1、2021 年安徽省宣城市三校联考中考数学模拟试卷（年安徽省宣城市三校联考中考数学模拟试卷（3 月份）月份） 一选择题（满分一选择题（满分 40 分，每小题分，每小题 4 分）分） 1下列运算不正确的是（ ） Aa2a3a5 B （y3）4y12 C （2x）38x3 Dx3+x32x6 2不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A B C D 3 据统计， 某城市去年接待旅游人数约为 89 000 000 人， 89 000 000 这个数据用科学记数法表示为 （ ） A8.9106 B8.9105 C8.9107 D8.9108 4用代数式表示“m 的 2 倍与 n 平方的差” ，正确的是（ ）
2、 A （2mn）2 B2（mn）2 C2mn2 D （m2n）2 5如图，点 P 为O 外一点，PA 为O 的切线，A 为切点，PO 交O 于点 B，P30，OB3，则线 段 BP 的长为（ ） A3 B3 C6 D9 6某班班长统计去年 18 月“书香校园”活动中全班同学的课外阅读数量（单位：本） ，绘制了如图折线 统计图，下列说法正确的是（ ） A每月阅读数量的平均数是 50 B众数是 42 C中位数是 58 D每月阅读数量超过 40 的有 4 个月 7如图，在ABC 中，ACB90，B15，DE 垂直平分 AB，交 BC 于点 E，AE6cm，则 AC （ ） A6cm B5cm C4c
3、m D3cm 8二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图，给出下列四个结论： 3a+2b+c0； 3a+cb24ac； 方程 2ax2+2bx+2c50 没有实数根； m（am+b）+ba（m1） 其中正确结论的个数是（ ） A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 9已知 a、b 实数且满足（a2+b2）2（a2+b2）60，则 a2+b2的值为（ ） A3 B2 C3 或2 D3 或 2 10如图，矩形 ABCD 中，AB2AD4cm，动点 P 从点 A 出发，以 1cm/s 的速度沿线段 AB 向点 B 运动， 动点 Q 同时从点 A 出发，以 2cm/s 的速度沿折线 ADDCCB
4、 向点 B 运动，当一个点停止时另一个点 也随之停止设点 P 的运动时间是 x（s）时，APQ 的面积是 y（cm2） ，则能够反映 y 与 x 之间函数关 系的图象大致是（ ） A B C D 二填空题（满分二填空题（满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 11（5分） 已知m， n， p均为实数， 若x1， x+4均为多项式x3+mx2+nx+p的因式， 则2m2np+86 12 （5 分）如图，在 RtABC 中，AB3，BC4，ABC90，过 B 作 A1BAC，过 A1作 A1B1BC， 得阴影 RtA1B1B；再过 B1作 B1A2AC，过 A2作 A2B2BC，得阴影 R
5、tA2B2B1；如此下去请猜 测这样得到的所有阴影三角形的面积之和为 13 （5 分）如图，ABC 是O 的内接三角形，且 AB 是O 的直径，点 P 为O 上的动点，且BPC 60，O 的半径为 6，则点 P 到 AC 距离的最大值是 14 （5 分）如图，图 1 是“杨辉三角”数阵；图 2 是（a+b）n的展开式（按 b 的升幂排列） 若（1+x）45 的 展 开 式 按x的 升 幂 排 列 得 ：（ 1+x ） 45 a0+a1x+a2x2+ +a45x45， 则a2 三解答题（共三解答题（共 2 小题，满分小题，满分 16 分，每小题分，每小题 8 分）分） 15 （8 分）计算：2c
6、os45+（） 1+（2020 ）0+|2| 16 （8 分） 九章算术是中国传统数学重要的著作 九章算术中记载： “今有人共买鸡，人出八，盈三； 人出七，不足四问人数、鸡价各几何？”译文： “今天有几个人共同买鸡，每人出 8 钱，多余 3 钱，每 人出 7 钱，还缺 4 钱问人数和鸡的价钱各是多少？”请列方程组解决此问题 四解答题四解答题 17 （8 分） 在所给格点图中， 画出ABC 作下列变换后的三角形， 并写出所得到的三角形三个顶点的坐标 （1）沿 y 轴正方向平移 2 个单位后得到A1B1C1； （2）关于 y 轴对称后得到A2B2C2 （3）以点 B 为位似中心，放大到 2 倍后得
