1、第第 3 3 讲讲 二次函数图像性质题型二次函数图像性质题型 【方法梳理】 1.看图第一步：补图（交点、对称点）-影响“ x 的特殊值的取值” 题目给的图形不完整的 题目没配图的 2.看图第二步：看图得性质 （1）直接看图得性质 a 的正负性-看开口方向：开口向上 a0、开口向下 a0、交 y 轴负半轴 c0、一个交点=0、无交点 0)的大小比较时 x 的取值范围-看一个图像在另一个图像上(或 下)方的那部分图像(即交点左侧或右侧那部分图像 x 的取值范围)； 图2 x=1 x y o 2 -3 “a2+ bm + cab + c(m 1)” 表示： “m 取其它值时的 y 值都要比 m 取最
2、大值时的 y 值要小” “a2+ bx + c = m”表示的意思是： “抛物线 y= a2+ bx + c与直线 y=m 有无交点” 【强化巩固练习】 1.已知二次函数 yx 22ax+a22a4（a 为常数）的图象与 x 轴有交点，且当 x3 时，y 随 x 的增大而增大，则 a 的取值范围是（ ） Aa2 Ba3 C2a3 D2a3 2.函数 yax 2+bx+c（a0）的图象与 x 轴交于点（2，0） ，顶点坐标为（1，n） ，其中 n0以下结论正确的是 （ ） abc0； 函数 yax 2+bx+c（a0）在 x1 和 x2 处的函数值相等； 函数 ykx+1 的图象与 yax 2+
3、bx+c（a0）的函数图象总有两个不同交点； 函数 yax 2+bx+c（a0）在3x3 内既有最大值又有最小值 A B C D 3.已知 yax 2+bx+c（a0）的图象如图所示，对称轴为直线 x2若 x 1，x2是一元二次方程 ax 2+bx+c0（a0） 的两个根，且 x1x2，1x10，则下列说法正确的是（ ） Ax1+x20 B4x25 Cb 24ac0 Dab0 4.如图，抛物线 yax 2+bx+c（a0）与 x 轴交于点 A（1，0）和 B，与 y 轴交于点 C下列结论：abc0， 2a+b0，4a2b+c0，3a+c0，其中正确的结论个数为（ ） A1 个 B2 个 C3
4、个 D4 个 5. 如图， 抛物线 yax 2bxc(a0)的图象经过点(1,2)， 与 x 轴交点的横坐标分别为x 1,x2， 其中1 x1 0, 1 x2 2,，则下列结论中正确的是（ ） A. a2 C. 2a+b0 D. k 为任意实数，关于 x 的方程ax2+ bx + c + k2= 0没有实数根 6二次函数 yax 2bxc 的图象如图所示，下列结论中正确的有（ ） abc0；b 24ac0；2ab；(ac)2b2；a2b4c0 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 7.如图， 二次函数y = ax2+ bx + c的图像与 x 正半轴交于 A,B 两点， 与 y 轴交于点 C
5、， 对称轴为直线 x=2， 且 OA=OC， 则下列结论，其中正确的个数有（ ）个 abc0；9a+3b+c-1；关于 x 的一元二次方程ax2+ bx + c = 0有一根为 1 a. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8已知二次函数 yax 2+bx+c 的图象如图所示，对称轴为直线 x1，则下列结论正确的是（ ） Aac0 B当 x0 时，y 随 x 的增大而减小 C2ab0 D方程 ax 2+bx+c0 的两根是 x 11，x23 9.二次函数y = ax2+ bx + c的图像如右图所示，则下列说法中错误的是（ ） A. abc0 B. 3a+c0,若 x=t-4，则 y0 1
6、0.如图，抛物线 yax 2+bx+c（a0）与 x 轴交于点 A、B，顶点为 C，对称轴为直线 x1，给出下列结论： abc0；若点 C 的坐标为（1，2） ，则ABC 的面积可以等于 2；M（x1，y1） ，N（x2，y2）是抛物线上两点（x1 x2） ，若 x1+x22，则 y1y2； 若抛物线经过点（3，1） ，则方程 ax 2+bx+c+10 的两根为1，3 其中正确结论的序号为 11.抛物线 yax 2+bx+c（a，b，c 为常数，a0）经过 A（2，0） ，B（4，0）两点，下列四个结论： 一元二次方程 ax 2+bx+c0 的根为 x 12，x24； 若点 C（5，y1） ，
