1、2021 年湘豫名校联盟高考数学联考试卷（文科）（年湘豫名校联盟高考数学联考试卷（文科）（3 月份）月份） 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 5 分）分）. 1已知全集 U，集合 M，N 是 U 的子集，且 MN，则下列结论中一定正确的是（ ） A（UM）（UN）U BM（UN） CM（UN）U D（UM）N 2在复平面内，若复数 z 与表示的点关于虚轴对称，则复数 z（ ） Ai B i Ci Di 3关于 x 的方程 x2ax+b0，有下列四个命题： 甲：x1 是方程的一个根；乙：x4 是方程的一个根； 丙：该方程两根之和为 3；丁：该方程两根异号 如果只有一个假命题，则假命题是（ ）
2、 A甲 B乙 C丙 D丁 4在平面直角坐标系中定义点 P（x，y）的“准奇函数点”为 P（2ax，2by），若函数 C 上所有点 的“准奇函数点”都在函数 C 上，则称函数 C 为“准奇函数”下列函数不是“准奇函数”的是（ ） Af（x）cos（x+1） Bf（x） Cf（x）e|x| Df（x）x 5已知空间中不重合的直线 a，b 和不重合的平面 ，下列判断正确的是（ ） A若 a，b，则 ab B若 ab，b，则 a C若 ab，a，则 b D若 a，a，则 6已知单位向量 ， 满足 0，若向量 +，则 sin ， （ ） A B C D 7已知 x，y 满足约束条件，则 z2x+y 的最
3、大值是（ ） A1 B2 C5 D7 8下列函数中，同时满足以下两个条件“xR，f（+x）+f（x）0”；“将图象向左 平移个单位长度后得到的图象对应函数为 g（x）cos2x”的一个函数是（ ） Asin（2x+） Bcos（2x+） Ccos（2x+） Dsin（2x+） 9在平面直角坐标系 xOy 中，A（3，0），B（0，3），点 M 满足，x+y1，点 N 为曲线 y 上的动点，则|MN|的最小值为（ ） A 1 B C D 1 10已知双曲线 T 的焦点在 x 轴上，对称中心为原点，ABC 为等边三角形若点 A 在 x 轴上，点 B，C 在双曲线 T 上，且双曲线 T 的虚轴为AB
4、C 的中位线，则双曲线 T 的渐近线方程为（ ） Ay By Cy Dy 11已知正方体棱长为 6，如图，有一球的球心是 AC1的中点，半径为 2，平面 B1D1C 截此球所得的截面面 积是（ ） A B7 C4 D3 12数列an各项均是正数，a1，a2，函数 yx3在点（an，an3）处的切线过点（an+22an+1， an3），则下列命题正确的个数是（ ） a3+a418； 数列an+an+1是等比数列； 数列an+13an是等比数列； an3n1 A1 B2 C3 D4 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13函数
5、f（x）3xcosx 在（0，f（0）处的切线与直线 2xmy+10 垂直，则实数 m 的值为 14已知函数 f（x）满足 f（x）+f（x）2，g（x）+1，yf（x）与 yg（x）交于点（x1，y1）， （x2，y2），则 y1+y2 15已知等比数列an满足 a1a3，a2a4，则使得 a1a2an取得最小值的 n 为 16已知过点 A（2，2）作直线 AB，AC 与圆 x2+（y2）21 相切，且交抛物线 x22y 于 B，C 两点，则 BC 的直线方程为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演
6、算步骤。第 1721 题为必考题，每个题为必考题，每个 试题考生都必须作答。第试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。分。 17如图，在ABC 中，B60，AB8，AD7，点 D 在 BC 上，且 cosADC （1）求 BD； （2）若 cosCAD，求ABC 的面积 18某校食堂按月订购一种螺蛳粉，每天进货量相同，进货成本每碗 6 元，售价每碗 10 元，未售出的螺蛳 粉降价处理，以每碗 5 元的价格当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单 位：）有关如果最高气温不低于
7、25，需求量为 200 碗；如果最高气温位于区间20，25），需求量为 300 碗；如果最高气温低于 20，需求量为 500 碗为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各 天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高气温 10，15） 15，20） 20，25） 25，30） 30，35） 35，40） 天数 4 7 25 36 16 2 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率 （1）求六月份这种螺蛳粉一天的需求量不超过 300 碗的概率； （2）设六月份一天销售这种螺蛳粉的利润为 Y（单位：元），当六月份这种螺蛳粉一天的进货量为 450 碗时，写出 Y 的所有可能值，并估
