1、中考数学提优系列题选（中考数学提优系列题选（4747） 一、例题分析 1.一张长为a、宽为( )b ab 的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为( )ab 的正方形，图中空白部分 的面积为 1 S，阴影部分的面积为 2 S若 12 2SS ，则a、b满足（ ） A. 25ab B. 23ab C. 3ab D. 2ab 2. 如图，在ABC中，已知3AC ，4BC ，点D为边AB的中点，连结CD，过点A作AECD于 点E，将ACE沿直线AC翻折到ACE的位置若/ /CEAB，则CE_ 3. 在矩形ABCD中，连结AC，点E从点B出发，以每秒 1 个单位的速度沿着BAC的路径运动， 运动时间为
2、t（秒）过点E作EFBC于点F，在矩形ABCD的内部作正方形EFGH （1）如图，当8ABBC时， 若点H在ABC的内部，连结AH、CH，求证：AHCH； 当08t 时，设正方形EFGH与ABC的重叠部分面积为S，求S与t的函数关系式； （2）当6AB，8BC 时，若直线AH将矩形ABCD的面积分成 13 两部分，求t的值 二、巩固提高 1. 如图是函数 2 23(04)yxxx的图象，直线/ /lx轴且过点(0, )m，将该函数在直线l上方的 图象沿直线l向下翻折，在直线 1 下方的图象保持不变，得到一个新图象若新图象对应的函数的最大值 与最小值之差不大于 5，则m的取值范围是（ ） A.
3、m1 B. 0m C. 01m D. m1或0m 2. 给出以下命题： 平分弦的直径垂直于这条弦； 已知点 1 ( 1,)Ay、 2 (1,)By、 3 (2,)Cy均在反比例函数(0) k yk x 的图象上，则 231 yyy； 若关于x的不等式组 1x xa 无解，则1a； 将点(1, )An向左平移 3 个单位到点 1 A，再将 1 A绕原点逆时 针旋转 90到点 2 A，则 2 A的坐标为(, 2)n 其中所有真命题的序号是 3. 如图， 抛物线 2 1 2 yxbxc 过点(3,2)A， 且与直线 7 2 yx 交于B、C两点， 点B的坐标为(4,)m （1）求抛物线的解析式； （
4、2）点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DEx轴交直线BC于点E，点P为对称轴上 一动点，当线段DE的长度最大时，求PDPA的最小值； （3）设点M为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点Q，使45AQM ？若存在，求点Q的坐标；若不存 在，请说明理由 中考数学提优系列题选（中考数学提优系列题选（4848） 一、例题分析 1. 如图，在扇形AOB中，AC为弦，140AOB，60CAO，6OA ，则BC的长为（ ） A. 4 3 B. 8 3 C. 2 3 D. 2 2. 根据如图所示的程序，计算 y 的值，若输入 x 的值是 1 时，则输出的 y 值等于_ 3. 我国南宋著名数学家秦九韶在
5、他的著作数书九章中提出了“三斜求积术”，三斜即指三角形的三条 边长，可以用该方法求三角形面积若改用现代数学语言表示，其形式为：设abc， ，为三角形三边，S为 面积，则 2 222 22 1 42 abc Sa b ，这是中国古代数学的瑰宝之一而在文明古国古希腊，也 有一个数学家海伦给出了求三角形面积的另一个公式，若设 2 abc p （周长的一半），则 Sp papbpc （1）尝试验证这两个公式在表面上形式很不一致，请你用以578， ，为三边构成的三角形，分别验证它们 的面积值； （2） 问题探究 经过验证， 你发现公式和等价吗？若等价， 请给出一个一般性推导过程 （可以从 或者）； （3
6、）问题引申三角形的面积是数学中非常重要的一个几何度量值，很多数学家给出了不同形式的计算公 式 请你证明如下这个公式： 如图，ABC的内切圆半径为r， 三角形三边长为abc， ， 仍记 2 abc p ， S为三角形面积，则Spr 二、巩固提高 1. 如图在正方形ABCD中，点E是以AB为直径的半圆与对角线AC的交点，若圆 的半径等于1，则图中阴影部分的面积为 2. 大家知道乌鸦喝水的故事，如图，它看到一个水位较低的瓶子，喝不着水，沉思一会后聪明的乌鸦衔来 一个个小石子放入瓶中， 水位上升后， 乌鸦喝到了水 从乌鸦看到瓶子的那刻起开始计时， 设时间变量为x， 水位高度变量为y，下列图象中最符合故
