1、 20212021 年中考数学查缺补漏再训练年中考数学查缺补漏再训练 2626 个微专题个微专题 ( (全国通用全国通用) ) 专题专题 13 圆的必考综合题再精练圆的必考综合题再精练( (共共 1 17 7 道道题题) ) 1. （20202020 福建）福建） 如图，AB与 O相切于点B，AO交O于点C，AO的延长线交O于点D，E是BCD 上不与,B D重合的点， 1 sin 2 A （1）求BED的大小； （2）若O的半径为 3，点F在AB的延长线上，且3 3BF ，求证：DF与O相切 【答案】 （1）60 ； （2）详见解析 【解析】(1)连接 OB，在 RtAOB 中由 1 sin
2、2 A 求出A=30 ，进而求出AOB=60 ，BOD=120 ，再 由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可以求出BED 的值； (2)连接 OF，在 RtOBF中，由tan3 BF BOF OB 可以求出BOF=60 ，进而得到FOD=60 ，再证 明 FOBFOD，得到ODF=OBF=90 解：(1)连接OB， AB与O相切于点B， OBAB， 1 sin 2 A ，30A ， 60AOB，则120BOD 由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知： 1 60 2 BEDBOD 故答案为：60 (2)连接OF， 由(1)得OBAB，120BOD， 3OB， 3 3BF ，tan 3 BF BOF
3、 OB ， 60BOF，60DOF 在BOF与DOF中， OBOD BOFDOF OFOF ()BOFDOF SAS， 90ODFOBF 又点D在O上，故DF与O相切 2 2 （ （20212021 齐齐哈尔齐齐哈尔模拟模拟）如图，以ABC的边BC为直径作O，点A在O上，点D在线段BC的延 长线上，ADAB，D30 （1）求证：直线AD是O的切线； （2）若直径BC4，求图中阴影部分的面积 【答案】见解析。 【解析】 （1）证明：连接OA，则COA2B， ADAB， BD30， COA60， OAD180603090， OAAD， 即CD是O的切线； （2）解：BC4， OAOC2， 在 Rt
4、OAD中，OA2，D30， OD2OA4，AD2， 所以SOADOAAD222， 因为COA60， 所以S 扇形COA ， 所以S 阴影SOADS扇形COA2 3.（20202020 湖北黄石）湖北黄石）如图，在Rt ABC中， 90C，AD平分BAC交BC于点 D，O为AB上一点， 经过点 A、D 的O分别交AB、AC于点 E、F （1）求证：BC是O的切线； （2）若8BE ， 5 sin 13 B ，求O的半径； （3）求证： 2 ADAB AF 【答案】 （1）见解析（2）8（3）见解析 【解析】 （1）连接 OD，由 AD 为角平分线得到一对角相等，再由等边对等角得到一对角相等，等量
5、代换得 到内错角相等，进而得到 OD 与 AC平行，得到 OD与 BC垂直，即可得证； （2）连接 EF，设圆的半径为 r，由 sinB的值，利用锐角三角函数定义即可求出 r的值； （3） 先判断出AEFB 再判断出AEFADF， 进而得出BADF， 进而判断出ABDADF， 即可得出结论 【详解】 （1）如图，连接 OD，则 OAOD， ODAOAD， AD是BAC的平分线， OADCAD， ODACAD， ODAC， ODBC90， 点 D在O上， BC是O的切线； （2）由（1）知，ODBC， BDO90， 设O的半径为 R，则 OAODOER， BE8， OBBEOE8R， 在 RtB
6、DO中，sinB 5 13 ， sinB 8 ODR OBR 5 13 ， R5; (3) 连接 OD，DF，EF， AE是O的直径， AFE90C， EFBC， BAEF， AEFADF， BADF， 由（1）知，BADDAF， ABDADF， ABAD ADAF ， AD2ABAF 【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了切线的判定，圆周角的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三 角函数，求出圆的半径是解本题的关键 4. （2020 贵州遵义）贵州遵义）如图，AB是 O的直径，点C是O上一点，CAB的平分线AD交BC于点D， 过点D作/DE BC交AC的延长线于点E （1）求证：DE是O的切线；
