1、赣州市赣州市 2021 年高三年级摸底考试理科数学试卷年高三年级摸底考试理科数学试卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. 1.已知集合ln(12 )Mx yx， 2 0Nx xx，则MN（ ） A. 1 0, 2 B. 1 0, 2 C. 1 ,1 2 D. 1 ,1 2 2.已知复数 z 满足 3 (i)(1 2i)iz（其中 i 为虚数单位） ，则复数 z 的虚部等于（ ） A. 6 i 5 B. 6 5 C. 4 i 5 D. 4 5 3.某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择 15 名志愿者，对其身高
2、和臂展进行测量（单位：厘米） ，左 图为选取的 15 名志愿者身高与臂展的折线图，右图为身高与臂展所对应的散点图，并求得其回归方程为 1.1630.75yx，以下结论中不正确 的为（ ） A.15 名志愿者身高的极差小于臂展的极差 B.15 名志愿者身高和臂展成正相关关系 C.可估计身高为 190 厘米的人臂展大约为 189.65 厘米 D.身高相差 10 厘米的两人臂展都相差 11.6 厘米 4.已知点( , )m n在关于 x，y 的不等式 0 0 22 xy xy xy 所表示的平面区域内，则 22 mn的最小值为（ ） A. 2 5 B. 10 5 C. 2 5 5 D. 2 3 5.
3、设函数 3 ( )sin01 xx f xaabxc aa 且.若()1ft，( )3f t ，则c（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 6.斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋” ，它的画法是：以斐波那契数：1，1，2，3，5，8， 为边的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为 90的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就 是斐波那契螺旋线.自然界存在很多斐波那契螺旋线的图案，例如向日葵、鹦鹉螺等.下图为该螺旋线的前一 部分，如果用接下来的一段圆弧所对应的扇形做圆锥的侧面，则该圆锥的高为（ ） A. 13 2 B.13 15 4 C.13 4 D.13 2 7.已知数列 n a
4、满足 1 2a ， m nmn aaa ，记 n S为正项等比数列 n b的前 n 项和.若 48 ba， 2 41 4 nnn bbb ，则 2 log2 n S （ ） A.1n B.1n C.2n D.n 8.在 5 1 21x x 的展开式中，除 2 x项外，其余各项的系数之和为（ ） A.230 B.231 C.232 D.233 9.已知函数( )cos()(0,0)f xAxA的周期, 2 T .若 7 0 12 f ，(0) 2 ff ，则 （ ） A. 7 2 B.10 3 C.3 D. 5 2 10.已知函数( )2sin 6 f xx ， 当0,10 x时， 把函数( )
5、( ) 1F xf x的所有零点依次记为 1 x， 2 x， 3 x， n x，且 123n xxxx，记数列 n x的前 n 项和为 n S，则 n S （ ） A. 20 3 B. 40 3 C. 80 3 D.140 3 11.已知 M，N 是双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 上关于原点对称的两点，P 是 C 上异于 M，N 的动点， 设直线PM，PN的斜率分别为 1 k， 2 k.若直线 1 2 yx与曲线 C 没有公共点，当双曲线 C 的离心率取得最 大值时，且 1 23k，则 2 k的取值范围是（ ） A. 1 1 , 12 8 B. 11 , 812 C.
6、1 1 , 3 2 D. 11 , 23 12.在三棱锥SABC中，SA平面ABC，2 3SAAB，2BC ，2 7SC .若 P， Q 分别是SB， BC的中点，则平面APQ被三棱锥SABC的外接球所截得的截面面积为（ ） A. 43 7 B.13 4 C. 21 5 D.14 3 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.平面向量a与b的夹角为 30， 3,0a ，1b ，则|2ab_. 14.记 n S为数列 n a的前 n 项和.若 1 1a ， 2 1 n n S a n ，则数列 n a的通项公式为_. 15.已知函数( )lnf xxax，若 1 2
7、x 是( )f x的极值点，则( )f x在1x 处的切线方程为_. 16.设抛物线 2 :2C yx的焦点为 F，准线为 l，A 为 C 上一点，以 F 为圆心，FA为半径的圆交 l 于 B，两 点.若0FB FD，则ABD的面积为_. 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都 必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17.（本小题满分 12 分） 在ABC中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 所对的边，且 3 sin 32 cBa . （1）求角 C； （2）设5BC ，7A
