1、 专题 13 函数综合 2021 届中考数学压轴大题专项训练（解析版） 1如图，在平面直角坐标系中，点(6,0)A、 (0,12)B 分别在x轴、y轴上，点C是直线2yx与直线AB 的交点，点D在线段OC上， 2 5OD （1）求直线AB的解析式及点C的坐标； （2）求点D的坐标及直线AD的解析式 【解析】解： （1）设直线AB的解析式为：y kxb ，将点(6,0)A、 (0,12)B 代入解析式 则 60 12 kb b ，解得， 2 12 k b ， 直线AB的解析式为：212yx ， 由题意联立方程组 212 2 yx yx ，解得， 3 6 x y ， 点C的坐标为(3,6)； （2
2、）设点D的坐标为( ,2 )aa， 2 5OD ， 222 (2 )(2 5)aa， 解得，2a ， 由题意得，0a， 2a (2,4)D ， 设直线AD的解析式为y mxn ，把(6,0)A，(2,4)D代入， 得 60 24 mn mn ，解得， 1 6 m n ， 直线AD的解析式为：6yx 2如图，反比例函数 y1 k x 与一次函数 y2mx+n 相交于 A（1，2） ，B（4，a）两点，AEy轴于点 E， 则： （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）若 y1y2则直接写出 x 的取值范围； （3）若 M 为反比例函数上第四象限内的一个动点，若满足 S ABMS AOB，则求
3、点 M的坐标 【解析】 （1）把 A（1，2）代入反比例函数 1 k y x 得，k2 反比例函数的关系式为 1 2 y x ， 把 B（4，a）代入 1 2 y x 得， 1 2 a ， B（4， 1 2 ） 把 A（1，2） ，B（4， 1 2 ）代入一次函数 2 ymxn得， 2 1 4 2 mn mn 解得 1 2 3 2 m n 一次函数的关系式为： 2 13 22 yx （2）当 12 yy时，反比例函数的图象在一次函数图象的下方， 结合图象可知，当 12 yy，自变量 x的取值范围为：x1或 0 x4 （3）当0 x时， 2 3 2 y 2 13 22 yx 与 y轴的交点坐标为
4、（0， 3 2 ） ，如图： S ABMS AOB 根据平行线间的距离处处相等，可将一次函数进行平移 3 2 个单位，则平移后的直线与反比例函数在第四 象限的交点即为所求的 M点 将 2 13 22 yx 向下平移 3 2 个单位过 O 点，关系式为： 1 2 yx ， 1 2 2 yx y x 解得 12 12 22 11 xx yy ， ， M在第四象限， M（2，1） ， 将 2 13 22 yx 向上平移 3 2 个单位后直线的关系式为： 1 3 2 yx ， 1 3 2 2 yx y x 解得 34 34 313313 313313 22 xx yy ， ， M在第四象限， 313
5、(313,) 3 M ， 综上所述，点 M 的坐标（2，1）或 313 (313,) 3 ， 3小哲的姑妈经营一家花店，随着越来越多的人喜爱“多肉植物”，姑妈也打算销售“多肉植物”，小哲帮助 姑妈针对某种“多肉植物”做了市场调查后，绘制了以下两张图： （1）如果在 3 月份出售这种植物，单株获利_元； （2） 单株售价 1 y与月份 x 之间的关系式为_； 单株成本 2 y与月份 x 之间的关系式为_ （3）请你运用所学知识，帮助小哲的姑妈求出在哪个月销售这种“多肉植物”，单株获利最大（提示：单株 获利=单株售价-单株成本） 【解析】 （1）从题图知，3 月份的单株售价为 5元，单株成本为 4
6、元， 单株获利为5 41（元） 故答案为 1 （2）设直线的关系式为 1 (0)ykxb k 把点(3,5),(6,3)代入上式得 35 63 kb kb 解得 2 3 7 k b 直线的关系式为 1 2 7 3 yx 设抛物线的关系式为 2 2 (6)1ya x 把点(3,4)代入上式得 2 4(3 6)1a， 解得 1 3 a ， 抛物线的关系式为 2 2 1 (6)1 3 yx 故答案为 1 2 7 3 yx； 2 2 1 (6)1 3 yx （3） 22 12 2117 7(6)1(5) 3333 yyxxx 1 0 3 ， 当5x 时，取得最大值 答：5 月份销售这种“多肉植物”，单