7、D（，y2）在该抛物线上，则 y1y2； 对于任意实数 t，总有 at 2+btab； 对于 a 的每一个确定值，若一元二次方程 ax 2+bx+cp（p 为常数，p0）的根为整数，则 p 的值只有两个 其中正确的结论是 （填写序号） 【答案详解】【答案详解】 1.【解析】 二次函数 yx 22ax+a22a4（a 为常数）的图象与 x 轴有交点， （2a） 241（a22a4）0 解得：a2； 抛物线的对称轴为直线 x2a 2 a，抛物线开口向上，且当 x3 时，y 随 x 的增大而增大， a3，实数 a 的取值范围是2a3故选：D 2.【解析】 依照题意，画出图形如下： (1)函数 yax
8、 2+bx+c（a0）的图象与 x 轴交于点（2，0） ，顶点坐标为（1，n） ，其中 n0 a0，c0，对称轴为 x1， b2a0， abc0， 故正确， (2)对称轴为 x1， x1 与 x3 的函数值是相等的， 故错误； (3)顶点为（1，n） ， 抛物线解析式为；ya（x+1） 2+nax2+2ax+a+n， 联立方程组可得：y = kx + 1 yax2+ bx + c， 可得 ax 2+（2ak）x+a+n10， （2ak） 24a（a+n1）k24ak+4a4an， 无法判断是否大于 0， 无法判断函数 ykx+1 的图象与 yax 2+bx+c（a0）的函数图象的交点个数， 故
9、错误； (4)当3x3 时，当 x1 时，y 有最大值为 n， 当 x3 时，y 有最小值为 16a+n， 故正确， 故选：C 3.【解析】 (1)x1，x2是一元二次方程 ax 2+bx+c0 的两个根， x1、x2是抛物线与 x 轴交点的横坐标， 抛物线的对称轴为直线 x2， x1+x2 2 2，即 x1+x240， 故选项 A 错误； (2)x1x2，1x10， 14x20， 解得：4x25， 故选项 B 正确； (3)抛物线与 x 轴有两个交点， b 24ac0， 故选项 C 错误； (4)抛物线开口向下， a0， 抛物线的对称轴为直线 x2， b 2a2， b4a0， ab0， 故选
10、项 D 错误； 故选：B 4.【解析】 (1)由抛物线的开口向上知 a0， 对称轴位于 y 轴的右侧， b0 抛物线与 y 轴交于负半轴， c0， abc0； 故错误； (2)对称轴为 x1， 得 2ab， 即 2a+b0， 故错误； (3)如图，当 x2 时，y0，4a2b+c0， 故正确； (4)当 x1 时，y0， 0ab+ca+2a+c3a+c， 即 3a+c0 故正确 综上所述，有 2 个结论正确故选：B 5. 【解析】 由抛物线的开口方向判断 a 的符号，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情 况进行推理，进而对所得结论进行判断 （1）图象
11、经过点(1,2)， 当 x=1 时，a+b+c=2 当 x=-1 时，y0， a-b+c0， 当 x=2 时，y0，4a+2b+c0， 由+得到 2a+2c2， 由-2 得到 2a-c-4， 即 4a-2c-8， 上面两个相加得到 6a-6， a-1 即 A 选项是正确的； （2）抛物线 yax 2bxc(a0)经过点(1,2)，代入则有 a+b+c=2， a+c=2-b， 当 x=-1 时，则 a-b+c0， 2-b-b1 即 B 选项错误； （3）对称轴 x=- b 2a 1（不管抛物线与 x 轴的交点横坐标处于哪个极端值，对称轴满足 0- b 2a 1） ， 且 a2a， 即 2a+b0
