1、2021 年江苏省四校高考数学联考试卷（年江苏省四校高考数学联考试卷（3 月份）月份） 一、选择题（共一、选择题（共 8 小题）小题）. 1已知集合 Ax|log2x1，Bx|3x10，则 AB（ ） A B C（0，+） DR 2复数（i 为虚数单位），则|z|（ ） A1 B2 C D 3在数列an中，且 a2020，则 a2023（ ） A B C D3 4设函数 f（x）x3log3（），则函数 f（x）的图像可能为（ ） A B C D 5设 ， 为两个不同的平面，l，m 为两条不同的直线，且 m，l，则“lm”是“”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充
2、分也不必要条件 6已知 O 为ABC 的外心，则 cosABC 的值为（ ） A B C D 7学校举行羽毛球混合双打比赛，每队由一男一女两名运动员组成某班级从 3 名男生 A1，A2，A3和 4 名 女生 B1，B2，B3，B4中各随机选出两名，把选出的 4 人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛，则 A 1 和 B1两人组成一队参加比赛的概率为（ ） A B C D 8若 2a+3b+5c+，则（ ） Acln5aln2bln3 Baln2cln5bln3 Cbln3cln5aln2 Daln2bln3cln5 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分
3、，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部 选对的得选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9已知实数 a0，b0，a+b1，则下列说法中，正确的是（ ） A4 B2a+2b2 Clog2alog2b1 D存在 a，b，使得直线 ax+by1 与圆 x2+y24 相切 10 正方体 ABCDA1B1C1D1中， E 是棱 DD1的中点， F 在侧面 CDD1C1上运动， 且满足 B1F平面 A1BE 以 下命题正确的有（ ） A侧面 CDD1C1上存在点 F，使得 B1FCD1 B
4、直线 B1F 与直线 BC 所成角可能为 30 C平面 A1BE 与平面 CDD1C1所成锐二面角的正切值为 D设正方体棱长为 1，则过点 E，F，A 的平面截正方体所得的截面面积最大为 11已知函数 f（x）sin（x+）（N）在区间，和上单调递增，下列说法 中正确的是（ ） A 的最大值为 3 B方程 f（x）log2x 在0，2上至多有 5 个根 C存在 和 使 f（x）sin（x+）为偶函数 D存在 和 使 f（x）sin（x+）为奇函数 12在一张纸上有一圆 C：（x+2）2+y2r（r0）与点 M（m，0）（m2），折叠纸片，使圆 C 上某 一点 M恰好与点 M 重合，这样的每次折
5、法都会留下一条直线折痕 PQ，设折痕 PQ 与直线 MC 的交点为 T，则下列说法正确的是（ ） A当2rm2+r 时，点 T 的轨迹为椭圆 B当 r1，m2 时，点 T 的轨迹方程为 C当 m2，1r2 时，点 T 的轨迹对应曲线的离心率取值范围为2，4 D当 r2，m2 时，在 T 的轨迹上任取一点 S，过 S 作直线 yx 的垂线，垂足为 N，则SON（O 为坐标原点）的面积为定值 三、填空题（本大题共三、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 20 分请把答案填写在答题卡相应位置上）分请把答案填写在答题卡相应位置上） 13已知 为锐角且，则 tan 14已
6、知正整数 n7，若的展开式中不含 x4项，则 n 的值为 15已知函数则 x1，e时，f（x）的最小值为 ；设 g（x）f（x） 2 f（x）+a 若函数 g（x）有 6 个零点，则实数 a 的取值范围是 16如图，该图展现的是一种被称为“正六角反棱柱”的多面体，其由两个全等且平行的正六边形作为基 底，侧面由 12 个全等的以正六边形的边为底的等腰三角形组成若某个正六角反棱柱各棱长均为 1，则 其外接球的表面积为 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 6 小题，共计小题，共计 70 分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过
