1、 20212021 年中考数学查缺补漏再训练年中考数学查缺补漏再训练 2626 个微专题个微专题 ( (全国通用全国通用) ) 专题专题 22 22 数形结合思想应用一定练数形结合思想应用一定练 ( (共共 4 4 道道题题) ) 1. （2020 贵州遵义）贵州遵义） 构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性， 在计算 tan15时， 如图 在 RtACB 中，C90，ABC30，延长 CB使 BDAB，连接 AD，得D15，所以 tan15 123 23 232323 AC CD 类比这种方法，计算 tan22.5的值为（ ） A. 21 B. 2 1 C. 2 D. 1 2 【
2、答案】B 【解析】作 RtABC，使C90，ABC45，延长 CB到 D，使 BDAB，连接 AD，根据构造的 直角三角形，设 ACx，再用 x 表示出 CD，即可求出 tan22.5的值. 作 RtABC，使C90，ABC90，ABC45，延长 CB 到 D，使 BDAB，连接 AD，设 ACx，则：BCx，AB 2x，CD 1+ 2 x， 22.5 =21 1+ 2 ACx C tanta D x n D 故选：B. 【点睛】 本题考查解直角三角形， 解题的关键是根据阅读构造含 45的直角三角形， 再作辅助线得到 22.5 的直角三角形. 2 （20192019 广东）广东）如图，一次函数
3、 y=k1x+b 的图象与反比例函数 y= x k2 的图象相交于 A、B 两点，其中点 A 的坐标为（1，4） ，点 B 的坐标为（4，n） （1）根据函数图象，直接写出满足 k1x+b x k2 的 x 的取值范围； （2）求这两个函数的表达式； （3）点 P 在线段 AB 上，且 SAOP : SBOP =1 : 2，求点 P 的坐标 【答案】见解析。 【解析】 （1）x-1 或 0 x4 （2）反比例函数 y= x k2 图象过点 A（1，4） 4= 1- k2 ，解得 k2=4 反比例函数表达式为 x 4 -y 反比例函数 x 4 -y 图象过点 B（4，n） n= 4 4 -=1，
4、B（4，1） 一次函数 y=k1x+b 图象过 A（1，4）和 B（4，1） bk41- b-k4 1 1 ，解得 3b 1-k1 一次函数表达式为 y=x+3 （3）P 在线段 AB 上，设 P 点坐标为（a，a+3） AOP 和BOP 的高相同 SAOP : SBOP =1 : 2 AP : BP=1 : 2 过点 B 作 BCx 轴，过点 A、P 分别作 AMBC，PNBC 交于点 M、N AMBC，PNBC BN MN BP AP MN=a+1，BN=4-a 2 1 a-4 1a ，解得 a= 3 2 -a+3= 3 7 点 P 坐标为（ 3 2 ， 3 7 ） （或用两点之间的距离公
5、式 AP=2 2 4-3a-1a， BP=2 2 3-a1-a-4， 由 2 1 BP AP 解得 a1= 3 2 ，a2=-6 舍去） 3. （2020 湖北宜昌）湖北宜昌）已知函数1 2 21,(21)1yxmymx均为一次函数，m为常数 （1）如图 1，将直线AO绕点1,0A 逆时针旋转 45得到直线l，直线l交 y轴于点 B若直线l恰好是 12 21,(21)1yxmymx中某个函数的图象，请直接写出点 B坐标以及 m可能的值； （2）若存在实数 b，使得| (1) 10mbb成立，求函数 12 21,(21)1yxmymx图象间 的距离； （3）当1m 时，函数 1 21yxm图象分
6、别交 x轴，y轴于 C，E两点，(21)1ymx图象交 x 轴 于 D 点，将函数 11 yy y的图象最低点 F向上平移 56 21m 个单位后刚好落在一次函数 1 21yxm图 象上，设 12 yy y的图象，线段OD，线段OE围成的图形面积为 S，试利用初中知识，探究 S 的一个近 似取值范围 （要求：说出一种得到 S 的更精确的近似值的探究办法，写出探究过程，得出探究结果，结果 的取值范围两端的数值差不超过 0.01 ） 【答案】 （1） （0,1） ；1或 0 （2） 2 （3） 34813 1200010 S 【解析】 （1）由题意，可得点 B坐标，进而求得直线l的解析式，再分情况
7、讨论即可解的 m值； （2）由非负性解得 m和 b的值，进而得到两个函数解析式，设 1 y与 x 轴、y轴交于 T，P， 2 y分别与 x轴、 y轴交于 G，H，连接 GP，TH，证得四边形 GPTH是正方形，求出 GP 即为距离； （3）先根据解析式，用 m表示出点 C、E、D 的坐标以及 y关于 x的表达式为 22 12 21421yyymxm xm，得知 y是关于 x 的二次函数且开口向上、最低点为其顶点 2 2 2 21 2 , 2121 m m F mm ,根据坐标平移规则，得到关于 m的方程，解出 m值，即可得知点 D 、E 的坐标且抛物线过 D、E点，观察图象，即可得出 S 的大