7、株获利最大 4如图，直线y mxn 与双曲线 k y x 相交于1,2 , (2, )ABb两点，与x轴交于点E，与y轴相交于 点C （1）求m n，的值； （2）若点D与点C关于x轴对称，求ABD的面积； （3）在坐标轴上是否存在异于D点的点,P使得 PABDAB SS ?若存在，直接写出点坐标；若不存在， 说明理由 【解析】 （1）点 A（-1，2）在双曲线 k y x 上， -1 2 k ， 解得，2k ， 反比例函数解析式为： 2 y x ， (2, )Bb 2 1 2 b ， 则点 B的坐标为（2，-1） ， 把1,2 , (2, 1)AB代入y mxn 得： 12 2 mn mn
8、， 解得 1 1 m n ； （2）对于 y=-x+1，当 x=0 时，y=1， 点 C的坐标为（0，1） ， 点 D与点 C关于 x轴对称， 点 D的坐标为（0，-1） ， ABD的面积= 1 2 2 3=3； （3）对于 y=-x+1，当 y=0 时，x=1， 直线 y=-x+1与 x轴的交点坐标为（0，1） ， 当点 P 在 x轴上时，设点 P 的坐标为（a，0） ， S PAB= 1 2 |1-a| 2+ 1 2 |1-a| 1=3， 解得，a=-1 或 3， 此时 P 点坐标为（-1，0）或（3，0） 当点 P 在 y轴上时，设点 P 的坐标为（0，b） ， S PAB= 1 2 |
9、1-b| 2+ 1 2 |1-b| 1=3， 解得，b=-1或 3， D（0，-1） 此时 P 点坐标为（0，3） P 点坐标为（-1，0）或（3，0）或（0，3） 5如图，直角坐标系xOy中，一次函数 1 5 2 yx 的图像 1 l分别与x，y轴交于A，B两点，正比例函 数的图像 2 l与 1 l交于点C( ,4)m （1）求m的值及 2 l的解析式； （2）求 AOC 的面积； （3）若点 M是直线 1 5 2 yx 一动点，连接 OM，当 AOM的面积是 BOC 面积的 1 2 时，请直接写出 出符合条件的点 M的坐标； （4）一次函数1ykx的图像为 3 l，且 1 l， 2 l，
10、3 l不能 围成三角形，直接 写出k的值 【解析】 （1）点C( ,4) m 在 1 5 2 yx 上， 1 54 2 m， 2m， 2,4C， 设 2 l为 1 yk x，将2,4C代入， 得 1 24k ， 1 2k ， 2 l的解析式2yx （2）由于 1 21 2 ， 1 l与 2 l垂直， 由（1）可知4CD， 在 1 l中，令0y ，可得 1 05 2 x，解得10 x ， 10,0A， 令0 x，可得5y , 0,5B， 11 10420 22 AOC SOA CD （3）由题意可得： 1 2 AMBC, 设 1 ,5 2 Mxx ， 则 2 21 105 2 AMxx ， 2
11、2 2545BC， 2 211 105=5 22 xx ， 2 215 105 24 xx ， 整理得： 2 20990 xx ， 解得： 1 11x ， 2 9x ， 故 M的坐标为 1 9,2 ， 1 11, 2 （4）一次函数1ykx的图像为 3 l，且 1 l， 2 l， 3 l不能 围成三角形， 当 3 l经过点2,4C时， 3 2 k =； 当 2 l、 3 l平行时，2k ； 当 1 l、 3 l平行时， 1 2 k ； 故 k的值是 3 2 或 2或 1 2 6某大学生利用 40 天社会实践参与了某加盟店经营，他销售了一种成本为 20 元/件的商品，细心的他发现 在第x天销售的
12、相关数据可近似地用如下表中的函数表示： 销售量 销售单价 50 x 当120 x时，单价为30 2 x 当2140 x时，单价为 40 （1）求前 20天第几天获得的利润最大？最大利润是多少？ （2）求后 20天第几天获得的利润最大？最大利润是多少？ （3）在后 20天中，他决定每销售一件商品给山区孩子捐款m元（3m且m为整数） ，此时若还要求每一 天的利润都不低于 160元，求m的值 【解析】设该加盟店的每天利润为W元 （1）当120 x时 (50) 3020 2 x Wx 2 1 15500 2 xx 2 1 (15)612.5 2 x 由二次函数的性质可知，当115x时，W随x增大而增大
