1、 第 1 页（共 30 页） 2021 年湖南省长沙市开福区部分中学中考数学模拟试卷（一）年湖南省长沙市开福区部分中学中考数学模拟试卷（一） 一选择题（满分一选择题（满分 30 分，每小题分，每小题 3 分）分） 1 （3 分）若( 2) 表示一个数的相反数，则这个数是( ) A 1 2 B 1 2 C2 D2 2 （3 分）下列把 2034000 记成科学记数法正确的是( ) A 6 2.034 10 B 5 20.34 10 C 6 0.2034 10 D 3 2.034 10 3 （3 分）下面 4 个汽车标志图案，其中不是轴对称图形的是( ) A B C D 4 （3 分）下列运算正确
2、的是( ) A 428 aaa B 623 aaa C 2 22 (2)4?aba b D 3 25 ()aa 5 （3 分）如图，直线/ /ab，CDAB于点D，若140 ，则2为( ) A140 B130 C120 D50 6 （3 分）2015 年 7 月份，某市一周空气质量报告中某项污染指数的数据是：31，35，31， 33，30，33，31则下列关于这列数据表述正确的是( ) A众数是 30 B中位数是 31 C平均数是 33 D极差是 35 7 （3 分）已知关于x的一元二次方程 22 (21)0 xmxm有实数根，则m的取值范围是( ) A0m B 1 4 m C 1 4 m D
3、 1 4 m 8 （3 分）与2是同类二次根式的是( ) A32 B12 C 2 3 D 3 2 9 （3 分）与点(2, 3)在同一反比例函数图象上的点是( ) 第 2 页（共 30 页） A( 1.5,4) B( 1, 6) C(6,1) D( 2, 3) 10（3 分） 如图， 菱形ABCD中，3AB ，E是BC上一个动点 （不与点B、C重合） ，/ /EFAB， 交BD于点G，设BEx，GED的面积与菱形ABCD的面积之比为y，则y与x的函数图 象大致为( ) A B C D 二填空题（满分二填空题（满分 18 分，每小题分，每小题 3 分）分） 11 （3 分）把多项式 2 44ax
4、axa因式分解的结果是 12 （3 分）计算： 91 8 22 13 （3 分）某校九（1）班准备举行一次演讲比赛，甲、乙、丙三人通过抽签方式决定出场 顺序，则出场顺序恰好是甲、乙、丙的概率是 14 （3 分）如图，点A、B、C都在O上，60ACB，则AOB的度数为 15 （3 分）将一列有理数1，2，3，4，5，6如图所示有序排列，4 所在位置为峰 1， 9所在位置为峰2 （1）处在峰 5 位置的有理数是 ； （2）2022 应排在A，B，C，D，E中 的位置上 第 3 页（共 30 页） 16（3分） 如图，CAB与CDE均是等腰直角三角形， 并且90ACBDCE 连接BE， AD的延长线
5、与BC、BE的交点分别是点G与点F，且AFBE，将CDE绕点C旋转直 至/ /CDBE时，若4.5DA ，2DG ，则BF的值是 三解答题（共三解答题（共 3 小题，满分小题，满分 18 分，每小题分，每小题 6 分）分） 17 （6 分）计算： 0 2sin45|21|tan60(2) 18 （6 分）先化简： 2 2 723 () 111 aaa aaa ，再从3、2、1、0、1 中选一个合适的数 作为a的值代入求值 19 （6 分）如图是某货站传送货物的平面示意图为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲 减小传送带与地面的夹角使其由45改为30，已知原传送带AB长为 4 米 （1）求新传送带
6、AC的长度； （结果保留根号） （2）如果需要在货物着地点C的左侧留出 2 米的通道，试判断距离B点 5 米的货物DEFG 是否需要挪走， 并说明理由 （结果精确到 0.1 米参考数据：21.41，31.73，62.45) 四解答题四解答题 20 （8 分）近年以来，雾霾天气让环保和健康问题成为焦点，某校为了调查学生对雾霾天 气知识的了解程度， 在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查， 调查结果共分为四个等 级：A非常了解；B比较了解；C基本了解；D不了解将调查结果整理后绘制 第 4 页（共 30 页） 成如图所示的不完整的统计图请你根据图中提供的信息回答下列问题： （1）本次调查共抽取了多