7、 程或演算步骤）程或演算步骤） 17已知数列an满足 a13，an+12ann+1 （1）求数列an的通项公式； （2）若数列cn满足 cn ，求数列cn的前 n 项和 Tn 18在ABC 中，它的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 B，b （）若 cosAcosC，求ABC 的面积； （）试问1 能否成立？若能成立，求此时ABC 的周长；若不能成立，请说明理由 19在四棱锥 PABCD 中，平面 PAD平面 ABCD，底面 ABCD 为直角梯形，BCAD，ADC90， BCCD1，PAPDAD2，E 为线段 AD 的中点，过 BE 的平面与线段 PD，PC 分别交于点 G，F （
8、）求证：GFPA； （）在棱 PD 上是否存在点 G，使得直线 PB 与平面 BEGF 所成角的正弦值为，若存在，请确定 G 点的位置；若不存在，请说明理由 20已知椭圆 C：1（ab0）的右焦点为 F（1，0），且过点 A（2，0） （1）求 C 的方程； （2）点 P、Q 分别在 C 和直线 x4 上，OQAP，M 为 AP 的中点，求证：直线 OM 与直线 QF 的交点 在某定曲线上 21定向越野起源于欧洲，是一种借助地图，指南针，在一个划定的区域内，通过对地形地貌的判断设 计合理路线到达各个目标点位，最后到达终点的运动，湖南青葵定向体育发展有限公司为了推广定向活 动，对学生群体进行定向
9、越野的介绍和培训，并对初步了解了定向活动的学生是否会参加定向越野活动 进行调查随机抽取了 200 位中小学生进行调查、得到如下数据：准备参加定向越野的小学生有 80 人， 不准备参加定向越野的小学生有 40 人，准备参加定向越野的中学生有 40 人 （1）完成下列 22 列联表，并根据列联表判断是否有 97.5%的把握认为这 200 位参与调查的中小学生 是否准备参加定向越野与中小学生年龄有关 准备参加定向越野 不准备参加定向越野 合计 小学生 中学生 合计 （2）为了储备定向后备力量，备战全国赛，提高会员定向水平俱乐部将小学生会员分组进行比赛两 人一组，每周进行一轮比赛，每小组两人每人跑两张
10、地图（跑一张地图视为一次），达到教练设定的成 绩标准的次数之和不少于 3 次称为“优秀小组”小超与小红同一小组，小超、小红达到教练设定的成 绩标准的概率分别为 p1，p2，且，理论上至少要进行多少轮比赛，才能使得小超、小红小组 在比赛中获得“优秀小组”次数的期望值达到 16 次？并求此时 p1，p2的值 附： P（K2k0） 0.50 0.25 0.05 0.025 0.010 k0 0.455 1.323 3.840 5.024 6.635 22设 f（x）ln（x1），g（x），a 是常数 （1）当 x2 时，若 f（x）g（x）恒成立，求 a 的取值范围； （2）当 x0 时，证明不等式
11、：exln（x+1）x2+ 参考答案参考答案 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的求的 1已知集合 Ax|log2x1，Bx|3x10，则 AB（ ） A B C（0，+） DR 解：， AB（0，+） 故选：C 2复数（i 为虚数单位），则|z|（ ） A1 B2 C D 解：复数 z1 1 1 1+i， 所以|z| 故选：C 3在数列an中，且 a2020，则 a2023（ ） A B C D3 解：由条件数列an中 知， 数列是等差
12、数列，则其公差 因此 故选：C 4设函数 f（x）x3log3（），则函数 f（x）的图像可能为（ ） A B C D 解：由0，得（1+x）（1x）0，得（1+x）（x1）0，得1x1，即函数的定义域为（ 1，1）， f（x）x3log3（）x3log3（）1x3log3（）f（x），即 f（x）是偶函数，图象 关于 y 轴对称，排除 A，C， 当 x1 且趋向 1 时，+，则 f（x）+，排除 C， 故选：B 5设 ， 为两个不同的平面，l，m 为两条不同的直线，且 m，l，则“lm”是“”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解：若 lm， m