7、到A3B3C3 18 （8 分）如图，小亮在大楼 AD 的观光电梯中的 E 点测得大楼 BC 楼底 C 点的俯角为 60，此时他距地 面的高度 AE 为 21 米，电梯再上升 9 米到达 D 点，此时测得大楼 BC 楼顶 B 点的仰角为 45，求大楼 BC 的高度 （结果保留根号） 五解答题五解答题 19 （10 分）在ABC 中，ACB90，ACBC2，点 C 在直线 m 上，mAB，DBE45，其中 点 D、E 分别在直线 AC、m 上，将DBE 绕点 B 旋转（点 D、E 都不与点 C 重合） （1）当点 D 在边 AC 上时（如图 1） ，设 CEx，CDy，求 y 关于 x 的函数解
8、析式，并写出定义域； （2）当BCE 为等腰三角形时，求 CD 的长 20 （10 分） “时裳”服装店现有 A、B、C 三种品牌的衣服和 D、E 两种品牌的裤子，温馨家现要从服装店 选购一种品牌的衣服和一种品牌的裤子 （1）写出所有选购方案（利用树状图或列表方法表示） （2）如果（1）中各种选购方案被选中的可能性相同，那么 A 品牌衣服被选中的概率是多少？ 六解答题六解答题 21 （12 分）如图，以ABC 的一边 AB 为直径作O，O 与 BC 边的交点 D 恰好为 BC 的中点，过点 D 作 DEAC （1）求证：DE 为O 的切线； （2）连接 OC 交 DE 于点 F，若 sinAB
9、C，求的值 七解答题七解答题 22（12 分） 点 E 是矩形 ABCD 边 AB 延长线上的一动点， 在矩形 ABCD 外作 RtECF， 其中ECF90， 过点 F 作 FGBC，交 BC 的延长线于点 G，连接 DF，交 CG 于点 H （1）发现 如图 1，若 ABAD，CECF，猜想线段 DH 与 HF 的数量关系是 ； （2）探究 如图 2，若 ABnAD，CFnCE，则（1）中的猜想是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立， 请说明理由 （3）拓展 在（2）的基础上，若射线 FC 过 AD 的三等分点，AD3，AB4，则直接写出线段 EF 的长 八解答题八解答题 23 （14
10、分）已知，抛物线 yax2+bx+c，过 A（1，0） 、B（3，0） 、C（0，3） ，点 M 为顶点 （1）求抛物线的解析式及顶点 M 的坐标； （2）在抛物线的对称轴上找一点 P，使 PA+PC 的值最小，并求出 P 的坐标； （3）若直线 l 经过点 C、M 两点，且与 x 轴交于点 E，判断AEC 的面积与BCM 的面积是否相等？ 请说明理由 2021 年安徽省宣城市三校联考中考数学模拟试卷（年安徽省宣城市三校联考中考数学模拟试卷（3 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（满分一选择题（满分 40 分，每小题分，每小题 4 分）分） 1下列运算不正确的是（ ）
11、 Aa2a3a5 B （y3）4y12 C （2x）38x3 Dx3+x32x6 【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则，积的乘方运算法则以及合并同类项的法则 逐一判断即可 【解答】解：Aa2a3a2+3a5，故本选项不合题意； B （y3）4y3 4y12，故本选项不合题意； C （2x）3（2）3x38x3，故本选项不合题意； Dx3+x32x3，故本选项符合题意 故选：D 2不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A B C D 【分析】分别求出各不等式的解集，再在数轴上表示出来即可 【解答】解：， 由得，x1， 由得，x2， 故此不等式组的解集为：x2 在数轴上表示为： 故选
