1、2021 年甘肃省天水市张家川县中考数学模拟试卷（年甘肃省天水市张家川县中考数学模拟试卷（3 月份）月份） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确 的，请把正确的选项选出来）的，请把正确的选项选出来） 1如果 a 与6 互为倒数，那么 a 是（ ） A6 B6 C D 2某种芯片每个探针单元的面积为 0.00000164cm2，0.00000164 用科学记数法可表示为（ ） A1.6410 5 B1.6410 6 C16.410 7 D0.1
2、6410 5 3如图是某个几何体的展开图，该几何体是（ ） A三棱柱 B三棱锥 C圆柱 D圆锥 4如图，将直尺与三角尺叠放在一起，如果128，那么2 的度数为（ ） A62 B56 C28 D72 5已知 a+b4，则代数式 1+的值为（ ） A3 B1 C0 D1 6不透明袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随 机摸出一个，两次都摸到红球的概率为（ ） A B C D 7等腰 RtABO 在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点 A（2，0） ，ABBO，则点 B 的坐标为 （ ） A （1，1） B （1，2） C （1，1） D （1，2）
3、8若 ab0，则正比例函数 yax 与反比例函数 y在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A B C D 9如图，点 A、B、C、D 在O 上，BCDC，若BOD124，则A 的大小为（ ） A27 B31 C56 D63 10全民健身的今天，散步是大众喜欢的运动甲、乙两人在绿道上同时从同一起点以各自的速度匀速同 向而行，步行一段时间后，甲因有事按原速度原路返回，此时乙仍按原速度继续前行甲乙两人之间的 距离 s（米）与他们出发后的时间 t（分）的函数关系如图所示，已知甲步行速度比乙快由图象可知， 甲、乙的速度分别是（ ） A60 米/分，40 米/分 B80 米/分，60 米/分 C8
4、0 米/分，40 米/分 D120 米/分，80 米/分 二、填空题（共二、填空题（共 8 小题，每小题小题，每小题 4 分，满分分，满分 32 分）分） 11函数 y的自变量 x 的取值范围是 12方程的解为 13若关于 x 的一元一次不等式组有 2 个整数解，则 a 的取值范围是 14若一组数据 2，3，x，1，5，7 的众数为 7，则这组数据的中位数为 15若关于 x 的一元二次方程 x2+mx+2n0 有一个根是 2，则 m+n 16用一个半径为 30，圆心角为 120的扇形围成一个圆锥，这个圆锥的底面半径是 17如图，菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，过点 D 作
5、DHAB 于点 H，连接 OH，若 OA6，S 菱形ABCD48，则 OH 的长为 18有 2021 个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两数的和若第一个数是 0， 第二个数是 1，则这 2021 个数的和是 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 3 小题，共小题，共 28 分。解答时写出必要的文字说明及演算过程）分。解答时写出必要的文字说明及演算过程） 19 （10 分） （1）计算：14|1|+（1.414）0+2sin60（） 1 （2）先化简，再求值： （x+2+），其中 x1 20 （8 分）某校对九年级学生进行“综合素质”评价，评价的结果分为 A（优秀） 、
6、B（良好） 、C（合格） 、 D（不合格）四个等级，现从中随机抽查了若干名学生的“综合素质”等级作为样本进行数据处理，并 绘制以下两幅不完整的统计图 请根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）请补充完整条形统计图； （2）B（良好）等级人数所占百分比是 ； （3）在扇形统计图中，C（合格）等级所在扇形的圆心角度数是 ； （4）若该校九年级学生共 1000 名，估算评价结果为 A 等级或 B 等级的学生共有多少名？ 21 （10 分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 ymx+n（m0）的图象与 y 轴交于点 C，与反比例函 数 y（k0）的图象交于 A，B 两点，点 A 在第一象限，纵坐标
