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    湖北省武汉市2021年九年级四月调考数学模拟试卷(二)含答案解析

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    湖北省武汉市2021年九年级四月调考数学模拟试卷(二)含答案解析

    1、湖北省武汉市湖北省武汉市 2021 年九年级四月调考数学模拟试卷(二)年九年级四月调考数学模拟试卷(二) 一、选择题(共一、选择题(共 10 小题,每小题小题,每小题 3 分,共分,共 30 分)分) 1有理数2020 的相反数是( ) A2020 B2020 C D 2若在实数范围内有意义,则 x 的取值范围是( ) Ax Bx2 Cx Dx 3下列说法中,正确的是( ) A “打开电视,正在播放湖北新闻节目”是必然事件 B某种彩票中奖概率为 10%是指买十张一定有一张中奖 C “明天降雨的概率是 50%表示明天有半天都在降雨” D “掷一次骰子,向上一面的数字是 2”是随机事件 4下列图形

    2、中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A B C D 5如图是由五个完全相同的小正方体组成的几何体,这个几何体的俯视图是( ) A B C D 6中考结束后,李哲,王浩两位同学都被某重点高中理科实验班录取,得知这个高中今年招收五个理科实 验班,那么李哲,王浩分在同一理科实验班的概率是( ) A B C D 7反比例函数 y(x 0)交等边OAB 于 C、D 两点,边长为 5,OC3BD,则 k 的值( ) A B C D 8一个容器有进水管和出水管,每分钟的进水量和出水量是两个常数从某时刻开始 4min 内只进水不出 水,从第 4min 到第 24min 内既进水又出水,从第 24mi

    3、n 开始只出水不进水,容器内水量 y(单位:L) 与时间 x(单位:min)之间的关系如图所示,则图中 a 的值是( ) A32 B34 C36 D38 9如图,AB 为半圆 O 的直径,BCAB 且 BCAB,射线 BD 交半圆 O 的切线于点 E,DFCD 交 AB 于 F,若 AE2BF,DF2,则O 的半径长为( ) A B4 C D 10观察等式:2+22232;2+22+23242;2+22+23+24252已知按一定规律排列的一组数:250、 251、252、299、2100若 250a,用含 a 的式子表示这组数的和是( ) A2a22a B2a22a2 C2a2a D2a2+

    4、a 二、填空题(共二、填空题(共 6 小题,每小题小题,每小题 3 分,共分,共 18 分)分) 11 12疫情期间小隆和爸爸、妈妈、爷爷、奶奶测量体温(单位:) ,结果分别为 36.2、37.1、36.5、37.1、 36.6,其中中位数是 13计算的结果是 14如图,在ABCD 中,E、F 是对角线 AC 上两点,AEEFCD,ADF90,BCD63,则 ADE 的大小为 15定义a、b、c为二次函数 yax2+bx+c(a0)的特征数,下面给出特征数为2m,1m,1m的 函数的一些结论:当 m3 时,函数图象的顶点坐标是(,) ;当 m0 时,函数图象截 x 轴 所得的线段长度大于;当

    5、m0 时,函数在 x时,y 随 x 的增大而减小;当 m0 时,函数图 象经过同一个点,正确的结论是 16如图,在ABC 中,点 D,E 分别为 AB,AC 边上一点,且 BECD,CDBE若A30,BD1, CE2,则四边形 CEDB 的面积为 三、解答题(共三、解答题(共 8 题,共题,共 72 分)分) 17 (8 分)计算:a3a5+(3a4)2a2 18 (8 分)如图,点 A、B、C、D 在一条直线上,CE 与 BF 交于点 G,A1,CEDF,求证:E F 19 (8 分)某学校为了解学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目最喜爱的情况,随机调查了 若干名学生,根据调查数据

