1、2021 年河北省衡水市五校高考数学联考试卷（一）年河北省衡水市五校高考数学联考试卷（一） 一、选择题（共一、选择题（共 8 小题）小题）. 1已知集合 Ax|yln（x1），集合，则 AB（ ） A B1，4） C（1，4） D（4，+） 2下面是关于复数 z（i 为虚数单位）的命题，其中假命题为（ ） A|z| Bz22i Cz 的共轭复数为 1+i Dz 的虚部为1 3公元前十一世纪，周朝数学家商高就提出“勾三、股四、弦五”周髀算经中记录着商高同周公的 一段对话商高说：“故折矩，勾广三，股修四，径隅五”大意为“当直角三角形的两条直角边分别 为 3（勾）和 4（股）时，径隅（弦）则为 5”
2、以后人们就把这个事实说成“勾三股四弦五”，根据该 典故称勾股定理为商高定理勾股数组是满足 a2+b2c2的正整数组（a，b，c）若在不超过 10 的正整 数中，随机选取 3 个不同的数，则能组成勾股数组的概率是（ ） A B C D 4要测定古物的年代，可以用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放射性 14C，动植物死亡后，停 止新陈代谢，14C 不再产生，且原有的 14C 会自动衰变经科学测定，14C 的半衰期为 5730（设14C 的原 始量为 1，经过 x 年后，14C 的含量 f（x）ax，即 f（5730）现有一古物，测得 14C 为原始量的 79.37%，则该古物距今约多少年？（
3、 ）（参考数据：0.7937，0.9998） A1910 B3581 C9168 D17190 5函数 f（x）（x，0）（0，）的图象大致是（ ） A B C D 6已知向量 （cos，2）， （sin，1），且 ，则 2 sin cos 等于（ ） A B3 C3 D 7已知锐角ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若ABC 的面积，则 sin（2A C）的取值范围是（ ） A（1，1） B C D 8已知定义在，e上的函数 f（x）满足，且当 x，1时，f（x）xlnx+1，若方程 f（x） xa0 有三个不同的实数根，则实数 a 的取值范围是（ ） A（， B（， C
4、（， D（， 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题分，共小题，每小题分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选 对的得对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分. 92020 年的“金九银十”变成“铜九铁十”，全国各地房价“跳水”严重，但某地二手房交易却“逆市” 而行下图是该地某小区 2019 年 12 月至 2020 年 12 月间，当月在售二手房均价（单位：万元/平方米） 的散点图（图中月份代码 113 分别对应 2019 年 12 月2020 年 1
5、2 月） 根据散点图选择和 yc+dlnx 两个模型进行拟合，经过数据处理得到的两个回归方程分别为 和，并得到以下一些统计量的值： R2 0.923 0.973 注： 是样本数据中 x 的平均数， 是样本数据中 y 的平均数，则下列说法正确的是（ ） A当月在售二手房均价 y 与月份代码 x 呈负相关关系 B由 预测 2021 年 3 月在售二手房均价约为 1.0509 万元/平方米 C曲线与 都经过点（ ， ） D模型回归曲线的拟合效果比模型 的好 10已知 ， 是两个不重合的平面，m，n 是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ） A若 mn，m，n，则 B若 m，n，则 mn C若 ，
6、m，则 m D若 mn，则 m 与 所成的角和 n 与 所成的角相等 11已知函数 f（x）ex+alnx，其中正确结论的是（ ） A当 a1 时，f（x）有最大值 B对于任意的 a0，函数 f（x）是（0，+）上的增函数 C对于任意的 a0，函数 f（x）一定存在最小值 D对于任意的 a0，都有 f（x）0 12 已知抛物线 x2y 的焦点为 F， M （x1， y1） ， N （x2， y2） 是抛物线上两点， 则下列结论正确的是 （ ） A点 F 的坐标为（，0） B若直线 MN 过点 F，则 x1x2 C若，则|MN|的最小值为 D若|MF|+|NF|，则线段 MN 的中点 P 到 x