8、计 Y 的平均值（即加权平均数） 19 图 1 是由正方形 ABCD， RtABE， RtCDF 组成的一个平面图形， 其中 ABAEDF1， 将其沿 AB、 CD 折起使得点 E 与点 F 重合，如图 2 （1）证明：图 2 中的平面 ABE 与平面 ECD 的交线平行于底面 ABCD； （2）求二面角 BECD 的余弦值 20在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：1（ab0）的离心率为，且过点（0，1）如 图所示，斜率为 k（k0）且过点（1，0）的直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点，线段 AB 的中点为 E，射 线 OE 交椭圆 C 于点 G，若 F 在射线 OE 上，且|OG
9、|2|OE|OF| （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）求证：点 F 在定直线上 21已知函数 f（x）x2sinx+1（x0），g（x）2x5sinx cosx+3 （1）求 f（x）在0，上的最小值； （2）证明：g（x）f（x） （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分。请考生在分。请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 在平面直角坐标系 xOy 中， 曲线 C1的参数方程为（ 为参数且 ，） ， 以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建
10、立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 4cos （1）说明 C1是哪种曲线，并将 C1的方程化为极坐标方程； （2）设点 A 的极坐标为（4，），射线 （0）与 C1的交点为 M（异于极点），与 C2的交点为 N（异于极点），若|MN|MA|，求 tan 的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|2x|x+2| （1）求不等式 f（x）1 的解集； （2）若xR，使得 f（x）cosx+a 成立，求实数 a 的取值范围 参考答案参考答案 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题）小题）. 1已知全集 U，集合 M，N 是 U 的子集，且 MN，则下列结论中一定正确
11、的是（ ） A（UM）（UN）U BM（UN） CM（UN）U D（UM）N 解：对于 A，（UM）（UN）UMU，所以 A 错误； 对于 B，因为 MN，所以 M（UN），选项 B 正确； 对于 C，因为 MN，且 M（UN）所以 M（UN）U，选选 C 错误； 对于 D，因为 MN，所以（UM）N，选选 D 错误 故选：B 2在复平面内，若复数 z 与表示的点关于虚轴对称，则复数 z（ ） Ai B i Ci Di 解：因为i， 该复数表示的点是（，），关于虚轴对称点为（，）， 所以复数 zi 故选：A 3关于 x 的方程 x2ax+b0，有下列四个命题： 甲：x1 是方程的一个根；乙：x
12、4 是方程的一个根； 丙：该方程两根之和为 3；丁：该方程两根异号 如果只有一个假命题，则假命题是（ ） A甲 B乙 C丙 D丁 解：根据题意：甲，乙，丙，三个说法矛盾，其中有一个假命题， 故丁说法正确，两根异号， 故甲和乙中有一个错误，（因为甲，乙同号，必有矛盾）， 若甲错误，x4，x1 成立， 若乙错误，x1，x3 不成立， 故甲为假命题 故选：A 4在平面直角坐标系中定义点 P（x，y）的“准奇函数点”为 P（2ax，2by），若函数 C 上所有点 的“准奇函数点”都在函数 C 上，则称函数 C 为“准奇函数”下列函数不是“准奇函数”的是（ ） Af（x）cos（x+1） Bf（x） C
13、f（x）e|x| Df（x）x 解：根据题意，若函数的图象关于点（a，b）对称，则点 P（x，y）与 P（2ax，2by）都在函数的 图象上， 此时函数为“准奇函数”， 若函数 f（x）存在对称中心，则 f（x）是“准奇函数”， 对于 A，f（x）cos（x+1），存在对称中心（k+1，0），是“准奇函数”； 对于 B，f（x）2，其对称中心为（1，2），是“准奇函数”； 对于 C，f（x）e|x|，是偶函数不是奇函数，不存在对称中心，不是“准奇函数”； 对于 D，f（x）x，是正比例函数，函数图象上存在无数个对称中心，是“准奇函数” 故选：C 5已知空间中不重合的直线 a，b 和不重合的平面