8、体范围，如： ODE SS，较小的可为平行于 DE 且与抛物线相切时围成的图形面积 解： （1）由题意可得点 B 坐标为（0,1） ， 设直线l的表达式为 y=kx+1，将点 A（-1,0）代入得：k=1， 所以直线l的表达式为：y=x+1, 若直线l恰好是 1 21yxm的图象，则 2m-1=1,解得：m=1， 若直线l恰好是 2 (21)1ymx的图象，则 2m+1=1,解得：m=0， 综上，0,1B，1m或者0m （2）如图，110mbb 110mbb 0m ，10b 0m，10b 0m 1 1yx， 2 1yx 设 1 y与 x 轴、y轴交于 T，P， 2 y分别与 x 轴、y轴交于
9、G，H，连接 GP，TH 1OGOHOPOT，PHGT 四边形 GPTH 正方形 /GHPT，90HGP，即HGGP 2HP 2GP ； （3） 1 21yxm， 2 211ymx 1 21yxm分别交 x轴，y轴于 C，E两点 1 2 ,0Cm，0,21Em 2 211ymx图象交 x轴于 D点 1 ,0 21 D m 22 12 2121121421yyyxmmxmxm xm 1m 210m 二次函数 22 21421ymxm xm开口向上，它的图象最低点在顶点 顶点 2 2 2 21 2 , 2121 m m F mm 抛物线顶点 F向上平移 56 21m ,刚好在一次函数 1 21yx
10、m图象上 2 2 2 21 562 21 212121 m m m mmm 且1m 2m 2 12 5163(3)(51)yyyxxxx， 1 3yx， 2 51yx 由 1 3yx， 2 51yx得到 1 ,0 5 D ，0,3E， 由 2 5163yxx得到与 x 轴，y轴交点是3,0， 1 ,0 5 ，0,3， 抛物线经过 1 ,0 5 D ，0,3E两点 12 yyy的图象，线段 OD，线段 OE围成的图形是封闭图形，则 S 即为该封闭图形的面积 探究办法：利用规则图形面积来估算不规则图形的面积 探究过程： 观察大于 S的情况 很容易发现 ODE SS 1 ,0 5 D ，0,3E 1
11、13 3 2510 ODE S ， 3 10 S （若有 S小于其他值情况，只要合理，参照赋分 ） 观察小于 S的情况 选取小于 S 的几个特殊值来估计更精确的 S的近似值，取值会因人而不同，下面推荐一种方法，选取以下 三种特殊位置： 位置一：如图 当直线 MN与 DE平行且与抛物线有唯一交点时，设直线 MN与 x，y轴分别交于 M，N 1 ,0 5 D ，0,3E 直线:153DE yx 设直线 1 :15MN yxb 2 5163yxx 2 1 530 xxb 1 430b ， 1 59 20 b 直线 59 :15 20 MN yx 点 59 ,0 300 M 159593481 220
12、30012000 OMN S， 3481 12000 S 位置二：如图 当直线 DR与抛物线有唯一交点时，直线 DR与 y轴交于点 R 设直线 2 :DR ykxb， 1 ,0 5 D 直线 1 : 5 DR ykxk 2 5163yxx 2 1 51630 5 xk xk 21 164 530 5 kk ，14k 直线 14 :14 5 DR yx 点 14 0, 5 R 11417 25525 ODR S， 7 25 S 位置三：如图 当直线 EQ与抛物线有唯一交点时，直线 EQ与 x轴交于点 Q 设直线:3EQ ytx 2 5163yxx 2 5160 xt x 2 160t ，16t
13、直线:163EQ yx 点 3 ,0 16 Q 139 3 21632 OEQ S ， 9 32 S 348197 120003225 我们发现：在曲线 DE 两端位置时的三角形的面积远离 S 的值，由此估计在曲线 DE 靠近中间部分时取值越 接近 S 的值 探究的结论：按上述方法可得一个取值范围 34813 1200010 S （备注：不同探究方法会有不同的结论，因而会有不同的答案只要来龙去脉清晰、合理，即可参照赋 分，但若直接写出一个范围或者范围两端数值的差不在 0.01 之间不得分 ） 【点睛】本题是一道综合性很强的代数与几何相结合的压轴题，知识面广，涉及有旋转的性质、坐标平移 规则、非