7、 轴的距离为 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13已知双曲线 C 的离心率为，写出双曲线 C 的一个标准方程 14 党的十九大报告提出 “乡村振兴战略” ， 要 “推动城乡义务教育一体化发展， 高度重视农村义务教育” 为 了响应报告精神，某师范大学 5 名毕业生主动申请到某贫困山区的乡村小学工作、若将这 5 名毕业生分 配到该山区的 3 所乡村小学，每所学校至少分配 1 人最多分配 2 人，则分配方案的总数为 15已知 O 为坐标原点，直线 l 与圆 x2+y26y+50 交于 A、B 两点，|AB|2，点 M 为线段 AB
8、的中点则 点 M 的轨迹方程是 ，的取值范围为 16对于函数 yf（x）与 yg（x），若存在 x0，使 f（x0）g（x0），则称 M（x0，f（x0），N（ x0，g（x0）是函数 f（x）与 g（x）图象的一对“隐对称点”已知函数 f（x）m（x+1），g（x） ，函数 f（x）与 g（x）的图象恰好存在两对“隐对称点”，则实数 m 的取值范围为 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17在cos（B）+cosB，asinA+c（sinCsinA）bsinB， tanA+t
9、anB 这三个条件 中，任选一个，补充在下面问题中 问题：在ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 所对的边，b2，_ （1）求角 B； （2）求 a+2c 的最大值 18已知数列an中，a11，an+1 （1）求证：为等比数列，并求an的通项公式； （2）数列bn满足 bn（3n1） ，数列bn的前 n 项和为 Tn，若不等式（1）nTn+ 对一切 nN*恒成立，求 的取值范围 19在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，ABBDDA2，BCCD2 （1）求证：平面 PAC平面 PBD； （2）若直线 CD 与平面 PBC 所成角的正弦值为，求平面 PCD 与平面 PBC 所成锐
10、二面角的余弦值 202020 年 5 月 28 日，十三届全国人大三次会议表决通过了中华人民共和国民法典，自 2021 年 1 月 1 日起施行中华人民共和国民法典被称为“社会生活的百科全书”，是新中国第一部以法典命名 的法律，在法律体系中居于基础性地位，也是市场经济的基本法为了增强学生的法律意识，了解法律 知识，某校组织全校学生进行学习中华人民共和国民法典知识竞赛，从中随机抽取 100 名学生的成 绩（单位：分）统计得到如表表格： 成绩 性别 0，60） 60，70） 70，80） 80，90） 90，100 男 5 14 16 13 4 女 3 11 13 15 6 规定成绩在90，100
11、内的学生获优秀奖 （1）根据以上成绩统计，判断是否有 90%的把握认为该校学生在知识竞赛中获优秀奖与性别有关？ （2）在抽取的 100 名学生中，若从获优秀奖的学生中随机抽取 3 人进行座谈，记 X 为抽到获优秀奖的 女生人数，求 X 的分布列和数学期望 附： P（K2k） 0.1 0.01 0.001 k 2.706 6.635 10.828 K2 21已知 O 为坐标原点，椭圆，点 D，M，N 为 C 上的动点，O，M，N 三点共线，直线 DM， DN 的斜率分别为 k1，k2（k1k20） （1）证明：； （2）当直线 DM 过点（1，0）时，求+的最小值； （3）若 k1+k20，证明
12、：|OD2|+|OM|2为定值 22已知函数 f（x）（x2）ex1x2+x+，g（x）ax2x+4acosx+ln（x+1），其中 aR （1）讨论函数 f（x）的单调性，并求不等式 f（x）0 的解集； （2）用 maxm，n表示 m，n 的最大值，记 F（x）maxf（x），g（x），讨论函数 F（x）的零点个 数 参考答案参考答案 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的求的. 1已知集合 Ax|yln（x1），集合，则 AB（ ）
13、 A B1，4） C（1，4） D（4，+） 解：Ax|x1，By|0y4， AB（1，4） 故选：C 2下面是关于复数 z（i 为虚数单位）的命题，其中假命题为（ ） A|z| Bz22i Cz 的共轭复数为 1+i Dz 的虚部为1 解：复数 z1i， 所以|z|正确；z2（1i）21+2i+i22i 正确，z 的共轭复数为：1+i，所以 C 不正确；z 的虚 部为1，正确； 故选：C 3公元前十一世纪，周朝数学家商高就提出“勾三、股四、弦五”周髀算经中记录着商高同周公的 一段对话商高说：“故折矩，勾广三，股修四，径隅五”大意为“当直角三角形的两条直角边分别 为 3（勾）和 4（股）时，径
