2021年湖北省黄冈市三校联考中考数学第一次摸底试卷（含答案解析）

1、2021 年湖北省黄冈市三校联考中考数学第一次摸底试卷年湖北省黄冈市三校联考中考数学第一次摸底试卷 一选择题（每小题一选择题（每小题 3 分，满分分，满分 24 分）分） 1最大的负整数是（ ） A0 B1 C1 D不存在 2下列把 2034000 记成科学记数法正确的是（ ） A2.034106 B20.34105 C0.2034106 D2.034103 3下列计算正确的是（ ） A4a22a22 B3a+a3a2 C4a62a32a2 D2aa2a2 4如图，下列图形从正面看是三角形的是（ ） A B C D 5如图，ABC 中，A（2，4）以原点为位似中心，将ABC 缩小后得到DEF，

2、若 D（1，2） ，DEF 的面积为 4，则ABC 的面积为（ ） A2 B4 C8 D16 6如图，在O 中，直径 CD 垂直于弦 AB，若C25，则BOD 的度数是（ ） A25 B30 C40 D50 7菏泽市某中学在预防“新冠肺炎”期间，要求学生每日测量体温，初三一班一名同学连续一周的体温情 况如下表所示： 日期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 体温（） 36.2 36.2 36.5 36.3 36.2 36.4 36.3 则该名同学这一周体温数据的众数和中位数分别是（ ） A36.3，36.2 B36.2，36.3 C36.2，36.2 D36.2，36.1

3、8如图，矩形 ABCD 中，AB3，BC4，点 P 从 A 点出发，按 ABC 的方向在 AB 和 BC 上移动记 PAx，点 D 到直线 PA 的距离为 y，则 y 关于 x 的函数大致图象是（ ） A B C D 二填空题（满分二填空题（满分 24 分，每小题分，每小题 3 分）分） 9在数轴上到原点的距离是 5 的点表示有理数是 10若式子有意义，则实数 x 的取值范围是 11把多项式 ax24ax+4a 因式分解的结果是 12一副三角板按如图所示放置，ABDC，则CAE 的度数为 13 已知一个直角三角形的两条直角边的长是方程 2x210 x+90 的两个实数根， 则这个直角三角形的斜

4、边 长是 14经过已知点 M 和 N 的圆的圆心的轨迹是 15如图，点 A 在双曲线 y上，点 B 在双曲线 y （k0）上，ABx 轴，过点 A 作 ADx 轴于 D连 接 OB，与 AD 相交于点 C，若 AC2CD，则 k 的值为 16如图，长方形 ABCD 中，AD20，AB8，点 Q 是 BC 的中点，点 P 在 AD 边上运动，当BPQ 是等 腰三角形时，AP 的长为 三解答题（共三解答题（共 72 分）分） 17先化简，再求值： （+），其中 m9 18解方程： 19如图，在矩形 ABCD 中，E、F 分别在 AB、CD 上，且 DEBF求证：四边形 DEBF 是平行四边形 20

5、2020 年 5 月，全国“两会”召开以后，应势复苏的“地摊经济”带来了市场新活力，小丹准备购进 A、 B 两种类型的便携式风扇到地摊一条街出售已知 2 台 A 型风扇和 5 台 B 型风扇进价共 100 元，3 台 A 型风扇和 2 台 B 型风扇进价共 62 元 （1）求 A 型风扇、B 型风扇进货的单价各是多少元？ （2）小丹准备购进这两种风扇共 100 台，根据市场调查发现，A 型风扇销售情况比 B 型风扇好，小丹准 备多购进 A 型风扇， 但数量不超过 B 型风扇数量的 3 倍， 购进 A、 B 两种风扇的总金额不超过 1170 元 根 据以上信息，小丹共有哪些进货方案？哪种进货方案