7、为 4，点 B 在第三象限，BMx 轴， 垂足为点 M，BMOM2 （1）求反比例函数和一次函数的解析式 （2）连接 OB，MC，求四边形 MBOC 的面积 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 50 分。解答时写出必要的演算步骤及推理过程）分。解答时写出必要的演算步骤及推理过程） 22 （7 分）如图，某中学数学活动小组在学习了“利用三角函数测高”后，选定测量小河对岸一幢建筑物 BC 的高度，他们先在 A 处测得建筑物顶端 B 的仰角为 60，然后从 A 处后退 40m 到达 D 处，在 D 处 测得建筑物顶端 B 的仰角是 30，点 D、A、C 在同一水平线上，BCDC （1）求DBC
8、 的度数； （2）求建筑物 BC 的高 （参考数据：1.414，1.732） 23 （10 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，以斜边 AB 上的中线 CD 为直径作O，与 BC 交于点 M，与 AB 的另一个交点为 E，过 M 作 MNAB，垂足为 N （1）求证：MN 是O 的切线； （2）若O 的直径为 5，sinB，求 ED 的长 24 （10 分）小红经营的网店以销售文具为主，其中一款笔记本进价为每本 10 元，该网店在试销售期间发 现，每周销售数量 y（本）与销售单价 x（元）之间满足一次函数关系，三对对应值如下表： 销售单价 x（元） 12 14 16 每周的销售量 y（本
9、） 500 400 300 （1）求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）通过与其他网店对比，小红将这款笔记本的单价定为 x 元（12x15，且 x 为整数） ，设每周销售 该款笔记本所获利润为 w 元，当销售单价定为多少元时每周所获利润最大，最大利润是多少元？ 25 （10 分）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称 为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形 根据以上定义，解决下列问题： （1）如图 1，正方形 ABCD 中 E 是 CD 上的点，将BCE 绕 B 点旋转，使 BC 与 BA 重合，此时点 E 的 对应点 F 在 DA 的延
10、长线上，则四边形 BEDF （填“是”或“不是” ） “直等补”四边形； （2）如图 2，已知四边形 ABCD 是“直等补”四边形，ABBC5，CD1，ADAB，过点 B 作 BE AD 于 E 过 C 作 CFBF 于点 F，试证明：BEDE，并求 BE 的长； 若 M 是 AD 边上的动点，求BCM 周长的最小值 26 （13 分）如图，抛物线 yax2+bx+4（a0）与 x 轴交于点 A（1，0）和点 B（4，0） ，与 y 轴交于点 C，顶点为 D，连接 AC，BC，BC 与抛物线的对称轴 l 交于点 E （1）求抛物线的表达式； （2）点 P 是第一象限内抛物线上的动点，连接 PB
11、，PC，若 SPBCSABC，求点 P 的坐标； （3）点 N 是对称轴 l 右侧抛物线上的动点，在射线 ED 上是否存在点 M，使得以点 M，N，E 为顶点的 三角形与OBC 相似？若存在，直接写出点 M 的坐标；若不存在，说明理由 2021 年甘肃省天水市张家川县中考数学模拟试卷（年甘肃省天水市张家川县中考数学模拟试卷（3 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确 的，请把正确的选项选出来）
12、的，请把正确的选项选出来） 1如果 a 与6 互为倒数，那么 a 是（ ） A6 B6 C D 【分析】根据倒数的定义回答即可 【解答】解：a 与6 互为倒数， a 故选：C 2某种芯片每个探针单元的面积为 0.00000164cm2，0.00000164 用科学记数法可表示为（ ） A1.6410 5 B1.6410 6 C16.410 7 D0.16410 5 【分析】根据科学记数法的要求，将一个数字写成 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数 【解答】解：0.000001641.6410 6， 故选：B 3如图是某个几何体的展开图，该几何体是（ ） A三棱柱 B三棱锥 C圆柱 D