14、 ，下列判断正确的是（ ） A若 a，b，则 ab B若 ab，b，则 a C若 ab，a，则 b D若 a，a，则 解：若 a，b，则 a、b 平行、相交或异面，故 A 错误； 若 ab，b，且 a，则 a，故 B 错误； 若 ab，a，则 b 或 b，故 C 错误； 若 a，a，由线面垂直的性质定理可得 ，故 D 正确 故选：D 6已知单位向量 ， 满足 0，若向量 +，则 sin ， （ ） A B C D 解：单位向量 ， 满足 0，且向量 +， | |2， cos ， ， sin ， ， 故选：B 7已知 x，y 满足约束条件，则 z2x+y 的最大值是（ ） A1 B2 C5 D7
15、 解：由约束条件作出可行域如图， 联立，解得 A（2，2）， 由 z2x+y，得 y2x+z，由图可知，当直线 y2x+z 过 A 时， 直线在 y 轴上的截距最大，z 有最大值为2 故选：B 8下列函数中，同时满足以下两个条件“xR，f（+x）+f（x）0”；“将图象向左 平移个单位长度后得到的图象对应函数为 g（x）cos2x”的一个函数是（ ） Asin（2x+） Bcos（2x+） Ccos（2x+） Dsin（2x+） 解：同时满足以下两个条件“xR，f（+x）+f（x）0”； 即函数 f（x）的图象，当 x时，f（）0，符合选项的为 C 和 D 对于“将图象向左平移个单位长度后得到
16、的图象对应函数为 g（x）cos2x” 由于 sin（2x+）sin（2x+）cos2x，故 D 正确； 故选：D 9在平面直角坐标系 xOy 中，A（3，0），B（0，3），点 M 满足，x+y1，点 N 为曲线 y 上的动点，则|MN|的最小值为（ ） A 1 B C D 1 解：因为 A（3，0），B（0，3），所以直线 AB 的方程为 yx3， 又因为点 M 满足，x+y1， 故点 M，A，B 三点共线，即 M 在直线 AB 上， 点 N 在曲线 y上，即点 N 在曲线：（x+1）2+y21（y0）上， 作出图形如图所示， 所以|MN|的最小值为点 O 到直线 yx3 的距离，故最小值
17、为 故选：C 10已知双曲线 T 的焦点在 x 轴上，对称中心为原点，ABC 为等边三角形若点 A 在 x 轴上，点 B，C 在双曲线 T 上，且双曲线 T 的虚轴为ABC 的中位线，则双曲线 T 的渐近线方程为（ ） Ay By Cy Dy 解：设双曲线方程为，点 B，C 在双曲线的左支上，由题意可知， BC4b，且 B，C 两点关于 x 轴对称，根据ABC 为等边三角形，可得 xBb， B（，2b）， ，即， 渐近线方程为 yx， 故选：A 11已知正方体棱长为 6，如图，有一球的球心是 AC1的中点，半径为 2，平面 B1D1C 截此球所得的截面面 积是（ ） A B7 C4 D3 解：
18、正方体棱长为 6，正方体的对角线长为， 三棱锥 C1B1CD1的侧棱长为 6，底面边长为 6 ，则高为 h， 球心到平面 B1D1C 的距离为 d， 又球的半径为 2，球面被面 B1D1C 所截圆的半径为， 截面圆的面积为 12 故选：A 12数列an各项均是正数，a1，a2，函数 yx3在点（an，an3）处的切线过点（an+22an+1， an3），则下列命题正确的个数是（ ） a3+a418； 数列an+an+1是等比数列； 数列an+13an是等比数列； an3n1 A1 B2 C3 D4 解：函数 yx3的导数为 yx2， 由题意可得 an2， 由于 an0，可得 an+23an+2
19、an+1， 由 a1，a2 ，可得 a3，a4， 则 a3+a418，故正确； 又 an+2+an+13（an+an+1）， 可得数列an+an+1是首项为 2，公比为 3 的等比数列，故正确； 由 an+23an+1（an+13an），但 a23a10， 所以数列an+13an不是等比数列， 则 an+13an0，可得数列an是首项为 ，公比为 3 的等比数列， 则 an3n1，故，都不正确 故选：B 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13函数 f（x）3xcosx 在（0，f（0）处的切线与直线 2xmy+10 垂直，
20、则实数 m 的值为 6 解：f（x）3+sinx，f（0）3， f（x）在（0，f（0）处的切线斜率为 3，直线 2xmy+10 的斜率为， f（x）在（0，f（0）处的切线与直线 2xmy+10 垂直， ，解得 m6 故答案为：6 14已知函数 f（x）满足 f（x）+f（x）2，g（x）+1，yf（x）与 yg（x）交于点（x1，y1）， （x2，y2），则 y1+y2 2 解：根据函数 f（x）满足 f（x）+f（x）2 可得函数 yf（x）关于点（0，1）中心对称， 即若点（x，y）在 yf（x）的图象上，则点（x，2y）也在 yf（x）的图象上， 而 g（x）+g（x）1+1+2，可
