1、图形的对称巩固练习图形的对称巩固练习 一选择题（共一选择题（共 12 小题）小题） 1新冠肺炎疫情期间，全国上下众志成城，合力抗击疫情，下列防疫标志中，是轴对称图形的是（ ） A B C D 2如图，图中有（ ）条对称轴 A2 B4 C6 D8 3如图，每个小三角形都是等边三角形，再将 1 个小三角形涂黑，使 4 个小三角形构成轴对称图形不同 涂法有（ ） A2 种 B3 种 C4 种 D6 种 4如图，在ABC 中，tanACB，D 为 AC 的中点，点 E 在 BC 上，连接 DE，将CDE 沿着 DE 翻 折， 得到FDE， 点 C 的对应点是点 F， EF 交 AC 于点 G， 当 E
2、FEC 时， DGF 的面积， 连接 AF， 则 AF 的长度为（ ） A2 B C D 5如图，RtABC 中，ACB90，AB2AC，AC，点 E 是 AB 上的点，将BCE 沿 CE 翻折， 得到BCE，过点 A 作 AFBC 交ABC 的平分线于点 F，连接 BF，则 BF 长度的最小值为（ ） A+ B C+ D 6如图，在 RtABC 中，ACB90，BC6，点 D 为斜边 AB 上的一点，连接 CD，将BCD 沿 CD 翻折，使点 B 落在点 E 处，点 F 为直角边 AC 上一点，连接 DF，将ADF 沿 DF 翻折，点 A 恰好与点 E 重合若 DC5，则 AF 的长为（ ）
3、 A5 B C D4.5 7如图，在矩形 ABCD 中，E 是 BC 边上的点，连接 AE、DE，将DEC 沿线段 DE 翻折，点 C 恰好落在 线段 AE 上的点 F 处若 AB6，BE：EC4：1，则线段 DE 的长为（ ） A4 B2 C4 D2 8如图，在矩形 ABCD 中，点 E 在 DC 上，将矩形沿 AE 折叠，使点 D 落在 BC 边上的点 F 处若 AB3， BC5，则 DE 的长为（ ） A B C D 9点 P1（a1，2）和 P2（3，b1）关于 x 轴对称，则（a+b）2021的值为（ ） A32021 B1 C32021 D52021 10如图，在ABC 中，ABA
4、C，BC4，面积是 10AB 的垂直平分线 ED 分别交 AC，AB 边于 E、D 两 点，若点 F 为 BC 边的中点，点 P 为线段 ED 上一动点，则PBF 周长的最小值为（ ） A5 B7 C10 D14 11如图，ABC 是等边三角形，AD 是 BC 边上的高，E 是 AC 的中点，P 是 AD 上的一个动点，当 PC 与 PE 的和最小时，ACP 的度数是（ ） A30 B45 C60 D90 12如图，在ABC 中，ACB90，B30，D 在 AB 上，E 在 CB 上，A，C 关于 DE 的对称点分 别是 G，F，若 F 在 AB 上，DGAB，DG2，则 DE 的长是（ ）
5、A33 B3 C4 D2 二填空题（共二填空题（共 8 小题）小题） 13如图，四边形 OABC 是边长为 6 的正方形，D 点坐标为（4，1） ，BEOB，直线 l 过 A、C 两点， P 是 l 上一动点，当|EPDP|的值最大时，P 点的坐标为 14如图，将矩形纸片 ABCD 沿 EF 对折，使得点 C 与点 A 重合，若 AB4cm，BC8cm，则线段 AF 的 长为 15如图，矩形 ABCD 中，M 为边 AD 上的一点将CDM 沿 CM 折叠，得到CMN，若 AB6，DM2， 则 N 到 AD 的距离为 16如图，先有一张矩形纸片 ABCD，AB4，BC8，点 M，N 分别在矩形的
6、边 AD，BC 上，将矩形纸片 沿直线 MN 折叠，使点 C 落在矩形的边 AD 上，记为点 P，点 D 落在 G 处，连接 PC，交 MN 于点 Q， 连接 CM下列结论：CQCD；四边形 CMPN 是菱形；P，A 重合时，MN2；PQM 的面积 S 的取值范围是 4S5其中正确的 .（把正确结论的序号都填上） 17 如图， 等腰三角形 ABC 的底边 BC 长为 4， 面积是 18， 腰 AC 的垂直平分线 EF 分别交 AC， AB 边于 E， F 点若点 D 为 BC 边的中点，点 G 为线段 EF 上一动点，则CDG 周长的最小值为 18如图，在 RtABC 中ABC90，AB3，B
