1、第第 8 8 讲讲 多结论题型（选择压轴题）多结论题型（选择压轴题） 【方法梳理】 直接证明：不一定按顺序，哪个结论最好证就先证哪个； 反证法：遇到不好证的，可以假设它成立，倒过去反推，若推出的结论与题目已知条件相符，说明假设成立，即 结论也成立；若与已知条件矛盾或无关，则结论错误； 解题技巧：可设未知数或特殊值法，通过代数计算的方法来证明某一结论正确与否； 注意利用好“解题思路的延续性”帮助思考分析：已证明的结论可以作为题目的已知条件. 一定是围绕着“四个典型”来设置各个结论。 【巩固强化练习】 解题技巧一解题技巧一：注意几何图形中的“数学典型模型”：注意几何图形中的“数学典型模型” 例 1
2、如图， 在 RtABC中，CACB，M是AB的中点， 点D在BM上，AECD，BFCD，垂足分别为E，F， 连接EM则 下列结论中： BFCE；AEMDEM；CFDMBMDE；DE 2DF22DM2， 其中正确结论的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 解题技巧二：注意特殊值法与假设法的运用解题技巧二：注意特殊值法与假设法的运用 例 2.如图，正方形 ABCD 中 E 为 CD 的中点，AE 的垂直平分线分别交 AD、BC 及 AB 的延长线于点 F、G、H，连接 HE、 HC、OD，连接 CO 并延长交 AD 于点 M，则下列结论中：FG=2AO；HE=5HB；ODCM；OD/HE； = ；
3、 22= ；GO+BH=HC，正确结论的个数有（ ）个 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 例 3如图，已知 E 是 ABCD 正方形中 AB 边延长上线上一点，且 AB=BE，连接 CE,DE,DE 与 BC 交于点 N，F 是 CE 的 中点，连接 AF 交 BC 于点 M，连接 BF，有如下结论其中正确的是（ ） DN=EN；ABFECD；tanCED= ； = 2 A B C D 例 4. 如图， 在正方形 ABCD 中， E,F 分别在 CD,AD 边上， 且 CE=DF， 连接 BE,CF 相交于 G 点 则下列结论： BE=CF； = 四边形； 2= ； 当 E 为 CD 中
4、点时， 连接 DG， 则FGD=45； 正确结论的个数是 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 例 5.如图，在正方形 ABCD 中，对角线交于点 O，点 E 在 DC 边上，且 CE=2DE，连接 AE 交 BD 于点 G，过点 D 作 DF AE， 连接 OF 交延长交 DC 于点 P， 过点 O 作 OQOP 分别交 AE、 AD 于点 N， H， 交 BA 的延长线于点 Q， 以下结论中， 其中正确的有（ ） AFO=45；OG=DG；2= ；sinAQO= 5 5 . A. B. C. D. 例 6. 如图，已知正方形 ABCD ，对角线 AC 、 BD 交于点 O ，点
5、M 是边 BC 上一动点(不与点 B，C 重合)，过 点 M 作BME ，使得BME 2ACB .过 B 作 BGME，垂足为点 E , BG 交 AC 于点 G ，ME 交 BD 于点 F则 下面结论其中正确的是（ ） AG=2GO；tanABG=2-1；MF=2BE；在点 M 的运动过程中，当 GB=GM 时，GM=（2+2）BE. A. B. C. D. 例 7.如图，边长为 4 的正方形 ABCD 中，对角线交于点 O，E 在 BD 上，连接 CE，作 EFCE 交 AB 于点 F，连接 CF 交 BD 于点 H，则下列结论中，其中正确的有（ ） EF=EC；CF2= CG CA；BE
6、DH=16；若 BF=1,则 DE= 2 2 . A. B. C. D. 例 8.如图，矩形 ABCD 中，E 为 DC 的中点，AD:AB=3:2,CP:BP=1:2,连接 EP 并延长，交 AB 的延长线于点 F，AP、 BE 交于点 O，下列结论正确的是（ ） EP 平分CEB；2= ； = 22； = 4 . A. B. C. D. o M G F D E C BA o H G F E D CB A 例 9. 如图，在矩形 ABCD 中，AD=2AB，BAD 的平分线交 BC 于点 E，DHAE 于点 H，连接 BH 并延长交 CD 于点 F， 连接 DE 交 BF 于点 O，下列结论
