1、 第 1 页（共 29 页） 2021 年河南省许昌市禹州市中考数学一模试卷年河南省许昌市禹州市中考数学一模试卷 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的. 1 （3 分）下列方程中，属于一元二次方程的是( ) A232yx B 2 312xx C 2 1 21?x x D53x 2 （3 分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A B C D 3 （3 分）下列说法中，正确的是( ) A “任意画一个多边形，其内角和是360”是必然事件 B “如果 22 a
2、b，那么ab”是必然事件 C可能性是50%的事件，是指在两次试验中一定有一次会发生 D “从一副扑克牌（含大小王）中抽一张，恰好是红桃”是随机事件 4 （3 分）如图，已知直线/ / / /abc，若9AB ，6BC ，10DF ，则DE的长为( ) A4 B5 C6 D7 5 （3 分）如图，在ABC中，138BAC，将ABC绕点A按逆时针方向旋转得到 AB C 若点 B 刚好落在BC边上，且ABCB，则C的度数为( ) 第 2 页（共 29 页） A16 B15 C14 D13 6 （3 分）已知点( ,)A a m，(1, )B an，(3, 1)C在反比例函数 k y x 的图象上若1
3、a ，则 m，n的大小关系是( ) Amn Bmn Cmn Dm，n的大小不确定 7 （3 分）已知关于x的一元二次方程 2 (1)21mxx有两个实数根，则m的取值范围是( ) A2m B2m C2m D2m，且1m 8 （3 分）在一个不透明的袋子里装有红球，黄球共 60 个，这些球除颜色外其他都相同小 明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在 0.25 左右，则袋子中红球的个数最有可能是( ) A9 B15 C18 D24 9 （3 分）如图，点A是第一象限内双曲线(0) m ym x 上一点，过点A作/ /ABx轴，交 双曲线(0) n yn x 于点B， 作/ /ACy轴， 交双曲线
4、(0) n yn x 于点C， 连接BC 若ABC 的面积为 9 2 ，则m，n的值不可能是( ) 第 3 页（共 29 页） A 1 9 m ， 10 9 n B 1 4 m ， 5 4 n C1m ，2n D4m ，2n 10 （3 分）如图 1，在等边三角形ABC和矩形DEFG中，ACDE，点C，D，G都在直 线l上，且ACl于点C，DEl于点D，且D，B，E三点共线，将矩形DEFG以每秒 1 个单位长度的速度从左向右匀速运动，直至矩形DEFG和ABC无重叠部分，设矩形 DEFG运动的时间为t秒，矩形DEFG和ABC重叠部分的面积为S，图 2 为S随t的变化 而变化的函数图象，则函数图象
5、中点H的纵坐标是( ) A 4 3 3 B2 3 C 8 3 3 D3 3 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11 （3 分）若 1 3 a ab ，则 b a 的值为 12 （3 分）如图，四边形ABCD内接于O，若120ADC，则AOC的度数为 13 （3 分）已知二次函数 2 4yaxaxc的图象与x轴交于( 1,0)A ，B两点，则点B的坐 标为 14 （3 分）如图，在菱形ABCD中，60B，E，H分别为AB，BC的中点，G，F分 别为线段HD，CE的中点若线段FG的长为2? 3，则AB的长为 15 （3 分）如图，将半径为 2，圆心角为120的
6、扇形OAB绕点B逆时针旋转60，得到扇 第 4 页（共 29 页） 形O A B ，其中点A的运动路径为 AA ，则图中阴影部分的面积为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 个小题，满分个小题，满分 75 分）分） 16 （8 分）先化简，再求值： 22 2224 (?)? 2444 xx xxxx 其中x的值为一元二次方程 2 560 xx的解 17 （9 分）某校在第五届全国学生“学宪法 讲宪法”活动中举办了宪法知识竞赛，并从中 选取了部分学生的竞赛成绩进行统计（满分 100 分，成绩均不低于 50 分） ，绘制了尚不完整 的统计图表 调查结果频数分布表 分数段/分 频数 频率