14、隅（弦）则为 5”以后人们就把这个事实说成“勾三股四弦五”，根据该 典故称勾股定理为商高定理勾股数组是满足 a2+b2c2的正整数组（a，b，c）若在不超过 10 的正整 数中，随机选取 3 个不同的数，则能组成勾股数组的概率是（ ） A B C D 解：在不超过 10 的正整数中，随机选取 3 个不同的数， 基本事件总数 n120， 能组成勾股数组的有：（3，4，5），（6，8，10），共 2 个， 则能组成勾股数组的概率是 p 故选：C 4要测定古物的年代，可以用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放射性 14C，动植物死亡后，停 止新陈代谢，14C 不再产生，且原有的 14C 会自动衰
15、变经科学测定，14C 的半衰期为 5730（设14C 的原 始量为 1，经过 x 年后，14C 的含量 f（x）ax，即 f（5730）现有一古物，测得 14C 为原始量的 79.37%，则该古物距今约多少年？（ ）（参考数据：0.7937，0.9998） A1910 B3581 C9168 D17190 解：设 14C 的原始量为 1，经过 x 年后，14C 的含量 f（x）ax， 由题意可知：f（5730），即， ， 令 f（x）0.7937，得：ax0.7937， xloga0.7937 1910， 该古物距今约 1910 年 故选：A 5函数 f（x）（x，0）（0，）的图象大致是（
16、） A B C D 解：f（x）f（x）， 函数 f（x）为偶函数，其图象关于 y 轴称，故排除 A， f（）1，f（）1， f（）f（），故排除 CD， 故选：B 6已知向量 （cos，2）， （sin，1），且 ，则 2sin cos 等于（ ） A B3 C3 D 解：向量 （cos，2）， （sin，1），且 ， cos2sin， sincos0 sin2+cos21， sin2，cos2 ， 4sin2cos2 ， 2sincos 故选：A 7已知锐角ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若ABC 的面积，则 sin（2A C）的取值范围是（ ） A（1，1） B
17、C D 解：因为， 所以，由 B 为锐角，可得， 因为ABC 为锐角三角形， 所以， 所以， 可得， 所以 故选：B 8已知定义在，e上的函数 f（x）满足，且当 x，1时，f（x）xlnx+1，若方程 f（x） xa0 有三个不同的实数根，则实数 a 的取值范围是（ ） A（， B（， C（， D（， 解：因为，且当时，f（x）xlnx+1， 所以当 x（1，e时， 则， 当时，f（x）1+lnx0，则 f（x）在上单调递增， 当 x（1，e时，f（x），则 f（x）在（1，e上单调递减， 因为方程有三个不同的实数根， 所以函数 f（x）的图像和直线 y有三个不同的交点， 作出函数 f（x）
18、的大致图像如图所示， 当直线和 f（x）的图像相切时，结合图像，设切点为（x0，y0）， 由方程，可得， 代入方程，可得， 当直线过点时， 由图可知，实数 a 的取值范围为 故选：D 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题分，共小题，每小题分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选 对的得对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分. 92020 年的“金九银十”变成“铜九铁十”，全国各地房价“跳水”严重，但某地二手房交易却“逆市” 而行下图是该地某小区 20
19、19 年 12 月至 2020 年 12 月间，当月在售二手房均价（单位：万元/平方米） 的散点图（图中月份代码 113 分别对应 2019 年 12 月2020 年 12 月） 根据散点图选择和 yc+dlnx 两个模型进行拟合，经过数据处理得到的两个回归方程分别为 和，并得到以下一些统计量的值： R2 0.923 0.973 注： 是样本数据中 x 的平均数， 是样本数据中 y 的平均数，则下列说法正确的是（ ） A当月在售二手房均价 y 与月份代码 x 呈负相关关系 B由 预测 2021 年 3 月在售二手房均价约为 1.0509 万元/平方米 C曲线与 都经过点（ ， ） D模型回归曲
