1、2021 年高考数学预测猜题卷年高考数学预测猜题卷 新高考版新高考版 【满分：【满分：150150 分】分】 一、单项选择题：一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1.已知集合 2 2 log (1) 1 ,1 ,MxxNxxZ则MN I( ) A.1,3 B. C.2,3 D.1,2,3 2.复数 i2 1i 在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知,m n是两条不同的直线，, 是两个不同的平面，则下列判断正确的是( ) A.若,mn，则直线 m 与 n一定
2、平行 B.若,mn ，则直线 m与 n 可能相交、平行或异面 C.若, /mn，则直线 m与 n 一定垂直 D.若, /mn ，则直线 m 与 n一定平行 4.某公司为了改进管理模式，决定对销售员实行目标管理，即给销售员确定一个具体的月销售目标， 目标是否合适，将直接影响公司的效益和发展，如果目标过高，多数销售员完不成任务，会使销 售员失去信心；目标过低，不利于挖掘销售员的工作潜力.现该公司统计了 100 名职工某月的销售 额，制成如图所示的频率分布直方图，则使 65%的员工都能够完成的销售额指标是( ) A.7.5 万元 B.8万元 C.7.6 万元 D.7.7 万元 5.一批价值 a万元的
3、设备，由于使用时磨损，每年比上一年价值降低 b%，则 n年后这批设备的价 值为( ) A.1%nab B.1%anb C.1% n ab D.1% n ab 6.已知函数 ( )sin 32 m f xx 在0,上有两个零点，则实数 m 的取值范围为( ) A.3,2 B. 3,2) C.(3,2 D. 3,2 7.已知单位向量 a,b满足| 2 30aba b,则|()ttRab的最小值为( ) A. 2 3 B. 3 2 C. 2 2 3 D. 2 2 8.如图,直线xt与函数 3 ( )logf xx和 3 ( )log1g xx的图象分别交于点 A,B,若函数( )yf x的图 象上存
4、在点 C,使得ABC为等边三角形,则 t的值为( ) A. 32 2 B. 3 33 2 C. 3 33 4 D.3 33 二、多项选择题：二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得 5分，部分选对的得 3分，有选错的得 0 分. 9.设 O为坐标原点， 12 ,F F是双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的焦点.若在双曲线上存在点 P，满足 12 60 ,|7FPFOPa，则( ) A.双曲线的方程可以是 2 2 1 2 x y B.双曲线的渐近线方程是20 xy C.双曲线的离心率为3 D. 12
5、 PFFV的面积为 2 3a 10.在ABCV中,角, ,A B C的对边分别为, , ,8,4,7a b c abc,且满足2coscosabCcB,则下列 结论正确的是( ) A.60C B.ABCV的面积为6 3 C.2b D.ABCV为锐角三角形 11.已知函数 ee 2 xx f x ， ee 2 xx g x ，则 ,f xg x满足( ) A.()( ), ()( )fxf xgxg x B.( 2)(3), ( 2)(3)ffgg C.(2 )2 ( ) ( )fxf x g x D. 22 ( ) ( )1f xg x 12.某市有, , ,A B C D四个景点,一位游客来
6、该市游览,已知该游客游览A的概率为 2 3 ,游览, ,B C D的 概率都是 1 2 ,且该游客是否游览这四个景点相互独立.用随机变量X表示该游客游览的景点个数,则 ( ) A.该游客至多游览一个景点的概率为 1 4 B. 3 (2) 8 P X C. 1 (4) 24 P X D. 13 () 6 E X 三、填空题三、填空题：本题共 4小题，每小题 5 分，共 20分. 13.已知直线:(3)l yk x和圆 22 :(1)1C xy相切，则实数k _. 14.已知等差数列 n a的前 n项和为, n S且 523 3,Saa则 2 3 a a _. 15. 5 2 1 1xx x 的展
7、开式中， 5 x项的系数是_. 16.已知三棱锥ABCD中，点 A在平面 BCD上的射影与点 D重合，4ADCD.若135CBD， 则三棱锥ABCD的外接球的体积为_. 四、解答题：四、解答题：本题共 6 小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （10 分）在锐角ABC中，内角, ,A B C对应的边分别为, ,a b c，且2 3 , sinb cC的等比中项为 3c. （1）求角 B的大小； （2）若ab，求 a abc 的取值范围. 18. （12分）已知等差数列 n a的前n项和为 n S，且 1536 225,16Saa. （1）证明： n S是等差数列；