6、的费用最低？最低费用为多少元？ 21某校为了解九年级男同学的体育考试准备情况，随机抽取部分男同学进行了 1000 米跑步测试按照成 绩分为优秀、良好、合格与不合格四个等级，学校绘制了如下不完整的统计图 （1）根据给出的信息，补全两幅统计图； （2）该校九年级有 600 名男生，请估计成绩达到良好及以上等级的有多少名？ （3） 某班甲、 乙两位成绩优秀的同学被选中参加即将举行的学校运动会 1000 米比赛 预赛分别为 A、 B、 C 三组进行，选手由抽签确定分组甲、乙两人恰好分在同一组的概率是多少？ 22 时代购物广场要修建一个地下停车场， 停车场的入口设计示意图如图所示， 其中斜坡的倾斜角为

7、18， 一楼到地下停车场地面的垂直高度 CD2.8m，一楼到地平线的距离 BC1m （1） 为保证斜坡的倾斜角为 18， 应在地面上距点 B 多远的 A 处开始斜坡的施工？ （结果精确到 0.1m） （2） 如果给该购物广场送货的货车高度为 2.5m， 那么按这样的设计能否保证货车顺利进入地下停车场？ 并说明理由 （参考数据：sin180.31，cos180.95，tan180.32） 23如图，D 为O 上一点，点 C 在直径 BA 的延长线上，且CDACBD （1）求证：CD2CACB； （2）求证：CD 是O 的切线； （3）过点 B 作O 的切线 BE 交 CD 的延长线于点 E，若

8、BC12，CA4，求 BE 的长 24受“新冠”疫情的影响，某销售商在网上销售 A，B 两种型号的“手写板” ，获利颇丰已知 A 型，B 型手写板进价、售价和每日销量如表格所示： 进价（元/个） 售价（元/个） 销量（个/日） A 型 600 900 200 B 型 800 1200 400 根据市场行情，该销售商对 A 型手写板降价销售，同时对 B 型手写板提高售价，此时发现 A 型手写板每 降低 5 元就可多卖 1 个，B 型手写板每提高 5 元就少卖 1 个，要保持每天销售总量不变，设其中 A 型手 写板每天多销售 x 个，每天总获利的利润为 y 元 （1）求 y 与 x 之间的函数关系

9、式并写出 x 的取值范围； （2）要使每天的利润不低于 234000 元，直接写出 x 的取值范围； （3）该销售商决定每销售一个 B 型手写板，就捐 a 元给（0a100）因“新冠疫情”影响的困难家庭， 当 30 x40 时，每天的最大利润为 229200 元，求 a 的值 25如图 1，抛物线 yax2+bx+与 x 轴交于点 A（1，0） ，C（3，0） ，点 B 为抛物线顶点，连接 AB， BC，AB 与 y 轴交于点 D，连接 CD （1）求这条抛物线的函数表达式； 直接写出顶点 B 的坐标 ； （2）直接写出ABC 的形状为 ； （3）点 P 为抛物线上第一象限内的一个动点，设PD

10、C 的面积为 S，点 P 的横坐标为 m，当 S 有最大 值时，求 m 的值； （4）如图 2，连接 OB，抛物线上是否存在点 Q，使BCA+QCA，当 tan2 时，请直接写出 点 Q 的横坐标；若不存在，说明理由 2021 年湖北省黄冈市三校联考中考数学第一次摸底试卷年湖北省黄冈市三校联考中考数学第一次摸底试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 8 小题）小题） 1最大的负整数是（ ） A0 B1 C1 D不存在 【分析】根据负整数的概念和有理数的大小进行判断 【解答】解：负整数是负数且是整数，即最大的负整数是1 故选：C 2下列把 2034000 记成科学记

11、数法正确的是（ ） A2.034106 B20.34105 C0.2034106 D2.034103 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把 原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n 是正整数；当原数的绝对值1 时，n 是负整数 【解答】解：数字 2034000 科学记数法可表示为 2.034106 故选：A 3下列计算正确的是（ ） A4a22a22 B3a+a3a2 C4a62a32a2 D2aa2a2 【分析】根据整式的除法，合并同类项的方法，以及单项式乘单项式的方法逐

