1、2021 年陕西省咸阳市高考数学检测试卷（理科）（二）（二模）年陕西省咸阳市高考数学检测试卷（理科）（二）（二模） 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 5 分）分）. 1设集合 Ax|（x+2）（x2）0，B3，2，1，0，1，2，则 AB（ ） A1，0，1 B3，1 C2，0，2 D1，2 2已知复数 z，则 z2021（ ） Ai Bi C1 D1 3已知向量 （x，2）， （x+1，3）， ，则 x 的值为（ ） A4 B3 C2 D1 4某校有男教师 150 人，女教师 200 人，为了了解该校教师的健康情况，从中随机抽取男教师 15 人，女 教师 20 人，进行调查，这种抽样方法
2、是（ ） A简单随机抽样法 B抽签法 C随机数表法 D分层抽样法 5中国人民银行发行了 2020 吉祥文化金银纪念币，如图所示是一枚 5 克圆形金质纪念币背面图案为松、 鹤、灵芝、云纹等组合图案，并刊“松鹤延年”字样及面额，直径为 18mm，小王同学为了测算图中装 饰鹤的面积，他用 1 枚针向纪念币投掷 500 次，其中针尖恰有 150 次落在装饰鹤的身上，据此可估计装 饰鹤的面积是（ ） Amm 2 Bmm 2 Cmm 2 Dmm 2 6已知 a0.20.2，b20.1，cln0.5，则 a，b，c 的大小关系为（ ） Aabc Bacb Ccab Dbac 7如图为某函数图象，则该函数解析
3、式可能是（ ） Ay2|x|x22 By2xx22 Cy（x21）sinx Dycosx 8抛物线 C1：y22px（p0）的焦点 F 与双曲线 C2：1（a，b0）的右焦点相同，抛物线 C1 与双曲线 C2的两条渐近线分别交于 A，B 两点，且直线 AB 恰好过点 F，则双曲线 C2的离心率为（ ） A B C D 9我国的十二生肖纪年法是特有的纪年方法，又称天干地支纪年法，给十二地支配上相应的十二兽名，以 十二年为一循环的纪年法，十二地支顺序为：子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戌、亥兽 名顺序为：鼠、牛、虎、免、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪子属鼠、丑属牛、寅属虎、卯属兔、 辰属龙
4、、已属蛇、 午属马、 未属羊、申属猴、 西属鸡、 戌属狗、亥属猪， 是为十二属相， 又称十二生肖 将 十二生肖和年号结合起来， 就可以查出准确的年份， 已知2021年是牛年， 从今年算起， 第8个猪年是 （ ） A2114 年 B2115 年 C2116 年 D2117 年 10设函数 f（x）exex，则 f（x）（ ） A是奇函数，且在（，+）单调递增 B是奇函数，且在（，+）单调递减 C是偶函数，且在（，+）单调递增 D是偶函数，且在（，+）单调递减 11四面体 ABCD 中，ABD 和CBD 均为正三角形，且它们所在平面互相垂直，已知 AB2，则四面体 ABCD 外接球的表面积为（ ）
5、 A12 B C D16 12已知函数 f（x）cos2x+2sinx+a，函数 g（x）logx若任意 x1 ，都有 x2，4，使得 f（x1）g（x2）成立，则实数 a 的取值范围为（ ） A， B，1 C， D0， 二、填空题（共二、填空题（共 4 小题）小题）. 13定积分的值为 14已知集合 M5，N2，4，Q1，2，5，从集合 M、N、Q 中各取一个元素依次作为空间直角 坐标系 Oxyz 中向量 的横坐标 x、纵坐标 y 和竖坐标 z，则可确定不同向量 的个数为 15九章算术中将底面是直角三角形的直棱柱称为“堑堵”一块“堑堵”型石材的三视图如图所示， 将该石材切削、 打磨， 加工成
6、若干个相同的球， 并使每个球的体积最大， 则这些球的体积之和为 16写出一个对称轴是直线 x的奇函数 f（x） 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题，每个试题考生题为必考题，每个试题考生 都必须作答第都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分分 17已知数列an的前 n 项和为 Sn2n1 （）求an的通项公式； （）设 bnnan，求数列bn的前 n 项和 Tn 18在直三棱柱 ABCA1B1C1中，BA