7、少名学生？ （2）通过计算补全条形统计图； （3）求扇形统计图中，B部分扇形所对应的圆心角的度数； （4）若该校共有 1200 名学生，请你估计该校比较了解雾霾天气知识的学生的人数 21 （8 分） 对于关于x的方程 2 (21)420 xmxm， 求满足下列条件的m的取值范围， （1）两个正根； （2）有两个负根； （3）两个根都小于1； （4）两个根都大于 1 2 ； （5）一个根大于 2，一个根小于 2； （6）两个根都在(0,2)内； （7）两个根有且仅有一个在(0,2)内； （8）一个根在( 2,0)内，另一个根在(1,3)内； （9）一个正根，一个负根且正根绝对值较大； (10)一
8、个根小于 2，一个根大于 4 五解答题五解答题 22 （9 分）为加强校园文化建设，某校准备打造校园文化墙，需用甲、乙两种石材经市场 调查，甲种石材的费用y（元)与使用面积 2 ()x m间的函数关系如图所示，乙种石材的价格 为每平方米 50 元 （1）求y与x间的函数解析式； （2） 若校园文化墙总面积共 2 600m， 其中使用甲石材 2 xm， 设购买两种石材的总费用为w元， 请直接写出w与x间的函数解析式； 第 5 页（共 30 页） （3）在（2）的前提下，若甲种石材使用面积多于 2 300m，且不超过乙种石材面积的 2 倍， 那么应该怎样分配甲、乙两种石材的面积才能使总费用最少？最
9、少总费用为多少元？ 23 （9 分）勾股定理是数学史上非常重要的一个定理早在 2000 多年以前，人们就开始对 它进行研究，至今已有几百种证明方法在欧几里得编的原本中证明勾股定理的方法如 下，请同学们仔细阅读并解答相关问题： 如图，分别以Rt ABC的三边为边长，向外作正方形ABDE、BCFG、ACHI （1）连接BI、CE，求证：ABIAEC ； （2）过点B作AC的垂线，交AC于点M，交IH于点N 试说明四边形AMNI与正方形ABDE的面积相等； 请直接写出图中与正方形BCFG的面积相等的四边形 （3）由第（2）题可得： 正 方 形ABDE的 面 积正 方 形BCFG的 面 积 的 面 积
10、 ， 即 在Rt ABC中 ， 22 ABBC 六解答题六解答题 24 （10 分）如图 1，我们将经过抛物线顶点的所有非竖直的直线，叫做该抛物线的“风车 线” ，若抛物线的顶点为( , )P a b，则它的所有“风车线”可以统一表示为：()yk xab， 即当xa时，y始终等于b （1）若抛物线 2 2(1)3yx与y轴交于点A，求该抛物线经过点A的“风车线”的解析 式； 第 6 页（共 30 页） （2） 若抛物线可以通过 2 yx 平移得到， 且它的 “风车线” 可以统一表示为32ykxk， 求该抛物线的解析式； （3） 如图 2， 直线:3m yx与直线:29n yx 交于点A， 抛物
11、线 2 2(2)1yx的 “风 车线”与直线m、n分别交于B、C两点，若ABC的面积为 12，求满足条件的“风车线” 的解析式 25 （10 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 2 1 2 yxbxc交x轴于点A，B，点B 的坐标为(4,0)，与y轴于交于点(0, 2)C （1）求此抛物线的解析式； （2）在抛物线上取点D，若点D的横坐标为 5，求点D的坐标及ADB的度数； （3）在（2）的条件下，设抛物线对称轴l交x轴于点H，ABD的外接圆圆心为M（如图 1)， 求点M的坐标及M的半径； 过点B作M的切线交于点P（如图2)，设Q为M上一动点，则在点运动过程中 QH QP 的值是否变化？若不
12、变，求出其值；若变化，请说明理由 第 7 页（共 30 页） 2021 年湖南省长沙市开福区部分中学中考数学模拟试卷（一）年湖南省长沙市开福区部分中学中考数学模拟试卷（一） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（满分一选择题（满分 30 分，每小题分，每小题 3 分）分） 1 （3 分）若( 2) 表示一个数的相反数，则这个数是( ) A 1 2 B 1 2 C2 D2 【解答】解：( 2)2 ，2 的相反数是：2 故选：D 2 （3 分）下列把 2034000 记成科学记数法正确的是( ) A 6 2.034 10 B 5 20.34 10 C 6 0.2034 10 D 3 2.