12、一判断即可 【解答】解：4a22a22a2， 选项 A 不正确； 3a+a4a， 选项 B 不正确； 4a62a32a3， 选项 C 不正确； 2aa2a2， 选项 D 正确 故选：D 4如图，下列图形从正面看是三角形的是（ ） A B C D 【分析】分别写出各选项中几何体的从正面看到的图形，进一步选择答案即可 【解答】解：A、三棱柱从正面看到的是长方形，不合题意； B、圆台从正面看到的是梯形，不合题意； C、圆锥从正面看到的是三角形，符合题意； D、长方体从正面看到的是长方形，不合题意 故选：C 5如图，ABC 中，A（2，4）以原点为位似中心，将ABC 缩小后得到DEF，若 D（1，2）

13、 ，DEF 的面积为 4，则ABC 的面积为（ ） A2 B4 C8 D16 【分析】利用位似图形的性质结合对应点坐标得出位似比，进而求出ABC 的面积 【解答】解：A（2，4）以原点为位似中心，将ABC 缩小后得到DEF，D（1，2） ， 位似比为：2：1， DEF 的面积为 4， ABC 的面积为：4416 故选：D 6如图，在O 中，直径 CD 垂直于弦 AB，若C25，则BOD 的度数是（ ） A25 B30 C40 D50 【分析】由“等弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半”推知DOB2C，得到答案 【解答】解：在O 中，直径 CD 垂直于弦 AB， ， DOB2C50 故选：D 7菏

14、泽市某中学在预防“新冠肺炎”期间，要求学生每日测量体温，初三一班一名同学连续一周的体温情 况如下表所示： 日期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 体温（） 36.2 36.2 36.5 36.3 36.2 36.4 36.3 则该名同学这一周体温数据的众数和中位数分别是（ ） A36.3，36.2 B36.2，36.3 C36.2，36.2 D36.2，36.1 【分析】根据中位数、众数的意义进行判断即可 【解答】解：这周气温出现次数最多的是 36.2，因此众数是 36.2， 将这一周的气温从小到大排列后，处在中间位置的是 36.3，因此中位数是 36.3， 故选：B 8

15、如图，矩形 ABCD 中，AB3，BC4，点 P 从 A 点出发，按 ABC 的方向在 AB 和 BC 上移动记 PAx，点 D 到直线 PA 的距离为 y，则 y 关于 x 的函数大致图象是（ ） A B C D 【分析】根据题意，分两种情况： （1）当点 P 在 AB 上移动时，点 D 到直线 PA 的距离不变，恒为 4； （2） 当点 P 在 BC 上移动时，根据相似三角形判定的方法，判断出PABADE，即可判断出 y（3 x5） ，据此判断出 y 关于 x 的函数大致图象是哪个即可 【解答】解： （1）当点 P 在 AB 上移动时， 点 D 到直线 PA 的距离为： yDABC4（0

16、x3） （2）如图 1，当点 P 在 BC 上移动时， AB3，BC4， AC， PAB+DAE90，ADE+DAE90， PABADE， 在PAB 和ADE 中， PABADE， ， ， y（3x5） 综上，可得 y 关于 x 的函数大致图象是： 故选：D 二填空题（共二填空题（共 8 小题）小题） 9在数轴上到原点的距离是 5 的点表示有理数是 +5，5 【分析】先设出这个数为 x，再根据数轴上各点到原点的距离进行解答即可 【解答】解：设这个数是 x，则|x|5， 解得 x+5 或5 故答案为：+5，5 10若式子有意义，则实数 x 的取值范围是 x1 且 x0 【分析】直接利用二次根式有

17、意义的条件得出答案 【解答】解：式子有意义， x+10，x0， 解得：x1 且 x0 故答案为：x1 且 x0 11把多项式 ax24ax+4a 因式分解的结果是 a（x2）2 【分析】直接提取公因式 a，进而利用完全平方公式分解因式得出答案 【解答】解：ax24ax+4a a（x24x+4） a（x2）2 故答案为：a（x2）2 12一副三角板按如图所示放置，ABDC，则CAE 的度数为 15 【分析】根据题意和图形，利用平行线的性质，可以得到BAE 的度数，再根据230，即可得到 CAE 的度数 【解答】解：由图可知， 145，230， ABDC， BAE145， CAEBAE245301