13、；当1520 x时，W随x增大而减小 则当15x 时，W取得最大值，最大值为612.5元 答：前 20 天中，第 15 天获得利润最大，最大利润是612.5元； （2）当2140 x时 504020201000Wxx 因为200 所以当2140 x时，W随x增大而减小 则当21x 时，W取得最大值，最大值为20 21 1000580（元） 答：后 20 天中，第 21 天获得利润最大，最大利润是 580 元； （3）由题意得：(50)(4020)(20)100050Wxmmxm 40 200m，3m且m为整数 320m 200m 由一次函数的性质可知，当2140 x时，W随x增大而减小 则当4
14、0 x时，W取得最小值，最小值为40(20) 100050200 10mmm（元） 要使每一天的利润都不低于 160 元，则只需W的最小值不低于 160元即可 则200 10160m 解得4m 因此，m的取值范围为34m且m为整数 故 m的值为 3或 4 7某网店尝试用单价随天数而变化的销售模式销售一种商品，利用 60 天的时间销售一种成本为 10元每件 的商品，经过统计得到此商品的日销售量 m（件） 、销售单价 n（元/件）在第 x 天（x为正整数）销售的相 关信息： m 与 x 满足一次函数关系，且第 1 天的日销售量为 98 件，第 4 天的日销售量为 92件； n与 x的函数关系式为：
15、n 30,(120) 50,(2060) xx x 剟 剟 （1）求出第 15 天的日销售量； （2）设销售该产品每天利润为 y 元，请写出 y 与 x的函数关系式，并求出在 60天内该产品的最大利润 （3）在该产品的销售过程中，共有 天销售利润不低于 2322元 （请直接写出结果） 【解析】解： （1）设 m 与 x 的函数关系式为：mkx+b， 当 x1 时，m98；当 x4时，m92， 98 492 kb kb ， 解得： 2 100 k b ， m 与 x 的函数关系式为：m2x+100， 当 x15 时，m2 15+10070； （2）根据题意，可知： 当 1x20 时，ym（n10
16、）（2x+100） （x+3010）2（x15）2+2450， 当 x15 时，y有最大值 2450， 当 20 x60时，ym（n10）40（2x+100）80 x+4000， y随 x的增大而减小， 当 x20 时，y有最大值为：1600+40002400， 综上所述，60天内该产品的最大利润为 2450 元 答： 2 2152450 120 804000 2060 yxx yxx ；60天内该产品的最大利润为 2450 元； （3）根据题意， 当 1x20 时，2（x15）2+24502322， 解得：7x23， 7x20,其整数解为 7、8、9、10、11、12、13、14、15、16
17、、17、18、19、20 当 20 x60时，80 x+40002322， 解得：x 39 20 40 ， 20 x 39 20 40 ，其整数解为 20 综上所述，销售利润不低于 2322元有 14天， 故答案为：14 8定义：对于平面直角坐标系xOy上的点,P a b和抛物线 2 yxaxb，我们称,P a b是抛物线 2 yxaxb的相伴点，抛物线 2 yxaxb是点,P a b的相伴抛物线如图，已知点2, 2A ， 4, 2B，1,4C （1） 点A的相伴抛物线的解析式为_； 过A，B两点的抛物线 2 yxaxb的相伴点坐标为_； （2）设点 ,P a b在直线AC上运动： 点,P a
18、 b的相伴抛物线的顶点都在同一条抛物线上，求抛物线 的解析式 当点,P a b的相伴抛物线的顶点落在 ABC内部时，请直接写出a的取值范围 【解析】解： （1）2ab， 故抛物线的表达式为： 2 22yxx 故答案为： 2 22yxx； 将点A、B坐标代入 2 yxaxb得： 422 1642 ab ab ， 解得：2a=-=-，10b- 故答案为：( 2 1 )0， ； （2）由点A、C的坐标得：直线AC的表达式为：22yx， 设点22P m m，则抛物线的表达式为： 2 22yxmxm， 顶点为： 2 11 ,22 24 mmm ， 令 1 2 xm ，则2mx， 则 22 1 2242