12、：A 3 据统计， 某城市去年接待旅游人数约为 89 000 000 人， 89 000 000 这个数据用科学记数法表示为 （ ） A8.9106 B8.9105 C8.9107 D8.9108 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把 原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同 【解答】解：89 000 000 这个数据用科学记数法表示为 8.9107 故选：C 4用代数式表示“m 的 2 倍与 n 平方的差” ，正确的是（ ） A （2mn）2 B2（mn）2 C2mn2 D （m2n）2 【分析
13、】根据题意可以用代数式表示 m 的 2 倍与 n 平方的差 【解答】解：用代数式表示“m 的 2 倍与 n 平方的差”是：2mn2， 故选：C 5如图，点 P 为O 外一点，PA 为O 的切线，A 为切点，PO 交O 于点 B，P30，OB3，则线 段 BP 的长为（ ） A3 B3 C6 D9 【分析】直接利用切线的性质得出OAP90，进而利用直角三角形的性质得出 OP 的长 【解答】解：连接 OA， PA 为O 的切线， OAP90， P30，OB3， AO3，则 OP6， 故 BP633 故选：A 6某班班长统计去年 18 月“书香校园”活动中全班同学的课外阅读数量（单位：本） ，绘制了
14、如图折线 统计图，下列说法正确的是（ ） A每月阅读数量的平均数是 50 B众数是 42 C中位数是 58 D每月阅读数量超过 40 的有 4 个月 【分析】 根据平均数的计算方法， 可判断 A； 根据众数的定义， 可判断 B； 根据中位数的定义， 可判断 C； 根据折线统计图中的数据，可判断 D 【解答】解：A、每月阅读数量的平均数是56.625，故 A 错误； B、出现次数最多的是 58，众数是 58，故 B 错误； C、由小到大顺序排列数据 28，36，42，58，58，70，78，83，中位数是58，故 C 正确； D、由折线统计图看出每月阅读量超过 40 天的有 6 个月，故 D 错
15、误； 故选：C 7如图，在ABC 中，ACB90，B15，DE 垂直平分 AB，交 BC 于点 E，AE6cm，则 AC （ ） A6cm B5cm C4cm D3cm 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到 EBEA，根据等腰三角形的性质得到EABB15，根 据三角形的外角的性质求出AEC30，根据直角三角形的性质计算 【解答】解：DE 垂直平分 AB， EBEA， EABB15， AEC30， ACAE3（cm） ， 故选：D 8二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图，给出下列四个结论： 3a+2b+c0； 3a+cb24ac； 方程 2ax2+2bx+2c50 没有实数根； m（a
16、m+b）+ba（m1） 其中正确结论的个数是（ ） A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 【分析】根据当 x1 时 y0、对称轴 x及 a0 可判断； 结合及抛物线与 x 轴交点情况可判断； 由 2ax2+2bx+2c50 可得 ax2+bx+c，根据抛物线与直线 y交点情况判断； 由 m（am+b）+ba 得 ab+cam2+bm+c，根据函数最值可判断 【解答】解：由图象可知，当 x1 时，y0，即 a+b+c0， 对称轴 x1，a0， b2a0， a+2a+c0，即 3a+c0， 3a+b+c0，故正确； 抛物线与 x 轴有两个交点， b24ac0， 3a+c0b24ac，故正确； 2
17、ax2+2bx+2c50， ax2+bx+c， 结合图象可知，不能确定抛物线 yax2+bx+c 与直线 y的交点情况， 故不正确； 当 xm（m1）时，yam2+bm+c，且当 x1 时，函数 y 取得最大值， ab+cam2+bm+c， m（am+b）+ba，故正确； 综上，正确结论有共 3 个， 故选：B 9已知 a、b 实数且满足（a2+b2）2（a2+b2）60，则 a2+b2的值为（ ） A3 B2 C3 或2 D3 或 2 【分析】设 a2+b2t，则原方程化为 t2t60，利用因式分解法解关于 t 的方程得 t13，t22，所 以 a2+b23 或 a2+b22，然后利用 a2