7、C90，ABAC2，AA12，D 在线段 A1B 上，且 A1D：DB 3：1 （）求证：A1B平面 ACD； （）求二面角 BACD 的大小 19已知椭圆 C：1（ab0）的离心率为，且过点 P（0，1） （）求椭圆 C 的方程； （）设直线 l：xm 与椭圆 C 交于两点 A，B，以 AB 为直径的圆 D 与 y 轴交于两点 E，F，求DEF 面积的最大值 202021 年元月 10 日，河北省石家庄某医院为确诊新型冠状病毒肺炎患者，需要检测核酸是否为阳性现 有 n 份（nN*）核酸样本，有以下两种检测方式：（1）逐份核酸检测 n 次；（2）混合检测，将其中 k （kN，k2）份核酸样本分
8、别取样混合在一起进行检测，若检测结果为阴性，则这 k 份核酸样本全部 为阴性，因而这 k 份核酸样本只要检测一次就够了，如果检测结果为阳性，说明这 k 份核酸样本中存在 阳性，为了弄清这 k 份核酸样本中哪些是阳性，就要对这 k 份核酸样本逐份检测，此时这 k 份核酸样本 检测总次数为 k+1 次 假设在接受检测的核酸样本中每份样本检测结果是阴性还是阳性都是相互独立的， 且每份是阳性的概率为 p（0p1） （）假设有 5 份核酸样本，其中只有 2 份为阳性若采用逐份检测方式检测，求恰好经过 3 次阳性样 本全部被检测出的概率； （）现取其中 k（kN*，k2）份核酸样本检测，记采用逐份检测的方
9、式，样本需要检测的总次数为 X，采用混合检测方式，样本需要检测的总次数为 Y （）求 Y 的分布列和期望； （）若 E（X）E（Y），求 p 关于 k 的函数关系式 pf（k） 21设函数 f（x）1axcosx（a0）在0，上最小值为 1 （）求 a 的值； （）求 f（x）在（0，）上零点的个数 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分考生从分考生从 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时 用用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑选修选修 4-4：坐标系与参数
10、方程：坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系中，曲线 C1的参数方程为：（ 为参数），以坐标原点 O 为极 点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为：2sin （）求曲线 C1的极坐标方程和曲线 C2的直角坐标方程； （）设直线 l：ykx（k0）与曲线 C1交于 O，A 两点，与曲线 C2交于 O，B 两点，求|OA|+|OB|的最 大值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|2x1|+x+的最小值为 m （）求实数 m 的值； （）设 a，b，c0，且 a+b+cm，求证：a2+4b2+4c26 参考答案参考答案 一、选择题（共一、选择题（
11、共 12 小题）小题）. 1设集合 Ax|（x+2）（x2）0，B3，2，1，0，1，2，则 AB（ ） A1，0，1 B3，1 C2，0，2 D1，2 解：Ax|2x2，B3，2，1，0，1，2， AB1，0，1 故选：A 2已知复数 z，则 z2021（ ） Ai Bi C1 D1 解：复数 zi， 又（i）41， 则 z2021（i）4505（i）i， 故选：B 3已知向量 （x，2）， （x+1，3）， ，则 x 的值为（ ） A4 B3 C2 D1 解：向量 （x，2）， （x+1，3），且 ， 所以 3x2（x+1）0， 解得 x2 故选：C 4某校有男教师 150 人，女教师 2
12、00 人，为了了解该校教师的健康情况，从中随机抽取男教师 15 人，女 教师 20 人，进行调查，这种抽样方法是（ ） A简单随机抽样法 B抽签法 C随机数表法 D分层抽样法 解：某校有男教师 150 人，女教师 200 人， 为了了解该校教师的健康情况，从中随机抽取男教师 15 人，女教师 20 人，进行调查， 这种抽样方法是分层抽样法 故选：D 5中国人民银行发行了 2020 吉祥文化金银纪念币，如图所示是一枚 5 克圆形金质纪念币背面图案为松、 鹤、灵芝、云纹等组合图案，并刊“松鹤延年”字样及面额，直径为 18mm，小王同学为了测算图中装 饰鹤的面积，他用 1 枚针向纪念币投掷 500