    6、进行整理,绘制了如下的不完整统计图 请你根据以上的信息,回答下列问题: (1)本次共调查了 名学生,其中最喜爱戏曲的有 人;在扇形统计图中,最喜爱体育的对 应扇形的圆心角大小是 (2)根据以上统计分析,估计该校 2000 名学生中最喜爱新闻的人数 20 (8 分)以下各图均是由边长为 1 的小正方形组成的网格,图中的点 A、B、C、D 均在格点上 (1)在图中,PC:PB (2)利用网格和无刻度的直尺作图,保留痕迹,不写作法 如图,在 AB 上找一点 P,使 AP3 如图,在 BD 上找一点 P,使APBCPD 21 (8 分)如图,在ABC 中,C90,BAC 的平分线交 BC 于点 D,点

    7、 O 在 AB 上,以 OA 为半径 的O 经过点 D,与 AB 交于点 E (1)求证:BD2BEBA; (2)若 cosB,AE4,求 CD 22 (10 分)某商店销售一种商品,经市场调查发现:该商品的周销售量 y(件)是售价 x(元/件)的一次 函数,其售价、周销售量、周销售利润 w(元)的三组对应值如表: 售价 x(元/件) 50 60 80 周销售量 y(件) 100 80 40 周销售利润 w(元) 1000 1600 1600 注:周销售利润周销售量(售价进价) (1)求 y 关于 x 的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围) ; 该商品进价是 元/件;当售价是 元/件时,周

    8、销售利润最大,最大利润是 元 (2)由于某种原因,该商品进价提高了 m 元/件(m0) ,物价部门规定该商品售价不得超过 65 元/件, 该商店在今后的销售中,周销售量与售价仍然满足(1)中的函数关系若周销售最大利润是 1400 元, 求 m 的值 23 (10 分)如图,ABC 中,CACB (1)当点 D 为 AB 上一点,AMDN 如图 1,若点 M、N 分别在 AC、BC 上,ADBD,问:DM 与 DN 有何数量关系?证明你的结论; 如图 2,若,作MDN2,使点 M 在 AC 上,点 N 在 BC 的延长线上,完成图 2,判断 DM 与 DN 的数量关系,并证明; (2)如图 3,

    9、当点 D 为 AC 上的一点,ABDN,CNAB,CD2,AD1,直接写出 ABCN 的积 24 (12 分)在平面直角坐标系中,抛物线 C1:yax2+bx1 的最高点为点 D(1,0) ,将 C1左移 1 个 单位,上移 1 个单位得到拋物线 C2,点 P 为 C2的顶点 (1)求抛物线 C 的解析式; (2)若过点 D 的直线 l 与抛物线 C2只有一个交点,求直线 l 的解析式; (3)直线 yx+c 与抛物线 C2交于 D、B 两点,交 y 轴于点 A,连接 AP,过点 B 作 BCAP 于点 C,点 Q为C2上PB之间的一个动点, 连接PQ交BC于点E, 连接BQ并延长交AC于点F

    10、, 试说明: FC(AC+EC) 为定值 2021 年湖北省武汉市九年级四月调考数学模拟试卷(二)年湖北省武汉市九年级四月调考数学模拟试卷(二) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题(共一、选择题(共 10 小题,每小题小题,每小题 3 分,共分,共 30 分)分) 1有理数2020 的相反数是( ) A2020 B2020 C D 【分析】利用相反数的定义分析得出答案 【解答】解:有理数2020 的相反数是:2020 故选:B 2若在实数范围内有意义,则 x 的取值范围是( ) Ax Bx2 Cx Dx 【分析】根据被开方数大于等于 0 列式计算即可得解 【解答】解:由题意得,1

    11、2x0, 解得 x 故选:D 3下列说法中,正确的是( ) A “打开电视,正在播放湖北新闻节目”是必然事件 B某种彩票中奖概率为 10%是指买十张一定有一张中奖 C “明天降雨的概率是 50%表示明天有半天都在降雨” D “掷一次骰子,向上一面的数字是 2”是随机事件 【分析】根据概率的意义,事件发生可能性的大小,可得答案 【解答】解:A、打开电视,正在播放湖北新闻节目”是随机事件,故 A 不符合题意; B、某种彩票中奖概率为 10%是指买十张有可能中奖,故 B 不符合题意; C、明天降雨的概率是 50%表示明天有可能降雨” ,故 C 不符合题意; D、 “掷一次骰子,向上一面的数字是 2”