18、+b20 确定 a2+b2的值 【解答】解：设 a2+b2t， 原方程化为 t2t60，解得 t13，t22， 即 a2+b23 或 a2+b22， 而 a2+b20， 所以 a2+b2的值为 3 故选：A 10如图，矩形 ABCD 中，AB2AD4cm，动点 P 从点 A 出发，以 1cm/s 的速度沿线段 AB 向点 B 运动， 动点 Q 同时从点 A 出发，以 2cm/s 的速度沿折线 ADDCCB 向点 B 运动，当一个点停止时另一个点 也随之停止设点 P 的运动时间是 x（s）时，APQ 的面积是 y（cm2） ，则能够反映 y 与 x 之间函数关 系的图象大致是（ ） A B C
19、D 【分析】分 Q 在 AD 上运动、Q 在 CD 上运动和 Q 在 CB 上运动三种情况分别列出函数解析式，据此可 得 【解答】解：当点 Q 在 AD 上运动时，0 x1， yAPAQx2xx2； 当点 Q 在 CD 上运动时，1x3， yAPADx2x； 当点 Q 在 CB 上运动时，3x4， yAPQBx （82x）x2+4x， 故选：A 二填空题（满分二填空题（满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 11 （5 分）已知 m，n，p 均为实数，若 x1，x+4 均为多项式 x3+mx2+nx+p 的因式，则 2m2np+86 100 【分析】 根据三次项系数为 1 可设另一个因
20、式为 （x+k） ， 将原式变形为 x3+mx2+nx+p （x1）（x+4）（x+k） x3+（k+3）x2+（3k4）x4k，可得，代入 2m2np+86 可得答案 【解答】解：x1，x+4 均为多项式 x3+mx2+nx+p 的因式，且三次项系数为 1， 设另一个因式为（x+k） ， 则 x3+mx2+nx+p（x1） （x+4） （x+k）x3+（k+3）x2+（3k4）x4k， ， 2m2np+862（k+3）2（3k4）+4k+86 2k+66k+8+4k+86 100， 故答案为：100 12 （5 分）如图，在 RtABC 中，AB3，BC4，ABC90，过 B 作 A1BAC
21、，过 A1作 A1B1BC， 得阴影 RtA1B1B；再过 B1作 B1A2AC，过 A2作 A2B2BC，得阴影 RtA2B2B1；如此下去请猜 测这样得到的所有阴影三角形的面积之和为 【分析】根据相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方，那么阴影部分面积与空白部 分面积之比为 16：25，那么所有的阴影部分面积之和可求了 【解答】解：易得ABA1BA1B1， 则相似比为 A1B：ABsinA4：5， 那么阴影部分面积与空白部分面积之比为 16：25， 同理可得到其他三角形之间也是这个情况， 那么所有的阴影部分面积之和应等于342 13 （5 分）如图，ABC 是O 的内接三角形
22、，且 AB 是O 的直径，点 P 为O 上的动点，且BPC 60，O 的半径为 6，则点 P 到 AC 距离的最大值是 6+3 【分析】过 O 作 OMAC 于 M，延长 MO 交O 于 P，则此时，点 P 到 AC 距离的最大，且点 P 到 AC 距离的最大值PM，解直角三角形即可得到结论 【解答】解：过 O 作 OMAC 于 M，延长 MO 交O 于 P， 则此时，点 P 到 AC 的距离最大，且点 P 到 AC 距离的最大值PM， OMAC，ABPC60，O 的半径为 6， OPOA6， OMOA63， PMOP+OM6+3， 则点 P 到 AC 距离的最大值是 6+3， 故答案为：6+