7、5060 x 2 0.04 6070 x 8 0.16 7080 x m 0.24 8090 x 24 n 90100 x 4 0.08 请根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：m ，n ，本次抽取了 名学生； （2）请补全频数分布直方图； （3） 若甲同学的竞赛成绩是所有竞赛成绩的中位数， 据此推测他的成绩落在 分数段内； （4） 竞赛成绩不低于 90 分的 4 名同学中正好有 2 名男生和 2 名女生， 现准备从中随机选出 2 名同学参加市里面“学宪法 讲完法”演讲比赛，求正好抽到一男一女的概率 第 5 页（共 29 页） 18 （9 分）某校数学实践社团开展了一次“利用数学知识测量学
8、校操场上旗杆高度”的实 践活动，该校九年级学生积极参与小红和小华决定利用下午课间的时间，用测量影长的方 式求出旗杆高度同一时刻测量站在旗杆旁边的小红()CD和旗杆AB的影长时，发现旗杆 的影子一部分落在地面上()BF，另一部分落在了距离旗杆24m的教学楼上()EF经测量， 小红落在地面上的影长DG为2.4m，教学楼上的影长EF为2m已知小红的身高是1.6m， 请根据小红和小华的测量结果，求出旗杆AB的高度 19 （9 分）临近新年，某玩具店计划购进一种玩具，其进价为 30 元/个，已知售价不能低 于成本价在销售过程中，发现该玩具每天的销售量y（个)与售价x（元/个）之间满足一 次函数关系，y与
9、x的几组对应值如表： x 40 45 50 55 y 80 70 60 50 （1）求y与x之间的函数关系式； （2）如果规定该玩具每天的销售量不低于 46 件，当该玩具的售价定为多少元/个时，每天 获取的利润w最大，最大利润是多少？ 第 6 页（共 29 页） 20（9 分） 如图，AC是O的直径， 点B是O上一点， 且BDBA， 过点B作BEDC， 交DC的延长线于点E （1）求证：BE是O的切线； （2）若2BECE，当6AD 时，求BD的长 21 （10 分）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点B的坐标为(1,0)，顶点C 的坐标为(4,2)， 对角线/ /ACx轴， 边
10、AB所在直线 1 yaxb与反比例函数 2 ?(0) k yk x 的 图象交于A，E两点 （1）求 1 y和 2 y的函数解析式； （2）当 12 yy时，求x的取值范围； （3）点P是x轴上一动点，当PAC是以AC为斜边的直角三角形时，请直接写出点P的 坐标 22（10 分） 抛物线 2 23yxaxa与x轴交于点A，B， 与y轴交于点C， 点( 4 ,3 )Da 在抛物线的图象上 （1）求抛物线的解析式； （2） 现规定平面直角坐标系中横纵坐标相等的点为 “不动点” 已知点( N N x，) N y，( Q Q x， ) Q y是抛物线 2 23yxaxa图象上的 “不动点” ， 点H是
11、点N，Q之间抛物线上一点 （不 第 7 页（共 29 页） 与点N，Q重合） ，求点H的纵坐标的取值范围 23 （11 分） （1）如图 1在Rt ACB中，90ACB，8CA ，6BC ，点D、E分别 在边CA，CB上，且3CD ，4CE ，连接AE，BD，F为AE的中点，连接CF交BD于 点G， 则线段CG所在直线与线段BD所在直线的位置关系是 （提示： 延长CF到点M， 使FMCF，连接)AM （2） 将D C E绕点C逆时针旋转至图 2 所示位置时，（1） 中的结论是否仍然成立？若成立， 请给出证明；若不成立，请说明理由 （3）将DCE绕点C逆时针在平面内旋转，在旋转过程中，当B，D，