13、，l， l， 成立，即充分性成立， 反之若 ， m，m 或 m平面 ， l，lm 不一定成立，即必要性不成立， 即“lm”是“”的充分不必要条件， 故选：A 6已知 O 为ABC 的外心，则 cosABC 的值为（ ） A B C D 解：根据题意，设ABC，则AOC2，若 O 为ABC 的外心，则设|r， 若，则43+5， 则有 16 292+252+30 ，即 16r29r2+25r2+30r2cos2， 变形可得 cos2， 由图可得：02，则 0， 则有 cos22cos21， 变形可得 cos， 故选：A 7学校举行羽毛球混合双打比赛，每队由一男一女两名运动员组成某班级从 3 名男生
14、 A1，A2，A3和 4 名 女生 B1，B2，B3，B4中各随机选出两名，把选出的 4 人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛，则 A 1 和 B1两人组成一队参加比赛的概率为（ ） A B C D 解：设分为甲乙两队； 则甲队的人任选的话有：12 种情况，乙队去选时有：6 种情况； 故共有 12672 种情况； 若 A1和 B1两人组成一队，在甲队时，乙队有： 6 种情况； 在乙队时，甲队有：6 种情况 故共有 6+612 种情况； 所以：A1和 B1两人组成一队参加比赛的概率为：P 故选：C 8若 2a+3b+5c+，则（ ） Acln5aln2bln3 Baln2cln5bln3 Cbl
15、n3cln5aln2 Daln2bln3cln5 解：由函数， 可知，x（0，e），f（x）0，x（e，+），f（x）0， 又， 所以 故选：A 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部 选对的得选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9已知实数 a0，b0，a+b1，则下列说法中，正确的是（ ） A4 B2a+2b2 Clog2alog2b1 D存在 a，b，使得直线 ax+by1 与圆 x2+y2
16、4 相切 解：实数 a0，b0，a+b1， 对于 A：，故 A 错误； 对于 B：，当且仅当 ab时，等号成立，故 B 正确； 对于 C：，故 C 正确； 对于 D： 圆心 （0， 0）到直线 ax+by10 的距离 d， （）， 故 D 错误； 故选：BC 10 正方体 ABCDA1B1C1D1中， E 是棱 DD1的中点， F 在侧面 CDD1C1上运动， 且满足 B1F平面 A1BE 以 下命题正确的有（ ） A侧面 CDD1C1上存在点 F，使得 B1FCD1 B直线 B1F 与直线 BC 所成角可能为 30 C平面 A1BE 与平面 CDD1C1所成锐二面角的正切值为 D设正方体棱长
17、为 1，则过点 E，F，A 的平面截正方体所得的截面面积最大为 解：作辅助线，I、J、N，分别为所在棱中点，P 点为 A1E 与 AD 延长线交点， BP 连线交 CD 于 G，则 G 为 CD 中点，K 为 IJ 中点，L 为 A1B 与 A1B 交点； 对于 A，当 F 取 IJ 中点 K 时，B1KIJ，IJCD1 所以 B1KCD1，B1KLM，LM平面 A1BE，B1K平面 A1BE，所以 A 对； 对于 B，因为 B1C1BC，所以 B1F 与直线 B1C1所成角即为 B1F 与直线 BC 所成角， 设成角为 ，在侧面 CDD1C1上存在点 F，使 C1F， 所以 tan，于是 3
18、0，所以 B 对； 对于 C，平面 AA1B1B平面 CDD1C1，所以平面 A1BE 与平面 CDD1C1所锐二面角， 即为平面 A1BE 与平面 AA1B1B 所成锐二面角，二面角的平面角即为PLA， 其正切值为，所以 C 对； 对于 D，因为过点 E，F，A 的平面截正方体所得的截面面积最大的截面为菱形 AEC1N， 其面积为，所以 D 对 故选：ABCD 11已知函数 f（x）sin（x+）（N）在区间，和上单调递增，下列说法 中正确的是（ ） A 的最大值为 3 B方程 f（x）log2x 在0，2上至多有 5 个根 C存在 和 使 f（x）sin（x+）为偶函数 D存在 和 使 f