7、 （2）过点D作DFAB于点F，连接BD若1OF ，2BF ，求BD的长度 【答案】 （1）见解析； （2）2 3BD 【解析】 （1）连接 OD，由等腰三角形的性质及角平分线的性质得出ADODAE，从而 ODAE，由 DEBC得E90 ，由两直线平行，同旁内角互补得出ODE90 ，由切线的判定定理得出答案； （2）先由直径所对的圆周角是直角得出ADB90 ，再由 OF1，BF2 得出 OB的值，进而得出 AF和 BA 的值，然后证明DBFABD，由相似三角形的性质得比例式，从而求得 BD2的值，求算术平方根即 可得出 BD的值 解： （1）连接 OD，如图： OAOD， OADADO， AD
8、平分CAB， DAEOAD， ADODAE， ODAE， DEBC， E90 ， ODE180E90 ， DE是O的切线； （2）因AB为直径，则90ADB 1OF ，2BF OB=3 4AF ，6BA ADB=DFB=90, B=B DBFABD BFBD BDAB 2 2 612BDBF BA 所以2 3BD 5. （2020 湖北鄂州）湖北鄂州）如图所示： O与ABC的边BC相切于点 C，与AC、AB分别交于点 D、E， /DE OBDC是O的直径连接OE，过 C作/CG OE交O于 G，连接DG、EC，DG与EC交 于点 F （1）求证：直线AB与O相切； （2）求证：AE EDAC
9、EF； （3）若 1 3,tan 2 EFACE时，过 A作/AN CE交O于 M、N 两点（M在线段AN上） ，求AN的 长 【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;(3) 10+2 5 【解析】(1)DE/OB，BOC=EDC， CG/OE，DEO=BOE， 又DEO=EDC，DEO=BOE， 由题意得：EO=CO，BO=BO， BOEBOC(SAS), BEO=BCO=90, AB是O的切线 (2) 如图所示 DG与 OE 交点作为 H 点, EO/GC, EHD=DGC=90, 又由(1)所知AEO=90, AE/DF, AECDFC, AEDF ACDC , 由圆周角定理可知EDG=
10、ECG,EOD=2ECD, DO/GC, EOD=GCD=GCE+ECD, ECD=GCE=EDF, 又FED=DEC, FEDDEC, DFEF DCED , AEEF ACED ,即AE EDAC EF (3) 1 3,tan 2 EFACE,与ACE相等角的 tan值都相同 ED=6,则 EC=12, 根据勾股定理可得 22 36 1446 5CDEDEC EO=DO=CO=3 5 由(2)可得 1 2 AEEF ACED , 在 RtAEO中,可得 222 AOAEEO ,即 2 22 ACOCAEEO, 22 2 23 53 5AEAE, 解得 AE=4 5,则 AC=8 5,AO=
11、5 5 连接 ON,延长 BO 交 MN于点 I,根据垂径定理可知 OIMN, AN/CE,CAN=ACE 在 RtAIO中,可得 222 AOAIIO ,即 2 2 2 5 52OIOI, 解得 OI=5,则 AI=10, 在 RtOIN中, 222 ONINIO ,即 2 22 3 55IN, 解得 IN=2 5 AN=AI+IN=10+2 5 【点睛】本题考查圆的综合知识及相似全等,关键在于根据条件结合知识点,特别是辅助线的做法要迎合题目 给出的条件 6. （20212021 福建模拟）福建模拟）如图， 在ABC 中，90C，AD平分BAC交BC于点D，过点A和点D的圆， 圆心O在线段A
12、B上，O交AB于点E，交AC于点F （1）判断BC与O的位置关系，并说明理由； （2）若8AD，10AE ，求BD长 【答案】 （1）BC与O相切证明见解析； （2）120. 7 【解析】 （1）利用角平分线的定义证明,OADCAD 结合等腰三角形的性质证明,ODACAD 从 而证明/ /,ODAC结合90C可得答案； （2）连接DE，先利用勾股定理求解DE的长，再证明,BDEBAD 利用相似三角形的性质列方程组 求解即可得到答案 解： （1）BC与O相切 理由如下： 如图，连接OD， AD平分BAC， ,OADCAD ,OAODQ ,ODAOAD ,ODACAD / /,ODAC 90 ,C