7、事情景的大致图象是（ ） A. B. C. D. 3. 如图 1（注：与图 2 完全相同），在直角坐标系中，抛物线经过点三点0(1 )A ，,(5 0)B ，,4(0 )C， （1）求抛物线的解析式和对称轴； （2）P是抛物线对称轴上的一点，求满足PA PC的值为最小的点P坐标（请在图 1 中探索）； （3） 在第四象限的抛物线上是否存在点E， 使四边形OEBF是以OB为对角线且面积为12的平行四边形？ 若存在，请求出点E坐标，若不存在请说明理由.（请在图 2 中探索） 中考数学提优系列题选（中考数学提优系列题选（4949） 一、例题分析 1. 等腰三角形一边长为 2，它的另外两条边的长度是关
8、于 x 的一元二次方程 x 26x+k0 的两个实数根， 则 k 的值是（ ） A. 8 B. 9 C. 8 或 9 D. 12 2. 如图，在平面直角坐标系中，点 A，C 分别在 x 轴、y 轴上，四边形 ABCO 是边长为 4 的正方形，点 D 为 AB 的中点， 点 P 为 OB 上的一个动点， 连接 DP， AP， 当点 P 满足 DP+AP 的值最小时， 直线 AP 的解析式为_ 3. 已知：在ABC 外分别以 AB，AC 为边作AEB 与AFC （1）如图 1，AEB 与AFC 分别是以 AB，AC 为斜边的等腰直角三角形，连接 EF以 EF 为直角边构造 Rt EFG，且 EFF
9、G，连接 BG，CG，EC 求证：AEFCGF；四边形 BGCE 是平行四边形 （2）小明受到图 1 的启发做了进一步探究： 如图 2，在ABC 外分别以 AB，AC 为斜边作 RtAEB 与 RtAFC，并使FACEAB30，取 BC 的中点 D，连接 DE，EF 后发现，两者间存在一定的数量关系且夹角度数一定，请你帮助小明求出 ED EF 的值及DEF 的度数 （3）小颖受到启发也做了探究： 如图 3，在ABC 外分别以 AB，AC 为底边作等腰三角形 AEB 和等腰三角形 AFC，并使CAF+EAB90， 取 BC 的中点 D， 连接 DE， EF 后发现， 当给定EAB时， 两者间也存
10、在一定的数量关系且夹角度数一定， 若 AEm，ABn，请你帮助小颖用含 m，n 的代数式直接写出 ED EF 的值，并用含的代数式直接表示DEF 的度数 二、巩固提高 1. 如图，在平面直角坐标系中，OA1，以 OA 为一边，在第一象限作菱形 OAA1B， 并使AOB60，再以对角线 OA1为一边，在如图所示的一侧作相同形状的菱形 OA1A2B1，再依次作菱形 OA2A3B2，OA3A4B3，则过点 B2018，B2019，A2019的圆的圆心 坐标为_ 2. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y 1 2 x 2+bx+c 与 x 轴交于 B，C 两点，与 y 轴交于点 A，直线 y 1 2
11、x+2 经过 A， C 两点， 抛物线的对称轴与 x 轴交于点 D， 直线 MN 与对称轴交于点 G， 与抛物线交于 M， N 两点（点 N 在对称轴右侧），且 MNx 轴，MN7 （1）求此抛物线的解析式 （2）求点 N 的坐标 （3）过点 A 的直线与抛物线交于点 F，当 tanFAC 1 2 时，求点 F 的坐标 （4）过点 D 作直线 AC 的垂线，交 AC 于点 H，交 y 轴于点 K，连接 CN，AHK 沿射线 AC 以每秒 1 个单位长 度的速度移动， 移动过程中AHK 与四边形 DGNC 产生重叠， 设重叠面积为 S， 移动时间为 t （0t5） ， 请直接写出 S 与 t 的
12、函数关系式 中考数学提优系列题选（中考数学提优系列题选（5050） 一、例题分析 1. 已知正比例函数 1 y的图象与反比例函数 2 y图象相交于点(2,4)A，下列说法正确的是（ ） A. 反比例函数 2 y的解析式是 2 8 y x B. 两个函数图象的另一交点坐标为(2, 4) C. 当2x或02x时， 12 yy D. 正比例函数 1 y与反比例函数 2 y都随x的增大而增大 2. 斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度如图，某路 口的斑马线路段AB C横穿双向行驶车道， 其中6ABBC米， 在绿灯亮时， 小明共用 11 秒通过AC， 其中通过B