13、圆锥 【分析】侧面为三个长方形，底面为三角形，故原几何体为三棱柱 【解答】解：观察图形可知，这个几何体是三棱柱 故选：A 4如图，将直尺与三角尺叠放在一起，如果128，那么2 的度数为（ ） A62 B56 C28 D72 【分析】由两锐角互余的性质可求DAC 度数，由平行线的性质可求解 【解答】解：如图，标注字母， 由题意可得：BAC90，DACBAC162， EFAD， 2DAC62， 故选：A 5已知 a+b4，则代数式 1+的值为（ ） A3 B1 C0 D1 【分析】将 a+b 的值代入原式1+（a+b）计算可得 【解答】解：当 a+b4 时， 原式1+（a+b） 1+4 1+2 3
14、， 故选：A 6不透明袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随 机摸出一个，两次都摸到红球的概率为（ ） A B C D 【分析】用列表法或树状图法可以列举出所有等可能出现的结果，然后看符合条件的占总数的几分之几 即可 【解答】解：两次摸球的所有的可能性树状图如下： P 两次都是红球 故选：D 7等腰 RtABO 在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点 A（2，0） ，ABBO，则点 B 的坐标为 （ ） A （1，1） B （1，2） C （1，1） D （1，2） 【分析】过点 B 作 BEAO 于 E，由等腰直角三角形的性质可求 AEBEEO
15、1，即可求解 【解答】解：如图，过点 B 作 BEAO 于 E， 点 A（2，0） ， AO2， ABBO，ABO90， AEBEEO1， 点 B（1，1） ， 故选：A 8若 ab0，则正比例函数 yax 与反比例函数 y在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A B C D 【分析】根据 ab0 及正比例函数与反比例函数图象的特点，可以从 a0，b0 和 a0，b0 两方面 分类讨论得出答案 【解答】解：ab0， 分两种情况： （1） 当 a0， b0 时， 正比例函数 yax 的图象过原点、 第一、 三象限， 反比例函数 y图象在第二、 四象限，无选项符合 （2） 当 a0， b0
16、 时， 正比例函数 yax 的图象过原点、 第二、 四象限， 反比例函数 y图象在第一、 三象限，故 B 选项正确； 故选：B 9如图，点 A、B、C、D 在O 上，BCDC，若BOD124，则A 的大小为（ ） A27 B31 C56 D63 【分析】根据圆心角、弧、弦之间的关系得出DOCBOC，求出BOC 的度数，根据圆周角定理得 出ABOC，再求出答案即可 【解答】解：连接 OC， BCDC， DOCBOC， BOD124， BOCBOD62， ABOC31（圆周角定理） ， 故选：B 10全民健身的今天，散步是大众喜欢的运动甲、乙两人在绿道上同时从同一起点以各自的速度匀速同 向而行，步
17、行一段时间后，甲因有事按原速度原路返回，此时乙仍按原速度继续前行甲乙两人之间的 距离 s（米）与他们出发后的时间 t（分）的函数关系如图所示，已知甲步行速度比乙快由图象可知， 甲、乙的速度分别是（ ） A60 米/分，40 米/分 B80 米/分，60 米/分 C80 米/分，40 米/分 D120 米/分，80 米/分 【分析】根据题意可知，步行 10 分钟后甲开始返回，此时两人之间的距离为 200 米，可得他们的速度差 为 20（米/分） ，再经过 2 分钟后两人相遇，根据相遇问题列方程解答即可 【解答】解：根据题意可知，甲每分钟比乙快：2001020（米） ， 设乙的速度为 x 米/分，