18、5， 故答案为：15 13 已知一个直角三角形的两条直角边的长是方程 2x210 x+90 的两个实数根， 则这个直角三角形的斜边 长是 4 【分析】设这两个根分别是 m，n，根据韦达定理可得 m+n5，mn，代入到斜边长的平方m2+n2 （m+n）22mn 求解可得 【解答】解：设这两个根分别是 m，n， 根据题意可得 m+n5，mn， 根据勾股定理，直角三角形的斜边长的平方m2+n2（m+n）22mn25916， 则这个直角三角形的斜边长是 4， 故答案为：4 14经过已知点 M 和 N 的圆的圆心的轨迹是 线段 MN 的垂直平分线 【分析】要求作经过已知点 M 和点 N 的圆的圆心，则圆

19、心应满足到点 M 和点 N 的距离相等，从而根据 线段的垂直平分线性质即可求解 【解答】解：根据同圆的半径相等，则圆心应满足到点 M 和点 N 的距离相等，即经过已知点 M 和点 N 的圆的圆心的轨迹是线段 MN 的垂直平分线 故答案为：线段 MN 的垂直平分线 15如图，点 A 在双曲线 y上，点 B 在双曲线 y （k0）上，ABx 轴，过点 A 作 ADx 轴于 D连 接 OB，与 AD 相交于点 C，若 AC2CD，则 k 的值为 12 【分析】根据题意可以设出点 A 的坐标，从而可以表示出点 B 的坐标，然后根据三角形的相似即可解答 本题 【解答】解：设点 A 的坐标为（a，） ，则

20、点 B 的坐标为（，） ， ABx 轴，AC2CD， BACODC， ACBDCO， ACBDCO， ， ， ODa，则 AB2a， 点 B 的横坐标是 3a， 3a， 解得，k12， 故答案为：12 16如图，长方形 ABCD 中，AD20，AB8，点 Q 是 BC 的中点，点 P 在 AD 边上运动，当BPQ 是等 腰三角形时，AP 的长为 4 或 5 或 6 或 16 【分析】分 BPPQ、BPBQ 和 BQPQ 三种情况分别讨论，再结合勾股定理求解即可 【解答】解：四边形 ABCD 为矩形，AD20， BQ10， 当 BPPQ 时，过 P 作 PMBQ，交 BQ 于点 M，如图 1 所

21、示： 则 BMMQ5，且四边形 ABMP 为矩形， APBM5， 当 BQBP 时，则 BP10，在 RtABP 中，AB8，由勾股定理可求得 AP6， 当 PQBQ 时，以点 Q 为圆心，BQ 为半径作圆，于 AD 交于 R、S 两点，如图 2 所示： 过 Q 作 QNRS，交 RS 于点 N，则可知 RNSN， 在 RtRNQ 中，可求得 RNSN6， 则 AR4，AS16， 即 R、S 为满足条件的 P 点的位置， AP4 或 16， 综上可知 AP为 4 或 5 或 6 或 16， 故答案为：4 或 5 或 6 或 16 三解答题三解答题 17先化简，再求值： （+），其中 m9 【分

22、析】根据分式的混合运算顺序进行化简，再代入值即可 【解答】解：原式 ， 当 m9 时， 原式 18解方程： 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的 解 【解答】解：方程两边都乘以 5x（x+2） ，得 3（x+2）5x， 即 3x+65x， 解得 x3， 检验：把 x3 代入 5x（x+2）0， 所以，x3 是原分式方程的解 19如图，在矩形 ABCD 中，E、F 分别在 AB、CD 上，且 DEBF求证：四边形 DEBF 是平行四边形 【分析】根据矩形的性质得出AC90，ADBC，求出 RtADERtCBF，根据全等得出 AE CF，根

23、据矩形的性质得出 ABCD，ABCD，求出 BEDF，BEDF，根据平行四边形的判定推出 即可 【解答】证明：四边形 ABCD 是矩形， AC90，ADBC， 在 RtADE 和 RtCBF 中 RtADERtCBF（HL） ， AECF， 矩形 ABCD 中 ABCD，ABCD， BEDF，BEDF， 四边形 DEBF 是平行四边形 202020 年 5 月，全国“两会”召开以后，应势复苏的“地摊经济”带来了市场新活力，小丹准备购进 A、 B 两种类型的便携式风扇到地摊一条街出售已知 2 台 A 型风扇和 5 台 B 型风扇进价共 100 元，3 台 A 型风扇和 2 台 B 型风扇进价共