13、 90 ,ODBC DQ在O上， BC是O的切线 （2）连接,DE AE为O的直径， 90 ,ADE 8AD，10AE ， 22 6,DEAEAD 90 ,ODBADE 90 ,BDEODEADOODE ,BDEADO ,ODOA ,ADODAO ,BDEDAO ,BB ,BDEBAD , BDDEBE BAADBD 6 , 108 BDBE BEBD 2 68 , 10 BDBE BDBEBE 解得： 120 . 7 BD 所以：BD的长为：120. 7 【点睛】本题考查的切线的判定与性质，圆的基本性质，圆周角定理，三角形相似的判定与性质，勾股定 理的应用，掌握以上知识是解题的关键 7.（2
14、0202020 贵州黔西南）贵州黔西南）古希腊数学家毕达哥拉斯认为： “一切平面图形中最美的是圆” 请研究如下美丽的 圆如图，线段 AB 是O 的直径，延长 AB 至点 C，使 BCOB，点 E 是线段 OB 的中点，DEAB 交O 于点 D，点 P 是O 上一动点（不与点 A，B 重合） ，连接 CD，PE，PC （1）求证：CD 是O 的切线； （2）小明在研究的过程中发现 PE PC 是一个确定的值回答这个确定的值是多少？并对小明发现的结论加以 证明 【答案】 （1）见解析； （2） 1 2 ，解析 【解析】本题考查了切线的判定与性质及相似三角形的判定与性质 （1）连接 OD，DB，由已
15、知可得 DE 垂直 平分 OB，于是 DBDO，而 OBOD，所以 DBDOOB，即ODB 是等边三角形，于是BDO60，再由等 腰三角形的性质及三角形的外角性质可得CDB30，从而可得ODC90，所以 ODCD，所以 CD 是 O 的切线； （2）连接 OP，由已知条件得 OPOBBC2OE，再利用“两组边成比例，夹角相等”证明OEP OPC，最后由相似三角形的对应边成比例得到结论 【详解】解： （1）如答图，连接 OD，DB，点 E 是线段 OB 的中点，DEAB 交O 于点 D，DE 垂直平分 OB， DBDO DOOB， DBDOOB， ODB 是等边三角形， BDODBO60 BCO
16、BBD， 且DBE 为BDC 的外角，BCDBDC 1 2 DBODBO60，CDB30ODCBDO BDC603090，ODCD，CD 是O 的切线； （2）这个确定的值是 1 2 证明：如答图，连接 OP，OPOBBC2OE， OE OP OP OC 1 2 ，又COPPOE，OEPOPC， PE PC OP OC 1 2 【点拨】本题考查了切线的判定与性质及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及定理是解题的关 键 8.（2021 江苏苏州模拟）江苏苏州模拟）如图，AB是O的直径，点 C 是O 上一点（与点 A，B不重合） ，过点 C作直线 PQ，使得ACQABC （1）求证：直线 P
17、Q是O的切线 （2）过点 A 作 ADPQ 于点 D，交O于点 E，若O的半径为 2，sinDAC 1 2 ，求图中阴影部分的面 积 【答案】 （1）见解析； （2） 2 3 3 【解析】 （1）连接 OC，由直径所对的圆周角为直角，可得ACB90；利用等腰三角形的性质及已知条 件ACQABC，可求得OCQ90，按照切线的判定定理可得结论 （2）由 sinDAC 1 2 ，可得DAC30，从而可得ACD的 度数，进而判定AEO为等边三角形， 则AOE的度数可得；利用 S阴影S扇形SAEO，可求得答案 【详解】解： （1）证明：如图，连接 OC， AB 是O的直径， ACB90， OAOC， C
18、ABACO ACQABC， CAB+ABCACO+ACQOCQ90，即 OCPQ， 直线 PQ是O的切线 （2）连接 OE， sinDAC 1 2 ，ADPQ， DAC30 ，ACDABC=60 BAC=30， BAD=DAC+BAC=60， 又OAOE， AEO为等边三角形， AOE60 S阴影S扇形SAEO S扇形 1 2 OAOEsin60 2 6013 22 2 36022 2 3 3 图中阴影部分的面积为 2 3 3 9.（2021 重庆模拟）重庆模拟）如图，在O中，AB为O的直径，C为O上一点，P 是BC的中点，过点 P 作 AC 的垂线，交 AC的延长线于点 D （1）求证：DP
19、 是O的切线； （2）若 AC=5， 5 sin 13 APC,求 AP 的长 【答案】 （1）见解析； （2）AP=3 13 【解析】 （1）根据题意连接 OP，直接利用切线的定理进行分析证明即可； （2）根据题意连接 BC，交于 OP 于点 G， 利用三角函数和勾股定理以及矩形的性质进行综合分析计算即可. 解： （1）证明：连接 OP； OP=OA; 1=2； 又P 为BC的中点； PC PB 1=3； 3=2； OPDA； D=90 ； OPD=90 ； 又OP 为O半径； DP 为O 的切线； （2）连接 BC，交于 OP于点 G； AB是圆 O 的直径； ACB 为直角； 5 sin