18、则甲的速度为（x+20）米/分， 根据题意得：2x+2（x+20）200， 解得 x40， 40+2060（米/分） ， 即甲的速度为 60 米/分，乙的速度为 40 米/分， 故选：A 二、填空题（共二、填空题（共 8 小题，每小题小题，每小题 4 分，满分分，满分 32 分）分） 11函数 y的自变量 x 的取值范围是 x1 【分析】根据被开方数大于等于 0 列式计算即可得解 【解答】解：由题意得，33x0， 解得 x1 故答案为：x1 12方程的解为 x9 【分析】根据解分式方程的过程进行求解即可 【解答】解：去分母得： 9（x1）8x 9x98x x9 检验：把 x9 代入 x（x1）
19、0， 所以 x9 是原方程的解 故答案为：x9 13若关于 x 的一元一次不等式组有 2 个整数解，则 a 的取值范围是 3a4 【分析】分别求出每一个不等式的解集，确定不等式组的解集，再结合不等式组的整数解的个数得出关 于 a 的不等式组，解之可得答案 【解答】解：解不等式 x10，得：x1， 则不等式组的解集为 1xa， 不等式组有 2 个整数解， 不等式组的整数解为 2、3， 则 3a4， 故答案为：3a4 14若一组数据 2，3，x，1，5，7 的众数为 7，则这组数据的中位数为 4 【分析】根据众数的定义可得 x 的值，再依据中位数的定义即可得答案 【解答】解：2，3，x，1，5，7
20、 的众数为 7， x7， 把这组数据从小到大排列为：1、2、3、5、7、7， 则中位数为4； 故答案为：4 15若关于 x 的一元二次方程 x2+mx+2n0 有一个根是 2，则 m+n 2 【分析】根据一元二次方程的解的定义把 x2 代入 x2+mx+2n0 得到 4+2m+2n0 得 n+m2，然后 利用整体代入的方法进行计算 【解答】解：2（n0）是关于 x 的一元二次方程 x2+mx+2n0 的一个根， 4+2m+2n0， n+m2， 故答案为：2 16用一个半径为 30，圆心角为 120的扇形围成一个圆锥，这个圆锥的底面半径是 10 【分析】设该圆锥底面圆的半径为 rcm，则可根据圆
21、锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆 锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到 2r，然后解方程即可 【解答】解：设该圆锥底面圆的半径为 r， 根据题意得 2r，解得 r10， 即该圆锥底面圆的半径为 10 故答案为：10 17如图，菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，过点 D 作 DHAB 于点 H，连接 OH，若 OA6，S 菱形ABCD48，则 OH 的长为 4 【分析】由菱形的性质得出 OAOC6，OBOD，ACBD，则 AC12，由直角三角形斜边上的中线 性质得出 OHBD，再由菱形的面积求出 BD8，即可得出答案 【解答】解：四边形 ABCD
22、是菱形， OAOC6，OBOD，ACBD， AC12， DHAB， BHD90， OHBD， 菱形 ABCD 的面积ACBD12BD48， BD8， OHBD4； 故答案为：4 18有 2021 个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两数的和若第一个数是 0， 第二个数是 1，则这 2021 个数的和是 1 【分析】根据题意和题目中的数据，可以写出这列数的前几个数，从而可以发现数字的变化特点，然后 即可求得这 2021 个数的和 【解答】解：由题意可得， 第一个数是 0，第二个数是 1， 则第三个数是 101， 第四个数是 110， 第五个数是 011， 第六个数是101，
23、第七个数是1（1）0， 第八个数是 0（1）1， ， 由上可得，这列数依次以 0，1，1，0，1，1 循环出现，每六个数一个循环， 202163365， 这 2021 个数的和是：0+1+1+0+（1）+（1）+0+1+1+0+（1） 0+1+1+0+（1）+（1）336+0+1+1+0+（1） 0336+1 0+1 1， 故答案为：1 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 3 小题，共小题，共 28 分。解答时写出必要的文字说明及演算过程）分。解答时写出必要的文字说明及演算过程） 19 （10 分） （1）计算：14|1|+（1.414）0+2sin60（） 1 （2）先化简，再求值：