19、（x）sin（x+）为奇函数 解：由函数 f（x）sin（x+） （N）在区间， 和 上单调递增， 可得当周期 T 最小时， 最大， 应有， 求得 3，故 的最大值为 3 故 A 正确； 若方程 f（x）log2x 在0，2上的根最多，则函数 f（x）sin（x+）的周期最小，即 3， 画出两个函数的图象，由图中可知至多有五个交点，故选项 B 正确； 因为函数 f（x）sin（x+）（N）在区间，上单调递增，故不可能存在 和 使 f（x） 为偶函数， 故选项 C 错误； 当 2 和 0 时，f（x）sin2x 为奇函数，满足题意，故选项 D 正确， 故选：ABD 12在一张纸上有一圆 C：（x
20、+2）2+y2r（r0）与点 M（m，0）（m2），折叠纸片，使圆 C 上某 一点 M恰好与点 M 重合，这样的每次折法都会留下一条直线折痕 PQ，设折痕 PQ 与直线 MC 的交点为 T，则下列说法正确的是（ ） A当2rm2+r 时，点 T 的轨迹为椭圆 B当 r1，m2 时，点 T 的轨迹方程为 C当 m2，1r2 时，点 T 的轨迹对应曲线的离心率取值范围为2，4 D 当 r2， m2 时， 在 T 的轨迹上任取一点 S， 过 S 作直线 yx 的垂线， 垂足为 N， 则SON （O 为坐标原点）的面积为定值 解：对于 A：当2rm2+r，点 M 在圆 C 内， 此时有|TM|+|TC
21、|CM|r|CM|， 故点 T 的轨迹是以 C，M 为焦点的椭圆，故 A 正确； 对于 B：当 r1，m2 时，点 M 在圆 C 外， 此时有|TM|TC|CM|r|CM|， 故 T 的轨迹为以点 C，M 为焦点的双曲线， 其中 2ar1，2cCM4， 故双曲线的方程为1，故 B 错误； 对于 C：当 m2，1r2 时，T 的轨迹是以 C，M 为焦点的双曲线， 方程为1， 所以离心率 e， 当 1r2 时，2e4，故 C 正确； 对于 D：当 r2，m2 时，T 的轨迹方程为 x2y22， 设 S（p，q），则 p2q22， 直线 SN 的方程为 yq（xp），它与 yx 的交点 N 的坐标为
22、（，）， 所以|ON|p+q|，|SN|， 所以 SSNO|ON|SN| 为定值，故 D 正确 故选：ACD 三、填空题（本大题共三、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 20 分请把答案填写在答题卡相应位置上）分请把答案填写在答题卡相应位置上） 13已知 为锐角且，则 tan 解：因为 为锐角且，可得cossin， 则 cossin， 两边平方，可得 12sincos，可得 2sincos， 所以 cos+sin， 由，可得 cos，sin， 可得 tan 故答案为： 14已知正整数 n7，若的展开式中不含 x4项，则 n 的值为 8 解：若展开式中不含 x4
23、项， 即（1x）n展开式中 x3项和 x5项的系数和为 0， 即+C0， 即C，则 n3+58， 故答案为：8 15已知函数则 x1，e时，f（x）的最小值为 4 ；设 g（x）f（x） 2 f（x）+a 若函数 g（x）有 6 个零点，则实数 a 的取值范围是 （0，） 解：当 x1，e时，f（x）lnx，此时函数在区间上单调递增，故此时函数最小值为 f（1）ln10， 当 x1，1）时，f（x）2x33x2+1，则 f（x）6x26x0 时，x1（舍）或 0， 且有 f（x）在（1，0）上单调递增，在（0，1）上单调递减， 因为 f（1）23+14f（1）， 故函数 f（x）在1，e上的最
24、小值为4； 令 tf（x），g（x）0 即 t2ta， 作出函数 yf（x）的图象，如图所示： 直线 yt 与函数 yf（x）的图象最多只有三个交点，所以 0t1， 即说明方程 t2ta 有两个（0，1）内的不等根， 亦即函数 yt2t 在（0，1）内的图象与直线 ya 有两个交点， 因为 yt2t（t）2 ，根据 yt2t 的图象可知， a0， 即实数 a 的取值范围为 0a 故答案为：4；（0，） 16如图，该图展现的是一种被称为“正六角反棱柱”的多面体，其由两个全等且平行的正六边形作为基 底，侧面由 12 个全等的以正六边形的边为底的等腰三角形组成若某个正六角反棱柱各棱长均为 1，则 其