12、E三点在同一条直 线上时，CF的长为 第 8 页（共 29 页） 2021 年河南省许昌市禹州市中考数学一模试卷年河南省许昌市禹州市中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的. 1 （3 分）下列方程中，属于一元二次方程的是( ) A232yx B 2 312xx C 2 1 21?x x D53x 【解答】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不合题意； B、它是一元二次方程，故此选项符合题意； C、它是分式方
13、程，不是整式方程，故此选项不合题意； D、未知数次数为 1，不是一元二次方程，故此选项不合题意； 故选：B 2 （3 分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A B C D 【解答】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不合题意 故选：A 3 （3 分）下列说法中，正确的是( ) A “任意画一个多边形，其内角和是360”是必然事件 B “如果 22 ab，那么ab”是必然事件 C可能性是50%的事
14、件，是指在两次试验中一定有一次会发生 D “从一副扑克牌（含大小王）中抽一张，恰好是红桃”是随机事件 【解答】解：A “任意画一个多边形，其内角和是360”是随机事件，故原说法错误； 第 9 页（共 29 页） B “当a、b是不为零的相反数时，如果 22 ab，那么ab” ，故原说法错误； C可能性是50%的事件，是指在多次试验中一定有一次会发生，故原说法错误； D “从一副扑克牌（含大小王）中抽一张，恰好是红桃”是随机事件，说法正确 故选：D 4 （3 分）如图，已知直线/ / / /abc，若9AB ，6BC ，10DF ，则DE的长为( ) A4 B5 C6 D7 【解答】解：/ /
15、/ /abc， ABDE BCEF ，即 9 610 DE DE ， 解得，6DE ， 故选：C 5 （3 分）如图，在ABC中，138BAC，将ABC绕点A按逆时针方向旋转得到 AB C 若点 B 刚好落在BC边上，且ABCB，则C的度数为( ) A16 B15 C14 D13 【解答】解：ABCB， CCAB ， 2AB BCCABC ， 将ABC绕点A按逆时针方向旋转得到AB C ， C C ，AB AB ， 2BAB BC ， 180BCCAB， 第 10 页（共 29 页） 3180138C ， 14C， 14CC ， 故选：C 6 （3 分）已知点( ,)A a m，(1, )B
16、an，(3, 1)C在反比例函数 k y x 的图象上若1a ，则 m，n的大小关系是( ) Amn Bmn Cmn Dm，n的大小不确定 【解答】解：点(3, 1)C在反比例函数 k y x 的图象上 3 ( 1)30k ， 此函数的图象在二、四象限内，在每个象限内，y随x的增大而增大， 1a ， 01aa ， A、B两点均在第四象限， mn 故选：B 7 （3 分）已知关于x的一元二次方程 2 (1)21mxx有两个实数根，则m的取值范围是( ) A2m B2m C2m D2m，且1m 【解答】解：根据题意得10m 且 2 ( 2)4(1) 0m ， 解得2m且1m 故选：D 8 （3 分
17、）在一个不透明的袋子里装有红球，黄球共 60 个，这些球除颜色外其他都相同小 明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在 0.25 左右，则袋子中红球的个数最有可能是( ) A9 B15 C18 D24 【解答】解：设袋子中红球有x个， 根据题意，得：0.25 60 x ， 第 11 页（共 29 页） 解得15x ， 袋子中红球的个数最有可能是 15 个， 故选：B 9 （3 分）如图，点A是第一象限内双曲线(0) m ym x 上一点，过点A作/ /ABx轴，交 双曲线(0) n yn x 于点B， 作/ /ACy轴， 交双曲线(0) n yn x 于点C， 连接BC 若ABC 的面积为 9