24、（x+2+），其中 x1 【分析】 （1）先根据有理数的乘方，绝对值，零指数幂，特殊角的三角函数值，负整数指数进行计算， 再求出答案即可； （2）先算括号内的加法，把除法变成乘法，再算乘法，最后求出答案即可 【解答】解： （1）原式1（1）+1+2+2 1+1+1+2 3； （2） （x+2+） ， 当 x1 时，原式1 20 （8 分）某校对九年级学生进行“综合素质”评价，评价的结果分为 A（优秀） 、B（良好） 、C（合格） 、 D（不合格）四个等级，现从中随机抽查了若干名学生的“综合素质”等级作为样本进行数据处理，并 绘制以下两幅不完整的统计图 请根据统计图提供的信息，解答下列问题： （
25、1）请补充完整条形统计图； （2）B（良好）等级人数所占百分比是 25% ； （3）在扇形统计图中，C（合格）等级所在扇形的圆心角度数是 72 ； （4）若该校九年级学生共 1000 名，估算评价结果为 A 等级或 B 等级的学生共有多少名？ 【分析】 （1）先根据 D 等级人数及其所占百分比求出被调查的总人数，再由四个等级人数之和等于总人 数求出 B 等级人数，据此可补全图形； （2）用 B 等级人数除以总人数可得答案； （3）用 360乘以 C 等级人数所占比例可得答案； （4）用总人数乘以样本中 A、B 等级人数和所占比例即可 【解答】解： （1）被调查的人数为 410%40（人） ，
26、B 等级人数为 40（18+8+4）10（人） ， （2）B（良好）等级人数所占百分比是100%25%， 故答案为：25%； （3）在扇形统计图中，C（合格）等级所在扇形的圆心角度数是 36072， 故答案为：72； （4）估计评价结果为 A（优秀）等级或 B（良好）等级的学生共有 1000700（人） 21 （10 分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 ymx+n（m0）的图象与 y 轴交于点 C，与反比例函 数 y（k0）的图象交于 A，B 两点，点 A 在第一象限，纵坐标为 4，点 B 在第三象限，BMx 轴， 垂足为点 M，BMOM2 （1）求反比例函数和一次函数的解析式 （2）连接
27、 OB，MC，求四边形 MBOC 的面积 【分析】 （1） 根据题意可以求得点 B 的坐标， 从而可以求得反比例函数的解析式， 进而求得点 A 的坐标， 从而可以求得一次函数的解析式； （2）根据（1）中的函数解析式可以求得点 C，从而可以求得四边形 MBOC 是平行四边形，根据面积公 式即可求得 【解答】解： （1）BMOM2， 点 B 的坐标为（2，2） ， 反比例函数 y（k0）的图象经过点 B， 则2，得 k4， 反比例函数的解析式为 y， 点 A 的纵坐标是 4， 4，得 x1， 点 A 的坐标为（1，4） ， 一次函数 ymx+n（m0）的图象过点 A（1，4） 、点 B（2，2）
28、 ， ，解得， 即一次函数的解析式为 y2x+2； （2）y2x+2 与 y 轴交于点 C， 点 C 的坐标为（0，2） ， 点 B（2，2） ，点 M（2，0） ， OCMB2， BMx 轴， MBOC， 四边形 MBOC 是平行四边形， 四边形 MBOC 的面积是：OMOC4 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 50 分。解答时写出必要的演算步骤及推理过程）分。解答时写出必要的演算步骤及推理过程） 22 （7 分）如图，某中学数学活动小组在学习了“利用三角函数测高”后，选定测量小河对岸一幢建筑物 BC 的高度，他们先在 A 处测得建筑物顶端 B 的仰角为 60，然后从 A 处后退 4
29、0m 到达 D 处，在 D 处 测得建筑物顶端 B 的仰角是 30，点 D、A、C 在同一水平线上，BCDC （1）求DBC 的度数； （2）求建筑物 BC 的高 （参考数据：1.414，1.732） 【分析】 （1）根据三角形的内角和解答即可； （2）根据三角函数得出 AC 和 DC，进而列出方程解答即可 【解答】解： （1）BCDC，BDC30， DBC903060， （2）设 BC 为 x， 在 RtABC 中，tanBAC， ， 在 RtBDC 中，tan， DCBCtan60， 即， 解得：x20（m） ， 答：建筑物 BC 的高为 34.64 米 23 （10 分）如图，在 RtA