    12、是随机事件,故 D 符合题意; 故选:D 4下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A B C D 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 【解答】解:A、是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项不合题意; B、不是轴对称图形,是中心对称图形,故此选项不合题意; C、是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项不合题意; D、既是轴对称图形,又是中心对称图形,故此选项符合题意 故选:D 5如图是由五个完全相同的小正方体组成的几何体,这个几何体的俯视图是( ) A B C D 【分析】找到从上面看所得到的图形即可,注意所有的看到的棱都应表现在视图中 【解答】解:根据俯视图是从上

    13、面看所得到的图形,可知这个几何体的俯视图 C 中的图形, 故选:C 6中考结束后,李哲,王浩两位同学都被某重点高中理科实验班录取,得知这个高中今年招收五个理科实 验班,那么李哲,王浩分在同一理科实验班的概率是( ) A B C D 【分析】画树状图得出所有等可能结果,从中找到符合条件的结果数,再利用概率公式计算可得 【解答】解:画树状图如下: 由树状图知,共有 25 种等可能结果,其中李哲,王浩分在同一理科实验班的有 5 种结果, 所以李哲,王浩分在同一理科实验班的概率为, 故选:A 7反比例函数 y(x 0)交等边OAB 于 C、D 两点,边长为 5,OC3BD,则 k 的值( ) A B

    14、C D 【分析】过点 C 作 CEx 轴于点 E,过点 D 作 DFx 轴于点 F,设 BDa,则 OC3a,分别表示出点 C、点 D 的坐标,代入函数解析式求出 k,继而可建立方程,解出 a 的值后即可得出 k 的值 【解答】解:过点 C 作 CEx 轴于点 E,过点 D 作 DFx 轴于点 F, 设 BDa,则 OC3a, 在 RtOCE 中,COE60, 则 OEa,CEa, 则点 C 坐标为(a,a) , 在 RtBDF 中,BDa,DBF60, 则 BFa,DFa, 则点 D 的坐标为(5+a,a) , 将点 C 的坐标代入反比例函数解析式可得:ka2, 将点 D 的坐标代入反比例函

    15、数解析式可得:kaa2, 则a2aa2, 解得:a11,a20(舍去) , 故 k 故选:B 8一个容器有进水管和出水管,每分钟的进水量和出水量是两个常数从某时刻开始 4min 内只进水不出 水,从第 4min 到第 24min 内既进水又出水,从第 24min 开始只出水不进水,容器内水量 y(单位:L) 与时间 x(单位:min)之间的关系如图所示,则图中 a 的值是( ) A32 B34 C36 D38 【分析】 根据图象可知进水的速度为 5 (L/min) , 再根据第 16 分钟时容器内水量为 35L 可得出水的速度, 进而得出第 24 分钟时的水量,从而得出 a 的值 【解答】解:

    16、由图象可知,进水的速度为:2045(L/min) , 出水的速度为:5(3520)(164)3.75(L/min) , 第 24 分钟时的水量为:20+(53.75)(244)45(L) , a24+453.7536 故选:C 9如图,AB 为半圆 O 的直径,BCAB 且 BCAB,射线 BD 交半圆 O 的切线于点 E,DFCD 交 AB 于 F,若 AE2BF,DF2,则O 的半径长为( ) A B4 C D 【分析】连接 AD、CF,作 CHBD 于 H,证明ADFBDC,得出,证出ADE BDA,得出,证出 AEAF,得出 BCAB3BF,设 BFx,则 AE2x,ABBC3x,由勾

    17、 股定理得出 BEx,CF,由切割线定理得:AE2EDBE, 得出 EDx,求出 BDBEED,证明BCHEBA,得出, 求出 BHx, CHx, 得出 DHBDBHx, 由勾股定理得出 CD2CH2+DH2 x2,CD2+DF2CF2,得出方程x2+(2)2()2,解得:x,得出 AB3,即 可得出O 的半径长 【解答】解:连接 AD,CF,作 CHBD 于 H,如图所示: AB 是直径, ADB90, ADF+BDF90,DAB+DBA90, BDF+BDC90,CBD+DBA90, ADFBDC,DABCBD, ADFBDC, , DAE+DAB90,E+DAE90, EDAB, ADE