7、C4，点 P 是 AC 边上不与端点重合的一动点，将BPC 沿着BP对折， 得对应BPD， 在点P的移动过程中， 若PD平行于ABC的一边， 则CP的长度为 19若点 M（2，a）与点 N（a+b，3）关于 y 轴对称，则 ab 的值为 20如图，在ABC 中，CD 平分ACB，点 E，F 分别是 CD，AC 上的动点若 BC6，SABC12，则 AE+EF 的最小值是 三解答题（共三解答题（共 8 小题）小题） 21在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为 1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形） ABC 的顶点 A，C 的坐标分别为（4，5） ， （1，3） （1）请作出ABC
8、关于 y 轴对称的ABC； （2）在 y 轴上找一点 P，使 PA+PC 最小 （保留作图痕迹，在图中标出点 P） 22如图所示，在平面直角坐标系中ABC 的三个顶点坐标分别为 A（2，4） ，B（4，2） ，C（3，1） （1）作出ABC 关于 x 轴对称的A1B1C1，并直接写出 A1点的坐标 ； （2）作出ABC 关于 y 轴对称的A2B2C2，并直接写出 B2点的坐标 ； （3） 在 （1）（2） 的条件下， 若点P在x轴上， 当A1P+B2P的值最小时， 直接写出A1P+B2P的最小值为 23如图，在四边形 ABCD 中，ABCD，ADAB，BCAB将四边形 ABCD 沿 BF 折叠
9、，点 C 的对称点 E 落在边 AD 上，AB3 （1）求证：四边形 ABCD 是矩形； （2）求 BC 的长度 24如图，四边形 ABCD 为矩形，AB4，BC6，点 E 是 BC 边的中点，将ABE 沿直线 AE 折叠，点 B 落在点 F 处，连接 CF （1）求证：EFEC； （2）求 cosECF 的值 25如图，33 的方格分为上中下三层，第一层有一枚黑色方块甲，可在方格 A、B、C 中移动，第二层有 两枚固定不动的黑色方块，第三层有一枚黑色方块乙，可在方格 D、E、F 中移动，甲、乙移入方格后， 四枚黑色方块构成各种拼图 （1）若乙固定在 E 处，移动甲后黑色方块构成的拼图是轴对称
10、图形的概率是 （2）若甲、乙均可在本层移动 黑色方块所构拼图是中心对称图形的概率是 用树形图或列表法求出黑色方块所构拼图是轴对称图形的概率 26把长方形 ABCD 沿对角线 AC 折叠，得到如图所示的图形，已知BAO30，AC5 （1）求AOC 和BAC 的度数； （2）求长方形 ABCD 的面积 27如图，矩形 ABCD 中，AB6，BC8，E 为 BC 上一动点将ABE 沿 AE 翻折后得到AFE，延长 AF 交 CD 所在直线于点 G，设 BEx （1）若点 G 在 CD 边上，求 x 的取值范围； （2）若 x5，求 CG 的长 28 （1）如图 1，在ABC 中，按以下步骤作图： 以
11、 B 为圆心，任意长为半径作弧，交 AB 于 D，交 BC 于 E； 分别以 D，E 为圆心，以大于DE 的同样长为半径作弧，两弧交于点 F； 作射线 BF 交 AC 于 G 如果 AB8，BC12，ABG 的面积为 18，求CBG 的面积； （2）如图 2，ABC 中，ACB90，AC4，BC3将ABC 沿直线 l 折叠，点 B 刚好落在 AC 边上，直线 l 交 AB 于点 P，求 BP 图形的对称巩固练习图形的对称巩固练习 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题）小题） 1新冠肺炎疫情期间，全国上下众志成城，合力抗击疫情，下列防疫标志中，是轴对称图形的
12、是（ ） A B C D 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这 条直线叫做对称轴，据此判断即可 【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不合题意； D、是轴对称图形，故本选项符合题意； 故选：D 【点评】本题主要考查了轴对称图形，熟记定义是解答本题的关键 2如图，图中有（ ）条对称轴 A2 B4 C6 D8 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这 条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）