8、 （2）设2n nn ba，求数列 n b的前n项和 n T. 19. （12分）在传染病学中,通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起,到机体出现反应 或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期. 一研究团队统计了某地区 1000名患 者的相关信息,得到如下表格： 潜伏期（单位: 天） 0,2 2,4 4,6 6,8 8,10 10,12 12,14 人数 85 205 310 250 130 15 5 (I)求这 1000名患者的潜伏期的样本平均数x（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (II)该传染病的潜伏期受诸多因素的影响,为研究潜伏期与患者年龄的关系,以潜伏
9、期是否超过 6 天为 标准进行分层抽样,从上述 1000名患者中抽取 200 人,得到如下列联表. 请将列联表补充完整,并根据 列联表判断是否有95的把握认为潜伏期与患者年龄有关； 潜伏期6天 潜伏期6天 总计 50 岁以上（含 50岁） 100 50 岁以下 55 总计 200 (III)以这 1000 名患者的潜伏期超过 6 天的频率,代替该地区 1名患者潜伏期超过 6天发生的概率,每 名患者的潜伏期是否超过 6 天相互独立. 为了深入研究,该研究团队随机调查了 20 名患者,其中潜伏 期超过 6天的人数最有可能（即概率最大）是多少? 附： 2 0 ()P Kk 0.05 0.025 0.
10、010 0 k 3.841 5.024 6.635 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ,其中na bcd. 20. （12分）在四棱锥PABCD中，底面 ABCD为直角梯形， /,1,2,BC AD ADCD BCCDADPAPD，E为 PC 的中点，F 为 AD的中点，平面PAD 底面 ABCD. （1）证明：平面BEF 平面 PAD； （2）若 PC与底面 ABCD 所成的角为 3 ，求三面角EBFA的余弦值. 21. （12分）已知函数 2 ln1 2 a f xxxxb,Ra b. (1) 当-1b 时,讨论函数 f x的零点个数； (2) 若
11、f x在0,上单调递增,且 2 e a b c 求c的最大值. 22. （12分）已知椭圆 22 1 22 :1(0) xy Cab ab 的右焦点F与抛物线 2 C的焦点重合， 1 C的中心与 2 C的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交 1 C于, A B两点，交 2 C于,C D两点，且 4 3 CDAB. （1）求 1 C的离心率； （2）设M是 1 C与 2 C的公共点.若5MF ，求 1 C与 2 C的标准方程. 2021 年高考数学预测猜题卷年高考数学预测猜题卷 新高考版新高考版 答案以及解析答案以及解析 一、单项选择题一、单项选择题 1.答案：C 解析：由 2 log (1) 1
12、,x 可得01 2,x 解得13,x 则3(1,M ，由 2 1x 可得 1x 或1,x 又 ,xZ所以2,3MN I，故选 C. 2.答案：B 解析： i2(i2)(1i)13i13 i 1i(1i)(1i)222 ，其在复平面内对应点 1 3 , 2 2 ，位于第二象限，故选 B. 3.答案：C 解析：对于, ,A m n可能平行、异面、相交，故 A错误；对于 B，若,mn ，则直线 m 与 n不可能平行，故 B 错误；对于 C，根据线面垂直线面平行的性质可知直线 m 与 n一定垂直， 故 C 正确；对于 D，若, /mn ，则直线 m 与 n可能平行，也可能异面，故 D 错误. 故选 C
13、. 4.答案：A 解析：由频率分布直方图可知，销售额在区间7.5,10.5上的频率为0.250.230.170.65，因此 使 65%的员工都能够完成的销售额指标为 7.5 万元.故选 A. 5.答案：D 解析：本题主要考查指数函数模型1 x yNp.由题意可知，n 年后这批设备的价值1% n ab. 故选 D. 6.答案：B 解析：由( )0f x 得 sin 32 m x ，作出函数 ( )sin 3 g xx 在0,上的图像，如图所示. 由图像可知当0 x 时， 3 (0)sin 32 g，函数( )g x的最大值为 1， 所以要使( )f x在0,上有两个零点，则 3 1 22 m ，