    18、BDA, , ,即, ABBC, AEAF, AE2BF, BCAB3BF, 设 BFx,则 AE2x,ABBC3x, BEx,CF, 由切割线定理得:AE2EDBE, EDx, BDBEED, CHBD, BHC90,CBH+BCHCBH+ABE, CBHABE, BAE90BHC, BCHEBA, ,即, 解得:BHx,CHx, DHBDBHx, CD2CH2+DH2x2, DFCD, CD2+DF2CF2,即x2+(2)2()2, 解得:x, AB3, O 的半径长为; 故选:A 10观察等式:2+22232;2+22+23242;2+22+23+24252已知按一定规律排列的一组数:2

    19、50、 251、252、299、2100若 250a,用含 a 的式子表示这组数的和是( ) A2a22a B2a22a2 C2a2a D2a2+a 【分析】由等式:2+22232;2+22+23242;2+22+23+24252,得出规律:2+22+23+2n2n+1 2,那么 250+251+252+299+2100(2+22+23+2100)(2+22+23+249) ,将规律代入计算即可 【解答】解:2+22232; 2+22+23242; 2+22+23+24252; 2+22+23+2n2n+12, 250+251+252+299+2100 (2+22+23+2100)(2+22+

    20、23+249) (21012)(2502) 2101250, 250a, 2101(250)222a2, 原式2a2a 故选:C 二、填空题(共二、填空题(共 6 小题,每小题小题,每小题 3 分,共分,共 18 分)分) 11 5 【分析】根据二次根式的基本性质进行解答即可 【解答】解:原式5 故答案为:5 12疫情期间小隆和爸爸、妈妈、爷爷、奶奶测量体温(单位:) ,结果分别为 36.2、37.1、36.5、37.1、 36.6,其中中位数是 36.6 【分析】将数据从小到大重新排列,再根据中位数的定义求解即可 【解答】解:将数据重新排列为 36.2、36.5、36.6、37.1、37.1

    21、, 所以这组数据的中位数为 36.6, 故答案为:36.6 13计算的结果是 【分析】原式通分并利用同分母分式的减法法则计算,约分即可得到结果 【解答】解:原式 故答案为: 14如图,在ABCD 中,E、F 是对角线 AC 上两点,AEEFCD,ADF90,BCD63,则 ADE 的大小为 21 【分析】 设ADEx, 由等腰三角形的性质和直角三角形得出DAEADEx, DEAFAEEF, 得出 DECD, 证出DCEDEC2x, 由平行四边形的性质得出DCEBCDBCA63x, 得出方程,解方程即可 【解答】解:设ADEx, AEEF,ADF90, DAEADEx,DEAFAEEF, AEE

    22、FCD, DECD, DCEDEC2x, 四边形 ABCD 是平行四边形, ADBC, DAEBCAx, DCEBCDBCA63x, 2x63x, 解得:x21, 即ADE21; 故答案为:21 15定义a、b、c为二次函数 yax2+bx+c(a0)的特征数,下面给出特征数为2m,1m,1m的 函数的一些结论:当 m3 时,函数图象的顶点坐标是(,) ;当 m0 时,函数图象截 x 轴 所得的线段长度大于;当 m0 时,函数在 x时,y 随 x 的增大而减小;当 m0 时,函数图 象经过同一个点,正确的结论是 【分析】利用二次函数的性质逐一判断后即可确定正确的答案 【解答】解:把 m3 代入

    23、,得 a6,b4,c2,函数解析式为 y6x2+4x+2,利用顶点公式可 以求出顶点为(,) ,正确; 函数 y2mx2+(1m)x+(1m)与 x 轴两交点坐标为(1,0) , (,0) , 当 m0 时,1()+,正确; 当 m0 时,函数 y2mx2+(1m)x+(1m)开口向下,对称轴 x, x 可能在对称轴左侧也可能在对称轴右侧,错误; y2mx2+(1m)x+(1m)m(2x2x1)+x1,若使函数图象经过同一点,m0 时,应使 2x2x10, 可得 x11, x2, 当 x1 时, y0, 当 x时, y, 则函数一定经过点 (1, 0)和(,) ,正确 故答案为: 16如图,在