13、次，其中针尖恰有 150 次落在装饰鹤的身上，据此可估计装 饰鹤的面积是（ ） Amm 2 Bmm 2 Cmm 2 Dmm 2 解：纪念币的直径为 18mm，故其面积是 S 81mm2， 而装饰鹤的面积是纪念币面积的， 故装饰鹤的面积 S81mm2， 故选：C 6已知 a0.20.2，b20.1，cln0.5，则 a，b，c 的大小关系为（ ） Aabc Bacb Ccab Dbac 解：指数函数 y0.2x为减函数，0.20.20.20，0a1， 指数函数 y2x为增函数，b20.1201，b1， 对数函数 ylnx 为增函数，cln0.5ln10， bac， 故选：D 7如图为某函数图象，
14、则该函数解析式可能是（ ） Ay2|x|x22 By2xx22 Cy（x21）sinx Dycosx 解：由图象知函数为偶函数，当 x0 时，f（x）0， A：f（x）2|x|（x）222|x|x22f（x），f（x）为偶函数， 当 x0 时，f（x）2，A 符合 B：f（x）2x（x）22x22f（x），B 不符合 C：当 x0 时，y0，C 不符合 D：当 x0 时，y0，D 不符合 故选：A 8抛物线 C1：y22px（p0）的焦点 F 与双曲线 C2：1（a，b0）的右焦点相同，抛物线 C1 与双曲线 C2的两条渐近线分别交于 A，B 两点，且直线 AB 恰好过点 F，则双曲线 C2的
15、离心率为（ ） A B C D 解：抛物线 y22px（p0）的焦点为 F（ ，0）， 双曲线1（a0，b0）的渐近线方程为 yx， 代入抛物线的方程，可得 A（，），B（，）， 由 A，B，F 三点共线，可得： ，即有 b2a， 则双曲线的离心率为 e 故选：D 9我国的十二生肖纪年法是特有的纪年方法，又称天干地支纪年法，给十二地支配上相应的十二兽名，以 十二年为一循环的纪年法，十二地支顺序为：子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戌、亥兽 名顺序为：鼠、牛、虎、免、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪子属鼠、丑属牛、寅属虎、卯属兔、 辰属龙、已属蛇、 午属马、 未属羊、申属猴、 西属鸡、 戌属
16、狗、亥属猪， 是为十二属相， 又称十二生肖 将 十二生肖和年号结合起来， 就可以查出准确的年份， 已知2021年是牛年， 从今年算起， 第8个猪年是 （ ） A2114 年 B2115 年 C2116 年 D2117 年 解：2021 年是牛年，则第一个猪年是 2031 年，十二年是一个循环，则 71284（年），所以第 8 个猪 年是 2031+842115（年），故选：B 10设函数 f（x）exex，则 f（x）（ ） A是奇函数，且在（，+）单调递增 B是奇函数，且在（，+）单调递减 C是偶函数，且在（，+）单调递增 D是偶函数，且在（，+）单调递减 解：因为 f（x）exex， 所以
17、 f（x）ex+exf（x），即 f（x）为奇函数， 根据指数函数的性质可知，f（x）在（，+）上单调递增 故选：A 11四面体 ABCD 中，ABD 和CBD 均为正三角形，且它们所在平面互相垂直，已知 AB2，则四面体 ABCD 外接球的表面积为（ ） A12 B C D16 解：设三角形 BCD 外接圆半径 r，圆心 F，球的半径 R，球心 O， 取 BD 中点 M， 由ABD 和CBD 均为正三角形，且它们所在平面互相垂直可得 AMBD，CMBD，AM平面 BCD， 过 F 作平面 BCD 的垂线，过 A 作 MF 的平行线，两直线交于 E， 则四边形 AMCE 为矩形，O 在 EF
18、上，EFPM， 由正弦定理得2r，即 r， 故 MF， 设 OFd，则 所以 R2 （）2+（）2， 解得 d，R2， 则四面体 ABCD 外接球的表面积 S4R2 故选：C 12已知函数 f（x）cos2x+2sinx+a，函数 g（x）logx若任意 x1 ，都有 x2，4，使得 f（x1）g（x2）成立，则实数 a 的取值范围为（ ） A， B，1 C， D0， 解：设 f（x）在，的值域为 A， g（x）在，4的值域为 B， 由题意可得 AB， 又 f（x）cos2x+2sinx+a2sin2x+2sinx+1+a， 令 tsinx，由 x，可得 t，1， 则 y2t2+2t+1+a