13、034 10 【解答】解：数字 2034000 科学记数法可表示为 6 2.034 10 故选：A 3 （3 分）下面 4 个汽车标志图案，其中不是轴对称图形的是( ) A B C D 【解答】解：A、是轴对称图形，故错误； B、是轴对称图形，故错误； C、是轴对称图形，故错误； D、不是轴对称图形，故正确 故选：D 4 （3 分）下列运算正确的是( ) A 428 aaa B 623 aaa C 2 22 (2)4?aba b D 3 25 ()aa 【解答】解：A 426 aaa，故本选项不合题意； B 624 aaa，故本选项不合题意； C 2 224 (2)4aba b，正确； D 3
14、 26 ()aa，故本选项不合题意； 故选：C 5 （3 分）如图，直线/ /ab，CDAB于点D，若140 ，则2为( ) 第 8 页（共 30 页） A140 B130 C120 D50 【解答】解：140 ， 40DCB， CDAB于点D， 90BDC， 50ABC， / /ab， 218018050130DBC ， 故选：B 6 （3 分）2015 年 7 月份，某市一周空气质量报告中某项污染指数的数据是：31，35，31， 33，30，33，31则下列关于这列数据表述正确的是( ) A众数是 30 B中位数是 31 C平均数是 33 D极差是 35 【解答】解：A、31 出现了 3
15、次，出现的次数最多，则众数是 31，故本选项错误； B、把这些数从小到大排列为 30，31，31，31，33，33，35，最中间的数是 31，则中位数 是 31，故本选项正确； C、这组数据的平均数是(3031 31 31 333335)732，故本选项错误； D、极差是：35305，故本选项错误； 故选：B 7 （3 分）已知关于x的一元二次方程 22 (21)0 xmxm有实数根，则m的取值范围是( ) A0m B 1 4 m C 1 4 m D 1 4 m 【解答】解：根据题意得， 222 4 (21)441 0bacmmm ， 解得： 1 4 m， 故选：B 第 9 页（共 30 页）
16、 8 （3 分）与2是同类二次根式的是( ) A32 B12 C 2 3 D 3 2 【解答】解：A、324 2，与2被开方数相同，是同类二次根式； B、1223，与2被开方数不同，不是同类二次根式； C、 26 33 ，与2被开方数不同，不是同类二次根式； D、 36 22 ，与2不是同类二次根式 故选：A 9 （3 分）与点(2, 3)在同一反比例函数图象上的点是( ) A( 1.5,4) B( 1, 6) C(6,1) D( 2, 3) 【解答】解：设反比例数为 k y x ， 反比例数为 k y x 的图象过点(2, 3)， 2 ( 3)6kxy ， 四个答案中只有A的横纵坐标的积等于
17、6， 故选：A 10（3 分） 如图， 菱形ABCD中，3AB ，E是BC上一个动点 （不与点B、C重合） ，/ /EFAB， 交BD于点G，设BEx，GED的面积与菱形ABCD的面积之比为y，则y与x的函数图 象大致为( ) A B C D 【解答】解：连接BF， 第 10 页（共 30 页） 四边形ABCD是菱形，3AB ， / /ADBC，3ABBCCDAD， / /EFAB， 四边形ABEF是平行四边形， AFBEx， 11 2236 BEFABEFABCDABCD xx SSSS 平行四边形平行四边形平行四边形 ， / /ADBC， GBEGDF， 3 GEBEx GFDFx ， 2
18、 3318 BEGBEFBEFABCD xxx SSSS xx 平行四边形 ， / /ADBC， 6 BEDBEFABCD x SSS 平行四边形 ， 2 2 11 618186 GEDBEDBEGABCDABCDABCD xx SSSSSxx S 平行四边形平行四边形平行四边形 ， 2 11 186 GED ABCD S xx S 平行四边形 ， 即 2 11 (03) 186 yxxx ， 1 0 18 ， 2 11 (03) 186 yxxx 是开口向下的抛物线， 故选：A 二填空题（满分二填空题（满分 18 分，每小题分，每小题 3 分）分） 11 （3 分）把多项式 2 44axax