20、线的拟合效果比模型 的好 解：由散点图可知，y 随 x 的增加而增加，故 A 错误； 2021 年 3 月，此时 x16，代入，求得 1.0509，故 B 正确； 曲线经过点（， ），曲线经过点（ln ， ），故 C 错误； 因为 0.9730.923， 所以模型回归曲线的拟合效果比模型 的好，故 D 正确 故选：BD 10已知 ， 是两个不重合的平面，m，n 是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ） A若 mn，m，n，则 B若 m，n，则 mn C若 ，m，则 m D若 mn，则 m 与 所成的角和 n 与 所成的角相等 解：A满足 mn，m，n 时，得不出 ， 与 可能平行，如图所示
21、： 该选项错误； Bn，设过 n 的平面 与 交于 a，则 na，又 m，ma，mn，该选项正确； C， 内的所有直线都与 平行，且 m，m，该选项正确； D根据线面角的定义即可判断该选项正确 故选：BCD 11已知函数 f（x）ex+alnx，其中正确结论的是（ ） A当 a1 时，f（x）有最大值 B对于任意的 a0，函数 f（x）是（0，+）上的增函数 C对于任意的 a0，函数 f（x）一定存在最小值 D对于任意的 a0，都有 f（x）0 解：当 a1 时，f（x）ex+lnx，易知函数 f（x）在（0，+）上单调递增，无最大值，故 A 错误， 对于任意的 a0，函数 f（x）是（0，+
22、）上的增函数， 当 x0 时，ex1，lnx，故 f（x），故 B 正确，D 错误， 对于任意的 a0，易知 f（x）在（0，+）单调递增， 当 x+时，f（x）+，当 x0 时，f（x）， 存在 f（x0）0， 当 0 xx0时，f（x）0，函数单调递减， x0 x+，f（x）0，函数单调递增， f（x）minf（x0）， 故 C 正确， 故选：BC 12 已知抛物线 x2y 的焦点为 F， M （x1， y1） ， N （x2， y2） 是抛物线上两点， 则下列结论正确的是 （ ） A点 F 的坐标为（，0） B若直线 MN 过点 F，则 x1x2 C若，则|MN|的最小值为 D若|MF|
23、+|NF|，则线段 MN 的中点 P 到 x 轴的距离为 解：抛物线 x2y 的焦点为 F（0， ），所以 A不正确； 根据抛物线的性质可得：MN 过 F 时，则 x1x2，所以 B 正确； 若，则|MN|的最小值为抛物线的通径长，为 2p，所以 C 正确； 抛物线 x2y 的焦点为 F（0， ），准线方程为 y， 过点 M、N、P 分别作准线的垂线 MM，NN，PP， 则|MM|MF|，|NN|NF|，|MM|+|NN|MF|+|NF|， 所以|PP|， 所以线段 MN 的中的 P 到 x 轴的距离为|PP|，所以 D 正确； 故选：BCD 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每
24、小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13已知双曲线 C 的离心率为，写出双曲线 C 的一个标准方程 x2 解： 双曲线 C 的离心率为， 不妨 a1， 则 c， 此时 b2， 所以所求的双曲线方程为： x2 故答案为：x2（答案不唯一） 14 党的十九大报告提出 “乡村振兴战略” ， 要 “推动城乡义务教育一体化发展， 高度重视农村义务教育” 为 了响应报告精神，某师范大学 5 名毕业生主动申请到某贫困山区的乡村小学工作、若将这 5 名毕业生分 配到该山区的 3 所乡村小学，每所学校至少分配 1 人最多分配 2 人，则分配方案的总数为 90 解：根据题意，将 5 名应届大学毕业生
25、按 2、2、1 分组，则方法数为15 种， 再分配到该山区的 3 所乡村小学，共有 A336 种， 根据分步计数原理，共有 15690 种， 故答案为：90 15已知 O 为坐标原点，直线 l 与圆 x2+y26y+50 交于 A、B 两点，|AB|2，点 M 为线段 AB 的中点则 点 M 的轨迹方程是 x2+（y3）23 ，的取值范围为 62 ，6+2 解：圆方程可化为 x2+（y3）24，则圆心 C（0，3），半径 r2，设 M（x，y）， 则 CM2r2 3，即 x2+（y3）23，所以 M 点的轨迹方程为 x2+（y3）23， 因为 M 点在 x2+（y3）23 上运动，所以|最大值
26、 3+ ，最小值 3， 则2|62，6+2， 故答案为：x2+（y3）23；62 ，6+2 16对于函数 yf（x）与 yg（x），若存在 x0，使 f（x0）g（x0），则称 M（x0，f（x0），N（ x0，g（x0）是函数 f（x）与 g（x）图象的一对“隐对称点”已知函数 f（x）m（x+1），g（x） ， 函数 f （x） 与 g （x） 的图象恰好存在两对 “隐对称点” ， 则实数 m 的取值范围为 （1， 0） 解：由题意得 ym（x1）与 y的图象有两个交点， 令 h（x），则 h（x） 当 x（0，e）时，h（x）0，h（x）单调递增，当 x（e，+）时，h（x）0，h（x）