13、对称，据此判断即可 【解答】解：图中有 4 条对称轴 故选：B 【点评】本题主要考查了轴对称图形，熟记定义是解答本题的关键 3如图，每个小三角形都是等边三角形，再将 1 个小三角形涂黑，使 4 个小三角形构成轴对称图形不同 涂法有（ ） A2 种 B3 种 C4 种 D6 种 【分析】对称轴的位置不同，结果不同，根据轴对称的性质进行作图即可 【解答】解：如图所示，满足题意的涂色方式有 4 种， 故选：C 【点评】本题主要考查了利用轴对称设计图案以及等边三角形的性质，利用轴对称设计图案关键是要熟 悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案 4如图，在ABC 中，t
14、anACB，D 为 AC 的中点，点 E 在 BC 上，连接 DE，将CDE 沿着 DE 翻 折， 得到FDE， 点 C 的对应点是点 F， EF 交 AC 于点 G， 当 EFEC 时， DGF 的面积， 连接 AF， 则 AF 的长度为（ ） A2 B C D 【分析】直接利用翻折变换的性质得出 DM 的长，再利用勾股定理得出 AF 的长，即可 【解答】解：由题意得，EDCEDF， CEDFED， EFEC， FEDCED45， 作 DMEF 于 M，ANEF 于 N， 设 DMx，则 EMx， EFDACB， ， GDMACB， DMBC， GMtanGDMDM， FGFMGM， ， 解
15、得：x， FD，GD，ADODFD5， G 是 AD 的中点， 即 AGDG， ANGDMG90，AGMDGM， ANGDMG（AAS） ， GNGM， FNFMNM2， ANDN， AF 故选：D 【点评】此题是折叠问题，主要考查了勾股定理和翻折变换的性质，得出 DM 的长是解题关键 5如图，RtABC 中，ACB90，AB2AC，AC，点 E 是 AB 上的点，将BCE 沿 CE 翻折， 得到BCE，过点 A 作 AFBC 交ABC 的平分线于点 F，连接 BF，则 BF 长度的最小值为（ ） A+ B C+ D 【分析】根据勾股定理得出 BC 和 CF，利用翻折的性质解答健康 【解答】解
16、：AB2AC，AC， AB2， 在 RtACB 中，BC， 而BCE 沿 CE 翻折得BCE， AFBC， BCACAF90，CBFBFA， CBFFBA， FBABFA， AFAB2， 在 RtACF 中，CF， 在BCF 中，BFCFBC， BF 最小值为， 故选：B 【点评】此题考查翻折问题，关键是根据翻折的性质和勾股定理解答 6如图，在 RtABC 中，ACB90，BC6，点 D 为斜边 AB 上的一点，连接 CD，将BCD 沿 CD 翻折，使点 B 落在点 E 处，点 F 为直角边 AC 上一点，连接 DF，将ADF 沿 DF 翻折，点 A 恰好与点 E 重合若 DC5，则 AF 的
17、长为（ ） A5 B C D4.5 【分析】根据折叠的性质和勾股定理定理即可得到结论 【解答】解：将BCD 沿 CD 翻折，使点 B 落在点 E 处， BDDE，BCCE6，BCED， 将ADF 沿 DF 翻折，点 A 恰好与点 E 重合， ADEF，ADDE，AFEF， FED+CED90， ADDB， CDDADBAB， DC5， AB10， AC8， CF8AF， EF2+CE2CF2， AF2+62（8AF）2， CF， AFACCF， 故选：B 【点评】本题考查翻折变换、直角三角形斜边中线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找直 角三角形解决问题 7如图，在矩形 ABCD 中，
18、E 是 BC 边上的点，连接 AE、DE，将DEC 沿线段 DE 翻折，点 C 恰好落在 线段 AE 上的点 F 处若 AB6，BE：EC4：1，则线段 DE 的长为（ ） A4 B2 C4 D2 【分析】由翻折易得DFEDCE，则 DFDC，DFEC90，再由 ADBC 得DAF AEB，根据 AAS 证出ABEDFA；则 AEAD，设 CEx，从而表示出 BE，AE，再由勾股定理，求 得 DE 【解答】解：由矩形 ABCD，得BC90，CDAB，ADBC，ADBC 由DEC 沿线段 DE 翻折，点 C 恰好落在线段 AE 上的点 F 处，得DFEDCE， DFDC，DFEC90， DFAB