23、3 14 （5 分）如图，图 1 是“杨辉三角”数阵；图 2 是（a+b）n的展开式（按 b 的升幂排列） 若（1+x）45 的 展 开 式 按x的 升 幂 排 列 得 ：（ 1+x ） 45 a0+a1x+a2x2+ +a45x45， 则a2 990 【分析】根据图形中的规律即可求出（1+x）45的展开式中第三项的系数为前 44 个数的和，计算得到结 论 【解答】解：由图 2 知： （a+b）1的第三项系数为 0， （a+b）2的第三项的系数为：1， （a+b）3的第三项的系数为：31+2， （a+b）4的第三项的系数为：61+2+3， 发现（1+x）3的第三项系数为：31+2； （1+x）
24、4的第三项系数为 61+2+3； （1+x）5的第三项系数为 101+2+3+4； 不难发现（1+x）n的第三项系数为 1+2+3+（n2）+（n1） ， （1+x）45a0+a1x+a2x2+a45x45，则 a21+2+3+44990； 故答案为：990 三解答题（共三解答题（共 2 小题，满分小题，满分 16 分，每小题分，每小题 8 分）分） 15 （8 分）计算：2cos45+（） 1+（2020 ）0+|2| 【分析】直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质和负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别 化简得出答案 【解答】解：原式22+1+2 2+1+2 1 16 （8 分） 九章
25、算术是中国传统数学重要的著作 九章算术中记载： “今有人共买鸡，人出八，盈三； 人出七，不足四问人数、鸡价各几何？”译文： “今天有几个人共同买鸡，每人出 8 钱，多余 3 钱，每 人出 7 钱，还缺 4 钱问人数和鸡的价钱各是多少？”请列方程组解决此问题 【分析】设人数有 x 人，鸡的价钱是 y 钱，根据每人出 8 钱，多余 3 钱得出等量关系一：鸡的价钱8 买鸡人数3；根据每人出 7 钱，还缺 4 钱得出等量关系二：鸡的价钱7买鸡人数+4，依此两个等 量关系列出方程组即可 【解答】解：设人数有 x 人，鸡的价钱是 y 钱， 由题意得： 解方程组得 答：人数为 7 人，鸡的价钱为 53 钱
26、四解答题四解答题 17 （8 分） 在所给格点图中， 画出ABC 作下列变换后的三角形， 并写出所得到的三角形三个顶点的坐标 （1）沿 y 轴正方向平移 2 个单位后得到A1B1C1； （2）关于 y 轴对称后得到A2B2C2 （3）以点 B 为位似中心，放大到 2 倍后得到A3B3C3 【分析】 （1）将三角形的三点沿 y 轴正向平移 2 个单位，即是向上平移两个单位后得到新点，顺次连接 得到新图； （2）分别将 A，B，C 向 y 轴作垂线，找对应点，顺次连接得到新图形； （3）延长 BC、BA，并使其到点 B 的距离是他们的二倍，找到对应点 A3，C3，然后顺次连接，即可得 到新图 【解
27、答】解： （1）如图所示，A1B1C1即为所求； A1（0，0） ，B1（3，1） ，C1（2，3） ； （2）如图所示，AB2C2即为所求； A2（0，2） ，B2（3，1） ，C2（2，1） ； （3）如图所示，AB2C2即为所求； A3（3，3） ，B2（3，1） ，C2（1，3） 18 （8 分）如图，小亮在大楼 AD 的观光电梯中的 E 点测得大楼 BC 楼底 C 点的俯角为 60，此时他距地 面的高度 AE 为 21 米，电梯再上升 9 米到达 D 点，此时测得大楼 BC 楼顶 B 点的仰角为 45，求大楼 BC 的高度 （结果保留根号） 【分析】 过 D 作 DHBC 于 H，
28、过 E 作 EGBC 于 G 求出 EG 和 DH 的长， 在 RtBDH 中， 求出 BH， 则可得出答案 【解答】解：过 D 作 DHBC 于 H，过 E 作 EGBC 于 G 由已知得，BDH45，CEG60，AE21 米，DE9 米 在 RtCEG 中，CGAE21 米，tanCEG， EG7（米） DHEG7米 在 RtBDH 中，BDH45， BHDH7米 BCCG+HG+BHCG+DE+BH21+9+7（30+7）米 答：大楼 BC 的高度是（30+7）米 五解答题五解答题 19 （10 分）在ABC 中，ACB90，ACBC2，点 C 在直线 m 上，mAB，DBE45，其中