19、a因式分解的结果是 2 (2)a x 【解答】解： 2 44axaxa 2 (44)a xx 2 (2)a x 第 11 页（共 30 页） 故答案为： 2 (2)a x 12 （3 分）计算： 91 8 22 3 2 【解答】解：原式 3 22 2 2 22 3 2 故答案为：3 2 13 （3 分）某校九（1）班准备举行一次演讲比赛，甲、乙、丙三人通过抽签方式决定出场 顺序，则出场顺序恰好是甲、乙、丙的概率是 1 6 【解答】解：画出树状图得： 共有 6 种等可能的结果，其中出场顺序恰好是甲、乙、丙的只有 1 种结果， 出场顺序恰好是甲、乙、丙的概率为 1 6 ， 故答案为： 1 6 14
20、 （3 分）如图，点A、B、C都在O上，60ACB，则AOB的度数为 120 【解答】解：点A、B、C都在O上，60ACB， 2120AOBACB ， 故答案为：120 15 （3 分）将一列有理数1，2，3，4，5，6如图所示有序排列，4 所在位置为峰 1， 9所在位置为峰2 （1）处在峰 5 位置的有理数是 24 ； 第 12 页（共 30 页） （2）2022 应排在A，B，C，D，E中 的位置上 【解答】解： （1）观察发现：峰n中，A位置的绝对值可以表示为：53n ； B位置的绝对值可以表示为：52n ； C位置（峰顶）的绝对值可以表示为：51n ； D位置的绝对值可以表示为：5n；
21、 E位置的绝对值可以表示为：51n ； 处在峰 5 位置的有理数是55124 ； （2）根据规律，202254053， 2022应排在A的位置 故答案为： （1）24； （2）A 16（3分） 如图，CAB与CDE均是等腰直角三角形， 并且90ACBDCE 连接BE， AD的延长线与BC、BE的交点分别是点G与点F，且AFBE，将CDE绕点C旋转直 至/ /CDBE时，若4.5DA ，2DG ，则BF的值是 3 2 【解答】解：如图， 第 13 页（共 30 页） / /CDBE， 90CDGAFB ， 90AGCDCG，90ADC， ACDAGC ，90ADCCDG ， ADCCDG， CD
22、DG DACD 2 CDDA DG， 4.5DA ，2DG ， 3DC / /CDBE，90DFE 90FDC 90CDFDCEAFE ， 四边形DCEF是矩形， 又CDCE， 四边形DCEF是正方形， 3DFCD， 321GFDFDG， / /CDBE， BFGCDG， CDDG BFGF ， 32 1BF ， 3 2 BF 第 14 页（共 30 页） 故答案为： 3 2 三解答题（共三解答题（共 3 小题，满分小题，满分 18 分，每小题分，每小题 6 分）分） 17 （6 分）计算： 0 2sin45|21|tan60(2) 【解答】解：原式 2 22131 2 22131 2 23
23、18 （6 分）先化简： 2 2 723 () 111 aaa aaa ，再从3、2、1、0、1 中选一个合适的数 作为a的值代入求值 【解答】解：原式 (7)(1)2(1) (1)(1) (1)(1)(3) aaaaa aaa a 2 69 (3) aa a a 2 (3) (3) a a a 3a a ， 当3a ，1，0，1 时，原式没有意义，舍去， 当2a 时，原式 1 2 19 （6 分）如图是某货站传送货物的平面示意图为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲 减小传送带与地面的夹角使其由45改为30，已知原传送带AB长为 4 米 （1）求新传送带AC的长度； （结果保留根号） （2）如
24、果需要在货物着地点C的左侧留出 2 米的通道，试判断距离B点 5 米的货物DEFG 是否需要挪走， 并说明理由 （结果精确到 0.1 米参考数据：21.41，31.73，62.45) 【解答】解： （1）如图， 在Rt ABM中，sin452 2AMAB 第 15 页（共 30 页） 在Rt ACM中， 30ACM， 24 2ACAM 即新传送带AC的长度约为4 2米； （2）结论：货物DEFG不用挪走 解：在Rt ABM中，cos452 2BMAB 在Rt ACM中，32 6CMAM 2 62 22.08CBCMBM 52.082.922DCDBCB， 货物DEFG不应挪走 四解答题四解答题