13、C的速度是通过AB速度的 1.2 倍，求小明通过AB时的速度设小明通过AB时的速度是x米 /秒，根据题意列方程得：_ 3. 【特例感知】 （1）如图 1，对于抛物线 2 1 1yxx ， 2 2 21yxx ， 2 3 31yxx ，下列结论正确的序号 是_； 抛物线 123 yyy， ，都经过点(0,1)C； 抛物线 23 yy，的对称轴由抛物线 1 y的对称轴依次向左平移 1 2 个单位得到； 抛物线 123 yyy， ，与直线1y 的交点中，相邻两点之间的距离相等 【形成概念】 （2）把满足 2 1 n yxnx （n为正整数）的抛物线称为“系列平移抛物线” 【知识应用】 在（2）中，如
14、图 2 “系列平移抛物线”的顶点依次为 123 , n P P PPL，用含n的代数式表示顶点 n P的坐标，并写出该顶点 纵坐标y与横坐标x之间的关系式； “系列平移抛物线”存在“系列整数点（横、纵坐标均为整数的点）”： 123 , n C C CCL，其横坐标分 别为1,2,3,kkkkn L（k为正整数），判断相邻两点之间的距离是否都相等，若相等，直 接写出相邻两点之间的距离；若不相等，说明理由 在中，直线1y 分别交“系列平移抛物线”于点 123 , n A A AAL连接 11 , nnnn C A CA ，判断 11 , nnnn C A CA 是否平行？并说明理由 二、巩固提高
15、1. 如图，由 10 根完全相同的小棒拼接而成，请你再添 2 根与前面完全相同的小 棒，拼接后的图形恰好有 3 个菱形的方法共有（ ） A. 3 种 B. 4 种 C. 5 种 D. 6 种 2. 在平面直角坐标系中，A BC， ，三点的坐标分别为(4,0)，(4,4)，(0,4)，点P在x轴上，点D在直 线AB上，若1DA ，CPDP于点P，则点P的坐标为_ 3.在ABC中，BAC=45，ADBC于D，将ABD沿AB所在的直线折叠，使点D落在点E处；将ACD沿AC 所在的直线折叠，使点D落在点F处，分别延长EB、FC使其交于点M (1)判断四边形AEMF的形状，并给予证明 (2)若BD=1，
16、CD=2，试求四边形AEMF的面积 中考数学提优系列题选（中考数学提优系列题选（5151） 一、例题分析 1. 如图，在正方形ABCD中，边长AB=1，将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转 180至正方形AB1C1D1，则线段CD扫过的面积为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 2 2. 已知 x=4 是不等式 ax-3a-10 的解，x=2 不是不等式 ax-3a-10 的解，则实数 a 的取值范围是_ 3. 如图，O是ABC的外接圆，AB是直径，D是AC中点，直线OD与O相交于E，F两点，P是O外一 点，P在直线OD上，连接PA，PC，AF，且满足PCA=ABC （1）求证：PA是O的
17、切线； （2）证明： 2 4EFOD OP； （3）若BC=8，tanAFP= 2 3 ，求DE的长 A B C D 二、巩固提高 1. 个“粮仓”的三视图如图所示（单位：m），则它的体积是（ ） A. 21m 3 B. 30m 3 C. 45m 3 D. 63m 3 2. 如图，抛物线 2 1 4 yx p （p0），点F（0，p），直线l：y=-p，已知抛物线上的点到点F的距离与到 直线l的距离相等，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，AA1l，BB1l，垂足分别为A1、B1，连接A1F， B1F，A1O，B1O若A1F=a，B1F=b、则A1OB1的面积= （只用a，b表示） 3. 如图
18、，抛物线 2 yxbxc的对称轴为直线x=2，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且 点A的坐标为（-1，0） （1）求抛物线的函数表达式； （2）将抛物线 2 yxbxc图象x轴下方部分沿x轴向上翻折，保留抛物线在x轴上的点和x轴上方图 象，得到的新图象与直线y=t恒有四个交点，从左到右四个交点依次记为D，E，F，G当以EF为直径的圆 过点Q（2，1）时，求t的值； （3）在抛物线 2 yxbxc上，当mxn时， y的取值范围是my7，请直接写出x的取值范围 中考数学提优系列题选（中考数学提优系列题选（4747） 二、例题分析 1.张长为a、宽为()b ab的长方形纸片，按如图的方式