24、62 元 （1）求 A 型风扇、B 型风扇进货的单价各是多少元？ （2）小丹准备购进这两种风扇共 100 台，根据市场调查发现，A 型风扇销售情况比 B 型风扇好，小丹准 备多购进 A 型风扇， 但数量不超过 B 型风扇数量的 3 倍， 购进 A、 B 两种风扇的总金额不超过 1170 元 根 据以上信息，小丹共有哪些进货方案？哪种进货方案的费用最低？最低费用为多少元？ 【分析】 （1）设 A 型风扇进货的单价是 x 元，B 型风扇进货的单价是 y 元，根据“2 台 A 型风扇和 5 台 B 型风扇进价共 100 元，3 台 A 型风扇和 2 台 B 型风扇进价共 62 元” ，即可得出关于

25、x，y 的二元一次方程 组，解之即可得出结论； （2）设购进 A 型风扇 m 台，则购进 B 型风扇（100m）台，根据“购进 A 型风扇不超过 B 型风扇数量 的 3 倍，购进 A、B 两种风扇的总金额不超过 1170 元” ，即可得出关于 m 的一元一次不等式组，解之即 可得出 m 的取值范围，再结合 m 为正整数即可得出各进货方案 【解答】解： （1）设 A 型风扇进货的单价是 x 元，B 型风扇进货的单价是 y 元， 依题意，得：， 解得： 答：A 型风扇进货的单价是 10 元，B 型风扇进货的单价是 16 元； （2）设购进 A 型风扇 m 台，则购进 B 型风扇（100m）台， 依

26、题意，得：， 解得：71m75， 又m 为正整数， m 可以取 72、73、74、75， 小丹共有 4 种进货方案，方案 1： 购进 A 型风扇 72 台， B 型风扇 28 台； 方案 2： 购进 A 型风扇 73 台， B 型风扇 27 台；方案 3：购进 A 型风扇 74 台，B 型风扇 26 台；方案 4：购进 A 型风扇 75 台，B 型风扇 25 台 B 型风扇进货的单价大于 A 型风扇进货的单价， 方案 4：购进 A 型风扇 75 台，B 型风扇 25 台的费用最低， 最低费用为 7510+25161150 元 21某校为了解九年级男同学的体育考试准备情况，随机抽取部分男同学进行

27、了 1000 米跑步测试按照成 绩分为优秀、良好、合格与不合格四个等级，学校绘制了如下不完整的统计图 （1）根据给出的信息，补全两幅统计图； （2）该校九年级有 600 名男生，请估计成绩达到良好及以上等级的有多少名？ （3） 某班甲、 乙两位成绩优秀的同学被选中参加即将举行的学校运动会 1000 米比赛 预赛分别为 A、 B、 C 三组进行，选手由抽签确定分组甲、乙两人恰好分在同一组的概率是多少？ 【分析】 （1） 先利用良好等级的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数， 再计算出合格等级的人数， 然后分别计算出合格等级人数所占的百分比和优秀等级人数所占的百分比后补全两个统计图； （2）用

28、600 乘以良好与优秀两个等级的百分比的和可估计成绩达到良好及以上等级的人数； （3）画树状图展示所有 9 种等可能的结果数，再找出甲、乙两人恰好分在同一组的结果数，然后根据概 率公式求解 【解答】解： （1）调查的总人数为 1640%40（人） ， 所以合格等级的人数为 401216210（人） ， 合格等级人数所占的百分比100%25%；优秀等级人数所占的百分比100%30%； 统计图为： （2）600（30%+40%）420， 所以估计成绩达到良好及以上等级的有 420 名； （3）画树状图为： 共有 9 种等可能的结果数，其中甲、乙两人恰好分在同一组的结果数为 3， 所以甲、乙两人恰好