    24、ABC 中,点 D,E 分别为 AB,AC 边上一点,且 BECD,CDBE若A30,BD1, CE2,则四边形 CEDB 的面积为 【分析】作辅助线 CKAB,EHAB,由两直线垂直得BMDCKDBHE90,角角边证明 CKDBHE,其性质得 DKEH;设 CKx,根据直角三角的性质,线段的和差得 AK,EH DKx,BH4+x;建立等量关系 4+xx,求得 CK,DK,最后由勾 股定理,面积公式求得四边形 CEDB 的面积为 【解答】解:分别过点 C、E 两点作 CKAB,EHAB 交 AB 于点 K 和点 H,设 CKx,如图所示: CDBE, BMD90, EBH+CDB90, 同理可

    25、得:EBH+BEH90, CDBBEH, 又CKAB,EHAB, CKDBHE90, 在CKD 和BHE 中, , CKDBHE(AAS) , DKEH, 又RtAKC 中,A30, AC2x,AK, 又ACAE+EC,CE2, AE2x2, EHDKx, 又DKDB+BK,BD1, BKx1, 又AKAH+BH+BK, BH4+x, 又BHCK, 4+xx, 解得:x, DKx, 在 RtCDK 中,由勾股定理得: CD2CK2+DK2, 故答案为 三、解答题(共三、解答题(共 8 题,共题,共 72 分)分) 17 (8 分)计算:a3a5+(3a4)2a2 【分析】原式中括号中利用同底数

    26、幂的乘法,积的乘方与幂的乘方运算法则计算,合并后利用单项式除 以单项式法则计算即可求出值 【解答】解:原式(a8+9a8)a2 10a8a2 10a6 18 (8 分)如图,点 A、B、C、D 在一条直线上,CE 与 BF 交于点 G,A1,CEDF,求证:E F 【分析】根据平行线的性质可得ACED,又A1,利用三角形内角和定理及等式的性质即可 得出EF 【解答】证明一:A1, AEBF, 2E CEDF, 2F, EF 证明二:CEDF, ACED, A1, 180ACEA180D1, 又E180ACEA,F180D1, EF 19 (8 分)某学校为了解学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲

    27、五类电视节目最喜爱的情况,随机调查了 若干名学生,根据调查数据进行整理,绘制了如下的不完整统计图 请你根据以上的信息,回答下列问题: (1)本次共调查了 50 名学生,其中最喜爱戏曲的有 3 人;在扇形统计图中,最喜爱体育的对应 扇形的圆心角大小是 72 (2)根据以上统计分析,估计该校 2000 名学生中最喜爱新闻的人数 【分析】 (1)由“新闻”类人数及百分比可得总人数,由总人数及“戏曲”类百分比可得其人数,求出 “体育”类所占百分比,再乘以 360即可; (2)用样本中“新闻”类人数所占百分比乘以总人数 2000 即可 【解答】解: (1)本次共调查学生:48%50(人) ,最喜爱戏曲的

    28、人数为:506%3(人) ; “娱乐”类人数占被调查人数的百分比为:100%36%, “体育”类人数占被调查人数的百分比为:18%30%36%6%20%, 在扇形统计图中,最喜爱体育的对应扇形的圆心角大小是 36020%72; 故答案为:50,3,72 (2)20008%160(人) , 答:估计该校 2000 名学生中最喜爱新闻的人数约有 160 人 20 (8 分)以下各图均是由边长为 1 的小正方形组成的网格,图中的点 A、B、C、D 均在格点上 (1)在图中,PC:PB 1:3 (2)利用网格和无刻度的直尺作图,保留痕迹,不写作法 如图,在 AB 上找一点 P,使 AP3 如图,在 B