19、拼成一个边长为()ab的正方形，图中空白部分 的面积为 1 S，阴影部分的面积为 2 S若 12 2SS，则a、b满足（ ） A. 25ab B. 23ab C. 3ab D. 2ab 【答案】D 【解析】 【分析】 先用a、b的代数式分别表示 22 1 2Sab， 2 2 2Sabb， 再根据 12 2SS， 得 222 22 ( 2)aba b b， 整理，得 2 (2 )0ab，所以2ab 【详解】解： 222 1 11 ()22()2 22 Sb abababab， 22222 21 ()()(2)2SabSabababb， 12 2SS， 222 22(2)ababb， 整理，得 2
20、 (2 )0ab，20ab，2ab故选 D 【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练运用完全平方公式是解题的关键 2. 如图，在ABC中，已知3AC ，4BC ，点D为边AB的中点，连结CD，过点A作AECD于 点E，将ACE沿直线AC翻折到ACE的位置若/ /CEAB，则CE_ 【答案】 9 5 【解析】 【分析】如图，作CHAB于H首先证明90ACB ，解直角三角形求出AH，再证明CEAH 即 可 【详解】解：如图，作CHAB于H 由翻折可知：90AE CAEC ，ACEACE，/ /CEAB，ACECAD， ACDCAD，DCDA，ADDB，DCDADB，90ACB ， 22 5ABACB
21、C ， 11 22 AB CHAC BC， 12 5 CH ， 22 9 5 AHACCH，/ /CEAB， 180ECHAHC ，90AHC ， 90E CH ，四边形AHCE是矩形， 9 5 CEAH ， 【点睛】本题考查翻折变换，平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形 解决问题，属于中考常考题型 3. 在矩形ABCD中，连结AC，点E从点B出发，以每秒 1 个单位的速度沿着BAC的路径运动， 运动时间为t（秒）过点E作EFBC于点F，在矩形ABCD的内部作正方形EFGH （1）如图，当8ABBC时， 若点H在ABC的内部，连结AH、CH，求证：AHCH； 当0
22、8t 时，设正方形EFGH与ABC的重叠部分面积为S，求S与t的函数关系式； （2）当6AB，8BC 时，若直线AH将矩形ABCD的面积分成 13 两部分，求t的值 【答案】（1）证明见解析； 2 2 (04) 3232(48) tt S ttt ；（3）t的值为 12 5 s或 48 11 s或 72 7 s 【解析】 【分析】 （1）如图 1 中，证明()AEHCGH SAS即可解决问题 分两种情形分别求解： 如图 1 中， 当04t 时， 重叠部分是正方形EFGH 如图 2 中， 当48t 时， 重叠部分是五边形EFGMN （2）分三种情形分别求解：如图 31 中，延长AH交BC于M，当
23、4BMCM时，直线AH将矩形 ABCD的面积分成 13 两部分如图 32 中，延长AH交CD于M交BC的延长线于K，当 3CMDM时，直线AH将矩形ABCD的面积分成 13 两部分如图 33 中，当点E在线段AC 上时，延长AH交CD于M，交BC的延长线于N当CMDM时，直线AH将矩形ABCD的面积分成 13 两部分 【详解】解：（1）如图 1 中， 四边形EFGH是正方形，ABBC，BEBG，AECG，90BHEBGH ， 90AEHCGH ，EHHG， ()AEHCGH SAS ，AHCH 如图 1 中，当04t 时，重叠部分是正方形EFGH， 2 St 如图 2 中，当48t 时，重叠部
24、分是五边形EFGMN， 22 11 8 82(8)3232 22 ABCAENCGM SSSSttt 综上所述， 2 2 (04) 3232(48) tt S ttt （2）如图 31 中，延长AH交BC于M，当4BMCM时，直线AH将矩形ABCD的面积分成 13 两部分 /EHBM， AEEH ABBM ， 6 64 tt ， 12 5 t 如图 32 中，延长AH交CD于M交BC的延长线于K，当3CMDM时，直线AH将矩形ABCD的 面积分成 13 两部分，易证8ADCK， /EHBK， AEEH ABBK ， 6 616 tt ， 48 11 t 如图 33 中，当点E在线段AC上时，延