19、，AFD90， AFDB， 由 ADBC 得DAFAEB， 在ABE 与DFA 中， ， ABEDFA（AAS） BE：CE4：1， 设 CEx，BE4x，则 ADBC5x， 由ABEDFA，得 AFBE4x， 在 RtADF 中，由勾股定理可得 DF3x， 又DFCDAB6， x2， 在 RtDCE 中，DE2 故选：D 【点评】本题考查了三角形的全等和勾股定理的应用，一定要熟练掌握全等三角形的判定方法和勾股定 理的内容 8如图，在矩形 ABCD 中，点 E 在 DC 上，将矩形沿 AE 折叠，使点 D 落在 BC 边上的点 F 处若 AB3， BC5，则 DE 的长为（ ） A B C D
20、 【分析】先根据矩形的性质得 ADBC5，ABCD3，再根据折叠的性质得 AFAD5，EFDE， 在 RtABF 中，利用勾股定理计算出 BF4，则 CFBCBF1，设 CEx，则 DEEF3x，然后 在 RtECF 中根据勾股定理得到 x2+12（3x）2，解方程即可得到 DE 的长 【解答】解：四边形 ABCD 为矩形， ADBC5，ABCD3， 矩形 ABCD 沿直线 AE 折叠，顶点 D 恰好落在 BC 边上的 F 处， AFAD5，EFDE， 在 RtABF 中，BF4， CFBCBF541， 设 CEx，则 DEEF3x， 在 RtECF 中，CE2+FC2EF2， x2+12（3
21、x）2， 解得 x， DE3x， 故选：B 【点评】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理的综合运用解题时，常常设要求的线段长为 x， 然后根据折叠和轴对称的性质用含 x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股 定理列出方程求出答案 9点 P1（a1，2）和 P2（3，b1）关于 x 轴对称，则（a+b）2021的值为（ ） A32021 B1 C32021 D52021 【分析】先根据关于 x 轴对称得出 a13 且 b12，求出 a、b 的值，再求出答案即可 【解答】解：点 P1（a1，2）和 P2（3，b1）关于 x 轴对称， a13 且 b12， 解得：a4，b1
22、， （a+b）2021（41）202132021， 故选：C 【点评】本题考查了关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标，注意：关于 x 轴对称的两点横坐标相同，纵坐标互 为相反数 10如图，在ABC 中，ABAC，BC4，面积是 10AB 的垂直平分线 ED 分别交 AC，AB 边于 E、D 两 点，若点 F 为 BC 边的中点，点 P 为线段 ED 上一动点，则PBF 周长的最小值为（ ） A5 B7 C10 D14 【分析】如图，连接 AF，AP利用三角形的面积公式求出 AF，求出 PB+PF 的最小值即可解决问题 【解答】解：如图，连接 AF，AP ACAB，CFBFBC2， AFBC， S
23、ABCBCAF10，BC4， AF5， DE 垂直平分线段 AB， PAPB， PBF 的周长PB+PF+BFPA+PF+2， PA+PFAF， PA+PF 的最小值为 5， PBF 的周长的最小值为 7 故选：B 【点评】本题考查轴对称最短问题，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用 线段长垂直平分线的性质解决问题 11如图，ABC 是等边三角形，AD 是 BC 边上的高，E 是 AC 的中点，P 是 AD 上的一个动点，当 PC 与 PE 的和最小时，ACP 的度数是（ ） A30 B45 C60 D90 【分析】连接 BE，则 BE 的长度即为 PE 与 PC 和的最小
24、值再利用等边三角形的性质可得PBC PCB30，即可解决问题 【解答】解：如图，连接 BE，与 AD 交于点 P，此时 PE+PC 最小， ABC 是等边三角形，ADBC， PCPB， PE+PCPB+PEBE， 即 BE 就是 PE+PC 的最小值， ABC 是等边三角形， BCE60， BABC，AEEC， BEAC， BEC90， EBC30， PBPC， PCBPBC30， ACP30， 故选：A 【点评】本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的 关键 12如图，在ABC 中，ACB90，B30，D 在 AB 上，E 在 CB 上，A，C 关于