7、中，正确的有（ ） AD=AE；AED=CED；OE=OD；BH=HF；BC-CF=2HE. A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个 例 10. 如图，正方形 ABCD 边长为 2，BM、DN 分别是正方形的两个外角的平分线，点 P，Q 分别是平分线 BM、DN 上的点，且满足PAQ45，连接 PQ、PC、CQ则下列结论：BPDQ3.6；QADAPB； PCQ135；BP 2DQ2PQ2其中正确的有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【答案详解】【答案详解】 解题技巧一：注意几何图形中的“数学典型模型”解题技巧一：注意几何图形中的“数学典型模型” 例 1如图， 在
8、RtABC中，CACB，M是AB的中点， 点D在BM上，AECD，BFCD，垂足分别为E，F， 连接EM则 下列结论中： BFCE；AEMDEM；CFDMBMDE；DE 2DF22DM2， 其中正确结论的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 【解析】 多结论题型，所涉及到“四个典型”是：第 1 个结论：数学典型模型“L 型一线三垂直模型” ；第 2 个结论：压轴题 证角相等的典型方法： “四点共圆” ；第 3 个结论：相似的典型题型“乘积式”及角平分线在相似题中典型用法“角 平分线的相似性质” ； 第 4 个结论：多结论题型的典型解题方法（解题思路的延续性）及相似的典型图形“8 字模 型和共角
9、模型” ； （1）数学典型模型“L 型一线三垂直模型” ，证CBFACE 即可得 BF=CE，正确； （2）证角度不顺畅时，一定要考虑到四点共圆，M 是 RtCAB 斜边中点， 故连接 CM， 则CMA=90， CMA=CEA=90, 故 E、C、A、M 四点共圆， 依圆内四边形的的外角性质，可得DEM=CAM=45， AEM=45， 正确； （3）由（2）可知 EM 是角平分线，由可知这是相似的典型题型“乘积式” ，必用相似解题，两条信息合一，则必 须首先联想到“角平分线的相似性质” 。 由 EM 是DEA 的角平分线可得 = , 由题可知 AM=BM， 由（1）全等可知 AE=CF， =
10、, CFDM=DEBM， 正确； （4）由（2） 、 （3）可知，整道题的解题思路集中在三角形相似，则解决第小题的思考范围也集中在三角形相似。 这样依多结论题型的解题方法，思路线可在两个方向展开：假设正确，则结论需变形为比例式，即 1 + 2 2 = 22 2 ，去找 与 2 有关联的三角形相似；可从 DE、DF、DM 的图像位置附近寻找含有这些边的相 似的典型图形，不难发现：DFB 与DEA 的“8 字模型”及DEA 与DMC 的“共角模型” ， DFBDEA， = ， 即 2 2 = 2 2， DEADMC， = ， 即 2 2 = 2 2， 由2 2 2 = 22 2 ， 2 2 2 2
11、 2 = 22 2 2 2 = 2 2 2 2 = 22 2 = 2 2 = 1， 假设成立， 正确 综上所述，正确结论为，故选 D 解题技巧二：注意特殊值法与假设法的运用解题技巧二：注意特殊值法与假设法的运用 例 2.如图，正方形 ABCD 中 E 为 CD 的中点，AE 的垂直平分线分别交 AD、BC 及 AB 的延长线于点 F、G、H，连接 HE、 HC、OD，连接 CO 并延长交 AD 于点 M，则下列结论中：FG=2AO；HE=5HB；ODCM；OD/HE； = ； 22= ；GO+BH=HC，正确结论的个数有（ ）个 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【解析】 结论中出现线段
12、的和差倍分问题，特殊值法解题。设 AB=2,则 DE=EC=1,AE=5，AO=OE= 5 2 ， 设 AF=FE=m，则 FD=2-m， 在 RtDFE 中，由勾股定理可得 = 5 4, 即 AF=5 4，DF= 4， 在 RtAOF 中由勾股定理可得 OF= 5 4 ， 由射影定理2= ， 可得 OH=5，FH=55 4 ， 在 RtOAH 中由勾股定理可得 AH=5 2=EH， 则 BH= 2， 由 BG/AF 可得 BG:AF=BH:HA=GH:HF， 可得 BG= 4，HG= 5 4 , 则 GC=7 4，FG=5，OG= 5 4 ， 由 MF/GC，可得 = , 即 7 4 = 5
