1、2021 年江苏省无锡市中考数学模拟试卷年江苏省无锡市中考数学模拟试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共计分，共计 30 分在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符分在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符 合题目要求的，请用合题目要求的，请用 2B 铅笔把答题卷上相应的答案涂黑 ）铅笔把答题卷上相应的答案涂黑 ） 1若 a、b 互为倒数，则 2ab5 的值为（ ） A1 B2 C3 D5 2函数 y+（x5） 2 中自变量 x 的取值范围是（ ） Ax3 且5 Bx3 且 x5 Cx3 且 x5 Dx3 且 x5 3如表所示是某位运动员近
2、6 次的比赛成绩（单位：分钟） ： 第几次 1 2 3 4 5 6 比赛成绩 40 50 35 20 25 10 则这组成绩的中位数和平均数分别为（ ） A25.25，30 B30，85 C27.5，85 D30，30 4下列计算正确的是（ ） A4a2a2 B2（a+2b）2a+2b C7ab（3ab）4ab Da2a22a2 5一个正多边形，它的一个内角恰好是一个外角的 4 倍，则这个正多边形的边数是（ ） A八 B九 C十 D十二 6下列四个图案中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ） A B C D 7下列运算正确的是（ ） A B （t3）2t29 C （2ab2）24a2b4
3、 Dx2xx2 8已知反比例函数 y与一次函数 yx+1 的图象没有交点，则 k 的值可以是（ ） A B C D1 9如图，在四边形 ABCD 中，ABCBCD90，把 RtABC 沿着 AC 翻折得到 Rt AEC，若，则线段 DE 的长度（ ） A B C D 10如图，正三角形 ABC 的边长为 3+，在三角形中放入正方形 DEMN 和正方形 EFPH，使得 D、E、F 在边 CB 上，点 P、N 分别在边 CA、AB 上，设两个正方形的边长分别为 m，n，则这两个正方形的面积 和的最小值为（ ） A B C3 D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题
4、 2 分，共计分，共计 16 分不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答分不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答 题卷相应的位置）题卷相应的位置） 11 （2 分）因式分解：4a316a 12 （2 分）2020 年 6 月 23 日，北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌发射中心发射升空，6 月 30 日成功 定点于距离地球 36000 公里的地球同步轨道将 36000 用科学记数法表示应为 13 （2 分）如图，粮仓的顶部是圆锥形状，这个圆锥的底面圆的半径为 3 米，母线长为 6 米，为防雨水， 需要在粮仓顶部铺上油毡， 如果油毡的市场价为 10 元/米 2， 那么购买油毡所需要的费用是
5、 元 （结 果保留 ） 14 （2 分）如图，在边长为 10 的菱形 ABCD 中，对角线 BD16，点 O 是线段 BD 上的动点，OEAB 于 E，OFAD 于 F则 OE+OF 15 （2 分）写出一个二次函数关系式，使其图象开口向上 16 （2 分）一天，小民去问爷爷的年龄，爷爷说： “我若是你现在这么大，你还要 40 年才出生呢，你若是 我现在这么大，我已经是老寿星了，125 岁了，哈哈！ ”请你写出小民爷爷到底是 岁 17 （2 分）已知函数 ykx2+（2k+1）x+1（k 为实数） （1）对于任意实数 k，函数图象一定经过点（2，1）和点 ； （2）对于任意正实数 k，当 xm
6、 时，y 随着 x 的增大而增大，写出一个满足题意的 m 的值为 18 （2 分）如图，直线 l1l2l3，分别交直线 m、n 于点 A、B、C、D、E、F，若 AB：BC5：3，DE 15，则 EF 的长为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 10 小题，共小题，共 84 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤）程或演算步骤） 19 （8 分）计算： （1）+ （2）+ 20 （8 分） （1）解方程： （x+1） （x+3）15 （2）解方程：3x22x2 （3）解不等式组 21 （8 分）如图，