25、 DE 的对称点分 别是 G，F，若 F 在 AB 上，DGAB，DG2，则 DE 的长是（ ） A33 B3 C4 D2 【分析】连接 CD，取 AC 的中点 T，连接 DT，过点 E 作 EHCD 于 H首先证明ADC90，再证 明 CEEFFB62，证明DHE 是等腰直角三角形，想办法求出 DH 即可解决问题 【解答】解：连接 CD，取 AC 的中点 T，连接 DT，过点 E 作 EHCD 于 H ACB90，B30， A903060， 由翻折的旋转可知，ADDG2，ACFG，ADEGDE，AG60， DGAB， GDF90，DFG30， FGAC2DG4，DFDG2，AB2AC8， A
26、TCT2AD，A60， ADT 是等边三角形， DTATTC， ADC90， ACD906030， DCEDFE60， DFEB+FEB， FEBB30， ECEFFB82262， CHEC3， CDDF2， DHCDCH2（3）33， CDEEDF45， DEDH33 故选：A 【点评】本题考查翻折变换，解直角三角形，等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质 等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题 二填空题（共二填空题（共 8 小题）小题） 13如图，四边形 OABC 是边长为 6 的正方形，D 点坐标为（4，1） ，BEOB，直线
27、 l 过 A、C 两点， P 是 l 上一动点，当|EPDP|的值最大时，P 点的坐标为 （13，7） 【分析】根据正方形的性质，点 E 关于直线 l 的对称点 E的坐标为（1，1） ，连接 DE，与直线 l 的 交点即为 P 点，此时|EPDP|的值最大，根据待定系数法求得直线 PD，然后与直线 l 的解析式联立，解 方程组即可求得 P 的坐标 【解答】解：四边形 OABC 是边长为 6 的正方形， AC 垂直平分 OB，直线 l 为 yx+6， 点 E 关于直线 l 的对称点 E在 OB 上， BEOB，B（6，6） ， OEOB， E（1，1） ， 连接 DE，与直线 l 的交点即为 P
28、 点，此时|EPDP|的值最大， 设直线 PD 为 ykx+b， 把 D（4，1） ，E（1，1）代入得，解得， 直线 PD 为 yx+， 解得， P（13，7） ， 当|EPDP|的值最大时，P 点的坐标为（13，7） ， 故答案为（13，7） 【点评】本题考查了一次函数的应用、正方形的性质、解题的关键是学会利用对称，根据两点之间线段 最短，解决最小值问题，根据三角形的两边之差小于第三边，确定最大值问题，属于中考常考题型 14如图，将矩形纸片 ABCD 沿 EF 对折，使得点 C 与点 A 重合，若 AB4cm，BC8cm，则线段 AF 的 长为 5cm 【分析】设 AFxcm，则 DF（8
29、x）cm，利用矩形纸片 ABCD 中，现将其沿 EF 对折，使得点 C 与 点 A 重合，由勾股定理得出方程，求 AF 即可 【解答】解：四边形 ABCD 是矩形， CDAB4cm，ADBC8cm，C90， 将矩形纸片 ABCD 沿 EF 对折，使得点 C 与点 A 重合， DFGF，AGCD4cm，GC90， 设 AFxcm，则 DF（8x）cm， 在 RtAGF 中，由勾股定理得：AF2AG2+GF2， x242+（8x） 2， 解得：x5， 即线段 AF 的长为 5cm， 故答案为：5cm 【点评】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和翻折变 换的性
30、质，由勾股定理得出方程是解题的关键 15如图，矩形 ABCD 中，M 为边 AD 上的一点将CDM 沿 CM 折叠，得到CMN，若 AB6，DM2， 则 N 到 AD 的距离为 【分析】过点 N 作 NEAD 于点 E，并延长 EN 交 BC 于点 F，则 NFBC，证明ENMNFC，由相 似三角形的性质得出，设 ENx，则 NF6x，求出 x 可得出答案 【解答】解：过点 N 作 NEAD 于点 E，并延长 EN 交 BC 于点 F，则 NFBC， 四边形 ABCD 是矩形， ABCD6，D90， 将CDM 沿 CM 折叠，得到CMN， DMMN2，DCNC6，DMNC90， ENM+FNC
