1、2021 年广东省高考数学大联考试卷（年广东省高考数学大联考试卷（3 月份）月份） 一、选择题（共一、选择题（共 8 小题）小题）. 1已知集合 Ax|x2，Bx|x23x0，则 AB（ ） A（0，+） B（2，3） C（0，3） D（2，+） 2已知复数 z 满足 z（1+2i）（2+i）（i 为虚数单位），则|z|（ ） A2 B4 C5 D5 3正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 2，E 为 BC 的中点，则四面体 AEDC1的体积为（ ） A4 B C D2 4已知等比数列an的各项均为负数，若 a2a8+2a3a9+a7216，则 a5+a7（ ） A2 B4 C8 D16
2、5已知直线 l：x+y30 交圆 x2+y2+4x2y40 于 A、B 两点，则|AB|（ ） A2 B1 C2 D 6a，b 都为正数，则“ab”是“4”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 7公元 960 年，北宋的建立结束了五代十国割据的局面北宋的农业、手工业、商业空前繁荣，科学技术 突飞猛进，火药、指南针、印刷术三大发明在这种经济高涨的情况下得到广泛应用1084 年秘书省第一 次印刷出版了算经十书，为数学的发展创造了良好的条件11 至 14 世纪出现了一批著名的数学家 和数学著作，如秦九韶的数书九章，李冶的测圆海镜，杨辉的详解九章算法，日用算
3、法 和杨辉算法，现从三位数学家的五部专著中任意选择两部作为学生课外兴趣拓展参考书目，则所选 的两部中至少有一部不是杨辉著作的概率为（ ） A B C D 8 已知函数 f （x） 2x1， 令 a， b， c， 则 a， b， c 的大小关系是 （ ） Aabc Bcba Ccab Dbac 二、多选题（共二、多选题（共 4 小题）小题）. 9已知抛物线 C：y212x 的焦点为 F，直线 l 过 F 交抛物线于 A、B 两点，交抛物线的准线于点 P，（点 A 在 P、F 之间），若，O 为坐标原点，则（ ） A点 A 的坐标为（1，2） B|BF|12 C直线 l 的方程为 y （x3） D
4、|AO| 10将函数 f（x）sin（x+）（N*）的图象向右平移个单位后得到函数 yg（x）的图象，若 f （x）的所有对称中心与 g（x）的所有对称中心重合，则 可以为（ ） A3 B6 C9 D12 11已知定义在 R 上的函数 f（x），满足 f（x+2）f（2x），f（x）为 f（x）的导函数，且对于任意的 xR，都有（x2）f（x）0，则（ ） Af（0）f（4） Bf（1）f（5） CxR，f（x）f（2） DxR，f（x）f（2） 12如图几何体为一个圆柱和圆锥的组合体，圆锥的底面和圆柱的一个底面重合，圆锥的顶点为 P，圆柱的 上、下底面的圆心分别为 O1，O2，若该几何体有半
5、径为 1 的外接球，且球心为 O，则（ ） A如果 PO1O1O2，则 O 与 O1重合 BO1O2+2PO12 C如果 PO1：O1O21：3，则圆柱的体积为 D如果圆锥的体积为圆柱体积的，则圆锥的体积为 三、填空题（共三、填空题（共 4 小题）小题）. 13已知向量 （1，2），向量 与向量 共线，且 15，则| | 14 已知 F1， F2是双曲线1 （a0， b0） 的左、 右焦点， 点 M 为双曲线的左支上一点， 满足|MF1| 2|F1F2|，且 cosMF1F2 ，则该双曲线的离心率 e 15写出一个最小正周期为 2 的偶函数 f（x） 16已知函数 f（x），则函数 yf（f（
6、x）1 的零点个数为 四、解答题（共四、解答题（共 6 小题）小题）. 17在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，b4，（ac）sinA（bc）（sinB+sinC） （1）求角 B； （2）求ABC 周长的最大值 18已知等比数列an的公比为 q，前 n 项和为 Sn，an0，2a2+a3a4，S54a41 （1）求 an； （2）在平面直角坐标系 xOy 中，设点 Qk（k，bk）（k1，2，3，），直线 QkQk+1的斜率为 2k，且 b1 1，求数列bn的通项公式 19如图在三棱柱 ABCA1B1C1中，侧面 ABB1A1是边长为 2 的菱形，ABB1120，平面 A
