦距为 4 可 得 F1(2,0),F2(2,0),则|GF2|2|GF1|.所以SF2CD SF1AB |CD| |MF2| |AB| |NF1| |GF2| |GF1| 2. 解析解析 12(2020 山东泰安二轮复习质量检测)已知抛物线 C:x22py(p0)的 准线方程为 y1,直线 l:3x4y40 与抛物线 C 和圆 x2y22y0 从左至右的交点依次为

    33、 A,B,E,F,则抛物线 C 的方程为_,|EF| |AB| _. x24y 16 解析 根据题意知p 21,故 p2,故抛物线方程为 x 24y,设焦 点为 M(0,1),x2y22y0,即 x2(y1)21,直线 l:3x4y40 过 圆心,联立方程 x24y, 3x4y40, 得 4y217y40,解得 y11 4,y24. 故|AB|AM|11 411 1 4,|EF|FM|14114,故 |EF| |AB|16. 解析解析 解 (1)由题意可得 c a 2 2 , 4 a2 1 b21, a2b2c2, 解解 三、解答题 13(2020 新高考卷)已知椭圆 C: x2 a2 y2

    34、b21(ab0)的离心率为 2 2 , 且过点 A(2,1) (1)求 C 的方程; (2)点 M,N 在 C 上,且 AMAN,ADMN,D 为垂足证明:存在 定点 Q,使得|DQ|为定值 解得 a26,b2c23, 故椭圆方程为x 2 6 y 2 3 1. (2)证明:设点 M(x1,y1),N(x2,y2) 因为 AMAN,所以AM AN 0, 即(x12)(x22)(y11)(y21)0. 当直线 MN 的斜率存在时,设方程为 ykxm,如图 1. 代入椭圆方程消去 y 并整理,得(12k2)x24kmx2m260, x1x2 4km 12k2,x1x2 2m26 12k2 , 根据

    35、y1kx1m,y2kx2m,代入整理,可得 解解 (k21)x1x2(kmk2)(x1x2)(m1)240, 将代入上式,得(k21)2m 26 12k2 (kmk2) 4km 12k2 (m1)24 0, 整理化简得(2k3m1)(2km1)0, 因为 A(2,1)不在直线 MN 上,所以 2km10, 所以 2k3m10,k1, 于是 MN 的方程为 yk x2 3 1 3, 所以直线过定点 E 2 3, 1 3 . 解解 当直线 MN 的斜率不存在时,可得 N(x1,y1),如图 2. 代入(x12)(x22)(y11)(y21)0 得(x12)21y2 10, 结合x 2 1 6 y

    36、2 1 3 1,解得 x12(舍去)或 x12 3, 解解 此时直线 MN 过点 E 2 3, 1 3 .因为 AE 为定值, 且ADE 为直角三角形, AE 为斜边, 所以 AE 的中点 Q 满足|DQ|为定值 AE长度的一半 1 2 22 3 2 11 3 22 2 3 . 由于 A(2,1),E 2 3, 1 3 ,故由中点坐标公式可得 Q 4 3, 1 3 . 故存在点 Q 4 3, 1 3 ,使得|DQ|为定值 解解 14(2020 浙江高考)如图,已知椭圆 C1:x 2 2 y21,抛物线 C2:y2 2px(p0),点 A 是椭圆 C1与抛物线 C2的交点,过点 A 的直线 l

    37、交椭圆 C1 于点 B,交抛物线 C2于点 M(B,M 不同于 A) (1)若 p 1 16,求抛物线 C2 的焦点坐标; (2)若存在不过原点的直线 l 使 M 为线段 AB 的中点,求 p 的最大值 解 (1)当 p 1 16时,C2 的方程为 y21 8x,故抛物线 C2 的焦点坐标为 1 32,0 . (2)解法一:设 A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0), 直线 l 的方程为 xym(0,m0), 由 x2 2 y21, xym, 得(22)y22mym220, 所以 y1y22m 22 ,y0 m 22,x0y0m 2m 22, 解解 因为 M 在抛物线上,所以 2

    38、m2 222 4pm 22, 所以 m4p2 2 2 . 由 y22px, xym, 得 y22p(ym), 即 y22py2pm0,所以 y1y02p, 所以 x1x0y1my0m2p22m, 所以 x12p22m 2m 22. 由 x2 2 y21, y22px, 得 x24px20. 解解 所以 x14p 16p 28 2 2p 4p22, 则2p4p222p22m 12 222p 28p 2 8p16p, 所以4p2218p,解得 p2 1 160,p 10 40 , 所以 p 的最大值为 10 40 ,此时 A 2 10 5 , 5 5 . 解法二:设直线 l 的方程为 xmyt(m0,t0),A(x0,y0) 将 xmyt 代入x 2 2 y21,得(m22)y22mtyt220, 所以点 M 的纵坐标为 yM mt m22. 解解 将 xmyt 代入 y22px,得 y22pmy2pt0, 所以 y0yM2pt,解得 y02pm 22 m ,因此 x02pm 222 m2 , 由x 2 0 2 y2 01 解得 1 p24 m 2 m 22 m 2 m 4160, 所以当 m 2,t 10 5 时,p 取到最大值为 10 40 . 解解 本课结束


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