31、FNC+FCN90， ENMFCN， NEMNFC， ENMNFC， ， 设 ENx，则 NF6x， EM， ， 解得 x 故答案为： 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的 性质是解题的关键 16如图，先有一张矩形纸片 ABCD，AB4，BC8，点 M，N 分别在矩形的边 AD，BC 上，将矩形纸片 沿直线 MN 折叠，使点 C 落在矩形的边 AD 上，记为点 P，点 D 落在 G 处，连接 PC，交 MN 于点 Q， 连接 CM下列结论：CQCD；四边形 CMPN 是菱形；P，A 重合时，MN2；PQM 的面积 S 的取值范围是 4S5其
32、中正确的 .（把正确结论的序号都填上） 【分析】先判断出四边形 CNPM 是平行四边形，再根据翻折的性质可得 CNNP，然后根据邻边相等的 平行四边形是菱形证明， 判断出正确； 假设 CQCD， 得 RtCMQCMD， 进而得DCMQCM BCP30，这个不一定成立，判断错误；点 P 与点 A 重合时，设 BNx，表示出 ANNC8 x， 利用勾股定理列出方程求解得 x 的值， 进而用勾股定理求得 MN， 判断出正确； 当 MN 过 D 点时， 求得四边形 CMPN 的最小面积，进而得 S 的最小值，当 P 与 A 重合时，S 的值最大，求得最大值即可 【解答】解：如图 1， PMCN， PM
33、NMNC， MNCPNM， PMNPNM， PMPN， NCNP， PMCN， MPCN， 四边形 CNPM 是平行四边形， CNNP， 四边形 CNPM 是菱形，故正确； CPMN，BCPMCP， MQCD90， CMCM， 若 CQCD，则 RtCMQRtCMD（HL） ， DCMQCMBCP30，这个不一定成立，故错误； 点 P 与点 A 重合时，如图 2 所示： 设 BNx，则 ANNC8x， 在 RtABN 中，AB2+BN2AN2， 即 42+x2（8x）2， 解得 x3， CN835，AC4， CQAC2， QN， MN2QN2故正确； 当 MN 过点 D 时，如图 3 所示：
34、此时，CN 最短，四边形 CMPN 的面积最小，则 S 最小为 SS菱形CMPN444， 当 P 点与 A 点重合时，CN 最长，四边形 CMPN 的面积最大，则 S 最大为 S545， 4S5，故正确 故答案为： 【点评】此题是四边形综合题，主要考查了折叠问题与菱形的判定与性质、勾股定理的综合应用，熟练 掌握菱形的判定定理和性质定理、勾股定理是解本题的关键 17 如图， 等腰三角形 ABC 的底边 BC 长为 4， 面积是 18， 腰 AC 的垂直平分线 EF 分别交 AC， AB 边于 E， F 点若点 D 为 BC 边的中点，点 G 为线段 EF 上一动点，则CDG 周长的最小值为 11
35、 【分析】连接 AD，由于ABC 是等腰三角形，点 D 是 BC 边的中点，故 ADBC，再根据三角形的面积 公式求出 AD 的长，再再根据 EF 是线段 AC 的垂直平分线可知，点 C 关于直线 EF 的对称点为点 A，故 AD 的长为 CG+GD 的最小值，由此即可得出结论 【解答】解：连接 AD， ABC 是等腰三角形，点 D 是 BC 边的中点， ADBC， SABCBCAD4AD18， 解得 AD9， EF 是线段 AC 的垂直平分线， 点 C 关于直线 EF 的对称点为点 A， AD 的长为 CG+GD 的最小值， CDG 的周长最短（CG+GD）+CDAD+BC9+11 故答案为
36、：11 【点评】本题考查的是轴对称最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键 18如图，在 RtABC 中ABC90，AB3，BC4，点 P 是 AC 边上不与端点重合的一动点，将BPC 沿着 BP 对折，得对应BPD，在点 P 的移动过程中，若 PD 平行于ABC 的一边，则 CP 的长度为 2 或 4 【分析】分两种情况讨论，由折叠的性质 BDBC4，DC，DPPC，由平行四边形的性质和锐 角三角函数可求解 【解答】解：如图 1，当 DPAB 时， ABC90，AB3，BC4， AC5， 将BPC 沿着 BP 对折， BDBC4，DC，DPPC， DPAB， DABDC，