21、知函数 yg（x）也关于点（0，1）中心对称， 所以 yf（x）与 yg（x）交于点应成对出现，且每对交点关于（0，1）中心对称， 所以 x1+x20，y1+y22 故答案为：2 15已知等比数列an满足 a1a3，a2a4，则使得 a1a2an取得最小值的 n 为 3 解：因为等比数列an满足 a1a3，a2a4（a1a3）q ， 所以 q3，a1， 令 Ana1a2an， 当 An取得最小值时， ， 即 a1a2ana1a2an1，a1a2ana1a2an+1， 所以 an1，an+11， 所以 an 3n41， 3n31， 即，解得，3n4， 故 a1a2an取得最小值的 n3 故答案为
22、：3 16已知过点 A（2，2）作直线 AB，AC 与圆 x2+（y2）21 相切，且交抛物线 x22y 于 B，C 两点，则 BC 的直线方程为 y2x 解：显然直线 AB，AC 的斜率存在且不为 0，设过 A 的 Q 切线的方程为：y2k（x2）， 即 kxy2k+20， 圆的圆心的坐标（0，2）， 由直线与圆相切可得 1，可得 k， 设直线 AB 的斜率为，所以直线 AB 的方程为：y2（x2）， 设 B（x1，y1），C（x2，y2）， 即 yx+2 代入抛物线的方程可得：x2x+40， 解得：x2，即 B 的横坐标 x12， 同理可得 C 的横坐标为 x22， 所以直线 BC 的方程
23、为：yy1（xx1）（xx1）（xx1）， 所以 y（xx1）， 即 y2（x2）， 整理可得直线 BC 的方程为：y2x 故答案为：y2x 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个题为必考题，每个 试题考生都必须作答。第试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。分。 17如图，在ABC 中，B60，AB8，AD7，点 D 在 BC 上，且 cosADC （1）求 BD；
24、 （2）若 cosCAD，求ABC 的面积 解：（1）在ABD 中，由余弦定理知，AD2AB2+BD22ABBDcosB， 4964+BD228BDcos60，即 BD28BD+150， 解得 BD3 或 5， cosADC，cosADBcos（180ADC）cosADC0， 当 BD5 时，cosADB0，不符合题意，舍去， BD3 （2）在ACD 中，cosADC，cosCAD， sinADC，sinCAD， sinCsin（ADC+CAD） sinADCcosCAD+cosADCsinCAD +， 由正弦定理知， ，CD， BCBD+CD3+， ABC 的面积 SABBCsinB8 18
25、某校食堂按月订购一种螺蛳粉，每天进货量相同，进货成本每碗 6 元，售价每碗 10 元，未售出的螺蛳 粉降价处理，以每碗 5 元的价格当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单 位：）有关如果最高气温不低于 25，需求量为 200 碗；如果最高气温位于区间20，25），需求量为 300 碗；如果最高气温低于 20，需求量为 500 碗为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各 天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高气温 10，15） 15，20） 20，25） 25，30） 30，35） 35，40） 天数 4 7 25 36 16 2 以最高气温位于各区间的频率估计
26、最高气温位于该区间的概率 （1）求六月份这种螺蛳粉一天的需求量不超过 300 碗的概率； （2）设六月份一天销售这种螺蛳粉的利润为 Y（单位：元），当六月份这种螺蛳粉一天的进货量为 450 碗时，写出 Y 的所有可能值，并估计 Y 的平均值（即加权平均数） 解：（1）设六月份这种螺蛳粉一天的需求量不超过 300 碗为事件 A， P（A）； （2）当一天需求量为 200 碗时，Y4506+20010+（450200）5550 元， 当一天需求量为 300 碗时，Y4506+30010+（450300）51050 元， 当一天需求量为 500 碗时，Y4506+450101800 元， 所以 Y