19、4 ymmxx 即抛物线的解析式为： 2 42yxx； 如图所示，抛物线落在ABC内部为EF段， 抛物线与直线AC的交点为点0,2E； 当2y 时，即 2 422yxx，解得：22 2x 故点 22 2, 2F ； 故022 2x ，由知：2amx， 故：4 4 20a 9如图，单位长度为1的网格坐标系中，一次函数y kxb 与坐标轴交于A、B两点，反比例函数 m y x 0 x 经过一次函数上一点2,Ca （1）求反比例函数解析式，并用平滑曲线描绘出反比例函数图像； （2）依据图像直接写出当0 x时不等式 m kxb x 的解集； （3） 若反比例函数 m y x 与一次函数ykxb交于C、
20、D两点， 在图中用直尺与2B铅笔画出两个矩形(不 写画法)，要求每个矩形均需满足下列两个条件： 四个顶点均在格点上，且其中两个顶点分别是点C、点D； 矩形的面积等于10的值 【解析】解（1）由图知点 A 坐标为(0，4)，点 B的坐标为(8，0)， 一次函数y kxb 经过 A、B两点， 4 08 b kb ， 解得： 1 2 4 k b ， 一次函数解析式为： 1 4 2 yx ， 1 4 2 yx 经过点 C (2，a)， a=1+4=3， 点 C坐标为(2，3)， 反比例函数 m y x 经过点 C(2，3)， 2 36m ， 反比例函数解析式为： 6 y x ； 当 x=6时，y=1，
21、所以反比例函数过 D(6，1) 描绘出反比例函数 m y x (x0)的图像如下图： （2）由图可知，一次函数与反比例函数交于 C、D两点，通过（1）得到 C、D两点坐标，根据图中反比例 函数与一次函数的位置关系，当26x时满足 m kxb x 故26x （3）画出两个以 C、D为顶点的矩形如上图所示，理由如下： 由图像可知点 C(2，3)，点 D(6，1)， 依据勾股定理可得 CD= 22 24 =2 5，已知矩形面积为 10的情况下，分类讨论： 若以 CD 为边构造矩形，则矩形的另一边为 5； 若以 CD 为对角线的情况下构造矩形，此时矩形为正方形，得其边长为 10 故构造符合题意的矩形共
22、有 3个 10如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 1 C： 2 3 62 2 yxx的顶点为M，与y轴相交于点N， 先将抛物线 1 C沿x轴翻折， 再向右平移 p 个单位长度后得到抛物 2 C， 直线l；ykxb经过M，N两点 （1）求点M的坐标，并结合图象直接写出不等式： 2 3 62 2 xxkxb的解集； （2）若抛物线 2 C的顶点D与点M关于原点对称，求 p 的值及抛物线 2 C的解析式； （3） 若抛物线 1 C与x轴的交点为E、F（点E、F分别与抛物线 2 C上点A、B对应） ， 试问四边形EMDB 是何种特殊四边形？并说明其理由 【解析】解： （1） 22 33 62(2)4
23、 22 yxxx ( 2, 4)M 观察函数图象，发现：当2x0 时，抛物线 C1在直线 l的下方， 不等式 2 3 62 2 xxkxb的解集是20 x ； （2）M关于对称的点 M 为( 2,4) ( 2,4)Dp 点D与点M关于原点对称 (2, 4)D 22p 4p 抛物线 1 C与 2 C的形状相同，开口相反 a值互为相反数 3 2 a 抛物线 2 C的顶点(2, 4)D 2 2 3 :(2)4 2 Cyx ； （3）令 y 3 2 x2+6x+20，则 x2 2 6 3 ， 即点 E、F的坐标分别为（2 2 6 3 ，0） 、 （2+ 2 6 3 ，0） ， 点 M（2，4） ； 同