37、C+A90， A+ABD90， AEB90， SABCACBEABBC， BE， DE， cosCcosD， ， DP2， CP2， 如图 2，当 PDBC 时， PDBC， DEBABC90， 将BPC 沿着 BP 对折， CPDB，BCDB4， C+A90，D+DBE90， DBEA， DBAC， 四边形 BCPD 是平行四边形， PCBD4， 综上所述：PC 的长为 2 或 4 【点评】本题考查了翻折变换，平行四边形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，利用分类 讨论思想解决问题是本题的关键 19若点 M（2，a）与点 N（a+b，3）关于 y 轴对称，则 ab 的值为 4 【分析
38、】直接利用关于 y 轴对称的点的坐标纵坐标相同，横坐标互为相反数，进而得出答案 【解答】解：点 M（2，a）与点 N（a+b，3）关于 y 轴对称， a+b2,a3， 解得：a3,b1， 则 ab 的值为：314 故答案为：4 【点评】此题主要考查了关于 y 轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键 20如图，在ABC 中，CD 平分ACB，点 E，F 分别是 CD，AC 上的动点若 BC6，SABC12，则 AE+EF 的最小值是 4 【分析】作 A 关于 CD 的对称点 H，由 CD 是ABC 的角平分线，得到点 H 一定在 BC 上，过 H 作 HF AC 于 F，交 CD 于
39、E，则此时，AE+EF 的值最小，AE+EF 的最小值HF，过 A 作 AGBC 于 G，根 据垂直平分线的性质和三角形的面积即可得到结论 【解答】解：作 A 关于 CD 的对称点 H， CD 是ABC 的角平分线， 点 H 一定在 BC 上， 过 H 作 HFAC 于 F，交 CD 于 E， 则此时，AE+EF 的值最小，AE+EF 的最小值HF， 过 A 作 AGBC 于 G， ABC 的面积为 12，BC 长为 6， AG4， CD 垂直平分 AH， ACCH， SACHACHFCHAG， HFAG4， AE+EF 的最小值是 4， 故答案为：4 【点评】本题考查了轴对称最短路线问题，解
40、题的关键是正确的作出对称点和利用垂直平分线的性质 证明 AE+EF 的最小值为三角形某一边上的高线 三解答题（共三解答题（共 8 小题）小题） 21在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为 1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形） ABC 的顶点 A，C 的坐标分别为（4，5） ， （1，3） （1）请作出ABC 关于 y 轴对称的ABC； （2）在 y 轴上找一点 P，使 PA+PC 最小 （保留作图痕迹，在图中标出点 P） 【分析】 （1）分别作出 A，B，C 的对应点 A，B，C即可 （2）连接 BA交 y 轴于 P，连接 AP，点 P 即为所求作 【解答】解： （1）如图，A
41、BC即为所求作 （2）如图，点 P 即为所求作 【点评】本题考查作图轴对称变换，轴对称最短问题，两点之间线段最短等知识，解题的关键是理解 题意，灵活运用所学知识解决问题 22如图所示，在平面直角坐标系中ABC 的三个顶点坐标分别为 A（2，4） ，B（4，2） ，C（3，1） （1）作出ABC 关于 x 轴对称的A1B1C1，并直接写出 A1点的坐标 （2，4） ； （2）作出ABC 关于 y 轴对称的A2B2C2，并直接写出 B2点的坐标 （4，2） ； （3）在（1） （2）的条件下，若点 P 在 x 轴上，当 A1P+B2P 的值最小时，直接写出 A1P+B2P 的最小值为 6 【分析】
42、 （1）分别作出 A，B，C 的对应点 A1，B1，C1即可 （2）分别作出 A，B，C 的对应点 A2，B2，C2即可 （3）连接 A1B2交 x 轴于点 P，此时 PA1+PB2的值最小 【解答】解： （1）如图，A1B1C1，即为所求作A1（2，4） 故答案为： （2，4） （2）如图，A2B2C2即为所求作B2（4，2） 故答案为： （4，2） （3）连接 A1B2交 x 轴于点 P，此时 PA1+PB2的值最小，最小值6 故答案为：6 【点评】本题考查作图轴对称变换，两点之间线段最短等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所 学知识解决问题 23如图，在四边形 ABCD 中，ABCD，