7、已知 ECAC，BCEACD，AE，BC3求 DC 的值 22 （8 分）将分别标有数字 1、2、3 的 3 个质地和大小完全相同的小球装在一个不透明的口袋中 （1）若从口袋中随机摸出一个球，其标号为奇数的概率为多少？ （2）若从口袋中随机摸出一个球，放回口袋中搅匀后再随机摸出一个球，试求所摸出的两个球上数字之 和等于 4 的概率（用树状图或列表法求解） 23 （6 分）莫拉克台风给台湾造成了重大的损失，某中学开展爱心捐助活动，根据预备年级的捐款情况绘 制如下统计图： 请根据统计图给出的信息回答下列问题： （1）本次活动中预备年级共有多少同学捐款？ （2）本次活动中捐款 20 元以上（不包括捐
8、款 20 元的）的人数占预备年级捐款总人数的几分之几？ 24 （8 分）如图，在图中求作P，使P 满足以线段 MN 为弦且圆心 P 到AOB 两边的距离相等（要求： 尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 25 （8 分）如图：CB 与圆 O 相切于 B，半径 OAOC，AB、OC 相交于 D，求证： （1）CDCB； （2）ADDB2CDDO 26 （10 分）某水果店销售某种水果，由市场行情可知，从 1 月至 12 月，这种水果每千克售价 y1（元）与 销售时间 x（1x12，x 为正整数）月之间存在如图 1 所示（图 1 的图象是线段）的变化趋势，每千克 成本 y2（元）与销售时间 x（1x
9、12，x 为正整数）月满足函数表达式 y2ax22x+c，其变化趋势如 图 2 所示（图 2 的图象是抛物线） （1）求 y1关于 x 的函数表达式 （不需要写出自变量的取值范围） （2）求 y2关于 x 的函数表达式 （不需要写出自变量的取值范围） （3）求哪个月出售这种水果，每千克所获得的收益最大 27 （10 分）矩形 ABCD 中，AB6，BC8，点 E 是 BC 边上一点，连接 DE，把DCE 沿 DE 折叠，使 点 C 落在点 C处，当BEC为直角三角形时，求 BE 的长 28 （10 分）如图，已知抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴交于点 A（1，0）和点 B（3，0）
10、 ，与 y 轴交 于点 C，且 OCOB （1）求点 C 的坐标和此抛物线的解析式； （2）若点 E 为第二象限抛物线上一动点，连接 BE，CE，BC，求BCE 面积的最大值； （3）点 P 在抛物线的对称轴上，若线段 PA 绕点 P 逆时针旋转 90后，点 A 的对应点 A恰好也落在此 抛物线上，求点 P 的坐标 2021 年江苏省无锡市中考数学模拟试卷年江苏省无锡市中考数学模拟试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共计分，共计 30 分在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符分在每小题所给出的四个选项中
11、，恰有一项是符 合题目要求的，请用合题目要求的，请用 2B 铅笔把答题卷上相应的答案涂黑 ）铅笔把答题卷上相应的答案涂黑 ） 1若 a、b 互为倒数，则 2ab5 的值为（ ） A1 B2 C3 D5 【分析】利用倒数的性质得到 ab1，代入原式计算即可求出值 【解答】解：根据题意得：ab1， 则 2ab5253 故选：C 2函数 y+（x5） 2 中自变量 x 的取值范围是（ ） Ax3 且5 Bx3 且 x5 Cx3 且 x5 Dx3 且 x5 【分析】 根据二次根式的性质和分式的意义， 被开方数大于或等于 0， 分母不等于 0， 可以求出 x 的范围 【解答】解：依题意有 x30 且 x
12、50， 解得：x3 且 x5 故选：B 3如表所示是某位运动员近 6 次的比赛成绩（单位：分钟） ： 第几次 1 2 3 4 5 6 比赛成绩 40 50 35 20 25 10 则这组成绩的中位数和平均数分别为（ ） A25.25，30 B30，85 C27.5，85 D30，30 【分析】 根据中位数的定义和平均数的求法计算即可， 中位数是将一组数据按照从小到大 （或从大到小） 的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数如果这组数据的个 数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数 【解答】解：把这组数据按从大到小的顺序排列是：10，20，25，35，
13、40，50 故这组数据的中位数是： （25+35）230； 平均数（10+20+25+35+40+50）630 故选：D 4下列计算正确的是（ ） A4a2a2 B2（a+2b）2a+2b C7ab（3ab）4ab Da2a22a2 【分析】依据合并同类项的法则、去括号的法则即可解决 【解答】解：A、应为 4a2a2a，故选项错误； B、应为 2（a+2b）2a+4b，故选项错误； C、应为 7ab（3ab）10ab，故选项错误； D、a2a22a2，故选项正确 故选：D 5一个正多边形，它的一个内角恰好是一个外角的 4 倍，则这个正多边形的边数是（ ） A八 B九 C十 D十二 【分析】根据