25、 20 （8 分）近年以来，雾霾天气让环保和健康问题成为焦点，某校为了调查学生对雾霾天 气知识的了解程度， 在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查， 调查结果共分为四个等 级：A非常了解；B比较了解；C基本了解；D不了解将调查结果整理后绘制 成如图所示的不完整的统计图请你根据图中提供的信息回答下列问题： （1）本次调查共抽取了多少名学生？ （2）通过计算补全条形统计图； （3）求扇形统计图中，B部分扇形所对应的圆心角的度数； （4）若该校共有 1200 名学生，请你估计该校比较了解雾霾天气知识的学生的人数 第 16 页（共 30 页） 【解答】解： （1）2010%200（人)， 答：本次调
26、查共抽取了 200 人； （2）D等级人数：20035%70（人)， B等级人数：20020807030（人)， 补全条形统计图如图所示： （3） 30 36054 200 ， 答：扇形统计图中，B部分扇形所对应的圆心角的度数为54； （4） 30 1200180 200 （人)， 答：该校比较了解雾霾天气知识的学生的人数为 180 人 21 （8 分） 对于关于x的方程 2 (21)420 xmxm， 求满足下列条件的m的取值范围， （1）两个正根； （2）有两个负根； （3）两个根都小于1； （4）两个根都大于 1 2 ； （5）一个根大于 2，一个根小于 2； （6）两个根都在(0,2)
27、内； （7）两个根有且仅有一个在(0,2)内； 第 17 页（共 30 页） （8）一个根在( 2,0)内，另一个根在(1,3)内； （9）一个正根，一个负根且正根绝对值较大； (10)一个根小于 2，一个根大于 4 【解答】解：若原方程有两实数根，则 2 (21)4 1 (42 ) 0mm ， 整理得： 2 4415 0mm， 即(25)(23) 0mm， 解得： 3 2 m或 5 2 m 设 2 ( )(21)42f xxmxm， 则该二次函数的图象开口向上，对称轴为 211 2 12 m xm ， 且该二次函数的图象与x轴交点的横坐标等于方程 2 (21)420 xmxm的根 （1）若方
28、程两个正根，如图 1， 结合图象可得： 420 1 0 2 m m ， 解得： 1 2 m ， 3 2 m或 5 2 m， 5 2 m （2）若方程有两个负根，如图 2， 第 18 页（共 30 页） 结合图象可得： 420 1 0 2 m m ， 解得： 1 2 2 m， 3 2 m或 5 2 m， 3 2 2 m （3）若方程两个根都小于1，如图 3， 结合图象可得： 1 1 2 ( 1)1(21)420 m fmm ， 该不等式组无解 （4）若方程两个根都大于 1 2 ，如图 4， 第 19 页（共 30 页） 结合图象可得： 11 22 111 ( )(21)420 242 m fmm
29、 ， 解得：0m 3 2 m或 5 2 m， 5 2 m （5）若方程一个根大于 2，一个根小于 2，如图 5， 结合图象可得：f（2）42(21)42260mmm， 解得：3m 3 2 m，或 5 2 m， 3m 第 20 页（共 30 页） （6）若方程两个根都在(0,2)内，如图 6， 结合图象可得： 1 02 2 (0)420 (2)42(21)420 m fm fmm ， 解得： 31 22 m 3 2 m或 5 2 m， m不存在 （7）若方程两个根有且仅有一个在(0,2)内，如图 7， 结合图象可得：(0)ff（2）0， (42 )(26)0mm， 即(24)(26)0mm， 解