19、在 t时，y 取得最大值 a+ ，在 t时，y 取得最小值 a， 即 Aa，a+， 又 g（x）logx 在，4递减，可得 B2，1， 所以，解得a， 故选：A 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13定积分的值为 1 解： lnx|1e lneln1 1 故答案为：1 14已知集合 M5，N2，4，Q1，2，5，从集合 M、N、Q 中各取一个元素依次作为空间直角 坐标系 Oxyz 中向量 的横坐标 x、纵坐标 y 和竖坐标 z，则可确定不同向量 的个数为 6 解：集合 M5只有一个元素，因此横坐标为 5 一种情况， N2，4有
20、两个元素，因此纵坐标为 2 或 4 两种情况， Q1，2，5有三个元素，因此竖坐标为 1 或 2 或 5 三种情况， 从中任选一个，共有 1236 种选择的方法， 故可确定不同向量 的个数为 6 个， 故答案为：6 15九章算术中将底面是直角三角形的直棱柱称为“堑堵”一块“堑堵”型石材的三视图如图所示， 将该石材切削、 打磨， 加工成若干个相同的球， 并使每个球的体积最大， 则这些球的体积之和为 32 解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为倒放的三棱柱； 如图所示： 三棱柱的侧棱长为， 所以三棱柱的内切球的半径为，直径为 4， 所以 n， 所以可以打磨成 3 个球 故： 故答案为：3
21、2 16写出一个对称轴是直线 x的奇函数 f（x） sin（x）（答案不唯一） 解：根据题意，要求函数为奇函数并且存在对称轴 x， f（x）可以由 ysinx 变换得到，则 f（x）sin（x）， 故答案为：sin（x）（答案不唯一） 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题，每个试题考生题为必考题，每个试题考生 都必须作答第都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共作答（一）必考题：共 60 分分 17已知数列an的前 n 项和为 Sn2
22、n1 （）求an的通项公式； （）设 bnnan，求数列bn的前 n 项和 Tn 解：（）Sn2n1， 当 n1 时，有 S1211a1， 当 n2 时，有 anSnSn12n2n12n1， 综上，an2n1； （）由（）可得：bnn2n1， Tn1+221+322+n2n1， 又 2Tn121+222+（n1）2n1+n2n， 两式相减得：Tn1+2+22+2n1n2n n2n， 整理得：Tn（n1）2n+1 18在直三棱柱 ABCA1B1C1中，BAC90，ABAC2，AA12，D 在线段 A1B 上，且 A1D：DB 3：1 （）求证：A1B平面 ACD； （）求二面角 BACD 的大小
23、 解：（）证明：建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意得 A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，0，0），A1（0，0，2），B1（0，2，2），C1 （2，0，2），D（0， ）， （2，0，0），（0，），（0，2，2）， 因为0，0，所以， 又 ACADA，所以 A1B平面 ACD （）由（）知平面 ACD 的法向量为 （0，2，2）， 平面 ABC 的法向量为 （0，0，1）， 设二面角 BACD 的大小为 ，cos，所以 故二面角 BACD 的大小为 19已知椭圆 C：1（ab0）的离心率为，且过点 P（0，1） （）求椭圆 C 的方程； （）设直线 l：xm 与椭圆 C 交于
24、两点 A，B，以 AB 为直径的圆 D 与 y 轴交于两点 E，F，求DEF 面积的最大值 解：（）由题意可知， 解得：， 椭圆 C 的方程为： （）设 A（m，y1），B（m，y1），则 D（m，0），E（0，y2），F（0，y2）， 把 A 点代入椭圆方程得：， 则圆 D：（x+m）2+y2， 把点 E 代入圆 D 方程：，即， SDEF |y2 |m|m| 1m2，当且仅 当|m|时，等号成立， 又m0 且 45m20， 又|m|时取等号，则 m， DEF 面积的最大值为 1m21 2 202021 年元月 10 日，河北省石家庄某医院为确诊新型冠状病毒肺炎患者，需要检测核酸是否为阳性现
25、 有 n 份（nN*）核酸样本，有以下两种检测方式：（1）逐份核酸检测 n 次；（2）混合检测，将其中 k （kN，k2）份核酸样本分别取样混合在一起进行检测，若检测结果为阴性，则这 k 份核酸样本全部 为阴性，因而这 k 份核酸样本只要检测一次就够了，如果检测结果为阳性，说明这 k 份核酸样本中存在 阳性，为了弄清这 k 份核酸样本中哪些是阳性，就要对这 k 份核酸样本逐份检测，此时这 k 份核酸样本 检测总次数为 k+1 次 假设在接受检测的核酸样本中每份样本检测结果是阴性还是阳性都是相互独立的， 且每份是阳性的概率为 p（0p1） （）假设有 5 份核酸样本，其中只有 2 份为阳性若采用