14、正多边形的内角和外角的关系，求出外角的度数，再根据外角和为 360可求出正多边形 的边数 【解答】解：设多边形的一个外角为 x，则它的一个内角为 4x， 4x+x180， x36 这个正 n 边形的边数为：3603610， 故选：C 6下列四个图案中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 【解答】解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形故本选项符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形故本选项不合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形故本选项不合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形故本选项不合题意 故选：A 7
15、下列运算正确的是（ ） A B （t3）2t29 C （2ab2）24a2b4 Dx2xx2 【分析】直接利用乘法公式以及积的乘方运算法则、二次根式的除法运算法则分别化简得出答案 【解答】解：A、，故此选项错误； B、 （t3）2t26t+9，故此选项错误； C、 （2ab2）24a2b4，正确； D、x2xx3，故此选项错误； 故选：C 8已知反比例函数 y与一次函数 yx+1 的图象没有交点，则 k 的值可以是（ ） A B C D1 【分析】先把两函数的解析式组成方程组，再转化为求一元二次方程解答问题，求出 k 的取值范围，找 出符合条件的 k 的值即可 【解答】解：反比例函数 y与一次
16、函数 yx+1 的图象没有交点， 方程组无解，即x+1 无解，整理得 x2+xk0， 1+4k0，解得 k， 四个选项中只有1，所以只有选项 D 符合条件 故选：D 9如图，在四边形 ABCD 中，ABCBCD90，把 RtABC 沿着 AC 翻折得到 Rt AEC，若，则线段 DE 的长度（ ） A B C D 【分析】过点 D 作 DMCE，根据折叠可得到ACEACB60，设 EMx，由折叠性质可知， ECCB，设 DMx，则 CD2x，MCx，EMECCMx，在直角三角形 EDM 中，根 据勾股定理即可得 DE 的长 【解答】解：如图，过点 D 作 DMCE， ABC90，AB3，BC，
17、 CAB30， ABCBCD90， CDAB， ACDCAB30， 由折叠可知：ACEACB60，ECBC， ECD30， 设 DMx，则 CD2x， MCx， EMECCMx， tanCED， ， ， 解得 x， EM， 在直角三角形 EDM 中，DE2DM2+EM2， DE 故选：B 10如图，正三角形 ABC 的边长为 3+，在三角形中放入正方形 DEMN 和正方形 EFPH，使得 D、E、F 在边 CB 上，点 P、N 分别在边 CA、AB 上，设两个正方形的边长分别为 m，n，则这两个正方形的面积 和的最小值为（ ） A B C3 D 【分析】设正方形 DEMN、正方形 EFPH 的
18、边长分别为 m、n，它们的面积和为 S，根据等边三角形的性 质得AB60， 利用含 30 度的直角三角形三边的关系得 BDDNm， CFPF n，则m+m+n+n3+，所以所以 n3m，Sm2+n2m2+（3m）22（m）2，接 着确定 m 的取值范围为 63m33，然后根据二次函数的性质求出 S 的最小值 【解答】解：设正方形 DEMN、正方形 EFPH 的边长分别为 m、n，它们的面积和为 S， ABC 为等边三角形， AB60，AB3+， 在 RtBDN 中，BDDNm， 在 RtCPF 中，CFPFn， BD+DE+EF+CFAB， m+m+n+n3+， m+n3， n3m， Sm2+
19、n2m2+（3m）22（m）2， 当点 M 落在 AC 上，则正方形 DEMN 的边长最小，正方形 EFPH 的边长最大，如图， 在 RtBDN 中，BDDN，BNDN， DN+DN3+，解得 DN33， 在 RtCPF 中，CFPF， （33）+33+EF+PF3， 解得 PF69， 63m33， 当 m时，S 最小，S 的最小值为 故选：D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 2 分，共计分，共计 16 分不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答分不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答 题卷相应的位置）题卷相应的位置） 11 （2 分）因式分解：4