30、得：2m 或3m 第 21 页（共 30 页） 3 2 m或 5 2 m， 2m或3m （8）若方程一个根在( 2,0)内，另一个根在(1,3)内，如图 8， 结合图象可得： (2)0 (0)0 (1)0 (3)0 f f f f ， 即 1060 420 40 4100 m m m ， 不等式组无解 （9）若方程一个正根，一个负根且正根绝对值较大，如图 9， 第 22 页（共 30 页） 结合图象可得： 1 0 2 420 m m ， 不等式组无解 (10)若方程一个根小于 2，一个根大于 4，如图 10， 结合图象可得： (2)0 (4)0 f f ， 即 260 6160 m m ， 解
31、得：3m 3 2 m或 5 2 m， 3m 五解答题五解答题 22 （9 分）为加强校园文化建设，某校准备打造校园文化墙，需用甲、乙两种石材经市场 调查，甲种石材的费用y（元)与使用面积 2 ()x m间的函数关系如图所示，乙种石材的价格 为每平方米 50 元 （1）求y与x间的函数解析式； （2） 若校园文化墙总面积共 2 600m， 其中使用甲石材 2 xm， 设购买两种石材的总费用为w元， 请直接写出w与x间的函数解析式； （3）在（2）的前提下，若甲种石材使用面积多于 2 300m，且不超过乙种石材面积的 2 倍， 那么应该怎样分配甲、乙两种石材的面积才能使总费用最少？最少总费用为多少
32、元？ 第 23 页（共 30 页） 【解答】解： （1）0300 x剟时， 设(0)ykxb k， 过(0,0)，(300,24000)， 0 30024000 b kb ， 解得 80 0 k b ， 80yx， 300 x 时， 设(0)ykxb k， 过(300,24000)，(500,30000)， 30024000 50030000 kb kb ， 解得 30 15000 k b ， 3015000yx， 80 (0300) 3015000(300) xx y xx 剟 ； （2）当0300 x剟时，8050(600)3030000wxxx； 当300 x 时，301500050(6
33、00)wxx， 即2045000wx ； 303000(0300) 2045000(300) xx w xx 剟 ； 第 24 页（共 30 页） （3）设甲种石材为a 2 m，则乙种石材 2 (600)a m， 300 2(600) x xx ， 300400 x ， 由（2）知2045000wx ， 200k ， W随x的增大而减小， 即甲 2 400m，乙 2 200m时， 204004500037000 min W 答：甲种石材 2 400m，乙种石材 2 200m时，总费用最少，最少总费用为 37000 元 23 （9 分）勾股定理是数学史上非常重要的一个定理早在 2000 多年以前
34、，人们就开始对 它进行研究，至今已有几百种证明方法在欧几里得编的原本中证明勾股定理的方法如 下，请同学们仔细阅读并解答相关问题： 如图，分别以Rt ABC的三边为边长，向外作正方形ABDE、BCFG、ACHI （1）连接BI、CE，求证：ABIAEC ； （2）过点B作AC的垂线，交AC于点M，交IH于点N 试说明四边形AMNI与正方形ABDE的面积相等； 请直接写出图中与正方形BCFG的面积相等的四边形 （3）由第（2）题可得： 正方形ABDE的面积正方形BCFG的面积 正方形ACHI 的面积，即在Rt ABC中， 22 ABBC 【解答】 （1）证明：四边形ABDE、四边形ACHI是正方形
35、， ABAE，ACAI，90BAECAI ， 第 25 页（共 30 页） EACBAI ， 在ABI和AEC中， ABAE BAIEAC AIAC ， ()ABIAEC SAS ； （2）证明：BMAC，AIAC， / /BMAI， 四边形AMNI的面积2 ABI 的面积， 同理：正方形ABDE的面积2 AEC 的面积， 又ABIAEC ， 四边形AMNI与正方形ABDE的面积相等 解：四边形CMNH与正方形BCFG的面积相等，理由如下： 连接BH，过H作HPBC于P，如图所示： 易证()CPHABC AAS ，四边形CMNH是矩形， PHBC， BCH的面积 11 22 CHNHBCPH，