14、负数的性质、一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、一元二次方程、不规则图形面积 的估计等知识，解答的关键是认真审题，找出相关信息，利用待定系数法、数形结合法等解题方法确定解 题思路，利用相关信息进行推理、探究、发现和计算 4. （2020 湖北襄阳）湖北襄阳）如图，直线 1 2 2 yx 交 y轴于点 A，交 x轴于点 C， 抛物线 2 1 4 yxbxc 经过点 A，点 C，且交 x轴于另一点 B （1）直接写出点 A，点 B，点 C的坐标及抛物线的解析式； （2）在直线AC上方的抛物线上有一点 M，求四边形ABCM面积的最大值及此时点 M的坐标； （3）将线段OA绕 x轴上的动点 ,
15、0P m 顺时针旋转 90 得到线段OA ，若线段OA 与抛物线只有一个公 共点，请结合函数图象，求 m的取值范围 【答案】 （1） A （0， 2） ， B （2， 0） ， C （4， 0） ， 抛物线的解析式是 2 11 2 42 yxx ； （2） 四边形ABCM 面积的最大值为 8，点 M的坐标为（2，2） ； （3）3174m 或3172m 【解析】 （1）对直线 1 2 2 yx ，分别令 x=0，y=0 求出相应的 y，x 的值即得点 A、C的坐标，根据 待定系数法即可求出抛物线的解析式，利用抛物线的对称性即可求出点 B 的坐标； （2）过点 M作 MEx 轴于点 E，交直线
16、AC 于点 F，如图 1所示设点 M 的横坐标为 m，则 MF的长可 用含 m的代数式表示，然后根据 S四边形ABCM=SABC+SAMC即可得出 S四边形ABCM关于 m的函数关系式，再利 用二次函数的性质即可求出四边形ABCM面积的最大值及点 M的坐标； （3）当 m0时，分旋转后点 A 与点 O 落在抛物线上时，分别画出图形如图 2、图 3，分别用 m的代数式 表示出点 A 与点 O 的坐标，然后代入抛物线的解析式即可求出 m的值，进而可得 m的范围；当 m0 时， 用同样的方法可再求出 m的一个范围，从而可得结果 解： （1）对直线 1 2 2 yx ，当 x=0时，y=2，当 y=0
17、 时，x=4， 点 A的坐标是（0，2） ，点 C 的坐标是（4，0） ， 把点 A、C两点的坐标代入抛物线的解析式，得： 2 2 1 440 4 c bc ，解得： 1 2 2 b c ， 抛物线的解析式为 2 11 2 42 yxx ， 抛物线的对称轴是直线1x ，C（4，0） ， 点 B的坐标为（2，0） ； A（0，2） ，B（2，0） ，C（4，0） ，抛物线的解析式是 2 11 2 42 yxx ； （2）过点 M作 MEx 轴于点 E，交直线 AC 于点 F，如图 1所示 设 M（m， 2 11 2 42 mm） ，则 F（m， 1 2 2 m） ， 22 111 2 424 1
18、 2 2 mmmmMFm ， S四边形ABCM=SABC+SAMC = 11 22 BC AOMF OC 2 111 6 24 224 mm 2 1 26 2 mm 21 28 2 m ， 0m4， 当 m=2时，四边形ABCM面积最大，最大值为 8，此时点 M的坐标为（2，2） ； （3）若 m0，当旋转后点 A 落在抛物线上时，如图 2，线段OA 与抛物线只有一个公共点， 点 A 的坐标是（m+2，m） ， 211 222 42 mmm，解得： 317m 或317m （舍去） ； 当旋转后点 O 落在抛物线上时，如图 3，线段OA 与抛物线只有一个公共点， 点 O 的坐标是（m，m） ，
19、2 11 2 42 mmm，解得：m=2 或 m=4（舍去） ； 当 m0时，若线段OA 与抛物线只有一个公共点，m的取值范围是：3172m ； 若 m0，当旋转后点 O 落在抛物线上时，如图 4，线段OA 与抛物线只有一个公共点， 点 O 的坐标是（m，m） ， 2 11 2 42 mmm，解得：m=4或 m=2（舍去） ； 当旋转后点 A 落在抛物线上时，如图 5，线段OA 与抛物线只有一个公共点， 点 A 的坐标是（m+2，m） ， 211 222 42 mmm，解得： 317m 或317m （舍去） ； 当 m0时，若线段OA 与抛物线只有一个公共点，m的取值范围是：3174m ； 综上，若线段OA 与抛物线只有一个公共点，m的取值范围是：3174m 或3172m 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、旋转的性质、一元二次 方程的解法、二次函数的图象与性质以及抛物线上点的坐标特点等知识，具有较强的综合性，属于中考压 轴题，熟练掌握二次函数的图象与性质、灵活应用数形结合的思想是解题的关键
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