12、， 所以 C 选项错误； （4）由方程ax2+ bx + c + k2= 0， 得ax2+ bx + c = k2， 令y1= ax2+ bx + c，y2= k2， 即方程ax2+ bx + c + k2= 0根的情况可转化为抛物线y1= ax2+ bx + c与直线y2= k2的交点情况 y2= k2 0 ，抛物线y1= ax2+ bx + c与直线y2= k2一定有两个交点， 即方程ax2+ bx + c + k2= 0有两个不相等的实数根 所以 D 选项错误 故选 A 6 【解析】 由开口方向可知 a0，由对称轴“左同右异”可知 b0 （1）则 abc0,正确； （2）图像与 x 轴有
13、两个交点，则b2 4ac 0，错误； （3）对称轴y = b 2a 1可得 b 2a 2a，错误； （4）原式可变形为(a + c)2 b2 0，即(a+b+c)(a-b+c)0； 由图可知当 x=1 时 a+b+c0,(a+b+c)(a-b+c)0, -a 0, 2c0, 2(a-b+c)-a+2c0， 正确 综上所述，正确结论是，选 C 7.【解析】 (1)由抛物线开口朝下可知 a0，抛物线与 y 负半轴相交可知 c0, 正确； (2)当 x=3 时 y=9a+3b+c0， 错误； (3)由0 OA 1，由 OA=OC，可得0 OC 1， -1c0， 正确； (4)假设正确， 把 x= 1
14、 a代入方程中可得 1 a b a + c = 0， 则 1-b+ac=0， 即ac2 bc + c = 0， 即 x=-c 也是方程的一个根， 由 OA=OC=-c， 假设成立， 正确； 综上所述，正确的有，故选 C 8 【解析】 （1）由抛物线开口向下可得 a0, ac0， 选项 A 错误； （2）0x1 时 y 随着 x 的增大而减小， 选项 B 错误； （3）由对称轴 x=- b 2a=1 可得 2a+b=0， 选项 C 错误； （4）由对称轴 x=1 可得抛物线于 x 轴的另一个交点为(-1,0)， 选项 D 正确， 故选 D 9.【解析】 (1)由抛物线开口方程可得 a0， 抛物线
15、交 y 轴正半轴可得 c0， 则 abc0； (2)由抛物线的对称轴可知抛物线与 x 轴的另一个交点在 0 到-1 之间， 故当 x=-1 时 a-b+c0， 由对称轴 x=1 可得 b=-2a， 代入可得 3a+c0,结合图像可得 t 在抛物线与 x 轴的两交点之间， 则 t-4-1, 则 x=t-4 时 y0 可变形为 ax2+bxa+b， 可变形为 ax2+bx+ca+b+c， 由对称轴及抛物线最值可知 ax2+bx+ca+b+c， 故选 D 10.【解析】 抛物线的对称轴在 y 轴右侧， 则 ab0， 而 c0， 故 abc0， 正确，符合题意； ABC 的面积1 2AByC 1 2A
16、B22， 解得：AB2， 则点 A（0，0） ，即 c0 与图象不符， 故错误，不符合题意； 函数的对称轴为 x1， 若 x1+x22， 则1 2（x1+x2）1， 则点 N 离函数对称轴远， 故 y1y2， 故错误，不符合题意； 方程 ax 2+bx+c+10 的两根为1，3， 即 y=ax 2+bx+c 与 y=-1 的两个交点的横坐标为1，3 由题可知，其中一个交点为（3，1） ， 由抛物线的对称性可知另一个交点为（1，-1） ， 故方程 ax 2+bx+c+10 的两根为1，3， 故正确，符合题意； 故答案为： 11. 【解析】 抛物线 yax 2+bx+c（a，b，c 为常数，a0）
17、经过 A（2，0） ，B（4，0）两点， 当 y0 时，0ax 2+bx+c 的两个根为 x 12，x24， 故正确； 该抛物线的对称轴为直线 x2+(4) 2 1， 函数图象开口向下， 若点 C（5，y1） ，D（，y2）在该抛物线上， 则 y1y2， 故错误； 当 x1 时，函数取得最大值 yab+c， 故对于任意实数 t，总有 at 2+bt+cab+c， 即对于任意实数 t，总有 at 2+btab， 故正确； 对于 a 的每一个确定值，若一元二次方程 ax 2+bx+cp（p 为常数，p0）的根为整数， 则两个根为3 和 1 或2 和 0 或1 和1， 故 p 的值有三个， 故错误； 故答案为：
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