13、 4 35 4 可得 MF= 7 2, 可得 AM=2 ，MD= 4 ， AO = 5 2 ，FG=5， 正确； EH=5 2，BH= 2， ， 正确； BH= 2，BC=2, AM= 2 ，MD= 4 , ， 错误； OE= 5 2 ，AH=5 2，DE=1， 正确； BH= 2，OG= 5 4 ，HC= 7 2 , 错误； 假设 ODMC，由 E 是中点， 可得 OE=DE=EC=1, 与 OE= 5 2 矛盾， 故错误； 假设 OD/HE, 则1=2=3， 则1+4=90， 则1=5=6， 则 OF=FD， OF= 5 4 ，DF= 4， 错误； 综上所述，选 A. 例 3如图，已知 E
14、 是 ABCD 正方形中 AB 边延长上线上一点，且 AB=BE，连接 CE,DE,DE 与 BC 交于点 N，F 是 CE 的 中点，连接 AF 交 BC 于点 M，连接 BF，有如下结论其中正确的是（ ） DN=EN；ABFECD；tanCED= ； = 2 A B C D 【解析】 (1)易证DCNEBN，故正确； (2)易得 CD=BC=2BF,CE=2BC=2AB, = = 2, 则DCE=ABF=135, ABFECD, 正确； (3)过点 F 作 FGAE 于 G, 易得 AB=2BG=2FG, tanCED=tanFAD = , 正确； (4) 设正方形的边长为 3a， 则 B
15、M=a， 于是 CM=2a，BG=1.5a， = 2 = 2 2, = 2 = 2 2, 四边形= = 3 2, 正确. 故选 B 例 4. 如图， 在正方形 ABCD 中， E,F 分别在 CD,AD 边上， 且 CE=DF， 连接 BE,CF 相交于 G 点 则下列结论： BE=CF； = 四边形； 2= ； 当 E 为 CD 中点时， 连接 DG， 则FGD=45； 正确结论的个数是 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【解析】 （1）四边形 ABCD 是正方形， BC=CD，BCE=CDF， 又 CE=DF， BCECDF， BE=CF， 正确； （2）BCECDF， SB
16、CE=SCDF， SBCE-SCGE=SCDF-SCG， = 四边形， 正确； （3）BCECDF， CBE=FCD， BCG+GCE=90， BCG+CBG=90， BGC=90， 又BGC=CGE=90，GBC=GCE， BCGCEG， = , 2= ， 故正确； 过 D 作 DMFG 于 M，如图所示， 设 DF=a， 则 AD=2a， CE=DF， BE=2+ 2 = 5 ， 利用面积法可得 2 = 2 ， CG=2 55 ， 同理可得，DM=2 55 ， FM=2 2= 55 ， MG=CF-FM-CG=2 55 ， MD=MG， DMG=90 ， FGD=45， 故正确. 正确的结
17、论有 4 个，故选：D 例 5.如图，在正方形 ABCD 中，对角线交于点 O，点 E 在 DC 边上，且 CE=2DE，连接 AE 交 BD 于点 G，过点 D 作 DF AE， 连接 OF 交延长交 DC 于点 P， 过点 O 作 OQOP 分别交 AE、 AD 于点 N， H， 交 BA 的延长线于点 Q， 以下结论中， 其中正确的有（ ） AFO=45；OG=DG；2= ；sinAQO= 5 5 . A. B. C. D. 【解析】 （1）如图 1，AOG 与DGF 组成数学典型图形“8 字模型”可得OAN=ODF， 由AOG=QOP=90可得AON=DOF, 由 OA=OD 可证OA
18、NODF, 则 ON=OF, NOF=90, AFO=45, 正确； （2）EDG 与ABG 构成相似典型图形“8 字模型”, 则 = = , 由 OD=OB 可得 OG=GD， 正确； （3）想办法拉近 DP 与 HN、OH 的图形位置，不难发现： 由AOH=DOP,OA=OD,HAO=PDO=45可得OAHODP， 则 AH=DP， 由（1）中的AFO=FNO=ANH=45=HAO，AHN=AHO 可得HANHOA， 得 = ， 即2= ， 2= ， 正确； （4）在 RtADE 中出现数学典型模型“双垂模型” ， 设 DE=1, 则 AD=3，AE=10,DF= 0 0 =AN,OA=
19、2 2 , 由（3）HANHOA 可得 = = 5 5 , 假设正确，则 sinAQO= = 5 5 , 则 = ， 则 HN=HQ， 题目无任何条件支持此结论， 故假设不成立，错误。 综上所述，正确结论是，故选 A. 例 6. 如图，已知正方形 ABCD ，对角线 AC 、 BD 交于点 O ，点 M 是边 BC 上一动点(不与点 B，C 重合)，过 点 M 作BME ，使得BME 2ACB .过 B 作 BGME，垂足为点 E , BG 交 AC 于点 G ，ME 交 BD 于点 F则 下面结论其中正确的是（ ） AG=2GO；tanABG=2-1；MF=2BE；在点 M 的运动过程中，当