25、长AH交CD于M，交BC的延长线于N当CMDM时，直 线AH将矩形ABCD的面积分成 13 两部分，易证8ADCN 在Rt ABC中， 22 6810AC ，/EFAB， CEEF CAAB ， 16 106 tEF ， 3 (16) 5 EFt，/EHCN， EHAE CNAC ， 3 (16) 6 5 810 t t ，解得 72 7 t 综上所述，满足条件的t的值为 12 5 s或 48 11 s或 72 7 s 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定 理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题 二、巩固提高
26、1. 如图是函数 2 23(04)yxxx的图象，直线/ /lx轴且过点(0, )m，将该函数在直线l上方的 图象沿直线l向下翻折，在直线 1 下方的图象保持不变，得到一个新图象若新图象对应的函数的最大值 与最小值之差不大于 5，则m的取值范围是（ ） A. m1 B. 0m C. 01m D. m1或0m 【答案】C 【解析】 【分析】 找到最大值和最小值差刚好等于 5 的时刻，则M的范围可知. 【详解】解：如图 1 所示， 2 (1)4yx，顶点坐标为(1, 4) ，当0 x时，3y ， (0, 3)A，当4x时，5y ，(4,5)C，当0m时，(4, 5)D， 此时最大值为 0，最小值为
27、5；如图 2 所示，当1m时，此时最小值为4，最大值为 1 综上所述：01m，故选 C 【点睛】 此题考查了二次函数与几何图形结合的问题，找到最大值和最小值的差刚好为 5 的m的值为解题关键 2. 给出以下命题： 平分弦的直径垂直于这条弦； 已知点 1 ( 1,)Ay、 2 (1,)By、 3 (2,)Cy均在反比例函数(0) k yk x 的图象上，则 231 yyy； 若关于x的不等式组 1x xa 无解，则1a； 将点(1, )An向左平移 3个单位到点 1 A， 再将 1 A绕原点逆时针旋转 90到点 2 A， 则 2 A的坐标为(, 2)n 其中所有真命题的序号是_ 【答案】 【解析
28、】 【分析】平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，故错误；由0k ，则函数在二、四象限，根据函 数的增减性即可求解；直接解不等式即可；根据平移和旋转的性质即可求解 【详解】解：平分弦的直径垂直于这条弦，应该为：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，故错误； 反比例函数 k (0) x yk在二、四象限，当0 x时，0y ；0 x时，0y ，且x增大，y增大，故 132 yyy，故正确； 若关于x的不等式组 1x xa 无解，1a，正确； 将点(1, )An向左平移 3 个单位到点 1 A，则 1( 2, ) An，将 1 A绕原点逆时针旋转 90到点 2 A， 2 A的坐标为 (, 2)n ，
29、正确以上正确的都为真命题，故答案为 【点睛】本题考查的是命题的判断，涉及到反比例函数、解不等式、图象的平移和旋转、圆的基本知识等， 难度不大 3. 如图， 抛物线 2 1 2 yxbxc 过点(3,2)A， 且与直线 7 2 yx 交于B、C两点， 点B的坐标为(4,)m （1）求抛物线的解析式； （2）点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DEx轴交直线BC于点E，点P为对称轴上 一动点，当线段DE的长度最大时，求PDPA的最小值； （3）设点M为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点Q，使45AQM ？若存在，求点Q的坐标；若不存 在，请说明理由 【答案】 （1）抛物线的解析式 2 17