14、即32m.故选 B. 7.答案：B 解析：由| 2 30aba b,得|2 3 aba b,两边平方,得 222 212() aa bba b,即 2 12()220 a ba b,整理得(2 . 1)(31)0a ba b,所以 1 2 a b或 1 3 a b.因为 |2 30 aba b,所以0 a b,所以 1 2 a b,所以 2 222 133 |121 242 ttttttt ababa b,故选 B. 8.答案：C 解析：由题意得 33 ,log,log1 ,| 1A ttB ttAB.设 3 ,logC xx, 因为ABC是等边三角形，所以点 C 到直线 AB 的距离为 3
15、2 ，所以 33 , 22 txxt .根据中点 坐标公式可得 33 333 loglog131 logloglog 2223 ttt tt ,所以 3 23 t t ,解得 3 33 4 t . 故选 C. 二、多项选择题二、多项选择题 9.答案：BC 解析：如图，OQ为 12 F F的中点， 12 2PFPFPO uuu ruuu ruuu r ， 2 2 12 (2)PFPFPO uuu ruuu ruuu r ， 即 22 2 1212 2cos604|PFPFPFPFPO uuu ruuu ruuu ruuu ruuu r .又|7OPaQ， 22 2 1212 28PFPFPF P
16、Fa uuu ruuu ruuu r uuu r .，又由双曲线的定义得 12 2PFPFa， 2 2 12 4PFPFa.即 22 2 1212 24PFPFPF PFa. 由得 22 22 1212 8,20PFPFaPFPFa.在 12 FPFV中，由余弦定理得 222 1212 12 cos60 2 PFPFFF PF PF ， 222 8204aac，即 22 3ca. 又 22222 ,2cabbaQ，即 2 2 2,2 bb aa .双曲线的渐近线方程为20 xy. 双曲线的离心率为3，双曲线的方程可以是 2 2 1 2 y x ， 12 PFFV的面积 22 1212 113
17、sin82 3 222 SPF PFFPFaa.故选 BC. 10.答案：AB 解析：(2)coscos ,(2sinsin )cossincosabCcBABCCBQ, 2sincossincoscossinACBCBC,即2sincossin()ACBC,2sincossinACA.Q在ABCV 中, 1 sin0,cos,60 2 ACC,A 正确. 由余弦定理 222 2coscababC,得 2 49642 8 cos60bb ,即 2 8150bb,解得3b 或 5b ,又4,3bb ,C 错误. ABCV的面积 113 sin8 36 3 222 SabC ,B 正确. 又 22
18、2 94964 cos0, 22 3 7 bca AA bc 为钝角,ABCV为钝角三角形,D错误. 故选 AB. 11.答案：ABC 解析： eeee ()( ) 22 xxxx fxf x ， ee )() 2 ( xx ggxx ，故 A对； f x为增函数，则( 2)(3)ff， 22 ee ( 2) 2 g ， 33 ee (3) 2 g ，易得 32gg，故 B 对； 22 eeeeee 2 ( )( )22(2 ) 224 xxxxxx f xg xfx ，故 C对； 22 ( ) ( ) ( )( )()( )( )ee1 xx f xg xf xg xf xg x ，故 D错
19、. 故选 ABC. 12.答案：ABD 解析：X的所有可能取值为 0,1,2,3,4. 则 21111 (0)1111 322224 P X , 32 1 3 212115 (1)11C1 3232224 P X , 所以该游客至多游览一个景点的概率为 151 (0)(1) 24244 P XP X,故 A 正确. 22 12 3 1 3 2112113 (2)C11C1 3223228 P X ,故 B 正确. 3 211 (4) 3212 P X ,故 C 错误. 又 213 23 33 211217 (3)C11C 3223224 P X , 所以 1537113 ()01234 242