30、BC 中，ACB90，以斜边 AB 上的中线 CD 为直径作O，与 BC 交于点 M，与 AB 的另一个交点为 E，过 M 作 MNAB，垂足为 N （1）求证：MN 是O 的切线； （2）若O 的直径为 5，sinB，求 ED 的长 【分析】 （1）连接 OM，求出 OMBD，求出 OMMN，根据切线的判定推出即可； （2）连接 DM 和 CE，求出 DMBC，CEBD，解直角三角形求出 BC 和 BE，再求出答案即可 【解答】 （1）证明：连接 OM，如图 1， OCOM， OCMOMC， 在 RtABC 中，CD 是斜边 AB 上的中线， CDABBD， DCBDBC， OMCDBC，
31、OMBD， MNBD， OMMN， OM 过 O， MN 是O 的切线； （2）解：连接 DM，CE， CD 是O 的直径， CED90，DMC90， 即 DMBC，CEAB， 由（1）知：BDCD5， M 为 BC 的中点， sinB， cosB， 在 RtBMD 中，BMBDcosB4， BC2BM8， 在 RtCEB 中，BEBCcosB， EDBEBD5 24 （10 分）小红经营的网店以销售文具为主，其中一款笔记本进价为每本 10 元，该网店在试销售期间发 现，每周销售数量 y（本）与销售单价 x（元）之间满足一次函数关系，三对对应值如下表： 销售单价 x（元） 12 14 16 每
32、周的销售量 y（本） 500 400 300 （1）求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）通过与其他网店对比，小红将这款笔记本的单价定为 x 元（12x15，且 x 为整数） ，设每周销售 该款笔记本所获利润为 w 元，当销售单价定为多少元时每周所获利润最大，最大利润是多少元？ 【分析】 （1）根据题意和表格中的数据，可以求得 y 与 x 之间的函数关系式； （2）根据题意，可以得到 w 与 x 的函数关系式，然后根据二次函数的性质，可以解答本题 【解答】解： （1）设 y 与 x 之间的函数关系式是 ykx+b（k0） ， ，得， 即 y 与 x 之间的函数关系式为 y50 x+1100
33、； （2）由题意可得， w（x10）y（x10） （50 x+1100）50（x16）2+1800， a500 w 有最大值 当 x16 时，w 随 x 的增大而增大， 12x15，x 为整数， 当 x15 时，w 有最大值，此时，w50（1516）2+18001750， 答：销售单价为 15 元时，每周获利最大，最大利润是 1750 元 25 （10 分）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称 为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形 根据以上定义，解决下列问题： （1）如图 1，正方形 ABCD 中 E 是 CD 上的点，将BCE 绕 B
34、点旋转，使 BC 与 BA 重合，此时点 E 的 对应点 F 在 DA 的延长线上，则四边形 BEDF 是 （填“是”或“不是” ） “直等补”四边形； （2）如图 2，已知四边形 ABCD 是“直等补”四边形，ABBC5，CD1，ADAB，过点 B 作 BE AD 于 E 过 C 作 CFBF 于点 F，试证明：BEDE，并求 BE 的长； 若 M 是 AD 边上的动点，求BCM 周长的最小值 【分析】 （1）由旋转的性质可得ABFCBE，BFBE，根据正方形的性质得ABCD90， 可得出EBFD90，即可得出答案； （2）首先证明四边形 CDEF 是矩形，则 DECF，EFCD1，再证AB
35、EBCF，根据全等三角 形的判定和性质可得 BECF，AEBF，等量代换即可得 BEDE；由 AEBF，EFCD1 可得 AE BE1，设 BEx，根据购股定理求出 x 的值即可； 延长 CD 到点 G，使 DGCD，连接 BG 交 AD 于点 M，过点 G 作 GHBC，交 BC 的延长线于点 H，证明ABECGH，根据相似三角形的性质求出 CH、HG 的值，在 RtBHG 中，根据勾股定理求 出 BG，即可求解 【解答】解： （1）将BCE 绕 B 点旋转，BC 与 BA 重合，点 E 的对应点 F 在 DA 的延长线上， ABFCBE，BFBE， 四边形 ABCD 是正方形， ABCD9