30、 22 yxx ； （2）PDPA的最小值为 3 5 2 ； （3）点Q的坐标： 1(0,2 3)Q、 2(0,2 3)Q 【解析】 分析】 （1） 将点B的坐标为(4,)m代入 7 2 yx ， 71 4 22 m ，B的坐标为 1 (4,) 2 ， 将( 3 , 2 )A， 1 (4,) 2 B 代入 2 1 2 yxbxc ，解得1b， 7 2 c ，因此抛物线的解析式 2 17 22 yxx ； （2）设 2 17 ( ,) 22 D mmm，则 7 ( ,) 2 E mm， 222 17711 ()()2(2)2 22222 DEmmmmm ，当2m时，DE有最大值为 2，此 时 7
31、 (2, ) 2 D， 作点A关于对称轴的对称点 A ， 连接A D， 与对称轴交于点PPDPAPDPAAD， 此时PDPA最小； （3） 作A Hy 轴于点H， 连接AM、AQ、MQ、HA、HQ， 由( 1 , 4 )M，(3,2)A， 可得2AHMH， (1,2)H 因为45AQM ，90AHM ， 所以 1 2 AQMAHM， 可知AQM外接圆的圆心为H， 于是2QHHAHM设(0, )Qt，则 22 (01)(2)2t，23t 或23，求得符合题意的 点Q的坐标： 1(0,2 3)Q、 2(0,2 3)Q 【详解】解：（1）将点B的坐标为(4,)m代入 7 2 yx ， 71 4 22
32、 m ， B的坐标为 1 (4,) 2 ，将(3,2)A， 1 (4,) 2 B代入 2 1 2 yxbxc ， 2 2 1 332 2 11 44 22 bc bc 解得1b， 7 2 c ，抛物线的解析式 2 17 22 yxx ； （2）设 2 17 , 22 D mmm ，则 7 ( ,) 2 E mm， 222 17711 ()()2(2)2 22222 DEmmmmm ， 当2m时，DE有最大值为 2， 此时 7 (2, ) 2 D， 作点A关于对称轴的对称点 A ，连接A D，与对称轴交于点P PDPAPDPAAD，此时PDPA最小， (3,2)A ，( 1,2)A ， 22 7
33、3 ( 12)(2)5 22 AD ，即PDPA的最小值为 3 5 2 ； （3）作AHy轴于点H，连接AM、AQ、MQ、HA、HQ， 抛物线的解析式 2 17 22 yxx ，(1,4)M，(3,2)A，2AHMH，(1,2)H 45AQM ，90AHM ， 1 2 AQMAHM，可知AQM外接圆的圆心为H， 2QHHAHM设(0, )Qt，则 22 (01)(2)2t，23t 或23 符合题意的点Q的坐标： 1(0,2 3)Q、 2(0,2 3)Q 【点睛】本题考查了二次函数，熟练运用二次函数的图象的性质与一次函数的性质以及圆周角定理是解题 的关键 中考数学提优系列题选（中考数学提优系列题
34、选（4848） 三、例题分析 1. 如图，在扇形AOB中，AC为弦，140AOB，60CAO，6OA ，则BC的长为（ ） A. 4 3 B. 8 3 C. 2 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】 连接OC，根据等边三角形的性质得到80BOC，根据弧长公式计算即可 【详解】连接OC， 60OA OCCAO，AOC为等边三角形，60AOC， 1406080BOCAOBAOC，则BC的长 8068 1803 ，故选B 【点睛】本题考查弧长的计算，等边三角形的判定和性质，掌握弧长公式： 180 n r l 是解题的关键 2. 根据如图所示的程序，计算 y 的值，若输入 x 的值是 1 时，
35、则输出的 y 值等于_ 【答案】2 【解析】 【分析】 由题意输入 x1 然后平方得 x 2，然后再- 3小于 0，乘以 13，可得 y 的值 【详解】解：当 x1 时，x 2 3130，y（13）（13）132，故答案为2 【点睛】此题是一道程序题，做题时要按照程序一步一步做，主要考查代数式求值，是一道常考的题型 3. 我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作数书九章中提出了“三斜求积术”，三斜即指三角形的三条 边长，可以用该方法求三角形面积若改用现代数学语言表示，其形式为：设abc， ，为三角形三边，S为 面积，则 2 222 22 1 42 abc Sa b ，这是中国古代数学的瑰宝之一而在文