36、 2 CHNHBC， 四边形CMNH与正方形BCFG的面积相等； （3）解：由（2）得：正方形ABDE的面积正方形BCFG的面积正方形ACHI的面积； 即在Rt ABC中， 222 ABBCAC； 故答案为：正方形ACHI， 2 AC 六解答题六解答题 24 （10 分）如图 1，我们将经过抛物线顶点的所有非竖直的直线，叫做该抛物线的“风车 线” ，若抛物线的顶点为( , )P a b，则它的所有“风车线”可以统一表示为：()yk xab， 第 26 页（共 30 页） 即当xa时，y始终等于b （1）若抛物线 2 2(1)3yx与y轴交于点A，求该抛物线经过点A的“风车线”的解析 式； （2
37、） 若抛物线可以通过 2 yx 平移得到， 且它的 “风车线” 可以统一表示为32ykxk， 求该抛物线的解析式； （3） 如图 2， 直线:3m yx与直线:29n yx 交于点A， 抛物线 2 2(2)1yx的 “风 车线”与直线m、n分别交于B、C两点，若ABC的面积为 12，求满足条件的“风车线” 的解析式 【解答】解： （1）对于 2 2(1)3yx，令0 x ，则1y ，故点(0,1)A， 顶点P的坐标为( 1,3)， 则“风车线”的表达式为(1)3yk x， 将点A的坐标代入上式并解得：2k ， 故“风车线”的解析式为2(1)321yxx ； （2）32(3)2ykxkk x，故
38、点P的坐标为( 3, 2) ， 故平移后的抛物线表达式为 2 (3)2yx； （3）抛物线的表达式为 2 2(2)1yx，则点(2,1)P， 则“风车线”的表达式为(2)1yk x， 联立 3 29 yx yx ，解得 2 5 x y ，故点(2,5)A， 故514AP ， 第 27 页（共 30 页） 则ABC的面积 1 4()12 2 APBAPCCB SSxx ， 解得：6 CB xx， 设点B的横坐标为t，则点C的横坐标为6t ， 点B在直线m上，则点( ,3)B t t ， 同理点(6, 23)C tt， 将点B、C的坐标分别代入(2)1yk x，得 3(2)1 23(62)1 tk
39、 t tk t ， 解得 0 1 t k 或 0 2 k t ， 故“风车线”的表达式为(2)1(2)13yk xxx 或1y 25 （10 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 2 1 2 yxbxc交x轴于点A，B，点B 的坐标为(4,0)，与y轴于交于点(0, 2)C （1）求此抛物线的解析式； （2）在抛物线上取点D，若点D的横坐标为 5，求点D的坐标及ADB的度数； （3）在（2）的条件下，设抛物线对称轴l交x轴于点H，ABD的外接圆圆心为M（如图 1)， 求点M的坐标及M的半径； 过点B作M的切线交于点P（如图2)，设Q为M上一动点，则在点运动过程中 QH QP 的值是否变化？若不
40、变，求出其值；若变化，请说明理由 【解答】解： （1）2c ，将点B的坐标代入抛物线表达式得： 1 01642 2 b，解得： 第 28 页（共 30 页） 3 2 b ， 抛物线的解析式为 2 13 2 22 yxx； （2）当5x 时， 2 13 23 22 yxx，故D的坐标为(5,3)， 令0y ，则4x （舍去）或1，故点( 1,0)A ， 如图，连接BD，作BNAD于N， ( 1,0)A ，(4,0)B，(0, 2)C， 3 5AD，10BD ，5AB ， 5 33 5 22 ABD BN S ， 5BN， 52 sin 210 BN BDN BD ， 45BDN； 45ADBBDN ； （3）如图，连接MA，MB， 第 29 页（共 30 页） 45ADB， 290AMBADB ， MAMB，MHAB， 5 2 AHBHHM， 点M的坐标为 3 ( 2 ， 5) 2 M的半径为 5 2 2 ； 如图，连接MQ，MB， 过点B作M的切线交 1 于点P， 90MBP， 45MBO， 45PBH， 5PHHB， 5 2 2 25 2 2 MH MQ ， 5 2 2 2 5 2 2 MQ MP ， HMQQMP， HMQQMP， 第 30 页（共 30 页） 2 2 QHMH QPMQ ， 在点Q运动过程中 QH QP 的值不变，其值为 2 2
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