18、 2 ，则m，n的值不可能是( ) A 1 9 m ， 10 9 n B 1 4 m ， 5 4 n C1m ，2n D4m ，2n 【解答】解：设点A的坐标为( ,1)m， / /ABx轴，/ /ACy轴， 点B的纵坐标为 1，点C的横坐标为m， 将1y 代入反比例函数 n y x 得，xn， ( ,1)B n， ABmn， 将xm代入反比例函数 n y x 得， n y m ， ( ,) n C m m ， 1 n AC m ， 2 11()9 ()(1) 2222 ABC nmn SAB ACmn mm ， 3mnm， 选项A中， 1101 ()3 999 ， 第 12 页（共 29 页
19、） 选项A符合题意， 故选：A 10 （3 分）如图 1，在等边三角形ABC和矩形DEFG中，ACDE，点C，D，G都在直 线l上，且ACl于点C，DEl于点D，且D，B，E三点共线，将矩形DEFG以每秒 1 个单位长度的速度从左向右匀速运动，直至矩形DEFG和ABC无重叠部分，设矩形 DEFG运动的时间为t秒，矩形DEFG和ABC重叠部分的面积为S，图 2 为S随t的变化 而变化的函数图象，则函数图象中点H的纵坐标是( ) A 4 3 3 B2 3 C 8 3 3 D3 3 【解答】解：由图 2 可知，矩形DEFG运动到第二秒和第三秒时，重叠部分的面积S与时间 t的函数关系都发生改变， 当矩
20、形DEFG向右匀速运动到第 2 秒时，FG恰好经过点B； 矩形DEFG向右匀速运动到第 3 秒时，DE恰好与CA重合 2EF，AC边上的高为 3， 当矩形DEFG向右匀速运动到第 3 秒时，DE恰好与CA重合， 过点B作BMCA于点M， 交FG于点N， 设AB与FG交于点P，BC与FG交于点Q，如解图所示，此时S取得最大值， 3BM，2NMEF 1BN，2 3AC ， 在矩形FGCA中，/ /FGAC， BPQBAC， 第 13 页（共 29 页） 2 () BPQ BAC S BN SBM 2 1 ( ) 3 1 9 PQCA SS 梯形 8 9 BAC S 81 92 ACBM 8 3 3
21、 点H的纵坐标是 8 3 3 故选：C 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11 （3 分）若 1 3 a ab ，则 b a 的值为 2 【解答】解： 1 3 a ab ， 3aab， 故2ab， 则 2 2 ba aa 故答案为：2 12（3 分） 如图， 四边形ABCD内接于O， 若120ADC， 则A O C的度数为 120 【解答】解：四边形ABCD内接于O， 18018012060BADC ， 由圆周角定理得，2120AOCB ， 故答案为：120 第 14 页（共 29 页） 13 （3 分）已知二次函数 2 4yaxaxc的图象与x轴交于(
22、1,0)A ，B两点，则点B的坐 标为 (5,0) 【解答】解：函数的对称轴为 4 2 2 a x a ， 由点A、B关于2x 对称得，点(5,0)B， 故答案为：(5,0) 14 （3 分）如图，在菱形ABCD中，60B，E，H分别为AB，BC的中点，G，F分 别为线段HD，CE的中点若线段FG的长为2? 3，则AB的长为 8 【解答】解：如图，连接CG并延长，交AD于点M，连接EM， 四边形ABCD为菱形，60B， / /ADBC， 120A，MGDCGH ， 点G为HD的中点， HGDG， MGDCGH ， ()MGDCGH ASA ， MGCG， 11 22 MDCHBCAD， 点G为
23、MC的中点，点M为AD的中点， F，G分别为CE和CM的中点， FG是CEM的中位线， 1 2 FGEM， 第 15 页（共 29 页） 24 3EMFG， E，M分别为AB和AD的中点， AEAM， 120A， 34 3EMAE， 4AE， 28ABAE 故答案为：8 15 （3 分）如图，将半径为 2，圆心角为120的扇形OAB绕点B逆时针旋转60，得到扇 形O A B ，其中点A的运动路径为 AA ，则图中阴影部分的面积为 22 3 【解答】解：如图，连接BA，BA，OO，OO， 将半径为 2，圆心角为120的扇形OAB绕点B逆时针旋转60，得到扇形O A B ， BABA，BOBO，6