    29、D 上找一点 P,使APBCPD 【分析】 (1)根据两条直线平行,对应线段成比例即可得结论; (2)根据勾股定理得 AB 的长为 5,再根据相似三角形的判定方法即可找到点 P; 作点 A 的对称点 A,连接 AC 与 BD 的交点即为要找的点 P,使APBCPD 【解答】解: (1)图 1 中, ABCD, , 故答案为 1:3 (2) 如图 2 所示,点 P 即为所要找的点; 如图 3 所示,作点 A 的对称点 A, 连接 AC,交 BD 于点 P, 点 P 即为所要找的点, ABCD, APBCPD 21 (8 分)如图,在ABC 中,C90,BAC 的平分线交 BC 于点 D,点 O

    30、在 AB 上,以 OA 为半径 的O 经过点 D,与 AB 交于点 E (1)求证:BD2BEBA; (2)若 cosB,AE4,求 CD 【分析】 (1)连接 OD,如图,证明2BAD,加上DBEABD,则根据相似三角形的判定方法 可判定BDEBAD,然后利用相似比可得到结论; (2)先在 RtBOD 中利用余弦的定义得到 cosB,设 BD2x,则 BO3x,利用勾股定 理计算出 ODx,所以 x2,则 BD4,BO6,然后根据平行线分线段成比例定理计算 CD 的长 【解答】 (1)证明:连接 OD,如图, AD 平分BAC, 4BAD, OAOD, OAD1, 14, ACOD, ODB

    31、C90, 即3+290, AE 为直径, ADE90,即1+390, 12, 2BAD, 而DBEABD, BDEBAD, BD:BABE:BD, BD2BEBA; (2)AE4, OD2, 在 RtBOD 中,cosB, 设 BD2x,则 BO3x, ODx, x2, BD4,BO6, ODAC, ,即, CD 22 (10 分)某商店销售一种商品,经市场调查发现:该商品的周销售量 y(件)是售价 x(元/件)的一次 函数,其售价、周销售量、周销售利润 w(元)的三组对应值如表: 售价 x(元/件) 50 60 80 周销售量 y(件) 100 80 40 周销售利润 w(元) 1000 1

    32、600 1600 注:周销售利润周销售量(售价进价) (1)求 y 关于 x 的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围) ; 该商品进价是 40 元/件;当售价是 70 元/件时,周销售利润最大,最大利润是 1800 元 (2)由于某种原因,该商品进价提高了 m 元/件(m0) ,物价部门规定该商品售价不得超过 65 元/件, 该商店在今后的销售中,周销售量与售价仍然满足(1)中的函数关系若周销售最大利润是 1400 元, 求 m 的值 【分析】 (1)依题意设 ykx+b,解方程组即可得到结论; 该商品进价是 50100010040,设每周获得利润 wax2+bx+c:解方程组即可得到结论;

    33、 (2)根据题意得,w(x40m) (2x+200)2x2+(280+2m)x800200m,把 x65,w1400 代入函数解析式,解方程即可得到结论 【解答】解: (1)依题意设 ykx+b, 则有 解得: 所以 y 关于 x 的函数解析式为 y2x+200; 该商品进价是 50100010040, 设每周获得利润 wax2+bx+c: 则有, 解得:, w2x2+280 x80002(x70)2+1800, 当售价是 70 元/件时,周销售利润最大,最大利润是 1800 元; 故答案为:40,70,1800; (2) 根据题意得, w (x40m) (2x+200) 2x2+ (280+

    34、2m) x8000200m2 (x) 2+ m260m+1800, 20, 抛物线的开口向下, x65,w 随 x 的增大而增大, 当 x65 时,w最大1400, 即 14002652+(280+2m)658000200m, 解得:m5 23 (10 分)如图,ABC 中,CACB (1)当点 D 为 AB 上一点,AMDN 如图 1,若点 M、N 分别在 AC、BC 上,ADBD,问:DM 与 DN 有何数量关系?证明你的结论; 如图 2,若,作MDN2,使点 M 在 AC 上,点 N 在 BC 的延长线上,完成图 2,判断 DM 与 DN 的数量关系,并证明; (2)如图 3,当点 D