29、分在同一组的概率 22 时代购物广场要修建一个地下停车场， 停车场的入口设计示意图如图所示， 其中斜坡的倾斜角为 18， 一楼到地下停车场地面的垂直高度 CD2.8m，一楼到地平线的距离 BC1m （1） 为保证斜坡的倾斜角为 18， 应在地面上距点 B 多远的 A 处开始斜坡的施工？ （结果精确到 0.1m） （2） 如果给该购物广场送货的货车高度为 2.5m， 那么按这样的设计能否保证货车顺利进入地下停车场？ 并说明理由 （参考数据：sin180.31，cos180.95，tan180.32） 【分析】 （1）根据题意可得BAD18，再根据锐角三角函数即可求出结果； （2）如图，过点 C

30、作 CEAD 于点 E，根据锐角三角函数求出 CE 的长，再进行比较即可得结论 【解答】解： （1）由题意可知：BAD18， 在 RtABD 中，AB185.6（m） ， 答：应在地面上距点 B 约 5.6m 远的 A 处开始斜坡的施工； （2）能，理由如下： 如图，过点 C 作 CEAD 于点 E， 则ECDBAD18， 在 RtCED 中，CECDcos182.80.952.66（m） ， 2.662.5， 能保证货车顺利进入地下停车场 23如图，D 为O 上一点，点 C 在直径 BA 的延长线上，且CDACBD （1）求证：CD2CACB； （2）求证：CD 是O 的切线； （3）过点

31、B 作O 的切线 BE 交 CD 的延长线于点 E，若 BC12，CA4，求 BE 的长 【分析】 （1）易证CDACBD，由相似三角形的对应边成比例来证得结论； （2）连接 OD，则ADOBAD，由圆周角定理得出BDA90，CBD+BAD90，由CDA CBD，得出CDA+ADO90CDO，即可得出结论； （3）证明CDOCBE，得出，由已知求出 AB8，OAOD4，OC8，由勾股定理求得 CD 的长，代入比例式即可得出结果 【解答】 （1）证明：CDACBD，CC， ADCDBC， ，CD2CACB （2）证明：连接 OD，如图所示： 则ADOBAD， AB 是O 的直径， BDA90，

32、CBD+BAD90， CDACBD， CDA+ADO90CDO， CDOD， CD 是O 的切线； （3）解：BE 是O 的切线， CBE90， 由（2）知CDO90， CDOCBE， 又CC， CDOCBE， ， BC12，CA4， AB8， OAOD4， OCCA+OA8， 在 RtCDO 中，CD4， ， 解得：BE 24受“新冠”疫情的影响，某销售商在网上销售 A，B 两种型号的“手写板” ，获利颇丰已知 A 型，B 型手写板进价、售价和每日销量如表格所示： 进价（元/个） 售价（元/个） 销量（个/日） A 型 600 900 200 B 型 800 1200 400 根据市场行情，

33、该销售商对 A 型手写板降价销售，同时对 B 型手写板提高售价，此时发现 A 型手写板每 降低 5 元就可多卖 1 个，B 型手写板每提高 5 元就少卖 1 个，要保持每天销售总量不变，设其中 A 型手 写板每天多销售 x 个，每天总获利的利润为 y 元 （1）求 y 与 x 之间的函数关系式并写出 x 的取值范围； （2）要使每天的利润不低于 234000 元，直接写出 x 的取值范围； （3）该销售商决定每销售一个 B 型手写板，就捐 a 元给（0a100）因“新冠疫情”影响的困难家庭， 当 30 x40 时，每天的最大利润为 229200 元，求 a 的值 【分析】 （1）根据题意列函数

34、关系式和不等式组，于是得到结论； （2）根据题意列方程和不等式，于是得到结论； （3）根据题意列函数关系式，然后根据二次函数的性质即可得到结论 【解答】 解：（1） 由题意得， y （9006005x）（200+x） + （1200800+5x）（400 x） 10 x2+900 x+220000， 解得 0 x60， 故 x 的取值范围为 0 x60 且 x 为整数； （2）x 的取值范围为 20 x60 理由如下：y10 x2+900 x+22000010（x45）2+240250， 当 y234000 时，10（x45）2+240250234000， （x45）2625，x4525， 解