36、明古国古希腊，也 有一个数学家海伦给出了求三角形面积的另一个公式，若设 2 abc p （周长的一半），则 Sp papbpc （1）尝试验证这两个公式在表面上形式很不一致，请你用以578， ，为三边构成的三角形，分别验证它们 的面积值； （2） 问题探究 经过验证， 你发现公式和等价吗？若等价， 请给出一个一般性推导过程 （可以从 或者）； （3）问题引申三角形的面积是数学中非常重要的一个几何度量值，很多数学家给出了不同形式的计算公 式 请你证明如下这个公式： 如图，ABC的内切圆半径为r， 三角形三边长为abc， ， 仍记 2 abc p ， S为三角形面积，则Spr 【答案】（1）10
37、3S；（2）公式和等价；推导过程见解析；（3）见解析 【解析】 【分析】 1（）分别将 5,7,8 代入两个公式计算验证即可； 2（ ）求出2p abc ，把中根号内的式子可化为： 222222 11 42216 abcabc abab abcabccab cab （）（）p papbp c（） -，即可得出结论； 3（ ）连接OAOBOC、， AOBAOCBOC SSSS，由三角形面积公式即可得出结论 【详解】解：1（）由得： 2 222 22 1578 5710 3 42 S ， 由得： 578 10 2 p ， 1010510710 810 3S； 2（ ）公式和等价；推导过程如下： 2
38、 abc p ，2pabc， 中根号内的式子可化为： 222222 1 422 abcabc abab 222222 1 22 16 ababcababc= 22 22 1 16 abccab = 1 16 abcabccabcab= （）（）（） 1 2222222 16 ppcpbpa （ ） （ ）p papbpc（）（）， 2 222 22 1 42 abc a bp papbpc ； 3（ ）连接OAOBOC、，如图所示： 111 2222 AOBAOCBOC abc SSSSrcrbrarpr 【点睛】本题考查三角形的内切圆、数学常识以及三角形面积公式；熟练掌握三角形面积的计算方法
39、是解 题的关键 四、巩固提高 1. 如图在正方形ABCD中，点E是以AB为直径的半圆与对角线AC的交点，若圆的半径等于1，则图中 阴影部分的面积为_ 【答案】1. 【解析】 【分析】 直接利用正方形的性质结合转化思想得出阴影部分面积 CEB S ，进而得出答案 【详解】如图所示：连接BE， 可得，AEBE，90AEB， 且阴影部分面积 111 2 2 1 244 CEBABCABCD SSS 正方形 故答案为1 【点睛】本题考查正方形的性质，扇形的面积等知识，解题的关键是学会把不规则图形转化为规则图形 2. 大家知道乌鸦喝水的故事，如图，它看到一个水位较低的瓶子，喝不着水，沉思一会后聪明的乌鸦
40、衔来 一个个小石子放入瓶中， 水位上升后， 乌鸦喝到了水 从乌鸦看到瓶子的那刻起开始计时， 设时间变量为x， 水位高度变量为y，下列图象中最符合故事情景的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由于原来水位较低，乌鸦沉思一会后才想出办法，说明将在沉思的这段时间内水位没有变化，乌鸦衔来一 个个小石子放入瓶中，水位将会上升，乌鸦喝水后的水位应不低于一开始的水位，由此即可作出判断 【详解】解：乌鸦在沉思的这段时间内水位没有变化，排除C，乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中， 水位将会上升，排除A，乌鸦喝水后的水位应不低于一开始的水位，排除B， D正确故选D 【点睛】本题考查
41、动点问题的函数图象问题注意分析y随x的变化而变化的趋势，而不一定要通过求解 析式来解决 3. 如图 1（注：与图 2 完全相同），在直角坐标系中，抛物线经过点三点0(1 )A ，,(5 0)B ，,4(0 )C， （1）求抛物线的解析式和对称轴； （2）P是抛物线对称轴上的一点，求满足PA PC的值为最小的点P坐标（请在图 1 中探索）； （3） 在第四象限的抛物线上是否存在点E， 使四边形OEBF是以OB为对角线且面积为12的平行四边形？ 若存在，请求出点E坐标，若不存在请说明理由.（请在图 2 中探索） 【答案】（1） 2 5 4 5 4 4 2 yxx，函数的对称轴为：3x；（2）点 8