36、0， ABE+CBE90， ABE+ABF90，即EFBD90， EFB+D180， EFB90，BFBE， 四边形 BEDF 是“直等补”四边形 故答案为：是； （2）证明：四边形 ABCD 是“直等补”四边形，ABBC5，CD1，ADAB， ABC90，ABC+D180， D90， BEAD，CFBF， DEF90，CFE90， 四边形 CDEF 是矩形， DECF，EFCD1， ABE+A90，ABE+CBE90， ACBF， AEBBFC90，ABBC， ABEBCF（AAS） ， BECF，AEBF， DECF， BEDE； 四边形 CDEF 是矩形， EFCD1， ABEBCF，
37、AEBF， AEBE1， 设 BEx，则 AEx1， 在 RtABE 中，x2+（x1）252， 解得：x4 或 x3（舍去） ， BE 的长是 4； BCM 周长BC+BM+CM， 当 BM+CM 的值最小时，BCM 的周长最小， 如图，延长 CD 到点 G，使 DGCD，连接 BG 交 AD 于点 M，过点 G 作 GHBC，交 BC 的延长线 于点 H， ADC90， 点 C 与点 G 关于 AD 对称， BM+CMBM+MGBG，即 BM+CMBM+MC， 当点 M 与 M重合时，BM+MC 的值最小，即，BCM 的周长最小， 在 RtABE 中，AE3， 四边形 ABCD 是“直等补
38、”四边形， A+BCD180， BCD+GCH180， AGCH， AEBCHG90， ABECGH， ，即， GH，CH， BHBC+CH， BG， BCM 周长的最小值为+5 26 （13 分）如图，抛物线 yax2+bx+4（a0）与 x 轴交于点 A（1，0）和点 B（4，0） ，与 y 轴交于点 C，顶点为 D，连接 AC，BC，BC 与抛物线的对称轴 l 交于点 E （1）求抛物线的表达式； （2）点 P 是第一象限内抛物线上的动点，连接 PB，PC，若 SPBCSABC，求点 P 的坐标； （3）点 N 是对称轴 l 右侧抛物线上的动点，在射线 ED 上是否存在点 M，使得以点
39、M，N，E 为顶点的 三角形与OBC 相似？若存在，直接写出点 M 的坐标；若不存在，说明理由 【分析】 （1）设抛物线的表达式为 ya（xx1） （xx2）a（x+1） （x4）a（x23x4） ，即4a 4，解得 a1，可得结论 （2）过点 P、A 分别作直线 m、n，使两条直线均与 BC 平行，则 CN5，由 SPBCSABC知 CM CN3，故点 M（0，7） ，进而求解 （3）由题意得出三角形 BOC 为等腰直角三角形，然后分 MNEM，MNNE，NEEM 三种情况讨论 结合图形得出边之间的关系，即可得出答案 【解答】解： （1）设抛物线的表达式为 ya（xx1） （xx2）a（x+
40、1） （x4）a（x23x4） ， 即4a4，解得 a1， 故抛物线的表达式为 yx2+3x+4； （2）由抛物线的表达式知，点 C（0，4） ， 如图，过点 P、A 分别作直线 m、n，使两条直线均与 BC 平行， 设直线 m、n 分别交 y 轴于点 M、N（0，1） ，则 CN5， 由 SPBCSABC，SABCSBCM，SPBCSCMB， SBCMSBCN， CMCN3， 故点 M（0，7） ， 由点 B、C 的坐标知，直线 BC 的表达式为 yx+4， 而 mBC，则直线 m 的表达式为 yx+7， 联立并解得 x1 或 3， 故点 P 的坐标为（1，6）或（3，4） （3）C（0，4
41、） ，B（4，0） ，COB90， OBC 为等腰直角三角形， 抛物线 yx2+3x+4 的对称轴为 x， 点 E 的横坐标为， 又点 E 在直线 BC 上， 点 E 的纵坐标为， E（，） ， 设 M（，m）N（n，n2+3n+4） ， 如图 2 中，当 MNEM，EMN90， 由NMECOB， 则， 解得或（舍去） ， 此时点 M 的坐标为（，4） ， 当 MEEN，当MEN90时， 则， 解得：或（舍去） ， 此时点 M 的坐标为（，） 当 MNEN，MNE90时， 此时MNE 与COB 相似， 此时的点 M 与点 E 关于的结果（，4）对称， 设 M（，m） ， 则 m44， 解得 m， M（，） ， 此时点 M 的坐标为（，） 故在射线 ED 上存在点 M，使得以点 M，N，E 为顶点的三角形与OBC 相似，点 M 的坐标为： （，4） ， （，）或（，）
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