27、单调递减 又 ym（x1）恒过点（1，0），当 x1 时，h（x）0， 在同一坐标系中做出函数的图象，如图， 由图象知，若函数 ym（x1）与 y的图象有两个交点，则 m0， 当直线 ym（x1）与函数 y相切时，由 h（x）1，得m1， 0m1，即 m（1，0） 故答案为：（1，0） 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17在cos（B）+cosB，asinA+c（sinCsinA）bsinB， tanA+tanB 这三个条件 中，任选一个，补充在下面问题中 问题：在ABC
28、中，a，b，c 分别为角 A，B，C 所对的边，b2，_ （1）求角 B； （2）求 a+2c 的最大值 解：（1）选择：由 cos（B）+cosB，可得cosB+sinB+cosB， 即sinBcosB，即 sin（B）， 因为 0B，所以B，故 B，所以 B 选择：由于 asinA+c（sinCsinA）bsinB， 由正弦定理可得 a2+c2b2ac， 由余弦定理，可得 cosB， 因为 0B，所以 B 选择：因为tanA+tanB， 由正弦定理可得， 又 tanA+tanB， 由tanA+tanB，可得， 因为 sinC0， 所以 tanB， 因为 0B， 所以 B （2）在ABC 中
29、，由（1）及 b2，4， 故 a4sinA，c4sinC， 所以 a+2c4sinA+8sinC4sinA+8sin（A）4sinA+4cosA+4sinA8sinA+4cosA4sin （A+）， 因为 0A，且 为锐角， 所以存在角 A 使得 A+， 所以 a+2c 的最大值为 4 18已知数列an中，a11，an+1 （1）求证：为等比数列，并求an的通项公式； （2）数列bn满足 bn（3n1） ，数列bn的前 n 项和为 Tn，若不等式（1）nTn+ 对一切 nN*恒成立，求 的取值范围 【解答】证明：（1）由0，得1+， 3（）， 数列以为首项，3 为公比的等比数列， 3n 1 ，
30、 ， （2）， 所以 两式相减得 ， 所以 ，所以 令 ，易知 f（n） 单调递增， 若 n 为偶数，则 ，所以 3； 若 n 为奇数，则 ，所以2，所以 2 所以23 19在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，ABBDDA2，BCCD2 （1）求证：平面 PAC平面 PBD； （2）若直线 CD 与平面 PBC 所成角的正弦值为，求平面 PCD 与平面 PBC 所成锐二面角的余弦值 【解答】（1）证明：连接 AC， ABBDDA2，BCCD2， ABD 为等边三角形，BCD 为等腰三角形， ACBD， PA平面 ABCD，BD平面 ABCD， PABD， 又 ACPAA，AC、PA平
31、面 PAC， BD平面 PAC， BD平面 PBD， 平面 PAC平面 PBD （2）解：以 A 为原点，AD，AP 为 y、z 轴，在平面 ABCD 内，作 Ax面 PAD，建立如图所示的空间直 角坐标系， 设 PAa（a0），则 P（0，0，a），B（3，0），C（2，2，0），D（0，2，0）， （2，0，0），（1，0），（2，2，a）， 设平面 PBC 的法向量为 （x，y，z），则，即， 令 y1，则 x，z， （，1，）， 直线 CD 与平面 PBC 所成角的正弦值为， |cos， |， 解得 a2 或2（舍负）， （2，2，2）， （，1，2）， 同理可得，平面 PCD 的法向
32、量 （0，1，）， cos ， ， 故平面 PCD 与平面 PBC 所成锐二面角的余弦值为 202020 年 5 月 28 日，十三届全国人大三次会议表决通过了中华人民共和国民法典，自 2021 年 1 月 1 日起施行中华人民共和国民法典被称为“社会生活的百科全书”，是新中国第一部以法典命名 的法律，在法律体系中居于基础性地位，也是市场经济的基本法为了增强学生的法律意识，了解法律 知识，某校组织全校学生进行学习中华人民共和国民法典知识竞赛，从中随机抽取 100 名学生的成 绩（单位：分）统计得到如表表格： 成绩 0，60） 60，70） 70，80） 80，90） 90，100 性别 男 5