24、0ABAOBO ， OBO是等边三角形， 1 60 2 BOOAOB ， 当O是AB的中点， AOBO SS 弓形弓形 ， 第 16 页（共 29 页） 120AOB，2OAOB， 2 3AB， OAOBAOBO ， 四边形AOBO是菱形， AOBAO B SS ， 在AO B和AO B 中， ABA B BOBO AOAO ， AO B()AO B SSS ， AO BA O B SS ， 图中阴影部分的面积 AO BA O BBAA SSS 扇形 2 AO BBAA SS 扇形 _BAAAOBO SS 扇形菱形 2 60(2 3)1 22 3 3602 22 3 故答案为：22 3 三、解
25、答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 个小题，满分个小题，满分 75 分）分） 16 （8 分）先化简，再求值： 22 2224 (?)? 2444 xx xxxx 其中x的值为一元二次方程 2 560 xx的解 【解答】解： 22 2224 (?)? 2444 xx xxxx 2 22(2) 2(2)(2)2(2) xx xxxx 2 2(2)2(2) (2)(2) 2(2) xxx xxx 242 2(2) xx x 4 2(2)x 第 17 页（共 29 页） 2 2x ， 由方程 2 560 xx可得， 1 2x ， 2 3x ， 当2x 时，原分式无意义， 3x ， 当3x 时，原
26、式 2 2 32 17 （9 分）某校在第五届全国学生“学宪法 讲宪法”活动中举办了宪法知识竞赛，并从中 选取了部分学生的竞赛成绩进行统计（满分 100 分，成绩均不低于 50 分） ，绘制了尚不完整 的统计图表 调查结果频数分布表 分数段/分 频数 频率 5060 x 2 0.04 6070 x 8 0.16 7080 x m 0.24 8090 x 24 n 90100 x 4 0.08 请根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：m 12 ，n ，本次抽取了 名学生； （2）请补全频数分布直方图； （3） 若甲同学的竞赛成绩是所有竞赛成绩的中位数， 据此推测他的成绩落在 分数段内； （4
27、） 竞赛成绩不低于 90 分的 4 名同学中正好有 2 名男生和 2 名女生， 现准备从中随机选出 2 名同学参加市里面“学宪法 讲完法”演讲比赛，求正好抽到一男一女的概率 第 18 页（共 29 页） 【解答】解： （1）本次调查的总人数为20.0450（名)， 则500.2412m ，24500.48n ， 故答案为：12、0.48、50； （2）补全频数分布直方图如下： （3）共有 50 个数据，其中位数是第 25、26 个数据的平均数，而第 25、26 个数据均落在 8090 x， 这组数据的中位数在8090 x，即推测他的成绩落在8090 x分数段内， 故答案为：8090 x； （4
28、）列表得： 第 19 页（共 29 页） 男 1 男 2 女 1 女 2 男 1 男 2 男 1 女 1 男 1 女 2 男 1 男 2 男 1 男 2 女 1 男 2 女 2 男 2 女 1 男 1 女 1 男 2 女 1 女 2 女 1 女 2 男 1 女 2 男 2 女 2 女 1 女 2 由表格可知，共有 12 种可能出现的结果，并且它们都是等可能的，其中“1 名男生、1 名女 生”有 8 种可能 所以所选取的 2 名学生中恰好有 1 名男生、1 名女生的概率为 82 123 18 （9 分）某校数学实践社团开展了一次“利用数学知识测量学校操场上旗杆高度”的实 践活动，该校九年级学生积
29、极参与小红和小华决定利用下午课间的时间，用测量影长的方 式求出旗杆高度同一时刻测量站在旗杆旁边的小红()CD和旗杆AB的影长时，发现旗杆 的影子一部分落在地面上()BF，另一部分落在了距离旗杆24m的教学楼上()EF经测量， 小红落在地面上的影长DG为2.4m，教学楼上的影长EF为2m已知小红的身高是1.6m， 请根据小红和小华的测量结果，求出旗杆AB的高度 【解答】解：延长AE交BF延长线于点M， 由题意知，DCGFEM， EFCD FMDG ， 第 20 页（共 29 页） 1.6CDm，2.4DGm，2EFm， 21.6 2.4FM ， 解得：3( )FMm， 27( )BMBFFMm，