43、ADAB，BCAB将四边形 ABCD 沿 BF 折叠，点 C 的对称点 E 落在边 AD 上，AB3 （1）求证：四边形 ABCD 是矩形； （2）求 BC 的长度 【分析】 （1）由矩形的判定方法可得出答案； （2）由矩形的性质得出 ABDC3，ADBC，ADC90由折叠的性质得出 CFEF， BCBE，BEFC90证明DEFABE由相似三角形的性质可得出，根 据勾股定理可得出答案 【解答】 （1）证明：ADAB，BCAB， DABABC90 ABCD， DAB+ADC180 ADC90 DABABCADC90， 四边形 ABCD 是矩形 （2）解：在矩形 ABCD 中，AB3， ABDC3
44、，ADBC，ADC90 由翻折可得，CFEF，BCBE，BEFC90 BEF90， AEB+DEF180BEF90 A90， AEB+ABE180A90 ABEDEF ABEDEF，AD， DEFABE AB3， DE2，设 BCx，则 BEBCADx，AEx2， 在 RtABE 中，AB2+AE2BE2， 即 32+（x2）2x2， 解得， 即 【点评】本题考查翻折变换，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是 灵活运用所学知识解决问题 24如图，四边形 ABCD 为矩形，AB4，BC6，点 E 是 BC 边的中点，将ABE 沿直线 AE 折叠，点 B 落在点 F 处
45、，连接 CF （1）求证：EFEC； （2）求 cosECF 的值 【分析】 （1）先求得 BE 的长，然后依据勾股定理可求得 AE 的长，根据折叠的性质得到 EFEC； （2）根据等腰三角形的性质得到EFCFCE，由翻折的性质可知BEAFEA，依据三角形的外 角的性质可证明AEBFCE，最后依据三角函数的定义求解即可 【解答】解： （1）点 E 为 BC 的中点，BC6， BEECBC3 在ABE 中，由勾股定理得：AE5， 由翻折的性质可知：FEBE， FEEC； （2）FEEC， EFCFCE BEAFEA， CFE+FCEBEA+AEF， 2ECF2BEA ECFBEA cosECFc
46、osBEA 【点评】本题考查的是翻折变换的性质和矩形的性质，掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠 前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键 25如图，33 的方格分为上中下三层，第一层有一枚黑色方块甲，可在方格 A、B、C 中移动，第二层有 两枚固定不动的黑色方块，第三层有一枚黑色方块乙，可在方格 D、E、F 中移动，甲、乙移入方格后， 四枚黑色方块构成各种拼图 （1）若乙固定在 E 处，移动甲后黑色方块构成的拼图是轴对称图形的概率是 （2）若甲、乙均可在本层移动 黑色方块所构拼图是中心对称图形的概率是 用树形图或列表法求出黑色方块所构拼图是轴对称图形的概率 【
47、分析】 （1）直接由概率公式求解即可； （2）黑色方块所构拼图中是中心对称图形有两种情形，由概率公式求解即可； 画树状图，再由概率公式求解即可 【解答】解： （1）若乙固定在 E 处，移动甲后黑色方块构成的拼图是轴对称图形的概率是， 故答案为：； （2）黑色方块所构拼图中是中心对称图形有两种情形：a、甲在 B 处，乙在 F 处；b、甲在 C 处，乙 在 E 处， 所以黑色方块所构拼图是中心对称图形的概率是， 故答案为：； 画树状图如图： 由树状图可知，共有 9 个等可能的结果，黑色方块所构拼图是轴对称图形的结果有 5 个， 黑色方块所构拼图是轴对称图形的概率 【点评】本题考查了列表法与树状图法、轴对称图形、中心对称图形等知识；熟练掌握轴对称图形、中 心对称图形，正确画出树状图是解题的关键 26把长方形 ABCD 沿对角线 AC 折叠，得到如图所示的图形，已知BAO30，AC5 （1）求AOC 和BAC 的度数； （2）求长方形 ABCD 的面积 【分析】 （1）由翻折的性质得到B90，再由三角形的外角性质求得AOC 的度数，然后由翻折的 性质和平行线的性质求出ACBDAC30，可求得BAC 的度数； （2）由含 30角的
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