1、专题二专题二 作图问题作图问题 类型 1 尺规作图 1在数学课本上，同学们已经探究过“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程： 已知：直线 l 和 l 外一点 P. 求作：直线 l 的垂线，使它经过点 P. 作法：如图：(1)在直线 l 上任取两点 A、B； (2)分别以点 A、B 为圆心，AP，BP 长为半径画弧，两弧相交于点 Q； (3)作直线 PQ. 参考以上材料作图的方法，解决以下问题： (1)以上材料作图的依据是：_ (2)已知：直线 l 和 l 外一点 P. 求作：P，使它与直线 l 相切(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑) 2如图，MN
2、是O 的直径，MN4，点 A 在O 上，AMN30 ，B 为AN 的中点，P 是直径 MN 上一 动点 (1)利用尺规作图，确定当 PAPB 最小时 P 点的位置(不写作法，但要保留作图痕迹) (2)求 PAPB 的最小值 3如图，已知ABC，B40 . (1)在图中，用尺规作出ABC 的内切圆 O，并标出O 与边AB，BC，AC 的切点 D，E，F(保留痕迹， 不必写作法)； (2)连接 EF，DF，求EFD 的度数 4小明在“课外新世界”中遇到这样一道题：如图 1，已知AOB30 与线段 a，你能作出边长为 a 的等 边三角形COD 吗？小明的做法是：如图 2，以 O 为圆心，线段 a 为
3、半径画弧，分别交 OA，OB 于点 M， N，在弧 MN 上任取一点 P，以点 M 为圆心，MP 为半径画弧，交弧 CD 于点 C，同理以点 N 为圆心，NP 为半径画弧，交弧 CD 于点 D，连结 CD，即COD 就是所求的等边三角形 (1)请写出小明这种做法的理由； (2)在此基础上请你作如下操作和探究(如图 3)：连结 MN，MN 是否平行于 CD？为什么？ (3)点 P 在什么位置时，MNCD？请用小明的作图方法在图 1 中作出图形(不写作法，保留作图痕迹) 类型 2 网格作图和其他 5如图，在网格(每个小正方形的边长均为 1)中选取 9 个格点(格线的交点称为格点)，如果以 A 为圆
4、心，r 为半径画圆，选取的格点中除点 A 外恰好有 3 个在圆内，则 r 的取值范围为( B ) A2 2r 17 B. 17r3 2 C. 17r5 D5r 29 6我们约定，若一个三角形(记为A1)是由另一个三角形(记为A)通过一次平移，或绕其任一边的中点旋 转 180 得到的，则称A1是由A 复制的以下的操作中每一个三角形只可以复制一次，复制过程可以一 直进行下去如图 1，由A 复制出A1，又由A1复制出A2，再由A2复制出A3，形成了一个大三 角形， 记作B.以下各题中的复制均是由A 开始的， 通过复制形成的多边形中的任意相邻两个小三角形(指 与A 全等的三角形)之间既无缝隙也无重叠
5、(1)图1 中标出的是一种可能的复制结果，小明发现A B，其相似比为_在图 1 的基础上继续 复制下去得到C，若C 的一条边上恰有 11 个小三角形(指有一条边在该边上的小三角形)，则C 中含有 _个小三角形； (2)若A 是正三角形，你认为通过复制能形成的正多边形是_； (3)请你用两次旋转和一次平移复制形成一个四边形， 在图 2 的方框内画出草图， 并仿照图 1 作出标记 7阅读理解： 如图，在四边形 ABCD 的边 AB 上任取一点 E(点 E 不与点 A、点 B 重合)，分别连接 ED、EC，可以 把四边形 ABCD 分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把点 E 叫做四边形
6、 ABCD 的边 AB 上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把点 E 叫做四边形 ABCD 的边 AB 上的强相似点 解决问题： (1)如图，ABDEC55 ，试判断点 E 是否是四边形 ABCD 的边 AB 上的相似点，并说明 理由； (2)如图，在矩形 ABCD 中，AB5，BC2，且 A，B，C，D 四点均在正方形网格(网格中每个小正 方形的边长为 1)的格点(即每个小正方形的顶点)上， 试在图中画出矩形 ABCD 的边 AB 上的一个强相似点 E； 拓展探究： (3)如图，将矩形 ABCD 沿 CM 折叠，使点 D落在 AB 边上的点 E 处，若点 E 恰好是四边形 ABCM 的
7、边 AB 上的一个强相似点，试探究 AB 和 BC 的数量关系 专题二专题二 作图问题作图问题 类型 1 尺规作图 1在数学课本上，同学们已经探究过“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程： 已知：直线 l 和 l 外一点 P. 求作：直线 l 的垂线，使它经过点 P. 作法：如图：(1)在直线 l 上任取两点 A、B； (2)分别以点 A、B 为圆心，AP，BP 长为半径画弧，两弧相交于点 Q； (3)作直线 PQ. 参考以上材料作图的方法，解决以下问题： (1)以上材料作图的依据是：_ (2)已知：直线 l 和 l 外一点 P. 求作：P，使它与直线 l 相切(尺规作图，不写作
8、法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑) 解：(1)到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 (2)如图P 即为所求 2如图，MN 是O 的直径，MN4，点 A 在O 上，AMN30 ，B 为的中点，P 是直径 MN 上一动 点 (1)利用尺规作图，确定当 PAPB 最小时 P 点的位置(不写作法，但要保留作图痕迹) (2)求 PAPB 的最小值 解：(1)如图 1 所示，点 P 即为所求； (2)由(1)可知，PAPB 的最小值即为 AB 的长，连接 OA、OB、OA，A点为点 A 关直线 MN 的对 称点，AMN30 ，AONAON2AMN230 60 ，又B 为的中点，B