30、 由题意得，DCGBAM， ABCD BMDG ， 1.6 272.4 AB ， 18( )ABm， 答：旗杆AB的高度为18m 19 （9 分）临近新年，某玩具店计划购进一种玩具，其进价为 30 元/个，已知售价不能低 于成本价在销售过程中，发现该玩具每天的销售量y（个)与售价x（元/个）之间满足一 次函数关系，y与x的几组对应值如表： x 40 45 50 55 y 80 70 60 50 （1）求y与x之间的函数关系式； （2）如果规定该玩具每天的销售量不低于 46 件，当该玩具的售价定为多少元/个时，每天 获取的利润w最大，最大利润是多少？ 【解答】解： （1）设y与x之间的函数关系式
31、为(0)ykxb k， 将(40,80)，(50,60)代入， 得 4080 5060 kb kb ， 解得 2 160 k b ， y与x之间的函数关系式为2160yx ； （2）售价不能低于成本价， 30 x 又由2160 46x，解得57x， 3057x剟 第 21 页（共 29 页） 根据题意，得(30)( 2160)wxx 2 22204800 xx 2 2(55)1250 x， 当55x 时，w最大，最大值为 1250 当该玩具的售价定为 55 元/个时，每天获取的利润w最大，最大利润是 1250 元 20（9 分） 如图，AC是O的直径， 点B是O上一点， 且BDBA， 过点B作
32、BEDC， 交DC的延长线于点E （1）求证：BE是O的切线； （2）若2BECE，当6AD 时，求BD的长 【解答】 （1）证明：连接OB、OD，如图 1 所示： ABDB，AODO，BOBO， ()ABODBO SSS ， ABODBO ， OAOB，BDCBAC ， ABOBACBDC ， DBOBDC ， / /OBDE， BEDC， BEOB， BE是O的切线； （2）解：延长BO交AD于点F，如图 2 所示： 由（1）可知，ABODBO ， ABBD， 第 22 页（共 29 页） BFAD， 1 3 2 AFDFAD， BAFBCE ，90AFBE ，2BECE， ABFCBE，
33、 2 BFBE AFCE ， 26BFAF， 在Rt ABF中，由勾股定理得： 2222 363 5ABAFBF， 3 5BDAB 21 （10 分）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点B的坐标为(1,0)，顶点C 的坐标为(4,2)， 对角线/ /ACx轴， 边AB所在直线 1 yaxb与反比例函数 2 ?(0) k yk x 的 图象交于A，E两点 （1）求 1 y和 2 y的函数解析式； （2）当 12 yy时，求x的取值范围； （3）点P是x轴上一动点，当PAC是以AC为斜边的直角三角形时，请直接写出点P的 坐标 第 23 页（共 29 页） 【解答】解： （1）连接BD
34、， 四边形ABCD为菱形，/ /ACx轴， 由图形的对称性知，点A、C关于BD对称， 则点A的坐标为( 2,2)， 将点A、B的坐标代入直线的表达式得 22 0 kb kb ，解得 2 3 2 3 k b ， 故 1 22 33 yx ； 将点A的坐标代入反比例函数表达式得：2 2 k ，解得4k ， 则 2 4 y x ； （2）联立得： 224 33 x x ，解得2x （舍去）或 3， 则点 2 (3, ) 3 E， 观察函数图象知，当 12 yy时，则x的取值范围为2x 或03x； 第 24 页（共 29 页） （3）设点P的坐标为( ,0)x， 由点P、A、C的坐标得： 22 (42
35、)36AC ， 22 (2)4PAx， 22 (4)4PCx， 由题意得： 222 ACPAPC，即 22 36(2)4(4)4xx， 解得15x ， 故点P的坐标为(15，0)或(15，0) 22（10 分） 抛物线 2 23yxaxa与x轴交于点A，B， 与y轴交于点C， 点( 4 ,3 )Da 在抛物线的图象上 （1）求抛物线的解析式； （2） 现规定平面直角坐标系中横纵坐标相等的点为 “不动点” 已知点( N N x，) N y，( Q Q x， ) Q y是抛物线 2 23yxaxa图象上的 “不动点” ， 点H是点N，Q之间抛物线上一点 （不 与点N，Q重合） ，求点H的纵坐标的取