20、a316a 4a（a+2） （a2） 【分析】原式提取 a，再利用平方差公式分解即可 【解答】解：原式4a（a24）4a（a+2） （a2） ， 故答案为：4a（a+2） （a2） 12 （2 分）2020 年 6 月 23 日，北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌发射中心发射升空，6 月 30 日成功 定点于距离地球 36000 公里的地球同步轨道将 36000 用科学记数法表示应为 3.6104 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数 【解答】解：将 36000 用科学记数法表示应为 3.6104， 故答案为：3.6104 13 （2 分）如图，粮仓的
21、顶部是圆锥形状，这个圆锥的底面圆的半径为 3 米，母线长为 6 米，为防雨水， 需要在粮仓顶部铺上油毡， 如果油毡的市场价为 10 元/米 2， 那么购买油毡所需要的费用是 180 元 （结 果保留 ） 【分析】根据圆锥侧面积公式 Srl，算出油毡的面积，乘以 10 即可得到结果 【解答】解：根据题意得：圆锥侧面积3618（平方米） ， 则购买油毡所需要的费用1018180（元） 故答案为：180 14 （2 分）如图，在边长为 10 的菱形 ABCD 中，对角线 BD16，点 O 是线段 BD 上的动点，OEAB 于 E，OFAD 于 F则 OE+OF 9.6 【分析】 连接AC交 BD 于
22、点 G， 连接AO， 根据菱形的性质可求出AG的长， 再根据面积法即可求出 OE+OF 的值 【解答】解：如图，连接 AC 交 BD 于点 G，连接 AO， 四边形 ABCD 是菱形， ACBD，ABAD10，BGBD8， 根据勾股定理得：AG6， SABDSAOB+SAOD， 即BDAGABOE+ADOF， 16610OE+10OF， OE+OF9.6 故答案为：9.6 15 （2 分）写出一个二次函数关系式，使其图象开口向上 y3x2（本题答案不唯一） 【分析】抛物线开口向下，则二次函数解析式的二次项系数为负数，依此写二次函数解析式 【解答】解：依题意，得 y3x2本题答案不唯一 故答案为
23、：y3x2（本题答案不唯一） 16 （2 分）一天，小民去问爷爷的年龄，爷爷说： “我若是你现在这么大，你还要 40 年才出生呢，你若是 我现在这么大，我已经是老寿星了，125 岁了，哈哈！ ”请你写出小民爷爷到底是 70 岁 【分析】设小民爷爷是 x 岁，小民是 y 岁，根据爷爷及小民年龄之间的关系，即可得出关于 x，y的 二元一次方程组，解之即可得出结论 【解答】解：设小民爷爷是 x 岁，小民是 y 岁， 依题意得：， 解得： 故答案为：70 17 （2 分）已知函数 ykx2+（2k+1）x+1（k 为实数） （1）对于任意实数 k，函数图象一定经过点（2，1）和点 （0，1） ； （2
24、）对于任意正实数 k，当 xm 时，y 随着 x 的增大而增大，写出一个满足题意的 m 的值为 0 【分析】 （1）分别将 x 取2 或 0 时，计算相应的函数值，即可得到答案； （2）先由 k0，判断函数图象的开口方向，再求出函数的对称轴，则 m 值大于1 时均符合题意，任 取范围内一个 m 值即可 【解答】解： （1）ykx2+（2k+1）x+1（k 为实数） 当 x2 时，y4k+（2k+1）（2）+11， 当 x0 时，y0+0+11， 对于任意实数 k，函数图象一定经过点（2，1）和点 （0，1） ， 故答案为： （0，1） ； （2）k 为任意正实数， k0， 函数图象开口向上，
25、函数 ykx2+（2k+1）x+1 的对称轴为 x11， 在对称轴右侧，y 随 x 的增大而增大， xm 时，y 随 x 的增大而增大， m1， 故 m0 时符合题意 （答案不唯一，m1 即可） 故答案为：0 18 （2 分）如图，直线 l1l2l3，分别交直线 m、n 于点 A、B、C、D、E、F，若 AB：BC5：3，DE 15，则 EF 的长为 9 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算可得到 EF 【解答】解：l1l2l3， ， AB：BC5：3，DE15， ， 解得，EF9， 故答案为：9 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 10 小题，共小题，共 84 分请在