8、B ，若延长CB到 D，使 21 cos 7 ADC，求CD的长. 18.（本小题满分 12 分） 在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，平面PBD 底面ABCD，且BDPC. （1）求证：PAPC； （2）设BDPB，60BAD，E 为PC的中点，求直线BE与平面PAB所成角的正弦值. 19.（本小题满分 12 分） 有一种双人游戏，游戏规则如下：双方每次游戏均从装有 5 个球的袋中（3 个白球和 2 个黑球）轮流摸出 1 球（摸后不放回） ，摸到第 2 个黑球的人获胜，同时结束该次游戏，并把摸出的球重新放回袋中，准备下一 次游戏. （1）求先摸球者获胜的概率； （2）小李和小张准备玩这
9、种游戏，约定玩 3 次，第 1 次游戏由小李先摸球，并且某一次游戏输者在下一次 游戏中先摸球.每次游戏获胜者得 1 分，但若先摸球者输则-1 分，后摸球者输则得 0 分.记 3 次游戏中小李的 得分之和为 X，求 X 的分布列和数学期望EX. 20.（本小题满分 12 分） 设离心率为 1 2 的椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 的左，右焦点分别为 1 F， 2 F，点 P 在 E 上，且满足 12 60FPF， 12 PFF的面积为3. （1）求 a，b 的值； （2）设直线:2(0)l ykxk与 E 交于 M，N 两点，点 A 在 x 轴上，且满足0AM MNAN MN，
10、 求点 A 横坐标的取值范围. 21.（本小题满分 12 分） 已知函数 2 1 ( )2ln() 2 f xxxax aR. （1）讨论函数( )f x的单调性； （2）是否存在一条直线 l 与曲线( )yf x相切于两个不同的点 11 ,A x f x， 22 ,B xf x?若存在，求 出 l 的方程；若不存在，说明理由. （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 1 题计分.作答时 请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号的方框涂黑. 22.选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分） 在平面直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 2
11、 2 2 1 2 1 t x t y t （t 为参数，且0t ）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，点 A 的极坐标为4, 6 . （1）求 1 C的极坐标方程； （2）设曲线 2 C的直角坐标方程为 22 16xy，以 A 为直角顶点的等腰直角三角形ABC的顶点 B，C 均 在 2 C上.若 B 在第二象限，直线BC交 1 C于点 M，求BM. 23.选修 4-5：不等式选讲（10 分） 已知函数 22 ( )215f xxx. （1）求不等式( )5f x 的解集； （2）若( )f xtx对任意1,)x恒成立，求实数 t 的取值范围. 赣州市赣州市 2021 年高三摸底
12、考试理科数学参考答案年高三摸底考试理科数学参考答案 一、选择题 15.ABDCB； 610.BBCCD； 1112.AA. 10.法一：2sin12 666 xxk ，或 5 2() 66 xkk Z， 即 1 2 3 xk，或12 ()xk k Z，故在0,10 x时，函数有 10 个零点， 17131925140 (1 3579) 333333 n S . 法二：函数( )2sin 6 f xx 的周期为2T ，对称轴() 62 xkk Z，即 2 () 3 xk kZ， 12 4 3 xx， 34 16 3 xx， 56 28 3 xx， 78 40 3 xx， 910 52 3 xx，
13、 故 416284052140 333333 n S . 11.因为直线 1 2 yx与双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 没有公共点，所以渐进线的斜率 1 , 2 k ， 而双曲线的离心率取得最大值，故 1 2 b a ，即2ab，则双曲线方程为 22 22 1 4 xy bb ， 设 11 ,M x y， 11 ,Nxy， 00 ,P x y，则 22 11 22 22 00 22 1 4 1 4 xy bb xy bb ， 两式相减得： 10101010 22 4 xxxxyyyy bb ，即 12 1 4 k k，又 1 23k， 2 11 , 12 8 k . 1
14、2.由题意得4ACABBC，知球心 O 为SC中点， 故球 O 的直径22 77RR，因为/SC平面APQ， 设球心 O 到平面APQ的距离为 d，截面圆的半径为 r， 由题设球心 O 到平面APQ的距离等于点 S 到平面APQ的距离等于点 B 到平面APQ的距离， 在三棱锥PABQ中，由等体积法得 42 7 d ， 所以 222 643 7 77 rRd，故截面面积为 43 7 . 二、填空题 13.19；14. n an；15.10 xy ；16.2 三、解答题 14.解： （1）由正弦定理及条件得， 133 sinsincossin 222 CBBA 即 13333 sinsincoss
15、in()sincoscossin 22222 CBBBCBCBC 整理得tan3C 又(0, )C，所以60C （2）在ABC中，由余弦定理得， 2 25549ACAC，解得8AC ACD中， 5 7 sinsin()sincoscossin 14 CADCDCDCD 由正弦定理得： sinsin CDAC CADADC ，所以10CD 18.证明： （1）连接AC交BD于点 O 连PO 因为ABCD是菱形，所以ACBD 又BDPC，从而BD 平面POC，所以POBD 又平面PBD 底面ABCD，所以PO平面ABCD，于是POAC 而 O 是AC的中点，故PAPC （2）设2BD ，则ABD，