    35、为 AC 上的一点,ABDN,CNAB,CD2,AD1,直接写出 ABCN 的积 【分析】 (1)分 DMAC,DNBC 和 DM、AC 不垂直,DN、BC 不垂直两种情况,根据全等三角形 的性质证明结论; 过 D 作 DPAC 于 P,DQBC 于 Q,分别证明DPMDQN 和APDBQD,根据相似三角 形的性质解答; (2)连接 BN,证明ABDCBN,根据相似三角形的性质列出比例式,代入计算得到答案 【解答】解: (1)DMDN, 理由如下:当 DMAC,DNBC 时, CACB, AB, 在ADM 和BDN 中, , ADMBDN(AAS) , DMDN; 当 DM、AC 不垂直,DN

    36、、BC 不垂直时, 如图 1,过 D 作 DPAC 于 P,DQBC 于 Q,则 DPDQ, 在四边形 CPDQ 中,DPCDQC90, PDQ+PCQ180; PCQ+2A180, PDQMDN2A; PDMQDN, 在PDM 和QDN 中, , PDMQDN(ASA) , DMDN; 完成图 2,如图 2 所示, 过 D 作 DPAC 于 P,DQBC 于 Q, A+ADP90,B+QDB90, A+ADP+B+QDB180, 2A180ADPQDB, PDQ2A,又MDN2A, PDQMDN, PDMNDQ,又DPMDQN90, DPMDQN, , AB,DPADQB90, APDBQD

    37、, , , DN4DM; (2)连接 BN, CDBA+ABDCDN+BDN,BDNA, CDNABD, CNAB, BCNABC,又CABCBA, BCNBDNA, 点 C、D、B、N 四点共圆, CDNCBN, CBNABD,BCNA, ABDCBN, , ABCNADBC3 24 (12 分)在平面直角坐标系中,抛物线 C1:yax2+bx1 的最高点为点 D(1,0) ,将 C1左移 1 个 单位,上移 1 个单位得到拋物线 C2,点 P 为 C2的顶点 (1)求抛物线 C 的解析式; (2)若过点 D 的直线 l 与抛物线 C2只有一个交点,求直线 l 的解析式; (3)直线 yx+

    38、c 与抛物线 C2交于 D、B 两点,交 y 轴于点 A,连接 AP,过点 B 作 BCAP 于点 C,点 Q为C2上PB之间的一个动点, 连接PQ交BC于点E, 连接BQ并延长交AC于点F, 试说明: FC(AC+EC) 为定值 【分析】 (1)利用抛物线的顶点坐标公式,求出 a、b; (2)利用抛物线的平移性质得出抛物线 C2的解析式,设出直线 AB 的解析式,联立两函数解析式得出 一元二次方程,用0 求出 k 的值,即可得到结论; (3)由 QMCE,得PQMPEC,利用相似比得 FC,已知 AC4,再计算 FC (AC+EC)为定值 【解答】解: (1)抛物线 C1:yax2+bx1

    39、的最高点为点 D(1,0) , , , 抛物线 C1:yx22x1, (2)由(1)知,抛物线 C1:yx22x1(x+1)2, 将 C1向左移 1 个单位,上移 1 一个单位得到抛物线 C2, y(x+2)2+1x24x3, 设过点 D(1,0)的直线的解析式为 ykx+b, k+b0, bk, 过点 D(1,0)的直线的解析式为:ykx+k, 抛物线 C2与过点 D 的直线只有一个交点, 联立解得, x2+(k+4)x+(k+3)0, (k+4)24(k+3)0, k2, 过点 D 的直线的解析式为 y2x+2, (3)如图, 直线 yx+c 与抛物线 C2交于点 D、B 两点,且 D(1

    40、,0) , c1, 直线 AB 的解析式为 yx+1, A(0,1) , 抛物线 C2:y(x+2)2+1, 顶点 P(2,1) , ACx 轴, yx24x3, 联立得,B(4,3) , 过点 Q 作 QMAC 于点 M,过点 Q 作 QNBC 于点 N, BCAP, 四边形 CNQM 是矩形, QNAC,QMBC, C(4,1) , 设点 Q 的坐标为(t,t24t3) , 则 QMCN(t+2)2, MCQNt+4, PM2t, PC2,BNt24t,BC4, QMCE, PQMPEC, , 即, EC2(t+2) , QNFC, , , FC, AC4, FC(AC+EC)|42(t+2)|8, 即 FC (AC+EC)为定值 8


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