26、逐份检测方式检测，求恰好经过 3 次阳性样 本全部被检测出的概率； （）现取其中 k（kN*，k2）份核酸样本检测，记采用逐份检测的方式，样本需要检测的总次数为 X，采用混合检测方式，样本需要检测的总次数为 Y （）求 Y 的分布列和期望； （）若 E（X）E（Y），求 p 关于 k 的函数关系式 pf（k） 解：（1）记恰好经过 3 次检验就能把阳性样本全部检验出来为事件 A， P（A）； （2）（i）由题意可知 Y 的可能取值为 1，k+1， P（Y1）（1p）k，P（Yk+1）1（1p）k， 故 Y 的分布列为： Y 1 k+1 P （1p） k 1（1p） k E（Y）1（1p）k+（
27、k+1）1（1p）kk+1k（1p）k； （ii）E（X）k， 又E（X）E（Y）， kk+1k（1p）k， pf（k）1，（kN+且 k2） 21设函数 f（x）1axcosx（a0）在0，上最小值为 1 （）求 a 的值； （）求 f（x）在（0，）上零点的个数 解：（）f（x）1axcosx （a0），f（x）a（cosx+xsinx）， 设 g（x）xsinxcosx，则 g（x）sinx+xcosx+sinx2sinx+xcosx， 当 x0，g（x）0，g（x）在 x0，上递增， 所以 g（x）maxg（）（1）0，f（x）0， 则 f（x）在 x0，上递减，f（x）minf（）1
28、1，a2 （）由（）得 f（x）12xcosx， 则 f（x）2（cosx+xsinx）， 则 f（x）4sinx+2xcosx0 在 x（0， ）上恒成立，f（x） 在 x（0，）上递增， f（）0，f（0）20，f（x） 在（0，）上有一个零点， f（0）10，f（）10，f（1）0，f（x）在（0，）上有两个零点 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分考生从分考生从 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时 用用 2B 铅铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑选修选修
29、4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系中，曲线 C1的参数方程为：（ 为参数），以坐标原点 O 为极 点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为：2sin （）求曲线 C1的极坐标方程和曲线 C2的直角坐标方程； （）设直线 l：ykx（k0）与曲线 C1交于 O，A 两点，与曲线 C2交于 O，B 两点，求|OA|+|OB|的最 大值 解：（）曲线 C1的参数方程为：（ 为参数），转换为直角坐标方程为 ； 根据，转换为极坐标方程为； 曲线 C2的极坐标方程为：2sin，根据 ，转换为直角坐标方程为 x2+y22y，整理得 x2+（y1）21 （2
30、）直线 l：ykx（k0）转换为极坐标方程为 （）， 直线 l 与曲线 C1交于 O，A 两点，故 ，整理得， 直线 l 与曲线 C2交于 O，B 两点，故 ，整理得|OB|2sin， 所以|OA|+|OB|2 ， 当时，|OA|+|OB|的最大值为 4 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|2x1|+x+的最小值为 m （）求实数 m 的值； （）设 a，b，c0，且 a+b+cm，求证：a2+4b2+4c26 解：（）函数 f（x）|2x1|+x+， 当 x时，f（x）2x1+x+3x+为递增函数，可得 f（x）f（）3； 当 x时，f（x）12x+x+x 为递减函数，可得 f（x）f（）3， 所以 f（x）3，即 f（x）的最小值为 3，可得 m3； （）证明：由 a，b，c0，且 a+b+c3， （12+ ）（a2+4b2+4c2）（a+b+c）2， 即为（a2+4b2+4c2）9， 可得 a2+4b2+4c26，当且仅当 a4b4c2 时，等号成立 则原不等式成立
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