7、A1B1B平面 ABC，M、N 分别为 AB、BB1的中点，ACBC （1）证明：BC1平面 A1CM； （2）求二面角 MACN 的余弦值 20某大型小区物业公司为增强居民对消防安全的认识，特对小区居民举办了一次消防安全知识测试并 从中随机抽取了参加测试的 1000 人的成绩（满分：100 分），经统计得到如图频率分布直方图： （1）（）求 m； （）由直方图可知，此次测试分数 X 近似服从正态分布 N（65，121），请用正态分布知识求 P（54 X87）； （2）在（1）的条件下，为鼓励该小区居民多学习消防安全知识，本次测试制定如下奖励方案： 测试成绩低于 65 的居民获得 1 次随机红
8、包奖励，成绩不低于 65 的居民获得 2 次随机红包奖励每次随 机红包钱数（单位：元）对应的概率如表： 随机红包 30 50 概率 该小区王大爷参加此次测试，记 为王大爷获得的红包奖励钱数（单位：元），求 的分布列及数学期 望 参考数据：若 XN（，2），则 P（X+）0.6827；P（2X+2）0.9545； P（3X+3）0.9974 21已知椭圆1（ab0）的焦距为 4，且过点（ ，）设点 P 为圆 O：x2+y23 上任意 一点，过点 P 作圆的切线交椭圆 C 于点 E、F （1）求椭圆 C 的方程； （2）试判断是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由 22已知函数
9、f（x）ex（x32x+2sinx+1），g（x）sinx+cosx+x22x （1）求 g（x）在点（0，g（0）处的切线方程； （2）证明：对任意的实数 a1，g（x）af（x）在0，+）上恒成立 参考答案参考答案 一、选择题（共一、选择题（共 8 小题）小题）. 1已知集合 Ax|x2，Bx|x23x0，则 AB（ ） A（0，+） B（2，3） C（0，3） D（2，+） 解：Ax|x2，Bx|0 x3， AB（0，+） 故选：A 2已知复数 z 满足 z（1+2i）（2+i）（i 为虚数单位），则|z|（ ） A2 B4 C5 D5 解：z（1+2i）（2+i） 5i， 则|z|5
10、故选：C 3正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 2，E 为 BC 的中点，则四面体 AEDC1的体积为（ ） A4 B C D2 解：由题意，四面体 AEDC1的底面积为：2，高为 2， 所以则四面体 AEDC1的体积为： 故选：C 4已知等比数列an的各项均为负数，若 a2a8+2a3a9+a7216，则 a5+a7（ ） A2 B4 C8 D16 解：等比数列an的各项均为负数，若 a2a8+2a3a9+a7216， 则 a52+2a5a7+a7216， 则（a5+a7）216， 解得 a5+a74， 故选：B 5已知直线 l：x+y30 交圆 x2+y2+4x2y40 于 A、B
11、两点，则|AB|（ ） A2 B1 C2 D 解：根据题意，圆 x2+y2+4x2y40，即（x+2）2+（y1）29，其圆心为（2，1），半径 r3， 圆心到直线 l 的距离 d2， 则弦长|AB|22， 故选：A 6a，b 都为正数，则“ab”是“4”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解：当 ab时，取 a9，b，则 ab1， +94，故 ab”推不出“4”，不是充分条件， 当4 时，已知基本不等式， 则+，当且仅当 ab 时“”成立， 又4，4，则 ab， 于是“4”可以推出“ab”， 故 a，b 都为正数，则“ab”是“4”的必要不充分条
12、件， 故选：B 7公元 960 年，北宋的建立结束了五代十国割据的局面北宋的农业、手工业、商业空前繁荣，科学技术 突飞猛进，火药、指南针、印刷术三大发明在这种经济高涨的情况下得到广泛应用1084 年秘书省第一 次印刷出版了算经十书，为数学的发展创造了良好的条件11 至 14 世纪出现了一批著名的数学家 和数学著作，如秦九韶的数书九章，李冶的测圆海镜，杨辉的详解九章算法，日用算法 和杨辉算法，现从三位数学家的五部专著中任意选择两部作为学生课外兴趣拓展参考书目，则所选 的两部中至少有一部不是杨辉著作的概率为（ ） A B C D 解：由题设可得：从三位数学家的五部专著中任意选择两部作为学生课外兴趣
13、拓展参考书目，共有 C 10 种选法，其中所选的两部中至少有一部不是杨辉著作的选法有 C +C C 7 种， 所选的两部中至少有一部不是杨辉著作的概率为， 故选：B 8 已知函数 f （x） 2x1， 令 a， b， c， 则 a， b， c 的大小关系是 （ ） Aabc Bcba Ccab Dbac 解：令 g（x），x0， 则 g（x）， 令 h（x）x2xln22x+1，x0， h（x）ln2（x2xln2+2x）2xln22xln22x0 恒成立， h（x）在（0，+）上单调递增， h（x）h（0）0， g（x）在（0，+）上单调的递增， （2）102532，（5 ）1025， 1，