16、BCD，PBD均为边长为 2 的正三角形. 如图，以OB为 x 轴，OC为 y 轴，OP为 z 轴建立空间直角坐标系. 则(1,0,0)B， 0, 3,0C， 0,3,0A， 0,0, 3P， 33 0, 22 E 33 1, 22 BE ， 1, 3,0AB ， 1,0,3PB 设平面PAB的一个法向量为( , , )nx y z，P 则由 0 0 n AB n PB 得 30, 30. xy xz 令3x ，得 3, 1,1n 设直线BE与平面PAB所成角为，则 6 sin 5 BE n BEn 所以直线BE与平面PAB所成角的正弦值为 6 5 19.解： （1）记事件:A“在一次游戏中先
17、摸球者获胜” ，先摸球者获胜等价于将这 5 个球进行排序， 第 2 个黑球排在 3 号位置或 5 号位置，共有246种 而 2 个黑球共有 2 5 C10种位置 故 63 105 P A （2）小李得分的所有可能取值为-3，-1，0，1，2，3 记事件 i A为“第 i 次游戏中小李先摸球获胜” ，记事件 i B为“第 i 次游戏中小张先摸球获胜” ， 则 3 5 ii P AP B 123 2228 (3) 555125 P XP A A A 123 22312 (1) 555125 P XP A A A 123123 33223336 (0) 555555125 P XP AB AA A
18、B 123 23212 (1) 555125 P XP A A B 123123 32333345 (2) 555555125 P XP A B BAB A 123 32212 (3) 555125 P XP A B B 所以X的分布列为 X -3 -1 0 1 2 3 p 8 125 12 125 36 125 12 125 45 125 12 125 81236124512112 3( 1)0123 125125125125125125125 EX 20.解： （1）设椭圆短轴的端点为 B，则 2 1 sin 2 OBF， 所以 2 6 OBF ， 12 3 FBF 所以点 P 即为点 B
19、，所以 1 2 1 23 2 PF F Sc bbc 又 1 2 c a ， 222 abc，所以2a，3b （2）设( ,0)A m， 11 ,M x y， 22 ,N x y，MN的中点 00 ,H x y 由 22 2 3412 ykx xy ，得 22 431640kxkx 所以 222 (16 )16 4348 410kkk 又0k ，所以 1 2 k 所以 12 2 16 43 k xx k ，所以 12 0 2 8 243 xxk x k 所以 00 2 6 2 43 ykx k ，即 22 86 , 43 43 k H kk 因为()20AM MNAN MNAMANMNAH M
20、N 所以AHMN 所以 2 2 6 1 43 8 43 k k k m k ，得 2 22 3 43 4 k m k k k 因为 1 2 k ，所以 3 44 3k k ，当且仅当 3 2 k 时取“=”号 所以 3 ,0 6 m ，故点 A 的横坐标的取值范围是 3 ,0 6 21.解： （1） 2 22 ( )(0) xax fxxax xx ， 2 8a 当0，即2 22 2a时，( )0fx，( )f x在(0,)递增 当0 ，即2 2a 或2 2a 时， （i）若2 2a ，因0 x，所以( )0fx，( )f x在(0,)递增 （ii）若2 2a ，方程 2 20 xax的两根
21、2 1 8 2 aa x ， 2 2 8 2 aa x ， 且 12 0 xx， 1 0,xx时，( )0fx， 2, xx时，( )0fx， 所以( )f x在 1 0,x， 2, x 上递增 12 ,xx x时，( )0fx，故( )f x在 12 ,x x上递减 （2）假设这样的直线存在，则曲线在 11 ,A x f x， 2212 ,0B xf xxx两处的切线方程分别为 111 yf xfxxx， 222 yf xfxxx 依假设知 12 fxfx且 111222 f xx fxf xx fx 即 12 2x x 且 22 1122 11 2ln2ln 22 xxxx 消去 2 x，
22、得 22 11 2 1 2 2ln0 22 xx x （*） 令 2 1 2 x t ，由 12 0 xx且 12 2x x ，得(0,1)t 设 1 ( )2lnp ttt t ，则 2 (1) ( )0 t p t t 所以( )p t在(0,1)上递减，所以当01t 时，( )(1)0P tp 故（*）式不能成立，所以假设不成立. 即不存在一条直线与曲线 yf x相切于两个不同点. 22.解： （1）由题意得 2 22 22 2222 2 4 1 224 2 111 1 t t xyy ttt t 又0t ，所以0 x 所以 1 C的极坐标方程 2 2 sin 2 （2）因为ABC是等腰
23、直角三角形，所以BC是曲线 2 C的直径，且OAOB. 所以 2 4, 3 B 直线BC的极坐标方程为 2 3 所以点 2 3, 3 M 所以43BM . 23.解： （1）令 2( 0)tx t，则由( )5f x 得|21|5| 5tt 所以 00.5 635 t t 或 0.55 45 t t 或 5 365 t t ，解得 1 1 3 t 所以 2 1 1 3 x，从而 3 1 3 x 或 3 1 3 x （2）当1x时， 22 ( )215f xxx 当15x时， 4 ( )f xtxxt x ，而 4 4x x （当2x时取等号） ， 故4t 当5x 时， 6 ( )3f xtxxt x ，因为 6 3x x 在 5,x上递增， 所以 669 5 33 5 55 x x ，故 9 5 5 t 综上，4t
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