20、 GB=GM 时，GM=（2+2）BE. A. B. C. D. 【解析】 (1)由中的“2”暗示及CAB=45可知作 GNAB 于 N， 则出现数学典型模型“L 型一线三垂直模型” ， 则易证OBG=NBG=BME= 2ACB= 2OBA， 由 OG=GN，RtANG 是等腰直角三角形， 故 AG=2GN=2GO， 正确； o M G F D E C BA (2)设 AN=1， 则 AG=2 ,OG=1,AC=2AO=22 + 2,AB= 2 =2+2 ,BN=1+2 , tanABG= =2-1, 正确； (3)由（1） （2）可知:tanEBF= =ABG=2-1， 假设 BE=a, 则
21、 EF=(2-1)a, tanBME= =ABG=2-1， EM=(2+1)a， MF=EM-EF=(2+1)a-(2-1)a=2a, MF=2BE， 正确； (4)作 GQBC 于点 Q， 则MGQ=BGQ， 由 GQ/AB 可知BGQ=GBN= 2OBA， MGB=OBN=45, GEM 是等腰直角三角形， 由（3）可知 EM=(2+1)a=GE， GB=GE+BE= EM=(2+2)a, GM=（2+2）BE, 正确； 综上所述，正确结论是，故选 D. 例 7.如图，边长为 4 的正方形 ABCD 中，对角线交于点 O，E 在 BD 上，连接 CE，作 EFCE 交 AB 于点 F，连接
22、 CF 交 BD 于点 H，则下列结论中，其中正确的有（ ） EF=EC；CF2= CG CA；BEDH=16；若 BF=1,则 DE= 2 2 . A. B. C. D. 【解析】 （1）过 E 作 MNCD，EPAD， 则 EPDM 是正方形， 由数学典型模型“一线三垂直模型”易证FNEEMC， 可得 EF=EC， 正确； （2）乘积式，转化成比例式，找三角形相似； 由（1）可得EFC 是等腰直角三角形， 则GFC=FAC=45, 由GCF=AFC, 则FGCAFC, 则 = , 正确； （3）连接 AE，由正方形的对称性可得 EC=AE， 则 EF=CE=AE， 由等腰三角形“三线合一”
23、可得 AN=NF， 当 BF=1 时， 则 AN= 2PE， 则 DE= 2 2 , 正确； （4）由（3）可知1=2， 由（1）可得2=3， 则1=3， 在 RtBNE 中可得NEB=45, AEB=1+NEB=1+45, DCH=3+ECH=3+45, AEB=DCH, o H G F E D CB A BAE=CDH=45, BAEDHC,则 = , BEDH=BADC=16， 正确； 综上所述，均正确，故选 D 例 8.如图，矩形 ABCD 中，E 为 DC 的中点，AD:AB=3:2,CP:BP=1:2,连接 EP 并延长，交 AB 的延长线于点 F，AP、 BE 交于点 O，下列结
24、论正确的是（ ） EP 平分CEB；2= ； = 22； = 4 . A. B. C. D. 【解析】 此题题目条件中出现线段比，解题经验是特殊值法，依多结论题的解题技巧，此题可以通过几何计算的方法来论证 各结论，避开走传统方法-相似。 设 CP=1,BP=2, 由 BC=3=AD， 则 AB=23=CD, 则 EC=3, 由 tanCEP= = 可得CEP=30， 由 DC/AF 可得F=CEP=30， 则 BF=23,PF=4， (1)数学典型模型“平行线+等腰=角平分线” ， 由勾股定理可得 BE=23, 则 BF=BE， 3 2 1 P NM o H G F E D C B A 则EB
25、F 是等腰三角形， 则BEF=PFB=30， 则BEF=CEP， 则 EP 平分CEB， 正确； (2)由勾股定理可得 PE=2,则 EF=6， 2=12,PBEF=12, 正确； (3)由 PFEF=46=24, 2=9, 错误； (4)由 tanPAB= = 可得PAB=30， 由 DC/AB 可得OBA=CEB=60， 则AOB=90， 则 AO=3,P0=1,AOPO=3, 由 EFEP=62=12, EFEP=4 AOPO, 正确. 综上所述：正确的是，故选 B 例 9. 如图，在矩形 ABCD 中，AD=2AB，BAD 的平分线交 BC 于点 E，DHAE 于点 H，连接 BH 并