24、理点 A、B、D 的坐标分别为（2 2 6 3 ，0） 、 （2+ 2 6 3 ，0） 、 （2，4） ， 由点的对称性知，DM、EB 相互平分，故四边形 EMBD 是平行四边形， 11如图，抛物线 L1： 1 () 2 yx xt （常数 t0）与x轴的负半轴交于点 G，顶点为 Q，过 Q作 QMx 轴交x轴于点 M，交双曲线 L2： k y x (0,0)kx于点 P，且 OG MP=4 （1）求k值； （2）当 t=2 时，求 PQ的长； （3）当 P 是 QM 的中点时，求 t的值； （4）抛物线 L1与抛物线 L2所围成的区域（不含标界）内整点（点的横、纵坐标都是整数）的个数有且只
25、有 1个，直接写出 t的取值范围 【解析】 （1）由题意得 G的坐标为（-t，0） ， M点的坐标为（ 2 t ，0） ， OG=t， OG MP=4， MP= 44 OGt ， P 的坐标为（ 2 t ， 4 t ） ， 把 P（ 2 t ， 4 t ）代入 k y x ，得 4 2 k t t ， 解得 k=-2； （2）由（1）得双曲线 L2： 2 y x ， 当 t=2 时，抛物线 L1： 2 2 1111 (2)1 2222 yx xxxx ， Q 的坐标为（-1， 1 2 ） ，P 的横坐标为-1， 当 x=-1 时，在 2 y x 中，y= 2 1 =2， PQ=2- 1 2 =
26、 3 2 ； （3）抛物线 L1： 2 22 111111 () 222228 yx xtxtxxtt ， Q 的坐标为（ 1 2 t， 2 1 8 t） ， P 是 QM的中点， P 的坐标为（ 1 2 t， 2 1 16 t） ， 把 P（ 1 2 t， 2 1 16 t）代入 2 y x 得： 2 12 1 16 2 t t ， 解得：t=4； （4）由 L1与 L2围成的区域只有一个整点， 如图，L1具有对称性， 当 x=-2 时， 1 ( 2)2 2 yt 满足 1y2， 1t-22， 解得 3t4， 当 x=-3 时， 1 ( 3)3 2 yt 满足 1y2， 1 3 2 （t-3
27、）2， 2 3 t-3 4 3 ， 1113 33 t ， t的取值范围是 11 4 3 t ； 如图： 当 x=-2 时，2yt 满足 2y3， 2t-23， 解得 4t5， 当 x=-3 时， 3 3 2 yt满足 0y1， 0 3 2 （t-3）1， 0t-3 2 3 ， 11 3 3 t ， 此时无解； 综上：t的取值范围是 11 4 3 t 12我们把方程(x- m)2+(y-n)2=r2称为圆心为(m，n)、半径长为 r的圆的标准方程例如，圆心为(1,-2)、半 径长为 3的圆的标准方程是(x- 1)2+(y+2)2=9在平面直角坐标系中,圆 C 与轴交于点 AB且点 B的坐标为
28、(80),与 y轴相切于点 D(0, 4)，过点 A,B,D 的抛物线的顶点为 E (1)求圆 C的标准方程； (2)试判断直线 AE与圆 C的位置关系，并说明理由 【解析】解：连接 CD，CB，过 C 作 CFAB， 点 D（0，4） ，B（8，0） ，设圆 C 半径为 r，圆 C与 y轴切于点 D， 则 CD=BC=OF=r，CF=4， CFAB， AF=BF=8-r， 在 BCF中， 222 BFCFBC， 即 2 22 84rr， 解得：r=5， CD=OF=5，即 C（5，4） ， 圆 C的标准方程为： 22 5425xy； （2）由（1）可得：BF=3=AF，则 OA=OB-AB=
29、2， 即 A（2，0） ， 设抛物线表达式为： 2 yaxbxc，将 A，B，D坐标代入， 042 0648 4 abc abc c ，解得： 1 4 5 2 4 a b c ， 抛物线表达式为： 2 15 4 42 yxx， 可得点 E（5， 9 4 ） ， 设直线 AE表达式为：y=mx+n，将 A和 E代入， 可得： 9 5 4 02 mn mn ，解得： 3 4 3 2 m n ， 直线 AE的表达式为： 33 42 yx ， 圆 C的标准方程为 22 5425xy， 联立 22 33 42 5425 yx xy ， 解得：x=2， 故圆 C与直线 AE 只有一个交点，横坐标为 2， 即圆 C与直线 AE 相切.
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