42、 (3) 5 P ，；（3）存在，点E的坐标 为 12 (2,) 5 -或 12 ,) 5 (4 - 【解析】 【分析】 1（）根据点AB、的坐标可设二次函数表达式为： 2 1565ya xxa xx ， 由 C 点坐标即可求解； 2（ ）连接BC、交对称轴于点P，此时PA PC的值为最小，即可求解； 3（ ） 512 EEOEBF SOByy 四边形 ，则 12 5 E y ，将该坐标代入二次函数表达式即可求解 【详解】 解：1（）根据点0(1 )A ，,(5 0)B ，的坐标设二次函数表达式为： 2 1565ya xxa xx ， 抛物线经过点4(0 )C， 则54a，解得： 4 5 a，
43、 抛物线的表达式为： 2 22 44164 6534 5555 24 5 yxxxxx= ， 函数的对称轴为：3x； 2（ ）连接BC、交对称轴于点P，此时PA PC的值为最小， 设 BC 的解析式为：ykxb， 将点BC、的坐标代入一次函数表达式：ykxb得： 05 , 4 kb b 解得： 4 ,5 4 k b 直线BC的表达式为： 4 yx4 5 ， 当3x时， 8 5 y， 故点 8 3 5 P （ ，）； 3（ ）存在，理由： 四边形OEBF是以OB为对角线且面积为12的平行四边形， 则512 EEOEBF SOByy 四边形 ， 点E在第四象限，故：则 12 5 E y -， 将该
44、坐标代入二次函数表达式得： 2 412 65 55 yxx-， 解得：2x或4， 故点E的坐标为 12 2, 5 （ -）或 12 , 5 （4 -） 【点睛】本题考查二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、图形的面积计算等，其中2（ ）， 求线段和的最小值，采取用的是点的对称性求解，这也是此类题目的一般解法 中考数学提优系列题选（中考数学提优系列题选（4949） 三、例题分析 1. 等腰三角形一边长为 2，它的另外两条边的长度是关于 x 的一元二次方程 x 26x+k0 的两个实数根， 则 k 的值是（ ） A. 8 B. 9 C. 8 或 9 D. 12 【答案】B 【解析】 【
45、分析】根据一元二次方程的解法以及等腰三角形的性质即可求出答案 【详解】解：当等腰三角形的底边为 2 时， 此时关于 x 的一元二次方程 x 26xk0 的有两个相等实数根，364k0， k9，此时两腰长为 3，233，k9 满足题意， 当等腰三角形的腰长为 2 时，此时 x2 是方程 x 26xk0 的其中一根， 代入得 412k0，k8，x 26x80 求出另外一根为：x4，224， 不能组成三角形，综上所述，k9，故选 B 【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及等腰三角形的性质 2. 如图，在平面直角坐标系中，点 A，C 分别在 x 轴、y 轴上，四边形
46、ABCO 是边长为 4 的正方形，点 D 为 AB 的中点， 点 P 为 OB 上的一个动点， 连接 DP， AP， 当点 P 满足 DP+AP 的值最小时， 直线 AP 的解析式为_ 【答案】y2x+8 【解析】 【分析】 根据正方形的性质得到点 A，C 关于直线 OB 对称，连接 CD 交 OB 于 P，连接 PA，PD，则此时，PD+AP 的值最 小，求得直线 CD 的解析式为 y 1 2 x+4，由于直线 OB 的解析式为 yx，解方程组得到 P（ 8 3 ， 8 3 ），由 待定系数法即可得到结论 【详解】解：四边形 ABCO 是正方形，点 A，C 关于直线 OB 对称，连接 CD 交 OB 于 P，连接 PA，PD， 则此时，PD+AP值最小，OCOAAB4，C（0，4），A（4，0），D 为 AB 的中点， AD 1 2 AB2，D（4，2），设直线 CD 的解析式为：ykx+b， 42 4 kb b ， 1 2 4 k b ， 直线 CD 的解析式为：y 1 2 x+4，直线 OB 的解析式为 yx， 1 4 2 yx yx ， 解得：xy 8 3 ，P（ 8 3 ， 8 3 ）， 设直线 AP 的解析式为：ymx+n， 40 88 33 mn mn ，解得： 2 8 m n ， 直线 AP 的解析式为 y2x+8，故答案为 y2x+8 【点睛】本题考查
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