26、答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤）程或演算步骤） 19 （8 分）计算： （1）+ （2）+ 【分析】 （1）首先计算开平方和立方根，然后再计算加减即可 【解答】解： （1）原式9342； （2）原式+， ， ， ， 20 （8 分） （1）解方程： （x+1） （x+3）15 （2）解方程：3x22x2 （3）解不等式组 【分析】 （1）根据一元二次方程的解法即可求出答案； （2）根据一元二次方程的解法即可求出答案； （3）根据一元一次不等式组即可求出答案 【解答】解： （1）（x+1） （x+3）15，
27、 x2+4x+315， x2+4x120， （x+6） （x2）0， x6 或 x2； （2）3x22x2， 3x22x20， a3，b2，c2， 443（2）28， x； （3）由可得：x1； 由得：x4， 不等式组的解集为：4x1； 21 （8 分）如图，已知 ECAC，BCEACD，AE，BC3求 DC 的值 【分析】由“ASA”可证ACBECD，可得 BCCD3 【解答】解：BCEACD， ACBECD， 在ACB 和ECD 中， ， ACBECD（ASA） ， BCCD3 22 （8 分）将分别标有数字 1、2、3 的 3 个质地和大小完全相同的小球装在一个不透明的口袋中 （1）若从
28、口袋中随机摸出一个球，其标号为奇数的概率为多少？ （2）若从口袋中随机摸出一个球，放回口袋中搅匀后再随机摸出一个球，试求所摸出的两个球上数字之 和等于 4 的概率（用树状图或列表法求解） 【分析】 （1）根据概率公式求解； （2）通过列表展示 9 种等可能的结果，再找出所摸出的两个球上数字之和等于 4 的结果数，然后利用概 率公式求解 【解答】解： （1）P（标号为奇数）； （2）列表如下： 1 2 3 1 （1，1） （1，2） （1，3） 2 （2，1） （2，2） （2，3） 3 （3，1） （3，2） （3，3） 共有 9 种等可能的结果，其中所摸出的两个球上数字之和等于 4（记为事件
29、 A）的有 3 种， 所以，P（A） 23 （6 分）莫拉克台风给台湾造成了重大的损失，某中学开展爱心捐助活动，根据预备年级的捐款情况绘 制如下统计图： 请根据统计图给出的信息回答下列问题： （1）本次活动中预备年级共有多少同学捐款？ （2）本次活动中捐款 20 元以上（不包括捐款 20 元的）的人数占预备年级捐款总人数的几分之几？ 【分析】 （1）把捐每种款项的人数相加即是预备年级共有的学生人数，列式解答即可得到答案； （2） 用捐款 20 元以上 （不包括捐款 20 元的） 的人数除以预备年级捐款总人数， 列式解答即可得到答案 【解答】解： （1）25+70+55+16+25+4195（人
30、） 答：本次活动中预备年级共有 195 个同学捐款； （2） （16+25+4）195 45195， ， 答：捐款 20 元以上（不包括捐款 20 元的）的人数占预备年级捐款总人数 24 （8 分）如图，在图中求作P，使P 满足以线段 MN 为弦且圆心 P 到AOB 两边的距离相等（要求： 尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【分析】作AOB 的角平分线，作 MN 的垂直平分线，以角平分线与垂直平分线的交点为圆心，以圆心 到 M 点（或 N 点）的距离为半径作圆 【解答】解：如图所示 圆 P 即为所作的圆 25 （8 分）如图：CB 与圆 O 相切于 B，半径 OAOC，AB、OC 相交于 D
31、，求证： （1）CDCB； （2）ADDB2CDDO 【分析】（1） 由切线的性质可得ABO+CBD90， 由直角三角形的性质可得OAB+ODA90， 可得ADOCBDCDB，可证 CDCB； （2） 过点 C 作 CHDB 于点 H， 由等腰三角形的性质可得 DHBHBD， 通过证明AODCHD， 可得，可得结论 【解答】解： （1）连接 OB， CB 与圆 O 相切， OBBC， ABO+CBD90， AOBO， OABOBA， AOCO， OAB+ODA90， ADOCBDCDB， CDCB； （2）过点 C 作 CHDB 于点 H， CDCB，CHDB， DHBHBD， ADOCDH，
32、AODCHD90， AODCHD， ， ADDHCDDO， ADDBCDDO， ADDB2CDDO 26 （10 分）某水果店销售某种水果，由市场行情可知，从 1 月至 12 月，这种水果每千克售价 y1（元）与 销售时间 x（1x12，x 为正整数）月之间存在如图 1 所示（图 1 的图象是线段）的变化趋势，每千克 成本 y2（元）与销售时间 x（1x12，x 为正整数）月满足函数表达式 y2ax22x+c，其变化趋势如 图 2 所示（图 2 的图象是抛物线） （1）求 y1关于 x 的函数表达式 （不需要写出自变量的取值范围） （2）求 y2关于 x 的函数表达式 （不需要写出自变量的取值