14、 又 0log321， log32， g（）g（）g（log32）， ， abc， 故选：B 二、多选题：本题共二、多选题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分。分。 9已知抛物线 C：y212x 的焦点为 F，直线 l 过 F 交抛物线于 A、B 两点，交抛物线的准线于点 P，（点 A 在 P、F 之间），若，O 为坐标原点，则（ ） A点 A 的坐标为（1，2）
15、 B|BF|12 C直线 l 的方程为 y （x3） D|AO| 解：由题意可知 F（3，0），准线方程为 x3， 设 P（3，yP），A（xA，yA）， ， （6，yP）3（3xA，yA）， 93xA6， xA1，yA2 ，故选项 A 不正确； 直线 l 的斜率 k， l 的方程为：y（x3），C 正确； |OA| ，D 正确 联立，得 x210 x+90， xAxB9，xA1， xB9， |BF|9+312，B 正确； 故选：BCD 10将函数 f（x）sin（x+）（N*）的图象向右平移个单位后得到函数 yg（x）的图象，若 f （x）的所有对称中心与 g（x）的所有对称中心重合，则 可
16、以为（ ） A3 B6 C9 D12 解：将函数 f（x）sin（x+）（N*）的图象向右平移个单位后得到函数 yg（x）sin（x +）的图象， 若 f（x）的所有对称中心与 g（x）的所有对称中心重合， 故 f（x）的图象和 g（x）的图象相差半个周期的整数倍，即 g（x）f（x）， kk，即 6k，kZ， 则 可等于 6，12， 故选：BD 11已知定义在 R 上的函数 f（x），满足 f（x+2）f（2x），f（x）为 f（x）的导函数，且对于任意的 xR，都有（x2）f（x）0，则（ ） Af（0）f（4） Bf（1）f（5） CxR，f（x）f（2） DxR，f（x）f（2） 解：
17、f（x+2）f（2x）， 当 x2 时，f（0）f（4），故 A 正确； 当 x3 时，f（1）f（5），故 B 错误； 由 f（x+2）f（2x）知，yf（x）的图象关于直线 x2 对称， 又（x2）f（x）0， 当 x2 时，f（x）0，即 yf（x）在区间（2，+）上单调递减， 当 x2 时，f（x）0，yf（x）在区间（，2）上单调递增， xR，f（x）f（2），故 C 正确，D 错误； 综上所述，AC 正确， 故选：AC 12如图几何体为一个圆柱和圆锥的组合体，圆锥的底面和圆柱的一个底面重合，圆锥的顶点为 P，圆柱的 上、下底面的圆心分别为 O1，O2，若该几何体有半径为 1 的外接
18、球，且球心为 O，则（ ） A如果 PO1O1O2，则 O 与 O1重合 BO1O2+2PO12 C如果 PO1：O1O21：3，则圆柱的体积为 D如果圆锥的体积为圆柱体积的，则圆锥的体积为 解：由 O 为外接球的球心得 POAOCODO， 选项 A，若 O 与 O1重合，则 POOO2，所以 OCODOO2OP 与题设矛盾，故 A 不正确； 选项 B，由于 BODO，则 O 为 O1O2中点，如图所示， 因为 POPO1+O1OR1，OO2OO1，所以 PO1+OO21， 所以 PO1+O1O+PO1+OO2O1O2+2PO12，故 B 正确； 选项 C，由 PO1：O1O21：3，O1O2
19、+2PO12，可得 PO1 ，O1O2， 所以 OO1O1O2，又有 OB1，则 O1B ， 所以 VO1B2O1O2 ，故 C 正确； 选项 D，则 PO1O1O2， 又 O1O2+2PO12，所以 PO1 ，O1O21，则 OO1 ， 所以 O1B21 ， 所以 V锥O1B2PO1 ，故 D 正确 故选：BCD 三、填空题：本大题有三、填空题：本大题有 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。把答案填在题中横线上。分。把答案填在题中横线上。 13已知向量 （1，2），向量 与向量 共线，且 15，则| | 3 解：因为向量 （1，2），向量 与向量 共线， 所以设 （，2