20、4824126 E X ,故 D 正确. 故选 ABD. 三、填空题三、填空题 13.答案：3或 0 解析：本题考查直线与圆的位置关系.由直线与圆相切可知， 2 |31| 1 1 k k ，化简得 2 30kk， 解得3k 或 0. 14.答案： 2 3 解析：由题意知 15 53 5 5, 2 aa Sa 又 523 3,Saa 所以 323 53,aaa 则 2 3 2 3 a a . 15.答案：-4 解析： 5 1 x x 的展开式的通项为 5 15 1 r rr r TCx x 5 2 5 C( 1) rr x .令525r,则0r ,因此 5 1 x x 的展开式中, 5 x项的系
21、数是 00 5 C ( 1)1;令523r, 则1r ,因此 5 1 x x 的展开式中, 3 x项的系数是 11 5 C ( 1)5.故 2 1x 5 1 x x 的展开式中, 5 x项的 系数是154 . 16.答案：32 3 解析：本题考查正弦定理、空间几何体的外接球. 如图，设BCD的外接圆圆心为 1 O，半径为 r，三棱锥ABCD的外接球球心为 O，半径为 R， 则 1 OO 平面 BCD，故 1 2 2 AD OO . 在BCD中，由正弦定理得24 2 sin CD r CBD ，故2 2r ， 则 22 1 2 3RrOO. 故球 O的体积 33 44 (2 3)32 3 33
22、VR. 四、解答题四、解答题 17.答案：解：（1）由已知，得 2 2 3sin3bcCc，即2 sin3bCc， 由正弦定理得2sinsin3sinBCC，2分 又ABC为锐角三角形，所以sin0C ， 所以 3 sin 2 B ， 3 B .4 分 （2）由ab，得AB，因而 , 3 2 A . 由正弦定理，得 sin1 sinsin sinsinsin 1 sin aA BC abcABC A ， 而 32 331 sin cossin sinsin23 222 sinsinsin A AA BC AAA 2 2cos 131cos13131 2 22sin2222 2sincostan
23、 222 A A AAA A ，7分 又 , 26 4 A ，所以 3 tan,1 23 A ，所以 sinsin13 ,2 sin2 BC A ， 所以 a abc 的取值范围为 1 33 , 33 .10 分 18.答案：(1)设数列 n a的公差为d，则 158 15225Sa，解得 8 15a .2分 所以 368 2730716aaadd，解得2d ，所以 18 71aad. 所以 2 (1) 2 2 n n n Snn . 故 n Sn.4分 因为当1n 时， 1 1S ，当2n 时， 1 (1)1 nn SSnn , 故 n S是首项为 1，公差为 1的等差数列. 5分 (2)由
24、(1)可知21 n an，故2(21) 2 nn nn ban.6分 故 123 1 23 25 2(21) 2n n Tn L, 2341 21 23 25 2(21) 2n n Tn L,9 分 两式相减可得 1231 22222(21) 2 nn n Tn L 1 11 4 12 22(21) 2(32 ) 26 12 n nn nn , 故 1 (23) 26 n n Tn .12分 19.答案：（I） 1 1 8532055 31072509 13011 1513 55.4 1000 x （天）. 3分 （II）根据题意,补充完整的列联表如下： 潜伏期6天 潜伏期6 总计 50 岁以
25、上（含 50 岁） 65 35 100 50 岁以下 55 45 100 总计 120 80 200 则 2 2 65 4555 3520025 2.083 120 80 100 10012 K ,6 分 因为2.0833.841,所以没有 95% 的把握认为潜伏期与年龄有关. 7分 (III)由题可知,该地区每 1名患者潜伏期超过 6 天发生的概率为 4002 10005 ， 设调查的 20名患者中潜伏期超过 6天的人数为 X， 则 20 20 223 20, ()C, 555 kk k XBP Xkk 0,1,2,20L，9分 由 ()(1), ()(1), P XkP Xk P XkP
26、Xk 得 20119 1 2020 20121 1 2020 2323 CC 5555 2323 CC 5555 , , kkkk kk kkkk kk 化简得 3(1) 2(20), 2(21) 3 , kk kk 解得 3742 55 k剟， 又k N，所以8k ，即这 20 名患者中潜伏期超过 6 天的人数最有可能是 8人. 12分 20.答案：(1)由题可知 /,BC DF 四边形 BCDF 是平行四边形， /BF CD.2分 又,CDADBFADQ. 又平面PAD 平面 ABCD，平面PADI平面,ABCDAD BF平面 ABCD， BF平面 PAD.BF Q平面,BEF 平面BEF