35、得：x20 或 x70 要使 y234000， 得 20 x70； 0 x60， 20 x60； （3）设捐款后每天的利润为 w 元， 则 w10 x2+900 x+220000（400 x）a10 x2+（900+a）x+220000400a， 对称轴为， 0a100， ， 抛物线开口向下， 当 30 x40 时，w 随 x 的增大而增大， 当 x40 时，w 最大， 16000+40（900+a）+220000400a229200， 解得 a30 25如图 1，抛物线 yax2+bx+与 x 轴交于点 A（1，0） ，C（3，0） ，点 B 为抛物线顶点，连接 AB， BC，AB 与 y

36、轴交于点 D，连接 CD （1）求这条抛物线的函数表达式； 直接写出顶点 B 的坐标 （1，2） ； （2）直接写出ABC 的形状为 等腰直角三角形 ； （3）点 P 为抛物线上第一象限内的一个动点，设PDC 的面积为 S，点 P 的横坐标为 m，当 S 有最大 值时，求 m 的值； （4）如图 2，连接 OB，抛物线上是否存在点 Q，使BCA+QCA，当 tan2 时，请直接写出 点 Q 的横坐标；若不存在，说明理由 【分析】 （1）把点 A（1，0） ，C（3，0）代入抛物线 yax2+bx+中，列方程组，解出即可求得结 论； 配方后可得顶点 B 的坐标； （2）利用两点的距离分别计算 A

37、B2，AC2，BC2的值，根据勾股定理的逆定理可得：ABC 是等腰直角 三角形； （3）如图 2，作辅助线，求出直线 CD 的解析式，用含 m 的代数式表示出点 P 和点 N 的坐标，计算 PN 的长，根据三角形面积公式可得：S 关于 m 的函数关系式，并根据二次函数的性质写出 S 的最大值时 m 的值； （4）分两种情况讨论：当点 Q 在 x 轴下方时，如图 3，先确定 CF 的解析式，利用抛物线与直线 CF 的解析式列方程，解出可得 Q 的横坐标；当 Q1在 x 轴下方时，如图 4，同理可得结论 【解答】解： （1）把点 A（1，0） ，C（3，0）代入抛物线 yax2+bx+中得： ，解

38、得：， 抛物线的解析式为：yx2+x+； yx2+x+（x1）2+2， 顶点 B 的坐标为（1，2） ； 故答案为： （1，2） （2）ABC 的形状是等腰直角三角形，理由是： 如图 1， A（1，0） ，C（3，0） ，B（1，2） ， AC2（3+1）216， AB2（1+1）2+224+48， BC2（31）2+（20）24+48， AB2+BC2AC2， ABC90，ABBC， ABC 的形状是等腰直角三角形； （3）由题意得：P（m，m2+m+） ， A（1，0） ，B（1，2） ， 设直线 AB 的解析式为：ykx+n（k0） ， 则，解得：， 直线 AB 的解析式为：yx+1，

39、D（0，1） ， 同理可得直线 CD 的解析式为：yx+1， 如图 2，过 P 作 PNy 轴，交 CD 于 N， N（m，m+1） ， PNm2+m+（m+1）m2+m+， S， ， m2+2m+， （m）2+， 0， 当 m时，S 有最大值； （4）分两种情况： 当 Q 在 x 轴的下方时，如图 3，延长 BA，CQ 交于点 F，过 F 作 FGy 轴于 G， BCA+QCA，且 tan2， 2， BCAB2， AF2， FAGBAC45， AGF 是等腰直角三角形， AGFG2， F（3，2） ， C（3，0） ， 同理得直线 CF 的解析式为：yx1， x2+x+x1， 3x24x150， （x3） （3x+5）0， x13，x2， Q 的横坐标为； 当 Q1在 x 轴的上方时，如图 4， QCAQ1CA，ODOH1， 由对称得：CQ1经过点 D， CQ1的解析式为：yx+1， x2+x+x+1， 解得：x13，x2， Q1的横坐标为， 综上，Q 的横坐标为或