20、）， 又 15， 所以 +415，所以 3， 所以 （3，6）， 所以| |3 故答案为：3 14 已知 F1， F2是双曲线1 （a0， b0） 的左、 右焦点， 点 M 为双曲线的左支上一点， 满足|MF1| 2|F1F2|，且 cosMF1F2 ，则该双曲线的离心率 e 2 解：由已知可设|F1F2|2c， 又点 M 为双曲线的左支上一点，满足|MF1|2|F1F2|，则|MF2|MF1|2a， 且|MF1|4c，所以|MF2|2a+4c， 在三角形 MF1F2中，由余弦定理可得：cosMF1F2 ，整理可得 9c216ac4a20， 即 9e216e40，解得 e2 或 （舍去）， 所
21、以双曲线的离心率为 2， 故答案为：2 15写出一个最小正周期为 2 的偶函数 f（x） cos（x）（答案不唯一） 解：根据题意，要求函数是最小正周期为 2 的偶函数， 可以联想余弦函数， 则 f（x）cos（x）， 故答案为：cos（x）（答案不唯一） 16已知函数 f（x），则函数 yf（f（x）1 的零点个数为 10 解：函数 f（x）的图象如下图所示： 若 f（x）1，当 x0 时，x2+4x+11x0 或 x4， 当 x0 时，|log2x|1x2 或 x， 结合图象分析： yff（x）10， 则 ff（x）1， 即 f（x）0 或 f（x）4 或 f（x）2 或 f（x）； 对于
22、 f（x）0，存在 3 个零点； 对于 f（x）2，存在 3 个零点； 对于 f（x），存在 4 个零点； 对于 f（x）4，不存在零点， 综上所述，函数 yff（x）1 的零点个数为 10 个， 故答案为：10 四、解答题：本大题有四、解答题：本大题有 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，b4，（ac）sinA（bc）（sinB+sinC） （1）求角 B； （2）求ABC 周长的最大值 解：（1）由正弦定理知， （ac）sinA（bc）（sinB+sin
23、C）， （ac）a（bc）（b+c），整理得 a2+c2b2ac， 由余弦定理知，cosB， B（0，），B （2）由（1）知，B， A+C， 由正弦定理知， asinA，csinC， a+c（sinA+sinC）sinA+sin（A）（sinA+cosA+sinA） （sinA+cosA）sin（A+）8sin（A+）， A（0，），A+（，）， 当 A+，即 A 时，a+c 取得最大值，为 8， a+b+c8+412， 故ABC 周长的最大值为 12 18已知等比数列an的公比为 q，前 n 项和为 Sn，an0，2a2+a3a4，S54a41 （1）求 an； （2）在平面直角坐标系 x
24、Oy 中，设点 Qk（k，bk）（k1，2，3，），直线 QkQk+1的斜率为 2k，且 b1 1，求数列bn的通项公式 解：（1）等比数列an中，an0，2a2+a3a4， 所以， 则 q2q20， 由 an0 得，q0， 故 q2 或 q1（舍）， 因为 S54a41， 所以4a1231， 解得，a11， 故 an2n1； （2）由题意得，2k，即 bk+1bk2k， 所以 b2b12， b3b222， bnbn12n1， 累加得，bnb12+22+2n1 2n2， 故 bn2n1 19如图在三棱柱 ABCA1B1C1中，侧面 ABB1A1是边长为 2 的菱形，ABB1120，平面 AA1
25、B1B平面 ABC，M、N 分别为 AB、BB1的中点，ACBC （1）证明：BC1平面 A1CM； （2）求二面角 MACN 的余弦值 【解答】（1）证明：取 A1B1中点 D，连接 DC1、DB， 四边形 A1DBM 为平行四边形，所以 A1MDB， 因为 DMB1B，DMB1B，又 B1BC1C，B1BC1C，所以 DMC1C，DMC1C， 所以四边形 DMCC1为平行四边形，所以 DC1MC， A1MMCM，BDDC1D，所以平面 BC1D平面 A1CM， 又因为 BC1平面 BC1D，所以 BC1平面 A1CM； （2）解：因为侧面 ABB1A1是边长为 2 的菱形，ABB1120，
26、所以A1AB 为正三角形， 所以 A1MAB，又因为平面 AA1B1B平面 ABC， 所以 A1M平面 ABC，所以 A1MMC， 因为 ACBC，所以 CMAB，于是 MB、MC、MA1两两垂直， 建立如图所示的空间直角坐标系，各点坐标如下： A（1，0，0），C（0，1，0），B（1，0，0），B1（2，0，），N（，0，） （1，1，0），（，0，）， 设平面 ACN 的法向量为 （x，y，z） ，令 z5， （，5）， 平面 MAC 的法向量为 （0，0，1）， 设二面角 MACN 的大小为 ， 由图可知， 为锐角， 所以 cos 故二面角 MACN 的余弦值为 20某大型小区物业公司