20、 13 APC sinABC= 5 13 AC=5,则 AB=13,半径为13 2 由勾股定理的 BC= 22 13512-= ，那么 CG=6 又四边形 DCGP 为矩形； GP=DC=6.5-2.5=4 AD=5+4=9; Rt ADP 中，AP= 2222 963 13ADDP . 10. （20202020 四川成都）四川成都） 如图， 在ABC的边BC上取一点O， 以O为圆心，OC为半径画O， O 与边AB 相切于点D，ACAD，连接OA交O 于点E，连接CE，并延长交线段AB于点F （1）求证：AC是O 的切线； （2）若10AB， 4 tan 3 B ，求O 的半径； （3）若F
21、是AB的中点，试探究BDCE与AF的数量关系并说明理由 【答案】 （1）见解析； （2） 8 3 ； （3）AFBD CE，理由见解析 【解析】（1） 连接 OD， 由切线的性质可得ADO=90， 由 “SSS” 可证ACOADO， 可得ADO=ACO=90， 可得结论； （2）由锐角三角函数可设 AC=4x，BC=3x，由勾股定理可求 BC=6，再由勾股定理可求解； （3）连接 OD，DE，由“SAS”可知COEDOE，可得OCE=OED，由三角形内角和定理可得DEF=180 -OEC-OED=180-2OCE， DFE=180-BCF-CBF=180-2OCE， 可得DEF=DFE， 可证
22、 DE=DF=CE， 可得结论 解： （1）如图，连接 OD， O 与边 AB 相切于点 D， ODAB，即ADO=90， AO=AO，AC=AD，OC=OD， ACOADO（SSS） ， ADO=ACO=90， 又OC 是半径， AC 是O 的切线； （2）在 RtABC 中，tanB= 4 3 = AC BC ， 设 AC=4x，BC=3x， AC 2+BC2=AB2， 16x 2+9x2=100， x=2， BC=6， AC=AD=8，AB=10， BD=2， OB 2=OD2+BD2， （6-OC） 2=OC2+4， OC= 8 3 ， 故O 的半径为 8 3 ； （3）连接 OD，D
23、E， 由（1）可知：ACOADO， ACO=ADO=90，AOC=AOD， 又CO=DO，OE=OE， COEDOE（SAS） ， OCE=ODE， OC=OE=OD， OCE=OEC=OED=ODE， DEF=180-OEC-OED=180-2OCE， 点 F 是 AB 中点，ACB=90， CF=BF=AF， FCB=FBC， DFE=180-BCF-CBF=180-2OCE， DEF=DFE， DE=DF=CE， AF=BF=DF+BD=CE+BD 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股 定理，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质进行
24、推理是本题的关键 11. （2020 甘肃威武）甘肃威武） 如图， 圆O是ABC的外接圆， 其切线AE与直径BD的延长线相交于点E， 且A E A B （1）求ACB的度数； （2）若2DE ，求圆O的半径 【答案】 （1）ACB的度数为60； （2）圆 O的半径为 2 【解析】 （1）如图（见解析） ，设Ex ，先根据等腰三角形的性质得出ABEEx ，再根据圆的 性质可得OAOB，从而可得OABABOx，然后根据圆的切线的性质可得OAAE，又根据三 角形的内角和定理可求出 x 的值，从而可得AOB的度数，最后根据圆周角定理即可得； （2）如图（见解析） ，设圆 O 的半径为r，先根据圆周角定
25、理得出90BAD，再根据直角三角形的性质 可得3ABr，从而可得3AEr，然后在Rt AOE中，利用勾股定理求解即可得 【详解】 （1）如图，连接 OA 设Ex AEABQ ABEEx OAOB OABABOx，1801802AOBOABABOx AE 是圆 O的切线 OAAE，即90OAE 90BAEOABOAEx 在ABE中，由三角形的内角和定理得：180ABEEBAE 即90180 xxx 解得30 x 18021802 30120AOBx 则由圆周角定理得： 11 12060 22 ACBAOB 故ACB的度数为60； （2）如图，连接 AD 设圆 O的半径为r，则,2OAODr BD