26、延长交 CD 于点 F， 连接 DE 交 BF 于点 O，下列结论中，正确的有（ ） AD=AE；AED=CED；OE=OD；BH=HF；BC-CF=2HE. A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个 【解析】 （1）数学典型模型“角平分线+平行线=等腰” ，由 BC 是角平分线，AD/BC，可得ABE 是等腰直角三角形，则 AE=2AB=AD，正确； （2）由 HL 易证 RtDEHRtDEC， 可得AED=CED， 正确； （3）由DHE=90可知，若成立，则 O 即斜边的中线，只需证 OH=OE、OH=OD 即可，即需证OHE=OEH、ODH= OHD,依解题思路的延续性，
27、可从（1） 、 （2）找解决办法。 由（1）可知 AB=BE、AE=AD， 则BEA=BAE=EAD=ADE=45, 则 AD=2AH,则 AB=AH, 则依次可得出如图 1 各个角的度数， 可得OHE=OEH、ODH=OHD, 则 OH=OE、OH=OD， 则 OE=OD， 正确； （4）要证 BH=HF，即证 H 为中点，联想到“中线倍长” ，延长 DH 交 AB 延长线于点 G， 如图 2，由（3）可知ADG=45， 则可得ADG 是等腰直角三角形， 由 AHDH 可知 HD=HG， 则易证DHFGHB， 则 BH=HF， 正确； （5）如图 3，设 HG 交 BC 于点 M， 由（3）
28、可知AEB=45， 易证HME、BGM、CDM 均为等腰直角三角形， 则 BG=BM,MH=HE，CM=CD， 连 AM，易证 RtABMRtAHM， 则 BM=MH， 故 BG=GM=MH=HE， 由（4）DHFGHB 可得 BG=DF， 则 BG=GM=MH=HE=DF， 由 BC-HE=BC-BM=MC=CD=CF+DF=CF+HE, BC-HE=CF+HE,即 BC-CF=2HE， 正确； 综上所述，正确结论为，故选 D 例 10. 如图，正方形 ABCD 边长为 2，BM、DN 分别是正方形的两个外角的平分线，点 P，Q 分别是平分线 BM、DN 上的点，且满足PAQ45，连接 PQ
29、、PC、CQ则下列结论：BPDQ3.6；QADAPB； PCQ135；BP 2DQ2PQ2其中正确的有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【解析】 （1）想办法拉近QAD 与APB 的图形位置，即可证明结论； BM、DN 分别是正方形 ABCD 的两个外角平分线， ADQABP135， BAPAPB45， PAQ45， QADBAP45， QADAPB， 故正确； （2）相似典型题型“乘积式” ，转化成“比例式” ，寻找三角形相似即可判别； 由（1）易证ABPQDA， AB:DQ=BP:AD， 正方形 ABCD 边长为 2， BPDQADAB4， 故错误； （3） PCQ 与已知条
30、件在图形位置上存在一定的距离， 可用周角求证图形位置更近的DCQ+BCP=?,而这两个角 的图形位置分处不同三角形，想办法拉近。依解题思路的延续性，这办法必定与（1） （2）有联系。与（1）中的角 的图形位置相差太远，且又分属不同三角形，想拉图形位置不容易，暂不考虑。那就必定与（2）中的ABPQDA 有关系，由这组三角形相似可得 AB:DQ=BP：AD，则 CD:DQ=BP:BC， 45 67.5 4545 67.5 22.5 22.5 67.5 45 A B C D E F H o 图1 45 图2 o H G F E D C B A M 45 45 图3 o H G F E D C B A
31、 PBCCDQ45， PBCCDQ， BCPDQC， PCQ36090DQCDCQ， DQCDCQ180CDQ18045， PCQ135， 故正确； （4）中这么多平方，首先考虑勾股定理，则需要把 BP、DQ、PQ 转移到同一个 Rt中，由PAQ45必须联想 到数学典型模型“半角模型” ，解题方法是“旋转+全等证明” ，可解题。 如图，将AQD 绕点 A 顺时针旋转 90， 得ABG，连接 GP，AB 与 GP 相交于点 H， ADQABG， GABQAD，AGAQ，BGDQ，AGBAQD， GAPGABBAPQADBAPBADPAQ45， GAPPAQ45， APAP， AGPAQP（SAS） ， GPQP， PBC45，HBC90， HBP45， GBPGBHHBPAGBGAB45AQDQAD45， AQDQAD180ADQ18013545， GBP90， GBP 是直角三角形， BP 2BG2GP2，BP2DQ2PQ2， 故正确 综上所述，其中正确的有，共 3 个故选：C
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