27、 平面 PAD.5分 (2)如图，连接.,PFPAPD FQ为 AD 中点, PFAD. 又PF 平面 PAD，平面PAD 平面 ABCD，平面PAD平面,ABCDAD PF底面 ABCD. 7 分 又,BFAD故以,FA FB FP uur uur uur 的方向分别为 x，y，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示. (0,0,0), (0,1,0), ( 1,1,0),FBC 设 (0,0, )Pt(0)t ， 则( 1,1,),(0,1,0)PCt FB uuu ruur ，取平面 ABCD的法向量 1 (0,0,1),n 则有 1 2 1 3 sin,6 32 |2 PC t t
28、 PCt n n uuu r uuu r，10分 1 16 (0,0, 6), 2 22 PE ， 1 16 , 2 22 FE uu u r . 设平面 EBF 的法向量 2 ( , , )x y zn ， 2 2 116 0, 222 0, FExyz FBy n n uu u r uur 令 1,z 得 2 ( 6,0,1)n. 设二面角EBFA的平面角为 12 12 7 , |cos|, 7 nn n n 由图可知 为钝角 7 ,cos 7 ， 即二面角EBFA的余弦值为 7 7 .12分 21.答案：(1)当-1b 时, 2 ln 2 a f xxxx,定义域为 0, 由 0f x
29、可得 ln 2 ax x , 令 ln x g x x , 则 2 1ln x gx x , 由 0gx ,得0ex,由 0gx ,得ex , 所以 g x在0,e上单调递增,在e,上单调递减, 则 g x的 最 大 值 为 1 e e g, 且当ex 时, 1 0 e g x ,当0ex时, 1 e g x , 3分 由此作出函数 g x的大致图象,如图所示. 由图可知,当 2 0 e a时,直线 2 a y 和函数 g x的图象有两个交点,即函数 f x有两个零点； 当 1 2e a 或 0 2 a ,即 2 e a 或0a 时,直线 2 a y 和函数 g x的图象有一个交点,即函数 f
30、 x有一个 零点； 当 1 2e a 即 2 e a 时 ,直线 2 a y 与函数 g x的 象 没 有 交 点 ,即 函数 f x无零点. 5分 (2) f x在0,上单调递增,即 ln0fxaxbx在0,上恒成立. 设 lnh xaxbx,则 1 hxa x .6分 若0a ,则 0h x , h x在0,上 单 调递减,显 然 ln0fxbx 在0,上不恒成立, 7分 若0a ,则 0h x , h x在0,上单调递减, 当max,1 b x a 时, 0, ln0axbx ,故 0h x , f x单调递减,不符合题意. 8分 若 0a ,当 1 0 x a 时, 0h x , h
31、x单调递减, 当 1 x a 时 , 0h x , h x单调递增,所以 min 1 1lnh xhba a , 由 min0h x ,得221lnabaa ,设 21 ln ,0m xxx x ,则 1 2mx x , 当 1 0 2 x时 , 0m x , m x单调递减, 当 1 2 x 时, 0m x , m x单调递增, 所以 1 ln2 2 m xm ,所以2ln2ab, 又 2a b ce ,所以2c ,即c的最大值为2. 12分 22.答案：（1）由已知可设 2 C的方程为 2 4ycx，其中 22 cab. 不妨设, A C在第一象限，由题设得, A B的纵坐标分别为 22
32、, bb aa ；,C D的纵坐标分别为2 , 2cc， 故 2 | 2 |,| 4 b BCDc a A.3分 由 4 | 3 CDAB得 2 8 4 3 b c a ，即 2 322 cc aa .解得2 c a （舍去）， 1 2 c a . 所以 1 C的离心率为 1 2 .5分 （2）由（1）知2 ,3ac bc，故 22 1 22 :1 43 xy C cc .设 00 ,M xy，则 22 00 22 1 43 xy cc ， 2 00 4ycx， 故 2 00 2 4 1 34 xx cc .7 分 由于 2 C的准线为xc ，所以 0 |MFxc，而| 5MF |，故 0 5xc，代入得 2 2 (5)4(5) 1 34 cc cc ，即 2 230cc，解得1c （舍去），3c . 所以 1 C的标准方程为 22 1 3627 xy ， 2 C的标准方程为 2 12yx.12 分
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