26、r 2DE 2OEODDEr BD 是圆 O的直径 90BAD 由（1）可知，30ABD 则在RtABD中， 22 1 ,3 2 ADBDr ABBDADr 3AEr 在Rt AOE中，由勾股定理得： 222 OAAEOE，即 222 ( 3 )(2)rrr 解得2r =或 2 3 r （不符题意，舍去） 则圆 O的半径为 2 【点睛】本题考查了圆周角定理、圆的切线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，较难的是题 （2） ，通过作辅助线，利用圆周角定理是解题关键 12 （2021 湖北襄阳模拟湖北襄阳模拟）如图，四边形 ABCD 内接于O，ABAC，ACBD，垂足为 E，点 F 在 BD
27、 的 延长线上，且 DFDC，连接 AF、CF （1）求证：BAC2CAD； （2）若 AF10，BC4，求 tanBAD 的值 【答案】见解析。 【分析】 （1）根据等腰三角形的性质得出ABCACB，根据圆心角、弧、弦的关系得到，即可 得到ABCADB，根据三角形内角和定理得到ABC（180BAC） 90BAC， ADB 90CAD，从而得到BACCAD，即可证得结论； （2）易证得 BCCF4，即可证得 AC 垂直平分 BF，证得 ABAF10，根据勾股定理求得 AE、CE、 BE，根据相交弦定理求得 DE，即可求得 BD，然后根据三角形面积公式求得 DH，进而求得 AH，解直角三 角函数
28、求得 tanBAD 的值 解： （1）ABAC， ，ABCACB， ABCADB，ABC（180BAC）90BAC， BDAC， ADB90CAD， BACCAD， BAC2CAD； （2）解：DFDC， DFCDCF， BDC2DFC， BFCBDCBACFBC， CBCF， 又 BDAC， AC 是线段 BF 的中垂线，ABAF10，AC10 又 BC4， 设 AEx，CE10 x， 由 AB2AE2BC2CE2，得 100 x280（10 x）2， 解得 x6， AE6，BE8，CE4， DE3， BDBE+DE3+811， 作 DHAB，垂足为 H， ABDHBDAE， DH， BH，
29、 AHABBH10， tanBAD 13 （ （2021 海南模拟）海南模拟）如图，正六边形 ABCDEF 内接于O，BE 是O 的直径，连接 BF，延长 BA，过 F 作 FGBA，垂足为 G （1）求证：FG 是O 的切线； （2）已知 FG2，求图中阴影部分的面积 【答案】见解析。 【解析】 （1）证明：连接 OF，AO， ABAFEF， ， ABFAFBEBF30， OBOF， OBFBFO30， ABFOFB， ABOF， FGBA， OFFG， FG 是O 的切线； （2）解：， AOF60， OAOF， AOF 是等边三角形， AFO60， AFG30， FG2， AF4， AO
30、4， AFBE， SABFSAOF， 图中阴影部分的面积 14 （20212021 深圳模拟深圳模拟）如题 24-1 图，在ABC 中，AB=AC，O 是ABC 的外接圆，过点 C 作BCD= ACB 交O 于点 D，连接 AD 交 BC 于点 E，延长 DC 至点 F，使 CF=AC，连接 AF （1）求证：ED=EC； （2）求证：AF 是O 的切线； （3）如题 24-2 图，若点 G 是ACD 的内心，BCBE=25，求 BG 的长 【答案】 （1）证明：AB=AC B=ACB BCD=ACB B=BCD AC= AC B=D BCD=D ED=EC （2）证明： 连接 AO 并延长交
31、O 于点 G，连接 CG 由（1）得B=BCD ABDF AB=AC，CF=AC AB=CF 四边形 ABCF 是平行四边形 CAF=ACB AG 为直径 ACG=90，即G+GAC=90 G=B，B=ACB ACB+GAC=90 CAF+GAC=90即OAF=90 点 A 在O 上 AF 是O 的切线 （3）解： 连接 AG BCD=ACB，BCD=1 1=ACB B=B ABECBA BC AB AB BE BCBE=25 AB2=25 AB=5 点 G 是ACD 的内心 2=3 BGA=3+BCA=3+BCD=3+1=3+2=BAG BG=AB=5 【考点】圆的综合应用，等弧等弦等角的转