29、点 D、E 分别在直线 AC、m 上，将DBE 绕点 B 旋转（点 D、E 都不与点 C 重合） （1）当点 D 在边 AC 上时（如图 1） ，设 CEx，CDy，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出定义域； （2）当BCE 为等腰三角形时，求 CD 的长 【分析】 （1）证明ADBCEB，通过比例式找到 y 与 x 的关系； （2）分情况讨论，当 BECE 时，C、D 重合，不符合题意，舍去； 当 BCBE 时，如图 1；当 BCCE 时，有两种图形（如图 2、3） 画出对应图形后，根据等腰三 角形的性质，求出底角度数，再转化为边之间的关系即可求解 【解答】解： （1）mAB，ECBCB
30、A45 AECB45 DBA45CBD，EBC45CBD， DBAEBC ADBCEB ，即 y2x（0 x） ； （2）当 BECE 时，C、D 重合，不符合题意，舍去； 当 BCBE 时，如图 1，ECB45， CEB45， CBE90 则CBD90DBE45 ABD45+4590 A45， ABD 是等腰直角三角形 AD4， CD422； 当 BCCE 时， 如图 2，ECB45， CBE67.5 ABDCBE67.5 ADB1804567.567.5 ABDADB， ADAB2 CD22； 如图 3，则BCE135， CBE22.5 ABD22.5， CAB45， ADB4522.52
31、2.5 ADAB2 CD2+2 所以当BCE 为等腰三角形时，CD 的长为 2 或 2+2 或 22 20 （10 分） “时裳”服装店现有 A、B、C 三种品牌的衣服和 D、E 两种品牌的裤子，温馨家现要从服装店 选购一种品牌的衣服和一种品牌的裤子 （1）写出所有选购方案（利用树状图或列表方法表示） （2）如果（1）中各种选购方案被选中的可能性相同，那么 A 品牌衣服被选中的概率是多少？ 【分析】 （1）根据已知利用树状图列举出所有可能即可； （2）根据（1）中树状图，即可得出 A 品牌衣服被选中的概率 【解答】解：画树状图得： ； （2）共 6 种选购方案，其中 A 品牌衣服被选中的方案有
32、 2 种， A 品牌衣服被选中的概率是 六解答题六解答题 21 （12 分）如图，以ABC 的一边 AB 为直径作O，O 与 BC 边的交点 D 恰好为 BC 的中点，过点 D 作 DEAC （1）求证：DE 为O 的切线； （2）连接 OC 交 DE 于点 F，若 sinABC，求的值 【分析】 （1）连接 OD，根据三角形的中位线定理可求出 ODAC，根据切线的性质可证明 DEOD， 进而得证 （2） 连接 AD 根据圆周角定理得到ADBADC90 故设 AD3x， 则 ABAC4x， OD2x 根 据相似三角形的性质得到 AExECx，于是得到结论 【解答】 （1）证明：连接 OD O
33、为 AB 中点，D 为 BC 中点， ODAC DEAC， DEOD，即 DE 是O 的切线； （2）解：连接 AD ODAC， AB 为O 的直径， ADBADC90 又D 为 BC 的中点， ABAC sinABC， 故设 AD3x，则 ABAC4x，OD2x DEAC， ADCAED90 DACEAD， ADCAED ， AD2AEAC AEx ECx， 七解答题七解答题 22（12 分） 点 E 是矩形 ABCD 边 AB 延长线上的一动点， 在矩形 ABCD 外作 RtECF， 其中ECF90， 过点 F 作 FGBC，交 BC 的延长线于点 G，连接 DF，交 CG 于点 H （1
34、）发现 如图 1，若 ABAD，CECF，猜想线段 DH 与 HF 的数量关系是 DHHF ； （2）探究 如图 2，若 ABnAD，CFnCE，则（1）中的猜想是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立， 请说明理由 （3）拓展 在（2）的基础上，若射线 FC 过 AD 的三等分点，AD3，AB4，则直接写出线段 EF 的长 【分析】 （1）证GCFBEC（AAS） ，得 BCGF，则 CDGF，则证HCDHGF（ASA） ，得出 DHHF 即可； （2）证FCGCEB，则n，由矩形的性质得出n，证HCDHGF（ASA） ，即可 得出 DHHF； （3）根据矩形的性质和已知得 n，则 CEC