33、范围） （3）求哪个月出售这种水果，每千克所获得的收益最大 【分析】 （1） 、 （2）用待定系数法即可求解； （3）设每千克所获得的收益为 w（元） ，则 wy1y2（x+24）（x22x+）x2+x+ ，进而求解 【解答】解： （1）设一次函数表达式为 y1kx+b， 将点（4，22） 、 （8，20）代入函数一次函数表达式得，解得， 故 y1关于 x 的函数表达式为 y1x+24； （2）将点（3，12） 、 （7，14）代入抛物线表达式得：，解得， 故 y2关于 x 的函数表达式为 y2x22x+； （3）设每千克所获得的收益为 w（元） ，则 wy1y2（x+24）（x22x+）x2
34、+x+ ， 0，故 w 有最大值，此时 x3， 故 3 月出售这种水果，每千克所获得的收益最大 27 （10 分）矩形 ABCD 中，AB6，BC8，点 E 是 BC 边上一点，连接 DE，把DCE 沿 DE 折叠，使 点 C 落在点 C处，当BEC为直角三角形时，求 BE 的长 【分析】如图 1，当BCE90时，如图 2，当BEC90时，根据矩形的性质和勾股定理即可 得到结论 【解答】解：如图 1，当BCE90时，如图 1， 矩形 ABCD 中，AB6，ADBC8， BD10， 把DCE 沿 DE 折叠，使点 C 落在点 C处， DCEC90， BCE90， B，C，D 三点共线， DCDC
35、6， BC4，BE8CE， BC2+EC2BE2， 42+CE2（8CE）2， 解得 CE3， BE835； 如图 2，当BEC90时， 矩形 ABCD 中，AB6，ADBC8， BD10， 把DCE 沿 DE 折叠，使点 C 落在点 C处， DCEC90， BEC90， CEC90， 四边形 ECDC是正方形， CECECD6， BE2 综上所述，当BEC为直角三角形时，BE 的长为 2 或 5 28 （10 分）如图，已知抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴交于点 A（1，0）和点 B（3，0） ，与 y 轴交 于点 C，且 OCOB （1）求点 C 的坐标和此抛物线的解析式； （
36、2）若点 E 为第二象限抛物线上一动点，连接 BE，CE，BC，求BCE 面积的最大值； （3）点 P 在抛物线的对称轴上，若线段 PA 绕点 P 逆时针旋转 90后，点 A 的对应点 A恰好也落在此 抛物线上，求点 P 的坐标 【分析】 （1）已知抛物线过 A、B 两点，可将两点的坐标代入抛物线的解析式中，用待定系数法即可求 出二次函数的解析式； （2）如图 2，连接 BC，过点 E 作 EFx 轴于点 F，设 E（a，a22a+3） （3a0） ，可得 EF a22a+3，BFa+3，OFa，根据 SBECS四边形BOCESBOC，构建二次函数，利用二次函数的性质 求解即可 （3）由 P
37、在抛物线的对称轴上，设出 P 坐标为（1，m） ，如图所示，过 A作 AN对称轴于 N， 由旋转的性质得到一对边相等，再由同角的余角相等得到一对角相等，根据一对直角相等，利用 AAS 得 到ANPPMA， 由全等三角形的对应边相等得到 ANPM|m|， PNAM2， 表示出 A坐标， 将 A坐标代入抛物线解析式中求出相应 m 的值，即可确定出 P 的坐标 【解答】解： （1）抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴交于点 A（1，0）和点 B（3，0） ， OB3， OCOB， OC3， c3， ， 解得：， 所求抛物线解析式为：yx22x+3，C（0，3） （2）如图 2，连接 BC，过
38、点 E 作 EFx 轴于点 F，设 E（a，a22a+3） （3a0） ， EFa22a+3，BFa+3，OFa， SBECS四边形BOCESBOCBFEF+（OC+EF） OFOBOC （a+3） （a22a+3）+（a22a+6） （a） a2a （a+）2+， 当 a时，SBEC最大，且最大值为 （3）抛物线 yx22x+3 的对称轴为 x1，点 P 在抛物线的对称轴上， 设 P（1，m） ， 线段 PA 绕点 P 逆时针旋转 90后，点 A 的对应点 A恰好也落在此抛物线上， 当 m0 时， PAPA，APA90， 如图 3，过 A作 AN对称轴于 N，设对称轴于 x 轴交于点 M， NPA+MPANAP+NPA90， NAPNPA， 在ANP 与PMA 中， ， ANPPMA（AAS） ， ANPMm，PNAM2， A（m1，m+2） ， 代入 yx22x+3 得：m+2（m1）22（m1）+3， 解得：m1，m2（舍去） ， 当 m0 时，要使 P2AP2A2，由图可知 A2点与 B 点重合， AP2A290， MP2MA2， P2（1，2） 满足条件的点 P 的坐标为 P（1，1）或（1，2）
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