36、值范围 【解答】解： （1）解法一， 点(4,3)Da 在抛物线 2 23yxaxa的图象上 2 34243aaa ，解得2a 抛物线的解析式为 2 45yxx； 解法二： 抛物线 2 23yxaxa与y轴交于点C 点(0,3)Ca ， 又点(4,3)Da ， 点C，D关于抛物线的对称轴对称， 抛物线的对称轴为直线 04 2 2 x ，即 2 2 2 a ， 解得2a ， 抛物线的解析式为 2 45yxx； （2）横纵坐标相等的点在直线yx上 又点( , )N x y，( , )Q x y是抛物线 2 45yxx图象上的“不动点” ，点N，Q是抛物线 第 25 页（共 29 页） 2 45yx
37、x与直线yx的交点， 令 2 45xxx，整理，得 2 550 xx， 解得 53 5 2 x 或 53 5 2 ； 设 NQ xx，则 53 5 2 N x ， 53 5 2 Q x ， 53 5 ( 2 N ， 53 5 ) 2 ， 53 5 ( 2 Q ， 53 5 ) 2 ， 又 22 45(2)9yxxx ， 抛物线的顶点坐标为(2, 9)， 点H是点N、Q之间抛物线上一点， 由图象，可知 53 5 9 2 H y ， 点H的纵坐标的取值范围为 53 5 9 2 H y 23 （11 分） （1）如图 1在Rt ACB中，90ACB，8CA ，6BC ，点D、E分别 在边CA，CB上
38、，且3CD ，4CE ，连接AE，BD，F为AE的中点，连接CF交BD于 点G，则线段CG所在直线与线段BD所在直线的位置关系是 CGBD （提示：延长 CF到点M，使FMCF，连接)AM （2） 将D C E绕点C逆时针旋转至图 2 所示位置时，（1） 中的结论是否仍然成立？若成立， 请给出证明；若不成立，请说明理由 （3）将DCE绕点C逆时针在平面内旋转，在旋转过程中，当B，D，E三点在同一条直 线上时，CF的长为 【解答】解： （1）结论：CGBD 理由：延长CF到点M，使得FMCF，连接AM 第 26 页（共 29 页） FAFE，AFMEFC ，FMFC， ()AMFECF SAS
39、， 4AMCE，AMFECF ， / /AMCE， 90MACDCB ， 4 3 AMAC CDCB ， MACDCB， DBCACM ， 90ACMGCB， 90DBCGCB， 90CGB， CGBD 故答案为：CGBD （2）结论仍然成立 理由：延长CF到点M，使得FMCF，连接AM 第 27 页（共 29 页） FAFE，AFMEFC ，FMFC， ()AMFECF SAS ， 4AMCE，AMFECF ， / /AMCE， 180MACACE， 180MACACE， 9090180DCBDCEACBACEACEACE ， MACDCB ， 4 3 AMAC CDCB ， MACDCB，
40、 DBCACM ， 90ACMGCB， 90DBCGCB， 90CGB， CGBD （3）如图 3 中，当点E在线段BD上时， 第 28 页（共 29 页） AMCCDB， 4 3 CMAC BDCB ， 在Rt DCE中，3CD ，4CE ， 2222 345DECDCE， CGDE， 12 5 CD CE CG DE ， 在Rt CGB中，6CB ， 12 5 CG 中， 2222 126 21 6() 55 BGBCCG， 在Rt DCG中， 2222 129 3() 55 DGCDCG， 6 219 5 BDBGDG ， 48 2112 35 CMBD ， 14 216 25 CFCM 如图 4 中，当点E在线段BD的延长线上时，同法可得 14 216 25 CFCM 第 29 页（共 29 页） 综上所述，满足条件的CF的值为 4 216 5 或 4 216 5
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