35、F，分两种情况，根据勾股定理和平行线的性质 进行解答即可 【解答】解： （1）DHHF；理由如下： 四边形 ABCD 是矩形，ABAD， 四边形 ABCD 是正方形， BCCD，ABCEBCBCD90， CDBC， FGBC，ECF90， CDGF，CGFECFEBC90， GCF+BCE90， BCE+BEC90， GCFBEC， 在GCF 和BEC 中， GCFBEC（AAS） ， BCGF， CDGF， CDGF， HDCHFG，HCDHGF， 在HCD 和HGF 中， HCDHGF（ASA） ， DHHF， 故答案为：DHHF； （2）DHHF 仍然成立；理由如下： 四边形 ABCD
36、是矩形，FGBC，ECF90， CGFECFEBC90， FCG+BCE90， BCE+CEB90， FCGCEB， FCGCEB， n， 四边形 ABCD 是矩形，ABnAD， n， ， GFCD， 四边形 ABCD 是矩形， CDBC， FGBC， CDGF， HDCHFG，HCDHGF， 在HCD 和HGF 中， HCDHGF（ASA） ， DHHF； （3）如图 3 所示： 四边形 ABCD 是矩形， ABCD4，ADBC3，RDC90，RDCH， ABnAD，CFnCE， n， CECF， 分两种情况： 当 ARAD 时， AD3， AR1，DR2， 在 RtCDR 中，由勾股定理得
37、：CR2， RDCH，DHDF， RCCF2， CE2， 由勾股定理得：EF； 当 DRAD 时，同理可得：DR1，RC，CFRC，CE， 由勾股定理得：EF； 综上所述，若射线 FC 过 AD 的三等分点，AD3，AB4，则线段 EF 的长为或 八解答题八解答题 23 （14 分）已知，抛物线 yax2+bx+c，过 A（1，0） 、B（3，0） 、C（0，3） ，点 M 为顶点 （1）求抛物线的解析式及顶点 M 的坐标； （2）在抛物线的对称轴上找一点 P，使 PA+PC 的值最小，并求出 P 的坐标； （3）若直线 l 经过点 C、M 两点，且与 x 轴交于点 E，判断AEC 的面积与B
38、CM 的面积是否相等？ 请说明理由 【分析】 （1）根据交点式或一般式，利用待定系数法求二次函数的解析式，然后利用配方法将函数解析 式转化为顶点式，可以直接得到顶点坐标； （2） 由点 A、 B 关于抛物线的对称轴对称可得出连接 BC 交抛物线对称轴于点 P， 此时 PA+PC 的值最小， 根据抛物线的解析式可求出其对称轴为直线 x1，由点 B、C 的坐标利用待定系数法可求出过点 B、C 的直线的解析式，代入 x1 求出 y 值，由此即可得出点 P 的坐标，再利用勾股定理求出线段 BC 的长即 可； （3）利用待定系数法求出直线 CM 的解析式为 yx3，则可确定 E（3，0） ，然后分别计算
39、出 S ACE和 SBCM，从而可判断AEC 的面积与BCM 的面积是否相等 【解答】解： （1）把 C（0，3）代入得解析式得 C3， 又因为抛物线过 A（1，0） ，B（3，0） ， 将其代入解析式，得 解得 a1，b2 即抛物线的解析式为 yx22x3 yx22x3（x1）24， M（1，4） ； （2）根据题意知，抛物线的对称轴为直线 x1，点 A 与点 B 关于直线 x1 对称， 如图，连接 BC 交直线 x1 于 P 点，则 PAPB， PA+PCPB+PCBC， 此时 PA+PC 的值最小，设直线 BC 的解析式为 ymx+n， 把 B（3，0） ，C（0，3）代入得， 解得， 直线 BC 的解析式为 yx3， 当 x1 时，yx32，则满足条件的 P 点坐标为（1，2） ； （3）AEC 的面积与BCM 的面积相等 理由如下： M（1，4） ， 设直线 CM 的解析式为 ypx+q， 把 M（1，4） ，C（0，3）代入得， 解得， 直线 CM 的解析式为 yx3， 当 y0 时，x30， 解得 x3，则 E（3，0） ， SACE（1+3）33，SBCM（2+4）33， AEC 的面积与BCM 的面积相等
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