25、外接球的表面积为 解：作出该几何体在下底面的投影图如图， 正六角反棱柱各棱长均为 1，OA1，OB，则 AB1， 过侧面任意一三角形上顶点作底面垂线，设垂足为 A，d 为上下两底面距离， 则， 设球的半径为 R，则有， 其外接球的表面积为 S4（） 故答案为： 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 6 小题，共计小题，共计 70 分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤）程或演算步骤） 17已知数列an满足 a13，an+12ann+1 （1）求数列an的通项公式； （2）若数列cn满足 cn ，求数列cn的
26、前 n 项和 Tn 解：（1）数列an中， a n+12ann+1， a n+1（n+1）2（ann），又 a13，a112， 数列ann是首项与公比均为 2 的等比数列， ann2n， an2n+n； （2）an2n+n， cn ， Tnc1+c2+cn（ ）+（）+（） 即数列cn的前 n 项和 Tn 18在ABC 中，它的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 B，b （）若 cosAcosC，求ABC 的面积； （）试问1 能否成立？若能成立，求此时ABC 的周长；若不能成立，请说明理由 解：（）由 B，可得 A+C， 所以 cos（A+C）cosAcosCsinAsinC，即
27、， 又因为 cosAcosC，所以 sinAsinC， 因为， 所以， 所以； （）假设能成立，所以 a+cac， 由余弦定理，b2a2+c22accosB， 所以 6a2+c2+ac，所以（a+c）2ac6， 故（ac）2ac60，解得 ac3 或 ac2（舍）， 此时 a+cac3，不满足， 所以假设不成立，故不成立 19在四棱锥 PABCD 中，平面 PAD平面 ABCD，底面 ABCD 为直角梯形，BCAD，ADC90， BCCD1，PAPDAD2，E 为线段 AD 的中点，过 BE 的平面与线段 PD，PC 分别交于点 G，F （）求证：GFPA； （）在棱 PD 上是否存在点 G，
28、使得直线 PB 与平面 BEGF 所成角的正弦值为，若存在，请确定 G 点的位置；若不存在，请说明理由 【解答】（）证明：因为，且 E 为线段 AD 的中点，所以 BCDE 又 BCAD，所以四边形 BCDE 为平行四边形，所以 BECD 又 CD平面 PCD，BE平面 PCD，所以 BE平面 PCD 又 BE平面 BEGF，平面 BEGF平面 PCDGF，所以 BEGF 又平面 PAD平面 ABCD，BE平面 BEGF，BEAD， 平面 PAD平面 ABCDAD， 所以 BE平面 PAD，又因为 BEGF， 所以 GF平面 PAD，又 PA平面 PAD， 所以 GFPA （）解：存在，G 为
29、棱 PD 上靠近 D 点的三等分点 因为 PAPD，E 为线段 AD 的中点，所以 PEAD，又平面 PAD平面 ABCD，所以 PE平面 ABCD 如图，以 E 为坐标原点，、的方向为 x，y，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 E xyz， 则，B（0，1，0），E（0，0，0），D（1，0，0）， 所以， 设，得，所以， 设平面 BEGF 的法向量为，则，即， 令，可得为平面 BEGF 的一个法向量， 设直线 PB 与平面 BEGF 所成角为 ， 于是有； 解得或 1（舍去）， 所以存在点，使得直线 PB 与平面 BEGF 所成角的正弦值为， 故 G 为棱 PD 上靠近 D 点的
30、三等分点 20已知椭圆 C：1（ab0）的右焦点为 F（1，0），且过点 A（2，0） （1）求 C 的方程； （2）点 P、Q 分别在 C 和直线 x4 上，OQAP，M 为 AP 的中点，求证：直线 OM 与直线 QF 的交点 在某定曲线上 解：（1）由题意可知：A（2，0）为椭圆的左顶点，故 a2， 又 F（1，0）为 C 的右焦点，所以 a2b21，于是 b23， 故椭圆 C 的方程为：； （2）证明：设 P（x0，y0）（x02），则 M（ ）， 直线 AP 的斜率 k， 又 OQAP，所以直线 OQ 的方程为 yx， 令 x4 得 Q（4，）， 所以（*）， 又 P 在椭圆 C 上