33、 14 16 13 4 女 3 11 13 15 6 规定成绩在90，100内的学生获优秀奖 （1）根据以上成绩统计，判断是否有 90%的把握认为该校学生在知识竞赛中获优秀奖与性别有关？ （2）在抽取的 100 名学生中，若从获优秀奖的学生中随机抽取 3 人进行座谈，记 X 为抽到获优秀奖的 女生人数，求 X 的分布列和数学期望 附： P（K2k） 0.1 0.01 0.001 k 2.706 6.635 10.828 K2 解：（1）依题意得列联表如下： 获优秀奖 未获优秀奖 合计 男 4 48 52 女 6 42 48 合计 10 90 100 假设 H0：“该校学生在知识竞赛中获优秀奖与
34、性别无关”， 当 H0成立时，P（K22.706）0.1， 将列联表中的数据代入公式，计算得： K20.6412.706， 小概率事件没有发生，接受假设 H0， 没有 90%的把握认为该校学生在知识竞赛中获优秀奖与性别有关 （2）依题意 X 的所有可能取值为 0，1，2，3， P（X0）， P（X1）， P（X2）， P（X3）， X 的分布列为： X 0 1 2 3 P E（X） 21已知 O 为坐标原点，椭圆，点 D，M，N 为 C 上的动点，O，M，N 三点共线，直线 DM， DN 的斜率分别为 k1，k2（k1k20） （1）证明：； （2）当直线 DM 过点（1，0）时，求+的最小值
35、； （3）若 k1+k20，证明：|OD2|+|OM|2为定值 解：（1）证明：设 M，O，N 三点共线，且 MN 在椭圆 C 上， M，N 关于原点对称，设 D（x1，y1），M（x0，y0），则 N（x0，y0）， 所以+y121，+y021， 即 y121 ，y021 ， 所以 （2）设 DM 方程为：yk1（x1），即 k1xyk10， 联立，消 y 可得， 所以， 所以， 所以， 所以 ， 所以， 令，则， ，当且仅当 t2，时取等， 所以+的最小值为 8 （3）证明：因为， 所以或， 不妨设， 设， 联立，消 y 可得 x2+2mx+2m220， 所以， 所以， 所以|OD|2+|
36、OM|2xD2+yD2+xM2+yM24+15 22已知函数 f（x）（x2）ex1x2+x+，g（x）ax2x+4acosx+ln（x+1），其中 aR （1）讨论函数 f（x）的单调性，并求不等式 f（x）0 的解集； （2）用 maxm，n表示 m，n 的最大值，记 F（x）maxf（x），g（x），讨论函数 F（x）的零点个 数 解：（1）f（x）（x1）ex1x+1（x1）（ex11）， 当 x1 时，x10，ex110，则 f（x）0， 当 x1 时，x10，ex110，则 f（x）0， 当 x1 时，f（1）0， 所以当 xR 时，f（x）0，f（x）在 R 上是增函数， 又 f
37、（1）0，所以 f（x）0 的解集为（1，+） （2）函数 F（x）的定义域为（1，+）， 由（1）得函数 f（x）在 R 上单调递增，f（1）0， 当 x1 时，f（x）0，又 F（x）maxf（x），g（x）， 所以当 x1 时，F（x）0 恒成立，即 x1 时，F（x）0 无零点， 当1x1 时，f（x）0 恒成立， 所以 F（x）的零点即为函数 g（x）的零点， 下面讨论函数 g（x）在1x1 的零点个数： g（x）2ax14asinx+， 所以 g（x）2a4acosx（1x1）， 当 a0 时，因为1x1，cosx（cos1，1）， 又函数 ycosx 在区间（0，）单调递减， 所
38、以 cos1cos， 即当1x1 时，12cosx0，g（x）2a（1cosx）0， 所以 g（x）单调递减，由 g（0）0 得： 当1x0 时，g（x）0，g（x）单调递增， 当 0 x1 时，g（x）0，g（x）单调递减， 当 x1 时，ln（x+1）x， 所以 g（x）， 当 x0 时，g（0）4a0， 有 g（1）a1+4acos1+ln2，f（1）0， 当 g（1）0a时，函数 F（x）有 1 个零点， 当 g（1）0a时，函数 F（x）有 2 个零点， 当 g（1）00a时，函数 F（x）有 3 个零点， 当 a0 时，g（x）ln（x+1）x， 由得当1x0，g（x）0，g（x）单调递增， 当 0 x1 时，g（x）0，g（x）单调递减， 所以 g（x）maxg（0）0，g（1）ln210， 所以当 a0 时，函数 F（x）有两个零点， 当 a0 时，g（x）a（x2+4cosx）x+ln（x+1）， a（x2+4cosx）0，x+ln（x+1）0，即 g（x）0 成立，由 f（1）0， 所以当 a0 时，函数 F（x）有 1 个零点， 综上所述：当 a或 a0 时，函数 F（1）有 1 个零点， 当 a或 a0 时，函数 F（x）有 2 个零点， 当 0a时，函数 F（x）有 3 个零点
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