9、ON AOB1 2AON30 ，AOB60 30 90 ，又MN4，OAOB 1 2MN 1 242.在 Rt AOB 中，AB2 2，PAPB 的最小值为 2 2. 3如图，已知ABC，B40 . (1)在图中，用尺规作出ABC 的内切圆 O，并标出O 与边 AB，BC，AC 的切点 D，E，F(保留痕迹， 不必写作法)； (2)连接 EF，DF，求EFD 的度数 解：(1)如图 1，O 即为所求 (2)如图 2，连接 OD，OE，ODAB，OEBC，ODBOEB90 ，B40 ，DOE 140 ，EFD70 . 4小明在“课外新世界”中遇到这样一道题：如图 1，已知AOB30 与线段 a，
10、你能作出边长为 a 的等 边三角形COD 吗？小明的做法是：如图 2，以 O 为圆心，线段 a 为半径画弧，分别交 OA，OB 于点 M， N，在弧 MN 上任取一点 P，以点 M 为圆心，MP 为半径画弧，交弧 CD 于点 C，同理以点 N 为圆心，NP 为半径画弧，交弧 CD 于点 D，连结 CD，即COD 就是所求的等边三角形 (1)请写出小明这种做法的理由； (2)在此基础上请你作如下操作和探究(如图 3)：连结 MN，MN 是否平行于 CD？为什么？ (3)点 P 在什么位置时，MNCD？请用小明的作图方法在图 1 中作出图形(不写作法，保留作图痕迹) 解：(1)如图 2，连结 OP
11、，由题意可得，COMPOM，PONDON，POM PONCOMDON30 ，COD2MON60 ，OCD 是等边三角形；(2)不一定，只有当 COM15 ，CDMN，理由：COM15 ，MON30 ，CON45 ，C60 ，OEC 75 ，ONOM，ONMOMN75 ，OECONM，CDMN；(3)当 P 是的中点时， MNCD；如图 3 所示 类型 2 网格作图和其他 5如图，在网格(每个小正方形的边长均为 1)中选取 9 个 格点(格线的交点称为格点)，如果以 A 为圆心，r 为半径画圆，选取的格点中除点 A 外恰好有 3 个在圆内，则 r 的取值范围为( B ) A2 2r 17 B.
12、17r3 2 C. 17r5 D5r 29 解： 给各点标上字母， 如图所示 AB 22222 2， ACAD 4212 17， AE 32323 2， AF 5222 29，AGAMAN 42325， 17r3 2时，除点 A 外恰好有 3 个在圆内 6我们约定，若一个三角形(记为A1)是由另一个三角形(记为A)通过一次平移，或绕其任一边的中点旋 转 180 得到的，则称A1是由A 复制的以下的操作中每一个三角形只可以复制一次，复制过程可以一 直进行下去如图 1，由A 复制出A1，又由A1复制出A2，再由A2复制出A3，形成了一个大三 角形， 记作B.以下各题中的复制均是由A 开始的， 通过
13、复制形成的多边形中的任意相邻两个小三角形(指 与A 全等的三角形)之间既无缝隙也无重叠 (1)图 1 中标出的是一种可能的复制结果，小明发现AB，其相似比为_12_在图 1 的基础上 继续复制下去得到C，若C 的一条边上恰有 11 个小三角形(指有一条边在该边上的小三角形)，则C 中 含有_121_个小三角形； (2)若A 是正三角形，你认为通过复制能形成的正多边形是_正三角形或正六边形_； (3)请你用两次旋转和一次平移复制形成一个四边形， 在图 2 的方框内画出草图， 并仿照图 1 作出标记 解析：(1)AA1是经过旋转所得，A1A2是经过旋转所得，A2A3是经过平移所得由 于B 是由 4
14、 个A组成，因此 SB4SA，因此相似比为 21.当C 的一条边上有 11 个小三角形时，那 么它 们的相似比为 111，面积比 1211，即C 中有 121 个这样的小三角形；故答案为：12，121.(2) 正三角形或正六边形 (3)如图 7阅读理解： 如图，在四边形 ABCD 的边 AB 上任取一点 E(点 E 不与点 A、点 B 重合)，分别连接 ED、EC，可以 把四边形ABCD 分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把点 E 叫做四边形 ABCD 的边 AB 上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把点 E 叫做四边形 ABCD 的边 AB 上的强相似点 解决问题： (1
15、)如图，ABDEC55 ，试判断点 E 是否是四边形 ABCD 的边 AB 上的相似点，并说明 理由； (2)如图，在矩形 ABCD 中，AB5，BC2，且 A，B，C，D 四点均在正方形网格(网格中每个小正 方形的边长为 1)的格点(即每个小正方形的顶点)上， 试在图中画出矩形 ABCD 的边 AB 上的一个强相似点 E； 拓展探究： (3)如图，将矩形 ABCD 沿 CM 折叠，使点 D 落在 AB 边上的点 E 处，若点 E 恰好是四边形 ABCM 的边 AB 上的一个强相似点，试探究 AB 和 BC 的数量关系 解：(1)点 E 是四边形 ABCD 的边 AB 上的相似点理由：A55 ，ADEDEA125 ， DEC55 ，BECDEA125 ，ADEBEC.AB，ADEBEC.点E 是四 边形 ABCD 的 AB 边上的相似点 (2)如图如下： (3)点 E 是四边形 ABCD 的边 AB 上的一个强相似点，AEMBCEECM，BCEECM AEM，由折叠可知：ECMDCM，ECMDCM，CECD，BCE1 3BCD30 ， BE1 2CE 1 2AB.在 RtBCE 中，tanBCE BE BCtan30 ， BE BC 3 3 ，AB BC 2 3 3 .
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