32、换，切线的证明，垂径定理的逆应用，内心的概念，相似三角形的 应用，外角的应用，等量代换的意识 15 （2021 广西百色广西百色模拟模拟）如图，已知 AC、AD 是O 的两条割线，AC 与O 交于 B、C 两点，AD 过圆心 O 且与O 交于 E、D 两点，OB 平分AOC （1）求证：ACDABO； （2）过点 E 的切线交 AC 于 F，若 EFOC，OC3，求 EF 的值 提示： （+1） （1）1 【答案】见解析。 【解析】 （1）由题意可得BOEAOCD，且AA，即可证ACDABO； （2）由切线的性质和勾股定理可求 CD 的长，由相似三角形的性质可求 AE3，由平行线分线段成比例
33、可得，即可求 EF 的值 证明： （1）OB 平分AOC BOEAOC OCOD DOCD AOCD+OCD DAOC DBOE，且AA ACDABO （2）EF 切O 于 E OEF90 EFOC DOCOEF90 OCOD3 CD3 AC DABO AE3 EFOC EF63 1616 （ （20212021 湖北黄冈模拟）湖北黄冈模拟）如图，在 RtABC 中，ACB90，以 AC 为直径的O 交 AB 于点 D，过点 D 作 O 的切线交 BC 于点 E，连接 OE （1）求证：DBE 是等腰三角形； （2）求证：COECAB 【答案】见解析。 【解析】 （1）连接 OD，由 DE 是
34、O 的切线，得出ODE90，ADO+BDE90，由ACB90，得 出CAB+CBA90，证出CABADO，得出BDECBA，即可得出结论； （2）证出 CB 是O 的切线，得出 DEEC，推出 ECEB，再由 OAOC，得出 OEAB，即可得出结论 证明： （1）连接 OD，如图所示： DE 是O 的切线， ODE90， ADO+BDE90， ACB90， CAB+CBA90， OAOD， CABADO， BDECBA， EBED， DBE 是等腰三角形； （2）ACB90，AC 是O 的直径， CB 是O 的切线， DE 是O 的切线， DEEC， EBED， ECEB， OAOC， OEA
35、B， COECAB 17. （20202020 湖北恩施州）湖北恩施州）如图，AB是 O的直径，直线AM与O相切于点A，直线BN与O相切于 点B，点C（异于点A）在AM上，点D在O上，且CDCA，延长CD与BN相交于点 E，连接AD 并延长交BN于点F （1）求证：CE是O的切线； （2）求证：BEEF； （3） 如图， 连接EO并延长与O分别相交于点G、H， 连接BH 若6AB，4AC ， 求t a nB H E 【答案】 （1）见详解； （2）见详解； （3） 1 3 【解析】 （1）连接 OD，根据等边对等角可知：CAD=CDA，OAD=ODA，再根据切线的性质可知 CAO=CAD+OA
36、D=CDA+ODA=90=ODC，由切线的判定定理可得结论； （2）连接 BD，根据等边对等角可知ODB=OBD，再根据切线的性质可知ODE=OBE=90，由等 量减等量差相等得EDB=EBD，再根据等角对等边得到 ED=EB，然后根据平行线的性质及对顶角相等 可得EDF=EFD，推出 DE=EF，由此得出结论； （3）过 E 点作 ELAM于 L，根据勾股定理可求出 BE的长，即可求出 tanBOE 的值，再利用倍角公式 即可求出 tanBHE的值 【详解】 （1）连接 OD， CDCA， CAD=CDA， OA=OD OAD =ODA， 直线AM与O相切于点A， CAO=CAD+OAD=9
37、0 ODC=CDA+ODA=90 CE是O的切线； （2）连接 BD OD=OB ODB=OBD， CE是O的切线，BF是O的切线， OBD=ODE=90 EDB=EBD ED=EB AMAB，BNAB AMBN CAD=BFD CAD=CDA=EDF BFD=EDF EF=ED BE=EF （3）过 E 点作 ELAM于 L，则四边形 ABEL是矩形， 设 BE=x，则 CL=4-x，CE=4+X (4+x)2=(4-x)2+62 解得：x= 9 4 9 3 4 tan 34 BE BOE OB BOE=2BHE 2 2tan3 tan 1tan4 BHE BOE BHE 解得：tanBHE= 1 3 或-3（-3 不和题意舍去） tanBHE= 1 3 【点睛】 本题主要考查了切线的判定和性质， 等腰三角形的判定和性质， 平行线的判定和性质， 三角函数/， 勾股定理等知识，熟练掌握这些知识点并能熟练应用是解题的关键
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