31、，所以，代入（*）得： ，所以 OMFQ， 故直线 OM 与 FQ 的交点在以 OF 为直径的圆上，且该圆的方程为：（x）， 即直线 OM 与直线 FQ 的交点在某定曲线（x）上 21定向越野起源于欧洲，是一种借助地图，指南针，在一个划定的区域内，通过对地形地貌的判断设 计合理路线到达各个目标点位，最后到达终点的运动，湖南青葵定向体育发展有限公司为了推广定向活 动，对学生群体进行定向越野的介绍和培训，并对初步了解了定向活动的学生是否会参加定向越野活动 进行调查随机抽取了 200 位中小学生进行调查、得到如下数据：准备参加定向越野的小学生有 80 人， 不准备参加定向越野的小学生有 40 人，准
32、备参加定向越野的中学生有 40 人 （1）完成下列 22 列联表，并根据列联表判断是否有 97.5%的把握认为这 200 位参与调查的中小学生 是否准备参加定向越野与中小学生年龄有关 准备参加定向越野 不准备参加定向越野 合计 小学生 中学生 合计 （2）为了储备定向后备力量，备战全国赛，提高会员定向水平俱乐部将小学生会员分组进行比赛两 人一组，每周进行一轮比赛，每小组两人每人跑两张地图（跑一张地图视为一次），达到教练设定的成 绩标准的次数之和不少于 3 次称为“优秀小组”小超与小红同一小组，小超、小红达到教练设定的成 绩标准的概率分别为 p1，p2，且，理论上至少要进行多少轮比赛，才能使得小
33、超、小红小组 在比赛中获得“优秀小组”次数的期望值达到 16 次？并求此时 p1，p2的值 附： P（K2k0） 0.50 0.25 0.05 0.025 0.010 k0 0.455 1.323 3.840 5.024 6.635 解：（1）由题意得 22 列联表如下图： 准备参加定向越野 不准备参加定向越野 合计 小学生 80 40 120 中学生 40 40 80 合计 120 80 200 K2 5.5565.024， 有 97.5%的把握认为这 200 位参与调查的中小学生是否准备参加定向越野与中小学生年龄有关 （2）他们在一轮游戏中获“优秀小组”的概率为： P + 2 ， ， P，
34、 0p21， ， 01， 又0p11， ， 可看成关于 p1的二次函数，当时，（p1p2）max， 当 p1或 p11 时， ， ， 令 tp1p2， ， Ph（t）， 当 t时，Pmax， 他们小组在 n 轮游戏中获“优秀小组”次数 满足 B（n，p）， 由（np）max16，则 n27， 理论上至少要进行 27 轮比赛，才能使得小超、小红小组在比赛中获得“优秀小组”次数的期望值达到 16 次， 此时 p1+p2，p1p2 ，p1p2 22设 f（x）ln（x1），g（x），a 是常数 （1）当 x2 时，若 f（x）g（x）恒成立，求 a 的取值范围； （2）当 x0 时，证明不等式：ex
35、ln（x+1）x2+ 解：（1）由于 f（x）ln（x1），g（x）， 若当 x2 时，f（x）g（x）恒成立， 则当 x2 时，ln（x1）恒成立， 即当 x2 时，xln（x1）a（x2）0 恒成立， 令 G（x）xln（x1）a（x2）， G（x）ln（x1）+a（x2）， 令 M（x）ln（x1）+a（x2）， 所以 M（x）0， 故 G（x）在（2，+）上单调递增，且 G（2）2a， 当 2a0 时，由于 G（2）0，且 G（x）在（2，+）上单调递增， x+时，G（x）+， 所以存在 x0（2，+），使得 G（x）0， 所以 x（2，x0）时，G（x）0，G（x）单调递减， 在 x
36、（x0，+）时，G（x）0，G（x）单调递增， 所以 xx0时，G（x）取得最小值 G（x0）x0ln（x01）a（x02）， 因为 G（2）2ln1a（22）0，且 G（2）G（x0）， 所以 G（x0）0，不符合题意， 当 2a0 时，由于 G（2）0，G（x）G（2）0， 所以 G（x）在（2，+）上单调递增， 所以 G（x）最小值为 G（2）0， 所以 G（x）G（2）0， 综上所述，a 的取值范围为 a2 （2）证明：由（1）可知当 a2 时，当 x2 时，f（x）g（x）恒成立，即 ln（x1）， 当 x0 时，x+22，所以 ln（x+1）， 所以 exln（x+1） ， 令 h（x）x2+， 令 g（x）2exx22x2， 则 g（x）2ex2x2， 令 h（x）2ex2x2， h（x）ex1， 当 x0 时，h（x）0，h（x）单调递增， 所以 h（x）h（0）0，即 g（x）0，g（x）单调递增， 所以 g（x）g（0）0，h（x）h（0）， 所以x2+， 所以 exln（x+1） x2+ ， 所以 exln（x+1）x2+ ，得证
浙公网安备33030202001339号