27、的所有可能值为 550，1050，1800； P（Y550），P（Y1050），P（Y1800） ， 所以 E（Y）841.7 元 19 图 1 是由正方形 ABCD， RtABE， RtCDF 组成的一个平面图形， 其中 ABAEDF1， 将其沿 AB、 CD 折起使得点 E 与点 F 重合，如图 2 （1）证明：图 2 中的平面 ABE 与平面 ECD 的交线平行于底面 ABCD； （2）求二面角 BECD 的余弦值 【解答】（1）证明：因为 CDAB，AB平面 ABE，CD平面 ABE，所以 CD平面 ABE， 因为 CD平面 ECD，设平面 ABE平面 ECDl，所以 lCD， 因为
28、l平面 ABCD，CD平面 ABCD， 所以 l平面 ABCD，即平面 ABE 与平面 ECD 的交线平行底面 ABCD； （2）解：建立空间直角坐标系如图所示， 则， 所以， 设平面 EBC 的法向量（x，y，z），平面 ECD 的法向量为（a，b，c）， 则有， 令 z1，则 x，令 c1，则 b， 所以， 所以， 所以二面角 BECD 的余弦值为 20在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：1（ab0）的离心率为，且过点（0，1）如 图所示，斜率为 k（k0）且过点（1，0）的直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点，线段 AB 的中点为 E，射 线 OE 交椭圆 C 于点 G，若 F
29、 在射线 OE 上，且|OG|2|OE|OF| （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）求证：点 F 在定直线上 解：（1）由题意可得 e，b1，a2b2+c2， 可得 a23，b21， 所以椭圆的标准方程为：+y21； （2）证明：设 F（x0，x0），由（1）即（x0，x0）， 所以|OF|x0|， 联立，整理可得：x2， 可得 xG ， 所以 G（，）， 所以|OG|2+ ， 因为 E（，），即（，） 所以|OE|， 因为|OG|2|OE|OF|， 即|x0|， 所以|x0|3， 因为 F 在射线 OE 上，所以 x03， 所以 F（3，）， 所以可证点 F 在定直线 x3 上 21已知函
30、数 f（x）x2sinx+1（x0），g（x）2x5sinx cosx+3 （1）求 f（x）在0，上的最小值； （2）证明：g（x）f（x） 解：（1）函数 f（x）x2sinx+1， 所以 f（x）， 令 f（x）0，即， 由于定义域为0，所以 x， 在 x 时，函数 f（x）0，在 x时，函数 f（x）0， 即函数在 x时取得最小值， （2）证明：令 h（x）g（x）f（x） ， ， 所以 h（x）， 令 h（x）0，解得 x， 所以 x（0，）时，h（x）0，函数 h（x）为减函数， 在 x（）时，h（x）0，函数 h（x）为单调递增函数， 故 h（x）minh（）， 即 g（x）f（
31、x）h（x）0， 故 g（x）f（x） （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分。请考生在分。请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 在平面直角坐标系 xOy 中， 曲线 C1的参数方程为（ 为参数且 ，） ， 以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 4cos （1）说明 C1是哪种曲线，并将 C1的方程化为极坐标方程； （2）设点 A 的极坐标为（4，），射线 （0）与 C1的交点为 M（异于极点），与 C
32、2的交点为 N（异于极点），若|MN|MA|，求 tan 的值 解：（1）曲线 C1的参数方程为 （ 为参数且 ，），转换为直角坐 标方程为，（x0）， 故该曲线为以（0，2）为圆心以 2为半径的右半圆 根据转换为极坐标方程为，且 ， （2）曲线 C2的极坐标方程为 4cos， 设 M（1，），N（2，）， 所以|OM|，|ON|4cos， 所以|MN|4|， |MA|OA|sin（）4， 由于|MN|MA|， 所以 4| 4 ， 解得， 由于 0， 所以 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|2x|x+2| （1）求不等式 f（x）1 的解集； （2）若xR，使得 f（x）cosx+a 成立，求实数 a 的取值范围 解：（1）f（x）1 即为|2x|x+2|1， 等价为或或， 解得 x或1x0 或 0 x3， 则所求解集为1，3； （2）xR，使得 f（x）cosx+a 成立， 可得 af（x）cosxmin， 由 f（x）cosx|x|+（|x|x+2|）cosx0|xx2|13， 当且仅当 x0 时，上式取得等号 则 a3，即 a 的取值范围是（，3
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