27、为增强居民对消防安全的认识，特对小区居民举办了一次消防安全知识测试并 从中随机抽取了参加测试的 1000 人的成绩（满分：100 分），经统计得到如图频率分布直方图： （1）（）求 m； （）由直方图可知，此次测试分数 X 近似服从正态分布 N（65，121），请用正态分布知识求 P（54 X87）； （2）在（1）的条件下，为鼓励该小区居民多学习消防安全知识，本次测试制定如下奖励方案： 测试成绩低于 65 的居民获得 1 次随机红包奖励，成绩不低于 65 的居民获得 2 次随机红包奖励每次随 机红包钱数（单位：元）对应的概率如表： 随机红包 30 50 概率 该小区王大爷参加此次测试，记 为
28、王大爷获得的红包奖励钱数（单位：元），求 的分布列及数学期 望 参考数据：若 XN（，2），则 P（X+）0.6827；P（2X+2）0.9545； P（3X+3）0.9974 解：（1）（）由 10（0.0025+m+0.02+0.025+0.0225+0.01+0.005）1， 解得 m0.015； （）测试分数 X 近似服从正态分布 N（65，121）， 65，11， 则 P（54X87）P（X+2）P（2X+2）+P（X+） （0.9545+0.6827）0.8186； （2）由题意可知， 的可能取值为：30，50，60，80，100， 由频率分布直方图可知，测试成绩低于 65 的频率
29、为，以频率作为概率， 可得：P（30），P（50）， P（60），P（80） ，P（100） 的分布列为 30 50 60 80 100 P E 51 21已知椭圆1（ab0）的焦距为 4，且过点（ ，）设点 P 为圆 O：x2+y23 上任意 一点，过点 P 作圆的切线交椭圆 C 于点 E、F （1）求椭圆 C 的方程； （2）试判断是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由 解：（1）由题可得，解得 a2，b2 椭圆的方程为； （2）当过点 P 且与圆 x2+y23 相切的切线斜率不存在时， 由对称性，不妨设切线方程为 x， 则 P（，0），E（，），F（，）， 当过点 P
30、且与圆 x2+y23 相切的切线斜率存在时， 不妨设切线的方程为 ykx+m， 设点 E（x1，y1），F（x2，y2），P（x0，y0） 将直线方程与圆的方程联立并整理， 得（1+k2）x2+2kmx+m230， 由直线与圆相切易得 m23（1+k2）， 联立直线和椭圆的方程并整理， 得（1+3k2）x2+6kmx+3m2120， 则36k2m24（1+3k2）（3m212）0， ， （x1x0，y1y0）（x2x0，y2y0） （x1x0）（x2x0）+（y1y0）（y2y0） （k2+1）（x1x0）（x2x0） （1+k2）x1x2x0（x1+x2）+ （1+k2）+ + 综上可知，为
31、定值3 22已知函数 f（x）ex（x32x+2sinx+1），g（x）sinx+cosx+x22x （1）求 g（x）在点（0，g（0）处的切线方程； （2）证明：对任意的实数 a1，g（x）af（x）在0，+）上恒成立 【解答】 （1）解：由题意，g（x）cosxsinx+2x2，则 g（0）1，即 g（x）在点（0，g（0） 处的切线斜率为1， 由 g（0）1，可得切线方程为 y1x，即 yx+1 （2）证明：设 h（x）x32x+2sinx+1，则 h（x）x22+2cosx，则 h（x）2x2sinx，（2x 2sin）2+2cosx0， 所以 h（x）2x2sinx 在0，+）上单
32、调递增，h（x）h（0）0， 故 h（x）在0，+）上单调递增，h（x）h（0）0，故 h（x）在0，+）上单调递增， 所以 h（x）h（0）10，所以 f（x）0 在0，+）上恒成立， 故 g（x）af（x）g（x）f（x）， 故只需证 g（x）f（x），即证 ex（sinx+cosx+x22x）（x32x+2sinx+1）0， 设 F（x）ex（sinx+cosx+x22x）（x32x+2sinx+1）， 则 F（x）ex（2cosx+x22）（2cosx+x22）（2cosx+x22）（ex1）0， 则 F（x）在0，+）上单调递增，F（x）F（0）0， 故对任意的实数 a1，g（x）af（x）在0，+）上恒成立
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